焦点三角形的性质(经典!必看)
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(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
.
),0(1
222ba
yax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形
1FPF中,21PFF则
tan2
1bSPFF。
2)2(
122212212PFPFPFPFFFc
cos1(2)(
1221PFPFPFPF
12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF
tancos1sin212221
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
1
)((2412442
122ooexaexabPFPFca=122222
xeab
xa
22axo
(垂直于焦点的弦)最短，通径为
b22
),0(1
222ba
yax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形
1FPF中,21PFF则.21cos2e
：设,,
211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：
1
22242)(2cos
12221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr
.211
221
(222222222122eacarrca 命题得证。
2000年高考题）已知椭圆)0(1
222ba
yax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在
,P使得,1200
1PFF求椭圆的离心率e的取值范围。
：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos20e即221
1e ,
e的取值范围是.1,
3
),0(1
222ba
yax两焦点分别为,,21FF设焦点三角形
1FPF，,,1221FPFFPF则椭圆的离心率
sin)sin(e。
,
221FPFFPF
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
F2＝120°，求tanF1PF2．
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
3cos1sin故532tan，tanF1PF2＝tanθ＝
35
31532．