加法原理和乘法原理的综合运用

拓展提高
1、有两个相同的正方体，每个正方体的 6个面上分别标有数字1，2，3，4，5， 6。将两个正方体放在桌面上，向上的一 面数字之和为双数的有多少种情形？
3×3 + 3×3=18
答：向上的一面数字之和为 双数的有18种。
第一类：选1幅国画、1幅油画。分两步 完成，第一步选1幅国画有5种选法，第 二步选油画有3种选法。 根据乘法原理 共有选法：5×3=15（种）。 第二类：选1幅国画、1幅水彩画。 共有选法：5×2=10（种）。 第三类：选1幅油画、1幅水彩画。 共有选法：3×2=6（种）。 所以，共有不同的选法：15+10+6=31 （种）。
路，从乙地到丁地有3条路，从甲地到丙地 有4条路，从丙地到丁地有2条路。则从甲 地到丁地共有多少种不同的走法？
2×3=6
4×2=8 6+8 =14
甲地
乙地
丙地
丁地
答：从甲地到丁地共有14种不同的走法。
例2：从5幅国画，3幅油画，2幅水彩
画中任取两幅不同类型的画布置教室， 问有几种不同的选法？ 分析：在三种不同类型的画里选择两 种不同类型画有3种不同的选法，因此先 把所有的选法分为三大类：
模仿训练2：书架的第一层放有4本不
同的计算机书,第二层放有3本不同的文 艺书,第3层放有2本不同的体育书. 从书 架的任意两层上各取1本书,有多少种不 同的取法? 4×3 + 4×2 + 3×2=26 （种）
答：有26种不Βιβλιοθήκη Baidu的取法。
例3：如下图，用红、绿、蓝、黄四种
颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使 任何相邻的两个长方形的颜色都不同。 一共有多少种不同的涂法？ 分析：按2、3号长方形的涂色情 况，可把本题的涂法分为两大类： 第一 类：3号长方形选与2号相同 的颜色。 第二类：3号长方形 与 2号都不同 的颜色。
人教版四年级上期奥数培训
奥数一班 梁文白
综合运用原则：
在很多问题中需要将两种原理综 合起来运用。事实上，往往有很多事 情是有几大类方法来做的，而每一类 方法又要由几步来完成，这就要熟悉 加法原理和乘法原理的内容，综合运 用这两个原理。
探究新知
例1 ：如下图，一只小甲虫要从A点 出发沿着线段爬到B点，要求任何 点和线段不可重复经过，问这只甲 虫有多少种不同的走法？
加法原理公式：
一般地，如果完成一件事有k类 方法，第一类方法中有m1种不同做 法，第二类方法中有m2种不同做 法，……，第k类方法中有mk种不同的 做法，则完成这件事共有N=m1+ m2+…+ mk种不同的方法。
复习导入
1、书架的第一层放有4本不同的计 算机书,第二层放有3本不同的文艺 书,第3层放有2本不同的体育书.从 书架上任取1本书,有多少种不同的 取法? 4+3+2=9（种）
【解析】：把小甲虫要从A点出发沿
着线段爬到B点的走法分为两大类： 第一类：分两步，最先到达C点，再 到B点。 共有走法:1×3=3(种)。 第二类：分两步，最先到达D点，再 到B点。 共有走法:2×3=6(种)。 所以，小甲虫共有不同的走法： 1×3+2×3=9(种)。
模仿训练1：如图，从甲地到乙地有2条
6×5×5 + 6×5×4×4 =630（种）
答：一共有630种不同的涂法.
谈一谈你有何体会？ 小结
运用两个原理解决的都是比较复 杂的计数问题，在解题时要细心、 耐心、有条理地分析问题。计数 时要注意区分是分类问题还是分 步问题，正确运用两个原理。灵 活机动地单独使用或综合运用两 个原理，可以巧妙解决很多复杂 的计数问题。
答：有9种不同的取法.
乘法原理公式：
一般地，如果完成一件事需要几 个步骤，做第一步有m1种不同的方 法，做第二步有m2中不同的方 法，……，做第n步有mn种不同的方法， 那么，完成这件事一共有N=m1× m2×…× mn种不同的方法。
(2)书架的第一层放有4本不同的计 算机书,第二层放有3本不同的文艺 书,第3层放有2本不同的体育书.从 书架的第1、2、3层各取一本书,有 多少种不同的取法? 4×3×2=24（种） 答：有24种不同的取法.
第一类根据乘法原理共有不同涂 法： 4×3×3=36（种）。 第二类根据乘法原理共有不同涂 法： 4×3×2×2=48（种）。 最后根据加法原理，所以，这 题一共有不同的涂法： 36+48=84（种）。
模仿训练3 ：如下图，用红、橙、黄、
绿、蓝、紫六种颜色涂编号为1，2，3， 4的长方形，使任何相邻的两个长方形的 颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？