结构构件可靠度的计算方法
结构可靠度分析基础和可靠度设计方法
结构可靠度分析基础和可靠度分析方法1一般规定1.1当按本文方法确定分项系数和组合值系数时，除进行分析计算外，尚应根据工程经验对分析结果进行判断并进行调整。
1.1.1从概念上讲，结构可靠行设计方法分为确定性方法和概率方法。
在确定性方法中，设计中的变量按定值看待，安全系数完全凭经验确定，属于早期的设计方法。
概率方法为全概率方法和一次可靠度方法。
全概率方法使用随机过程模型及更准确的概率计算方法，从原理上讲，可给出可靠度的准确结果，但因为经常缺乏统计数据及数值计算上的复杂性，设计标准的校准很少使用全概率方法。
一次可靠度方法使用随机变量模型和近似的概率计算方法，与当前的数据收集情况及计算手段是相适应的。
所以，目前国内外设计标准的校准基本都采用一次可靠度方法。
本文说明了结构可靠度校准、直接用可靠指标进行设计的方法及用可靠指标确定设计表达式中作用，抗力分项系数和作用组合值系数的方法。
1.2按本文进行结构可靠度分析和设计时，应具备下列条件：1具有结构极限状态方程；2基本变量具有准确、可靠的统计参数及概率分布。
1.2.1进行结构可靠度分析的基本条件使建立结构的极限状态方程和基本随机变量的概率分布函数。
功能函数描述了要分析的结构的某一功能所处的状态：Z>0表示结构处于可靠状态；Z=0表示结构处于极限状态；Z＜0表示结构处于失效状态。
计算结构可靠度就是计算功能函数Z＞0的概率。
概率分布函数描述了基本变量的随机特征，不同的随机变量具有不同的随即特征。
1.3当有两个及两个以上的可变作用时，应进行可变作业的组合，并可采用下列规定之一进行：（1）设m种作业参与组合，将模型化后的作业在设计基准期内的总时段数，按照顺序由小到大排列，取任一作业在设计基准期内的最大值与其他作用组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合；（2）设m种作用参与组合，取任一作用在设计基准期内的最大值与其他作业任意时点值进行组合，得出m种组合的最大作用，其中作用最大的组合为起控制作用的组合。
结构可靠度算法的比较
０ 引言
Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ ） 法和 随机有 限元 （ Ｓ Ｆ Ｅ Ｍ） 法 等。文 中主要对 Ｊ ｃ法 、 二 次
Ｅ Ｓ Ｏ Ｒ Ｍｌ ４ ） 、 一 次渐 近积 分法 Ｊ 、 序列 响应 面 法 、 蒙 工程结构 可靠度 的分析具有不确定 性 的特 点 ， 也即不 可预测 二阶矩法 （ 特卡罗 （ Ｍ ｏ ｎ ｔ ｅ ． Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ ） 的直接重要抽样 法 进行全 面研究 ， 比较 这 性 。这些不确定性包 括外 部环境 以及结 构本身 ， 可 靠度 的计 算方
结 构 可 靠 度 算 法 的 比 较
刘 彤
（ 重庆大学土木工程学院 ， 重庆 ４ ０ ０ ０ ４ ５）
摘
要： 讨论 了现有结构可靠 度的计算方法 ， 介 绍了 Ｊ ｃ法 、 二次二阶矩的 Ｅ Ｓ Ｏ Ｒ Ｍ法、 一次 渐近积分 法、 序 列响应面 法、 Ｍｏ ｎ ｔ ｅ Ｃ ａ ｄ ｏ
水准 方向
Ｉ 峰
０ ． １ ３ ｇ ０ ． １ ３ ｇ ｙ ０ ． １ ２ ｇ ０ ． ３ ０ ｇ ｙ ０ ． ２ ９ ｇ ０ ． ５ ８ ｇ ０ ． ４ ５ ｇ ｌ ， ０ ． ５ ３ ｇ
台面加速度
Ｙ峰 谷
一 ０ ． １ ４ ｇ
支座模 型加速度
Ｙ谷Ｙ谷 Ｉ ｌ 奎 Ｉ
一２ ２ ． ６ ４
结构可靠度
Z g ( R, S ) R S
(3)结构的极限状态 （GB50068-2001) 结构的期望状态：结构处于 满足其功能要求的状态.其功能 函数 g ( X1 ,, X n ) 0 结构的不期望状态：结构处 于未能满足其功能要求的状态. 其功能函数 g ( X1 ,, X n ) 0 结构的极限状态：结构整体或部分超越某一状态 结构就不能满足设计规定的某一功能的要求，此状 态即称为结构该功能的极限状态。其功能函数满足:
• 根据结构极限状态被超越后的结构状况分类： • 1、不可逆极限状态 • 当引起超越极限状态的作用被移掉后，仍将永久地保持超越效应 的极限状态。即因超越极限状态而产生的结构的损坏或功能失常 将一直保持，除非结构被重新修复。 • 承载力极限状态一般是不可逆的，正常使用极限状态有时可逆有 时不可逆。 • 2、可逆极限状态 • 产生超越极限状态的作用被移掉后，将不再保持超越效应的极限 状态。即因超越结构极限状态而产生的结构损坏或功能失常仅在 超越的原因存在时保持。 • 总之，极限状态的分类没有固定的规则，主要以设计需要为 依据。如日本，地震经常发生，所以其《建筑及公共设施结构设 计基础》给出了可恢复极限状态；对于钢桥，车辆反复作用引起 的疲劳破坏严重，所以，美国的《荷载与抗力系数桥梁设计规范》 单独列出了疲劳极限状态，在大地震、洪水、车辆、冰流撞击等 条件下，该规范还列出了极端事件极限状态。
• 5、极限状态很多，为便于设计时掌握，按其性质分类 是必要的（包括破坏性和使用性）。 • 前苏联学者提出分成三类： • 第一类：承载力极限状态，包括结构的强度、稳定性、 疲劳等 • 第二类：由过大的变形引起的极限状态 • 第三类：由裂缝的形成或开展引起的极限状态（不适用 于钢结构）。 • 许多学者认为，第一类极限状态应当包括塑性变形的极 限状态，因而，将变形极限状态独立为第二极限状态， 似乎不恰当。为此，欧洲有关学术组织将极限状态重新 分为承载力极限状态和正常使用极限状态两类。
可靠度实用计算方法
i 1 i X i
]
i m X i
中心点法的最大特点是：
计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不 必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计 参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可 靠指标值以及失效概率Ｐf 。 若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联合 概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的Ｐ f 值大致在同一个数量级内； 若β值较大，即Ｐf 值较小时，Ｐf 值对基本变量的联 合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计算 出的Ｐf 值可在几个数量级范围内变化。
n
x i
平均值和方差为
m g ( m , m , , m ) Z x 1 x 2 xn
2 Z
g 2 [( X m ) ] i x i X i 1 i m
n
x i
点M＝(μX1 , μX2 ····· μXn) ，称为Ω的中心点，它以各基本变 量的均值为坐标。极限状态方程Ｚ＝０所对应的曲面将空 间分为结构的可靠区和失效区，Ｚ＝０所对应的曲面称为 失效边界。中心点Ｍ位于结构的可靠区内 g (m ,m ,m ) X 1 X2, Xn z n z g 2
z
2 R
2 S
z R S 2 2 z R S
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值 ( 一阶原 点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功 能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具 有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
工程结构设计大致可以分为两个步骤：
结构可靠度分析方法综述
结构可靠度分析方法综述朱殿芳陈建康郭志学(四川大学水电学院成都市610065)摘要详细阐述了结构可靠度计算方法,对改进的一次二阶矩法、JC法、几何法、高次高阶矩法、响应面法、蒙特卡罗方法、随机有限元法等点可靠度计算方法进行了分析;同时介绍了体系可靠度与时变可靠度的有关内容。
关键词点可靠度一次二阶矩法响应面法蒙特卡罗方法随机有限元法体系可靠度时变可靠度1结构可靠度分析方法综述可靠度的计算方法从研究的对象来说可分为点可靠度计算方法和体系可靠度计算方法。
1.1结构点可靠度计算方法1.1.1一次二阶矩法在实际工程中,占主流的一次二阶矩法应用相当广泛,已成为国际上结构可靠度分析和计算的基本方法。
其要点是非正态随机变量的正态变换及非线性功能函数的线性化由于将非线性功能函数作了线性化处理,所以该类方法是一种近似的计算方法,但具有很强的适用性,计算精度能够满足工程需求。
均值一次二阶矩法、改进的一次二阶矩法、JC法、几何法都是以一次二阶矩法为基础的可靠度计算方法。
(1)均值一次二阶矩法。
早期结构可靠度分析中,假设线性化点x0i就是均值点m xi,而由此得线性化的极限状态方程,在随机变量X i(i=1,2,,,n)统计独立的条件下,直接获得功能函数z的均值m z及标准差R z,由此再由可靠指标B的定义求取B=m z/R z。
该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项,误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大,而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,结果往往带来相当大的误差,同时选用不同的极限状态方程不能得到相同的可靠指标,此为该方法的严重问题。
(2)改进一次二阶矩法。
针对均值一次二阶矩法的上述问题,人们把线性化点选在失效边界上,且选在与结构最大可能失效概率对应的设计验算点上,以克服均值一次二阶矩法存在的问题,提出了改进的一次二阶矩法。
该方法无疑优于均值一次二阶矩法,为工程实际可靠度计算中求解B的基础。
GB50153-92工程结构可靠度设计统一标准
工程结构可靠度设计统一标准GB50153-92第一章 总则第1.0.1条 为统一工程结构可靠度设计的基本原则和方法，使设计符合技术先进、经济合理、安全适用、确保质量的要求，制定本标准。
第1.0.2条 本标准是制定房屋建筑、铁路、公路、港口、水利水电工程结构可靠度设计统一标准应遵守的准则。
在各类工程结构的统一标准中尚应制定相应的具体规定。
第1.0.3条 本标准适用于整个结构、组成整个结构的构件以及地基基础，适用于结构的施工阶段和使用阶段。
第1.0.4条 工程结构必须满足下列功能要求：一、在正常施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用；二、在正常使用时，具有良好的工作性能；三、在正常维护下，具有足够的耐久性能；四、在设计规定的偶然事件发生时和发生后，能保持必需的整体稳定性。
第1.0.5条 结构在规定的时间内，在规定的条件下，对完成其预定功能应具有足够的可靠度，可靠度一般可用概率度量。
确定结构可靠度及其有关设计参数时，应结合结构使用期选定适当的设计基准期作为结构可靠度设计所依据的时间参数。
第1.0.6条 工程结构设计宜采用分项系数表达的以概率理论为基础的极限状态设计方法。
第1.0.7条 工程结构设计时，应根据结构破坏可能产生的后果（危及人的生命，造成经济损失，产生社会影响等）的严重性，采用表1.0.7规定的安全等级。
工程结构的安全等级 表1.0.7安全等级 破坏后果一 级 很严重二 级 严 重三 级 不严重注：对特殊结构，其安全等级可按具体情况确定。
第1.0.8条 工程结构中各类结构构件的安全等级宜与整个结构的安全等级相同。
对其中部分结构构件的安全等级可适当提高或降低，但不低于三级。
第1.0.9条 对不同安全等级的结构构件，应规定相应的可靠度。
第 1.0.10条 工程结构应按其破坏前有无明显变形或其它预兆区别为延性破坏和脆性破坏两种破坏类型。
对脆性破坏的结构,其规定的可靠度应比延性破坏的结构适当提高。
可靠度理论
2 2 Z R S
R R R
S S S
R R R 1 Z
S S S 1 Z
具体公式为：
f k (1 )
式中， fk——特征值； α——在特征值取值的保证率下所对应的系数。 保证率α——对应的可靠概率ω α＝1 ω＝84.13% α＝1.645 ω＝95% α＝2 ω＝97.72% α＝3 ω＝99.865%
结构可靠度指标的计算方法
（一）均值一次二阶矩法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法,其 基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均 值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项,然后近似 计算功能函数的平均值和标准差,进而求得可靠度指标。 该法的最大优点是计算简便,不需进行过多的数值计算, 但也存在明显的缺陷:1)不能考虑随机变量的分布概型, 只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩;2)将非线 性功能函数在随机变量均值处展开不合理,展开后的线 性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态 曲面;3)可靠度指标会因选择不同的变量方程而发生变 化;4)当基本变量不服从正态或对数正态分布时,计算 结果常与实际偏差较大。故该法适用于基本变量,服从 正态或对数正态分布,且结构可靠度指标β=1～2的情 况。
验算点坐标
考虑到设计验算点p*应位于极限状态曲面上故g （X1*,…,Xn*）=0 因此
比较2-1求出的β。均值一次二阶矩法缺点是明显的。
（三）验算点法(JC法) 很多学者针对中心点法的弱点,提出了相应的改进措施。 验算点法,即Rackwitz和Fies-sler 提出后经hasofer 和 lind改进,被国际结构安全度联合委员会(JGSS)所推荐 的JC法就是其中的一种。作为中心点法的改进,主要 有两个特点:1)当功能函数Z为非线性时,不以通过中心 点的超切平面作为线性相似,而以通过Z=0上的某一点 x3( x31, x32, x33, …, x3n)的超切平面作为线性近似,以避 免中心点法的误差;2)当基本变量x3 具有分布类型的信 息时,将x3 分布在x31, x32, x33, …, x3n处以与正态分布等 价的条件变换为当量正态分布,这样可使所得的可靠指 标β与失效概率pf 之间有一个明确的对应关系,从而在 β中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正 态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对 可靠度指标进行精度较高的近似计算,求得满足极限状 态方程的“验算点”设计值,便于根据规范给出的标准 值计算分项系数,以便于工作人员采用惯用的多系数表 达式。
结构的可靠度和极限状态方程
能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该
功能的极限状态。极限状态实质上是区分结构可靠与
失效的界限。
极限状态分为两类：
承载能力极限状态
—— 安全性
正常使用极限状态 —— 适用性、耐久性
通常对结构构件先按承载能力极限状态进行承载能力计算，然后根据 使用要求按正常使用极限状态进行变形、裂缝宽度或抗裂等验算。
抗力R均符合正态分布，
bz
因此结构的功能函数也
符合正态分布。如图：
Pf
结构功能函数 Z = R - S
Pf =P (S >R) =P(Z< 0)
z
Z=R- S
z Z 的平均值 z Z 的标准差
Pf
b
Z Z
R S
2 R
2 S
13
4 结构构件的可靠指标(reliability index)
Pf
2
第三章 结构设计方法
• 钢筋混凝土简支梁极限状态
表 4.1 钢筋混凝土简支梁的可靠、失效和极限状态概念
结构的功能
可靠
极限状态
失效
安全性 受弯承载力 适用性 挠度变形
M < Mu f < [f]
M = Mu f = [f]
M > Mu f > [f]
耐久性 裂缝宽度 wmax< [wmax] wmax= [wmax] wmax> [wmax]
★永久荷载G ★可变荷载Q
S CG G CQ1 Q1 ★偶然荷载（作用）
◆实际作用在结构上的荷载大小具有不定性，应当按随机变量， 采用数理统计的方法加以处理。这样确定的荷载是具有一定 概率的最大荷载值，该值称为荷载标准值（符号Gk，Qik）。
结构可靠性设计基础教案_第1章_概述
完成预定功能的能力。包括安全性、适用性和耐久性三项要
求。 • 结构可靠度是结构可靠性的概率度量，其定义是：结构在规
定的时间（设计使用年限）内，在规定的条件下（正常设计、
正常施工、正常使用维护），完成预定功能的概率，称为结 构可靠度。 必须指出：结构可靠度与使用年限长短有关，结构可靠 性设计标准所指的结构可靠度或结构失效概率，是对结构的 设计使用年限而言的，当结构的使用年限超过设计使用年限 后，结构失效概率可能较设计预期值增大。
1. 1 引言
1. 工程结构的定义
• 工程结构在相当长的使用期内，需要安全地承受各 种使用荷载，经受气象作用，以及波浪、地震等自 然作用。它们的安全与否，不但影响工农业生产， 而且还关系到人身安危。 • 对结构的要求：结构及其构件具备在各种外加作用 下防止破坏倒塌、保护人员财产不受损失的能力。
• 特别是对一些重要的纪念性建筑物，作为一个划时 代的文化特征，将流传后世，对安全、适用、美观、 耐久等方面，还有更高的要求。
1. 1 引言
3.结构设计计算的两个方面
KS ≤R 以受弯构件为例，其一般表达式为 M≤Mp/K 式中： Mp—— 截面破坏时的抵抗弯矩 K —— 构件承载力安全系数 M —— 标准荷载作用下的截面弯矩。
1. 1 引言
3.结构设计计算的两个方面
工程实测 实践经验 可靠性 结构设计 统计数据 经济性 数学理论 实验数据 专家系统
1. 3结构可靠性的基本概念及基本术语
1.3 结构可靠的基本概念及基本术语
结构的可靠性与可靠度 设计使用年限与设计基准期 结构的功能要求 设计状况 作用和作用效应 结构抗力 极限状态 极限状态方程
1.3 结构可靠的基本概念及基本术语
结构构件可靠度的计算方法
2. 方法二 将X空间的相关量转换到标准正态U空间 将随机变量标准化
Ui
=
Xi − µXi σ Xi
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.2 可靠指标求解
1. 方法一
l 假定构件功能函数（非线性）
Z = g(X ) = g(X1, X 2 ,L, X n )
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
+
µ
2 fy
µW2
δ
2 W
= 25920.9（N·m）
σ Z2 ≈
σ2 fy
+
128800 µW2
2
σ
2 W
=
µ δ 2 2 fy fy
+
128800 µW
2
δ
2 W
= 27191968.7（Pa）
(4) 计算可靠指标
β1
=
µZ1 σ Z1
=
103043.8 25920.9
=
3.975
β2
=
µZ 2 σZ2
分析时，仅保留随机变量的一次项。 - 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的均
值和方差。 - 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.
1
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
n
∑ Z = g( X ) = a0 + a1x1 + a2 x2 + L + an xn = a0 + ai xi i =1
(6) 计算灵敏性系数（第一组参数）
αR =
∑
∂g ∂R
− ∂g ∂R
P*σ R
结构可靠度常用计算方法分析
结构可靠度常用计算方法分析作者：孙虎来源：《山东工业技术》2017年第19期摘要：上世纪四十年代以来，工程技术人员逐渐意识到，在结构设计中，必需引入考虑不确定因素的可靠性模型。
卡宾奇在研究荷载及材料强度的离散性时，采用统计数学的方法，进而使概率方法在结构设计中得以应用。
本文主要对可靠度计算的常用方法进行了总结。
关键词：结构可靠度；方法；概率；可靠性DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.19.2430 前言在对结构的可靠性进行分析时，可将其分为确定结构的失效模式和计算结构发生的失效概率。
可靠性分析的目的之一是计算失效概率，而可靠性分析是以确定失效模式以及建立各个失效模式的极限状态方程为基础的。
只有在变量间的函数关系已知时，才可以应用解析或数值方法计算失效概率。
1 一次二阶矩法仅考虑随机变量标准差和平均值来衡量结构可靠度大小的“二阶矩模式”，先后由迈尔、巴斯勒、尔然尼采和康奈尔[1]提出过，但这种模式是在康奈尔提出之后才得到重点关注。
现在，对结构可靠度影响因素的研究还停留在较浅的层面上，这也是由于随机变量的概率分布和参数难以准确确定。
通常依据概率论与数理统计的理论方法，并结合大量的数据样本对数据进行分析计算，可以得到随机变量的一阶矩和二阶矩。
一次二阶矩法的主要思想是，虽然随机变量的分布类型无法确定，但根据其平均值和标准差的概率分布类型可以求解可靠指标。
一次二阶矩法是对功能函数进行泰勒级数展开，并对展开式取常数项和一次项，让极限状态方程得以线性化，进而计算其可靠指标。
计算结构可靠度的一次二阶矩方法通常根据线性化点的选取，可分为以下两种方法：2 JC法任意分布下的任意相互独立的随机变量来计算求解结构的可靠指标时，均可以使用JC 法，这种方法是由拉克维茨和菲斯勒[2]提出来的。
后因这种方法被国际安全度联合委员会（JCSS）采用，因此又称为JC法。
我国分别于2001、1999年颁发的《建筑结构可靠度设计统一标准》和《公路工程结构可靠度设计统一标准》中在计算结构或构件的可靠度时就规定采用此法。
结构可靠度分析
Pf min Pfi
i1, n
对于超静定结构，当结构失效形态唯一时，结构体系的可 靠度总大于或等于构件的可靠度；当结构失效形态不唯一时， 结构每一失效形态对应的可靠度总大于或等于构件的可靠度， 而结构体系的可靠度又总小于或等于结构每一失效形态所对应 的可靠度。
（3）串-并联模型
在延性构件组成的超静定结构中，若结构的最终失效形态不 限于一种，则这类结构系统可用串 -并联模型表示。
* 多失效形态的超静定结构的失效分析——串-并联模型。 * 由脆性构件组成的超静定结构，其并联子系统可简化为一个
元件——串联模型。(当一个元件发生破坏，就可近似认为整个结构破坏)
中心点法的优缺点
优点： 计算简便，可靠指标β具有明确的物理概念和几何意义。 缺点： （1）中心点法建立在正态分布变量基础上，没有考虑有关基本 变量分布类型的信息。 （2）当功能函数为非线性函数时，因该方法在中心点处取线性
近似，由此得到的可靠指标β将是近似的，其近似程度取决于线
性近似的极限状态曲面与真正的极限状态曲面之间的差异程度。
当结构的功能函数为非线性函数时：
结论2：当X=[X1，X2，…，Xn]T为独立正态随机向量时，可靠指 标β的绝对值近似等于在标准化空间中原点到过极限状态非线性 曲面上某点（常取为均值点）切面的距离。
结论3：当X=[X1，X2，…，Xn]T为独立正态随机向量时，且在X 的标准化空间中极限状态曲面为单曲曲面，则用原点到极限状态 曲面的最短距离代替可靠指标所产生的误差最小。 （见图9-5）
构件失效性质的不同，对结构体系可靠度的影响也不同。
2、结构体系的失效模型
组成结构的方式（静定、超静定） 构件失效性质（脆性、延性）
三种基本失效模型：串联模型、并联模型、串-并联模型。
结构可靠度与可靠指标
率 变Z 量 Z的R2 概率S2。密度函数为
4.1 结 构
fZ (z)
1
2 Z
exp
1 2
z
mZ
Z
2
，
z
可
z
(4-8)
靠 其分布如图4-1所示。
度
与
fZ (z)
失
效
概
Pf
Pr(非阴影部分面积）
率
Z
Z < 0 失效
mz
Z < 0 安全
4.1
根据定义，结构失效概率Pf就等于
结 图4-1所示的阴影面积，而非阴影面积(Z
率 概率。
4.1
设结构承载能力功能函数为
结
Z = g(R，S) = R – S
(4-6)
构
可 相应的极限状态方程为
靠
Z=R–S=0
(4-7)
度
与 式中R称为结构抗力(结构抗力是指结构
失 抵抗破坏或变形的能力，如极限内力、
效 极限强度、极限刚度以及抗滑力、抗倾
概 力矩等)；S称为荷载效应(荷载效应是指 率 由荷载引起的结构构件的内力、位移等)。
可
于失效状态；
靠 度
当Z = 0时，结构处于临界状态，或称 为极限状态。
与
失 相应地，方程
效 概
Z = g(X1，X2，…，Xn) = 0 (4-2)
率 称为结构的极限状态方程。
4.1
结构功能函数出现小于零（Z < 0）
结 的概率称为结构的失效概率，用Pf表示。
构 设结构的功能函数式(4-1)已知，则失效
度
Z = g(X1，X2，…，Xn)
(4-1)
与
【结构设计】结构可靠度分析与计算.pdf
第9章 结构可靠度分析与计算 教学提示：本章介绍了结构可靠度的基本原理和基本分析方法。
并在此基础上，简述了相关随机变量的结构可靠度和结构体系的可靠度分析及计算方法。
教学要求：学生应掌握结构可靠度基本概念，熟悉结构可靠度常用的计算方法。
9.1 结构可靠度的基本概念9.1.1 结构的功能要求和极限状态工程结构设计的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足设计所预期的各项功能。
《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB 50068—2001)规定，结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。
(1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。
(2) 在正常使用时具有良好的工作性能。
(3) 在正常维护下具有足够的耐久性能。
(4) 在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。
上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的耐久性要求。
这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为50年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用性和耐久性)的能力。
显然，增大结构设计的余量，如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量，或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但这将使结构造价提高，不符合经济的要求。
因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做到经济合理。
整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。
极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。
极限状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。
(1) 承载力极限状态。
这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形。
结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。
结构可靠度计算方法(一次二阶矩)
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
一、基本概念
西南交通大学
3 Southwest Jiaotong University
1、解决的问题
现代的结构可靠度理论是以概率论 和数理统计学为基础发展起来的，要解 决的中心问题是围绕着怎样描述和分析 可靠度，以及研究影响可靠度各基本变 量的概率模型。
➢对于非线性功能函数，均值点一般在可靠区 内，而不在极限边界上；
➢选择不同极限状态方程（数学表达式不同， 同样物理含义），得到的可靠指标不同。例 如：p30例3-1。
▪ 适用条件：结果比较粗糙，适用于可靠度要求
不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限
状态的可靠度分析。
16
5、举例
[例题1] 设X1,X2,…,Xn是结构中n个相互
1、验算点法（JC法）
JC法是Hasofer, Lind, Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的验算点法。
适用于随机变量为非正态分布的结构可靠指标 的计算。
泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的 可靠度，因此称为一次二阶矩。
7
s o u t h w e s t j I a o t o n g w nIversIty
二、一次二阶矩理论的中心点法
西南交通大学
8 Southwest Jiaotong University
1、一次二阶矩中心点法
中心点法是结构可靠度研究初期提出的 一种方法。
g(X1 , X2 , , Xn )
2 ZL
E
ZL
E
ZL
2
n i 1
g X i
2
可靠性讲稿(2.2可靠性的基本公式)
S = S ( xS1 , xS2 ,..., xS j )
结构可靠度的基本表达式
以应力和强度为基本变量求失效概率的应力-强 以应力和强度为基本变量求失效概率的应力 强 度干涉模型(stress-strength interference model) 度干涉模型
确定P r 需研究应力和强 度两个变量一个超过另 一个的概率
Pr = P {Z > 0}
= P { g ( R , S ) > 0}
求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 求得功能函数分布后再求失效概率的模型: 概率密度函数 应力 强度
fs (S )
f R ( R)
分布函数
FS ( S )
FR ( R)
方法2: 方法 :
Pr = P ( Z > 0 ) = ∫ f Z ( Z ) dZ
0
∞
R和 S 独立
=
∫ ∫
0
∞
∞
∞
f R ( Z + S ) f S ( S ) dSdZ
以强度-应力比为功能函数 以强度 应力比为功能函数: g ( R, S ) = R / S 应力比为功能函数
fZ ( z) =
ln R ln S
19.8 18.81 = ≈ 4.466 0.00995 + 0.0392
Pr = Φ ( β ) ≈ 1 0.4 × 10 5
Pr (对数正态) < Pr (正态)
结论:
采用对数正态分布假设, 采用对数正态分布假设,结构具有较高的失效概率和较低 的结构可靠度, 对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 情况下的可靠度计算结果偏保守 的结构可靠度,即对数正态情况下的可靠度计算结果偏保守. 但在工程上仍常用正态分布, 但在工程上仍常用正态分布,因正态分布所提供模型与现实较 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果( 吻合,且工程设计中一般都使用保守的分析结果(如设计分析 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时, 中通常假设施于结构的实际应力超过材料的屈服极限时,就认 为结构失效,这已偏保守.) 为结构失效,这已偏保守.)
结构可靠度常用计算方法分析
结构可靠度常用计算方法分析上世纪四十年代以来，工程技术人员逐渐意识到，在结构设计中，必需引入考虑不确定因素的可靠性模型。
卡宾奇在研究荷载及材料强度的离散性时，采用统计数学的方法，进而使概率方法在结构设计中得以应用。
本文主要对可靠度计算的常用方法进行了总结。
标签：结构可靠度；方法；概率；可靠性0 前言在对结构的可靠性进行分析时，可将其分为确定结构的失效模式和计算结构发生的失效概率。
可靠性分析的目的之一是计算失效概率，而可靠性分析是以确定失效模式以及建立各个失效模式的极限状态方程为基础的。
只有在变量间的函数关系已知时，才可以应用解析或数值方法计算失效概率。
1 一次二阶矩法仅考虑随机变量标准差和平均值来衡量结构可靠度大小的“二阶矩模式”，先后由迈尔、巴斯勒、尔然尼采和康奈尔[1]提出过，但这种模式是在康奈尔提出之后才得到重点关注。
现在，对结构可靠度影响因素的研究还停留在较浅的层面上，这也是由于随机变量的概率分布和参数难以准确确定。
通常依据概率论与数理统计的理论方法，并结合大量的数据样本对数据进行分析计算，可以得到随机变量的一阶矩和二阶矩。
一次二阶矩法的主要思想是，虽然随机变量的分布类型无法确定，但根据其平均值和标准差的概率分布类型可以求解可靠指标。
一次二阶矩法是对功能函数进行泰勒级数展开，并对展开式取常数项和一次项，让极限状态方程得以线性化，进而计算其可靠指标。
计算结构可靠度的一次二阶矩方法通常根据线性化点的选取，可分为以下两种方法：2 JC法任意分布下的任意相互独立的随机变量来计算求解结构的可靠指标时，均可以使用JC法，这种方法是由拉克维茨和菲斯勒[2]提出来的。
后因这种方法被国际安全度联合委员会（JCSS）采用，因此又称为JC法。
我国分别于2001、1999年颁发的《建筑结构可靠度设计统一标准》和《公路工程结构可靠度设计统一标准》中在计算结构或构件的可靠度时就规定采用此法。
这种方法不仅计算过程简单，而且其计算精度可以达到工程实际的要求。
结构可靠度
1.什么是可靠度?结构的可靠度指的是结构或构件在规定的时间内，在规定的条件下具备预定功能的概率。
2.规定时间是什么?这里规定的时间，指的是结构的设计基准期。
3.安全系数法的定义。
在容许应力法和按破坏阶段设计法中，为了保证结构设计的安全，都引入大于1的安全系数K 。
这种设计方法简称为安全系数法。
4.安全系数法的特点。
1.由于安全系数是根据经验进行粗略确定的数值，结果使结构设计非常粗糙。
2.安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度。
3.加大结构的安全系数，不一定能过按比例的增加结构的安全度。
5.结构可靠度方法的特点。
1.所有的结构都有破坏的可能性 2.与结构相关的变量都是随机变量3.结构设计的出发点：结构抗力大于荷载效应 6.结构可靠度分析的目的是？1.已知结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠度，校核结构的可靠度。
2.校核现行规范，给出规范中有关系数所对应的安全水准。
3.在给定目标可靠度指标下，计算现行规范设计式中的系数（即分项系数），得出具有心的分项系数下的设计表达式，以供设计使用。
7.结构的功能是什么？1.能承受在施工和使用期内可能出现的各种作用；2.在正常使用时具有良好的工作性能；3.具有足够的耐久度；4.在偶然时间发生时及发生后，能保持整体稳定性。
8.结构的极限状态是？结构整体或部分在超过某状态时，结构就不能满足设计规定的某一功能的要求的这种状态，称为结构的极限状态。
可以分为承载力极限状态，正常使用极限状态，逐渐破坏极限状态。
9.什么是统计独立？如果两个时间E1与E2中任一事件的发生，不影响另一事件的概率，那么称他们在统计上是独立的。
10.3Ơ法则1.随机变量落在正负σ内的面积Ω=0.683，实际上表示落在这个范围内的概率。
2.随机变量落在正负2σ内的面积Ω=0.954，实际上表示落在这个范围内的概率。
3.随机变量落在正负3σ内的面积Ω=0.997，实际上表示落在这个范围内的概率。
结构可靠度分析作业 受弯构件可靠指标计算
结构可靠度分析作业一、计算题目某受弯构件的极限状态方程为：0S S R )S ,S ,R (G Z Q G Q G =--==，其中：R 、G S 、Q S 分别为受弯构件的抗力、永久作用效用和可变作用效应。
R 服从对数正态分布，其中平均值R μ=155.7，变异系数R δ=0.15，G S 服从正态分布，平均值SG μ=30，标准差SG σ=3.3，Q S 服从极值I 型分布，平均值SQ μ=40，标准差SQ σ=6.0。
求受弯构件的可靠指标β。
二、计算过程1）建立极限状态方程：0S S R )S ,S ,R (G Z Q G Q G =--==2）初步假定验算点*P 坐标xi *i X μ=，其中i=1，2，3。
即得：7.155R R *=μ=，30S SG *G =μ=，40S SQ *Q =μ=3）对非正态变量R 和Q S 进行当量正态化处理:① 对非正态变量R 进行当量正态化处理：)1/ln(2R R R ln δ+μ=μ，)1ln(2R R ln δ+=σ， ))1/ln(R ln 1(R 2R R **R δ+μ+-=μ'① 对非正态变量Q S 进行当量正态化处理：SQ 2/C σ=α，其中28255.1C 2=α-μ=β/57722.02SQ ，)}}2-S (exp{-exp{-)S (F *Q *Q βα=，)}}2S (exp{exp{)}2S (exp{)S (f *Q *Q *Q β-α--β-α-α=，))}S (F ({)S (f /1*Q 1*Q Q S -'Φϕ=σ，Q S *Q 1*Q Q S ))S (F (S '-'σΦ-=μ① 对于正态变量G S 而言：SG G S μ=μ'，SG G S σ=σ'4）计算各变量的方向余弦：2/131i 2i X *P i X *P Xi })Xi g (/{Xig cos ∑=''σ∂∂-σ∂∂-=θ， R R *P R g'σ=σ∂∂，G S SG *P G S g'σ-=σ∂∂，Q S SQ *P Q S g'σ-=σ∂∂5）求β值：)cos cos cos /()(SQ Q S SG G S R R Q S G S R θσ-θσ-θσμ+μ+μ-=β''''''。
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R 1kN / cm
2 （3）
R 14kN / cm2
R 1kN / cm 2
S 1/ 5kN / cm2 S 服从指数分布，分布参数： S 1/ 5kN / cm2
计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。
3.1 均值一次二阶矩法
Pf 可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越
大，也即结构的安全性越高。 设计验算点：
g X i g i 1 X i
n
X Xi i Xi
* i
i
Xi
P*
Xi * P
2
一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极 限状态方程表示的失效面上。
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 非线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g ( X ) g ( X1 , X 2 , , X n )
Xi X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
2. 功能函数泰勒级数展开
Xi 和
。
将Z在各变量的均值点 M (X , X , , X ) 处展开成泰勒级数， 并取线性项 n g Z g ( X1 , X 2 , , X n ) ( X i X i ) X i ( , , , ) i 1
P
* f
0.981 1.373 1.765 0.1381 0.0926 0.0620
b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指 标计算失效概率，其误差大，也即是 Pf 不成立。 c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程 表示的失效面。
3.1 均值一次二阶矩法
例 3.2
假定钢梁承受确定性的弯矩M＝128.8kN· m。钢梁截面的塑 性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。 已知fy的均值和变异系数分布为 f 262 MPa和 f 0.1；W y
y
的均值和变异系数分布为 W 884.9 10 6 m3和 W 0.05。试 求构件抗弯可靠指标。
1 2
2
a
i 1 i Xi
n
2
Z g ( X , X , 可靠指标： Z n
g i 1 X i
M
, Xn ) Xi
2
g (M )
a
i 1 i Xi
n
2
3.1 均植的一次二阶矩法 一般情况下，下式不成立
计算过程:
(1) 计算结构构件截面强度的功能函数的特征值
Z R S
2 2 Z R S
(2) 计算结构构件截面强度的可靠指标
R S Z 2 2 Z R S
1
Z 1 R1 S 0.981 2 2 Z R S
2 1.373
(3)计算功能函数的均值和标准差 均值：
Z f W 128800 103043.8 （N· m）
1 y
Z f
2 y
128800
W
116446830.2 （Pa）
Z f
2 y
128800 1164468301 .5
W
3.1 均值一次二阶矩法
Z g ( P* ) ( X i xi* )
i 1
n
g X i
X P*
g ( P* ) 0
g Z (Xi x ) X i i 1
n * i
X P*
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
可靠指标计算
g mZ (mX i x ) X i i 1
3 1.765
3.1 均值一次二阶矩法 (3) 计算结构构件截面强度的失效概率
Pf ( ) 1 ( )
Pf 1 1 ( 1 ) 0.1653
Pf 2 0.0853
Pf 3 0.0381
(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率
Pf
2
2
(4) 计算可靠指标
Z 1 103043.8 1 3.975 Z 1 25920.9
Z 2 116446830.2 2 4.283 Z 2 27191968.7
| 1 2 | err 100% 7.46% ( 1 2 ) / 2
n
式中：ai (i 0,1, 2, , n) 是常系数； X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 X i 和 Xi 。
2. 功能函数的概率特征值
Z a0 ai X
i 1
n
i
Z
a
i 1 i Xi
n
2
3.1 均值一次二阶矩法
可靠指标：
标准差：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 （N· m） Z W 2 f f W W f f f W W 25920.9
1 y y y y y
Z 2 f 2 W
2 y
128800 2 128800 2 2 2 （Pa） fy fy W W 27191968.7 W
(5) 总结 同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果 差别达7.46%。
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.4 均值一次二阶矩法的特点
1. 优点 计算简单。 不要求随机变量的概率分布。 2. 缺点 当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是 不准确的。 在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度 影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高， 可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低， 可靠指标计算的精度越高， 同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的 原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能 函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函 数拟合真实功能函数的精度不一样。
计算过程:
(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态
3.1 均值一次二阶矩法
（N· m） Z1 Wf y M Wf y 128800
b、材料屈服应力极限状态。
Z2 f y M 128800 （Pa） fy W W
(2)对功能函数在均值点进行线性化
Z1 f y W 128800 w ( f y f y ) f y (W W ) 128800 128800 Z2 fy ( f y fy ) (W W ) 2 W W
* f1
100% 19.70%
err2 7.88%
err3 38.55%
3.1 均植的一次二阶矩法 (6) 计算灵敏性系数（第一组参数）
i
g R g R
2 P* R
g X i g i 1 X i
n
2
P*
X
i
P* X
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.2 可靠指标求解
1. 方法一 假定构件功能函数（非线性） Z g ( X ) g ( X1 , X 2 ,
, Xn )
X i是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为 X i 和 X i 。
功能函数泰勒级数展开
* * 将Z在各变量的设计验算点 P* x1* , x2 处展开成泰勒级数， ,..., xn 并取线性项
Z Z
a0 ai X i
i 1
n
a
i 1 i Xi
n
2
根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布
Pf ( )
– –
什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？ 设计验算点：
X i 1 n
第三章 结构构件可靠度计算方法
3.2 改进的一次二阶矩法
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.1 基本概念
* * g ( X1 , X2 , * , Xn ) 0
改进均值一次二阶法的不足
非正态随机变量的当量正态化
* * 在极限状态曲面 g ( X ) 0 寻找验算点 P* x1* , x2 ，并在 ,..., xn 此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩， 采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效 概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使 用，又称JC法。
g ( X *) 0
3.1 均值一次二阶矩法
例 3.1
结构构件截面强度的功能函数为
Z RS
其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力。
R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：
（1）
R 10kN / cm2
R 1kN / cm
2
（ 2）
R 12kN / cm 2
3.1.1 基本概念
- 均值点或中心点:非线 性功能函数的泰勒级 数的均值展开点
S
S
●
均值点
R
R
- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算 分析时，保留随机变量的一次项和常数项。
f ' ' ( x0 ) f n ( x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ... ( x x 0 ) n Rn 2! n!
n * i
X P*
2
g X i 1 i
2 Z n 2 Xi
X P*
Z