结构构件可靠度的计算方法

标准差：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 （N· m） Z W 2 f f W W f f f W W 25920.9
1 y y y y y
Z 2 f 2 W
2 y
128800 2 128800 2 2 2 （Pa） fy fy W W 27191968.7 W
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 非线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g ( X ) g ( X1 , X 2 , , X n )
Xi X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为
2. 功能函数泰勒级数展开
Xi 和
。
将Z在各变量的均值点 M (X , X , , X ) 处展开成泰勒级数， 并取线性项 n g Z g ( X1 , X 2 , , X n ) ( X i X i ) X i ( , , , ) i 1
3.1.1 基本概念
- 均值点或中心点:非线 性功能函数的泰勒级 数的均值展开点
S
S
●
均值点
R
R
- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算 分析时，保留随机变量的一次项和常数项。
f ' ' ( x0 ) f n ( x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ... ( x x 0 ) n Rn 2! n!
R* R R R 9.808
S * S s s 9.712
3.1 均植的一次二阶矩法 (8) 演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）
g R * S * 0.096 0
(9) 总结 a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率 越大，也即结构的安全性越高。
例 3.2
假定钢梁承受确定性的弯矩M＝128.8kN· m。钢梁截面的塑 性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。 已知fy的均值和变异系数分布为 f 262 MPa和 f 0.1；W y
y
的均值和变异系数分布为 W 884.9 10 6 m3和 W 0.05。试 求构件抗弯可靠指标。
n
式中：ai (i 0,1, 2, , n) 是常系数； X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为 X i 和 Xi 。
2. 功能函数的概率特征值
Z a0 ai X
i 1
n
i
Z
a
i 1 i Xi
n
2
3.1 均值一次二阶矩法
可靠指标：

第三章 结构构件可靠度计算方法
3.2 改进的一次二阶矩法
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.1 基本概念
* * g ( X1 , X2 , * , Xn ) 0
改进均值一次二阶法的不足
非正态随机变量的当量正态化
* * 在极限状态曲面 g ( X ) 0 寻找验算点 P* x1* , x2 ，并在 ,..., xn 此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩， 采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效 概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使 用，又称JC法。
(5) 总结 同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果 差别达7.46%。
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.4 均值一次二阶矩法的特点
1. 优点 计算简单。 不要求随机变量的概率分布。 2. 缺点 当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是 不准确的。 在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度 影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高， 可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低， 可靠指标计算的精度越高， 同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的 原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能 函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函 数拟合真实功能函数的精度不一样。
2 R R 1 2 2 exp 2 R R 1 2 R
Pf*1 0.1381
Pf*2 0.0926
Pf*3 0.0620
(5) 两种方法计算失效概率的误差
err1 | Pf*1 Pf 1 | P
1 2
2
a
i 1 i Xi
n
2
Z g ( X , X , 可靠指标： Z n
g i 1 X i
M
, Xn ) Xi
2

g (M )
a
i 1 i Xi
n
2
3.1 均植的一次二阶矩法 一般情况下，下式不成立
Z g ( P* ) ( X i xi* )
i 1
n
g X i
X P*
g ( P* ) 0
g Z (Xi x ) X i i 1
n * i
X P*
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
可靠指标计算
g mZ (mX i x ) X i i 1
R 1kN / cm
2 （3）
R 14kN / cm2
R 1kN / cm 2
S 1/ 5kN / cm2 S 服从指数分布，分布参数： S 1/ 5kN / cm2
计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。
3.1 均值一次二阶矩法
* f1
100% 19.70%
err2 7.88%
err3 38.55%
3.1 均植的一次二阶矩法 (6) 计算灵敏性系数（第一组参数）
i
g R g R
2 P* R
g X i g i 1 X i
n
2
P*
X
i
P* X
1 2 n
X1
X2
Xn
g g (M ) ( X i x ) X i i 1
n * i
M
3.1 均值一次二阶矩法 3. 功能函数的概率特征值 Z g (X1 , X 2 ,
, Xn )
g Z i 1 X i
n
Xi M g 式中：ai X i M
3 1.765
3.1 均值一次二阶矩法 (3) 计算结构构件截面强度的失效概率
Pf ( ) 1 ( )
Pf 1 1 ( 1 ) 0.1653
Pf 2 0.0853
Pf 3 0.0381
(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率
Pf
i

2
R
g P* R S
P* s
0.1961
S
g R
g S
2
P*
s
P* s
2
g P* R S
0.9806
(7) 计算验算点（第一组参数）
X i* Xi i Xi

P
* f
0.981 1.373 1.765 0.1381 0.0926 0.0620
b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指 标计算失效概率，其误差大，也即是 Pf 不成立。 c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程 表示的失效面。
3.1 均值一次二阶矩法
Pf 可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越
大，也即结构的安全性越高。 设计验算点：
g X i g i 1 X i
n
X Xi i Xi
* i
i
Xi
P*
Xi * P
2
一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极 限状态方程表示的失效面上。
n * i
X P*
2

g X i 1 i
2 Z n 2 Xi
X P*
Z
mZ

* ( m x Xi i ) i 1 n
g ( X *) 0
3.1 均值一次二阶矩法
例 3.1
结构构件截面强度的功能函数为
Z RS
其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力。
R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：
（1）
R 10kN / cm2
R 1kN / cm
2
（ 2）
R 12kN / cm 2
பைடு நூலகம்
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.2 可靠指标求解
1. 方法一 假定构件功能函数（非线性） Z g ( X ) g ( X1 , X 2 ,
, Xn )
X i是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为 X i 和 X i 。
功能函数泰勒级数展开
* * 将Z在各变量的设计验算点 P* x1* , x2 处展开成泰勒级数， ,..., xn 并取线性项
2
2
(4) 计算可靠指标
Z 1 103043.8 1 3.975 Z 1 25920.9
Z 2 116446830.2 2 4.283 Z 2 27191968.7
| 1 2 | err 100% 7.46% ( 1 2 ) / 2
Z Z
a0 ai X i
i 1
n
a
i 1 i Xi
n
2
根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布
Pf ( )
– –
什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？ 设计验算点：
X i* Xi i Xi
i
ai
2 a i i 1 n
(3)计算功能函数的均值和标准差 均值：
Z f W 128800 103043.8 （N· m）
1 y
Z f
2 y
128800
W
116446830.2 （Pa）
Z f
2 y
128800 1164468301 .5
W
3.1 均值一次二阶矩法
第三章 结构构件可靠度计算方法
第三章 结构构件可靠度计算方法
主要内容：
3.1 均值一次二阶矩法
3.2 改进的一次二阶矩法
3.3 响应面法 3.4 优化法
3.5 蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法
第三章 结构构件可靠度计算方法
3.1 均值一次二阶矩法
3.1 均值一次二阶矩法
计算过程:
(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态
3.1 均值一次二阶矩法
（N· m） Z1 Wf y M Wf y 128800
b、材料屈服应力极限状态。
Z2 f y M 128800 （Pa） fy W W
(2)对功能函数在均值点进行线性化
Z1 f y W 128800 w ( f y f y ) f y (W W ) 128800 128800 Z2 fy ( f y fy ) (W W ) 2 W W
- 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二 阶矩。
- 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g ( X ) a0 a1 x1 a2 x2
an xn a0 ai xi
i 1
计算过程:
(1) 计算结构构件截面强度的功能函数的特征值
Z R S
2 2 Z R S
(2) 计算结构构件截面强度的可靠指标
R S Z 2 2 Z R S
1
Z 1 R1 S 0.981 2 2 Z R S
2 1.373