人口预测与数据曲线拟合

format long
t1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187 0;1880];
t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197 0;1980];
x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50 .2];
a= -49.79535457790735 b=0.02859807120038
拟合曲线 原始数据曲线
仿真结果表明： 人口增加的指 数模型在短期 内基本上能比 较准确地反映 人口自然增长 的规律，但长 期预测误差很 大，需要修正 预测模型。
四、人口预测的Logistic模型
如果人口的增长符合Malthus模型，则当 t , x(t) 即最终导致地球上人口爆炸，这与实际是不相符的。

10a 10 ti i1
10 ti i1
a
b 10 ln xi i1
10 ti2 b 10
i1
i 1源自文库
0
ln xi ti

0
即得参数a,b 的值.
% This program is to predict the number of population %
数学实验
Experiments in MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小赵娥小博艳士
办公地址：理科楼218
实验13 人口预测与数据拟合
实验目的
1、学会用MATLAB软件进行数
据拟合。
2、了解利用最小二乘法进行 数据拟合的基本思想，掌握 用数据拟合法寻找最佳拟合 曲线的方法。
指数函数拟合 三角函数拟合
３ 拟合函数组中系数的确定
以f ( x) a1 x a2为例, 即确定a1，a2使得
n
n
J (a1,a2 )

2 i

[a1 xi a2 ) yi ]2达到最小。
i 1
i 1
为此，只需利用极值的必要条件 J 0(k 1,2)得到关 ak
k~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(k) 0
s r k
r( x) r(1 x ) k
dx r( x)x rx(1 x )
dt
xm
例１的Logistic模型留给同学们练习
五、人口预测的多项式模型
a =1.0e+006 * -0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427
y a1 x a0
多项式： y am xm a1 x a0
双曲线（一支):
y

a1 x

a2
指数曲线：
y a1ea2x
例如 f ( x) a1 xm a2ex a3 sin( x)
多项式拟合
e1x , em x
sin( x ), cos( x ), sin(2 x ), cos(2x), sin(mx),cos(mx)
使f ( x)在观察点x1, , xn处满足f ( xi ) yi , i 1, , n,
数据插值
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１）．画图观察； ２）．理论分析
f ( x) a1r1( x) a2r2( x) amrm ( x)
常用的曲线函数系ri(x)类型：
直线：
(2) polyfit命令---多项式曲线拟合
a = polyfit(xdata,ydata,n)
其中n表示多项式的最高阶数
xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向 量的方式输入。
输出参数a为拟合多项式 y + a0的系数a = [an, …, a1,
=a0a]n。xn
+
…
+
a1x
多项式在x处的值y可用下面程序计算。
1979 1984 975.42 1034.75
1964 1969 704.99 806.71
1989 1994 1106.76 1176.74
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999 年的人口数。
y ax b 线性模型
如何确定a,b?
一、曲线拟合
于 a1 , a2的线性方程组，
n

i
1 n
2[a1
xi
a2 )
yi ]xi

0


i 1
2[a1 xi

a2 )

yi
]

0
a1 , a2
4 用matlab软件进行数据拟合
（1）lsqcurvefit命令----最小二乘拟合 a= lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) [a,resnorm]=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
++
+ y f (x)
+
0
+
+
+
x
从几何上讲，并不要求曲线严格通过已知点，但 要求曲线在各数据点和已知数据点之间的总体误 差最小，通常称为数据拟合。
而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和
n
n

2 i

[ f ( xi ) yi ]2
i 1
i 1
达到最小。
最小二乘准则
数据插值
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i 1,2, L ,n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y f (x)
是根据给定的数据xdata,ydata，按照函数 文件fun给定的函数，以x0为初值做最小二 乘拟合，返回函数中的系数向量a和残差平 方和resnorm。
例
首先编写函数文件 function y=f(a,x) f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3
保存为f.m，其次调用该函数
y = polyval (a, x)
由于高次多项式曲线变化不稳定，所以多项式次数的选取不
宜过高。
例如
clear;clc; x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]; plot(x,y,'k.','markersize',25); axis([0 1.3 -2 16]); p3=polyfit(x,y,3) p6=polyfit(x,y,6) t=0:0.01:1.2; s=polyval(p3,t); s1=polyval(p6,t); hold on plot(t,s,'r-','linewidth',2); plot(t,s1,'b--','linewidth',2); grid
二、人口预测线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得
a1 15,a2 27754 从而得到人口数与年份的函数关系为
y 15x 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i)); end for i=1:10
xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i)); end plot(t1,x1,‘r*--’, t2,x2,‘r*--’, t1,xx1,‘b+-’,t2,xx2,‘b+-’， 'linewidth',3,'markersize',10);
3、了解多元函数的极值在 数据拟合法中的应用。
4、通过对实际问题进行分 析研究，初步掌握建立数 据拟合数学模型的方法。
实验问题
据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数
1949 541.67 1974 908.59
1954 1959 602.66 672.09
x(t ) x0ert
指数增长模型
实际中，常用 xt eabt ln xt a bt
例１
美国1790年－1980年每隔10年的人口记录
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880
人口(百 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2
1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型 作了进一步分析后指出：导致上述不符合实际情况 的主要原因是未能考虑“密度制约”因素。
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数
假设 r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i 1,2, L ,n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y f (x)，
使 f (x) 在观测点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种
准则下最为接近，即曲线拟合得最好，如图
y
i + ( xi , yi )
万)
年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
人口(百 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
万)
1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。 2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。 3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人 口模型的改进情况。
x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179. 3;204.0;226.5];
lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);
a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2]; ab=inv(A)*D; disp(‘a=’);disp(ab(1)); disp(‘b=’);disp(ab(2)); for i=1:10
解：
设 xt eabt
ln(x) a bt
问题转化为求参数 a,b 使得
10
J (a,b) (a bti ln xi )2
i 1
取得最小值. 其中, ti 表示年份, xi xti 表示人口数量。
解方程组:
1 J 2 a 1 J 2 b
三、人口预测的Malthus模型
英国统计学家Malthus于1798年提出了一种关于 生物种群繁殖的指数增长模型：假设种群数量的增 长率与该时刻种群的个体数量成正比。
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t 的人口, t=0时人口数为x0
dx rx, dt x(0) x0
7]; f=inline('a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3','a','x'); a0=[0 0 0]; [a,resnorm]=lsqcurvefit(f,a0,x,y) plot(x,y,'*') hold on g=a(1)*exp(x)+a(2)*x.^2+a(3)*x.^3; plot(x,g,'r-')
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17]; a0=[0 0 0]; [x,resnorm]=lsqcurvefit(@f,a0,x,y)
也可以用inline命令定义函数
x=0:0.1:1; y=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.1
-----zhao105
红色的是原始数据曲线 蓝色的是4次多项式拟合曲线
仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能 比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预 测具有指导意义。
例2: 海底光缆线长度预测模型
某一通信公司在一次施 工中,需要在水面宽为
A
x0 0
2
6 4
8
10
12
xi 14
16
x20 18 B 20