第6章 线性回归与曲线拟合分析

r 2 b2
(x (y
i 1 i 1 n
n
i
x)
2
1 y) 2
(y
i 1 n i 1
n
i
Yi ) 2 y) 2
i
(y

L2 xy L xx L yy
。
i
由上式可知，当 y 与 x 之间存在严格的线性关系时，所有的数据点应落在回归线上，则有
yi=Yi， r2=1，当 y 与 x 之间存在相关关系时，r 值在 0 与 1 之间，r 是表示 y 与 x 相关程度的
确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、 b。
y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
6
10 8 6 4 2 0 0 5 10 ­ É À ì ± ¶ Ê ý x
7
È y ¿ ¶ Ç
15
6.2 一元回归方程的求法和配线过程
Y=a+bx； a--截距，b--斜率。
2
6.1 散点图


要研究两个变量之间是否存在相关 关系，自然要先作实验，拥有一批实验 数据，然后，作散点图，以便直观地观 察两个变量之间的关系。 合成纤维强度与拉伸倍数的关系， 24组实验。
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
à º ± Å 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ­ É À ì ¶ ±Ê ý ¿ ¶ Ç È y x kgf/cm2 1.9 1.4 2 1.3 2.1 1.8 2.5 2.5 2.7 2.8 2.7 2.5 3.5 3 3.5 2.7 4 4 4 3.5 4.5 4.2 4.6 3.5 à º ± Å 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ­ É À ì ¶ ±Ê ý ¿ ¶ Ç È y x kgf/cm2 5 5.5 5.2 5 6 5.5 6.3 6.4 6.5 6 7.1 5.3 8 6.5 8 7 8.9 8.5 9 8 9.5 8.1 10 8.1
i 1 i 1 n
i 1 n
n
Y=a+bx
L xx ，
a y bx 。
这就是说回归直线一定通过（x , y ）这一点， 即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
6.3 回归方程的相关系数

因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有
无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数
检验法。
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由于 Yi a bx i ，
y a bx ， 则 y Yi b ( x x i ) ， y i Yi ( y i y ) b ( x i x ) ，
2 ( y Y ) i i ( yi y ) b( xi x ) ， i 1 i 1 n n 2
经变换、化简，
(y
i 1
n
i
Yi ) ( y i y ) b
2 2 i 1
n
2
(x
i 1
n
i
x) ，
2
(y
i 1 n i 1
n
i
Yi )
2
(y
1 b2
(x (y
i 1 i 1 n
n
i
x)2
，
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i
y) 2
i
y) 2
令相关系数 r 等于下式，
b
n
( xi x )( yi y )
i 1
( xi x )2
i 1
n
，
a y bx
。
若以 L 代表离差，
Lxx ( xi x ) 2 ， L yy ( y i y ) 2 ， Lxy ( xi x )( y i y ) 。
b L xy
2 i
i 1 i 1 n n
使 Q 值最小，只需将上式对 a， b 求偏微分，并令其为零， n Q 2 ( y i a bxi ) 0 ， a i 1 n Q 2 ( y i a bxi ) x i 0 。 b i 1 将上二式求解并简化即可求出 a， b。
即实验点（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，…， （ xn， yn） 并不一定落在回归直线上。 每个实验点（ xiy ， yi）相对于回归直线存在着误差 y Y ( a bx )
i i i i
，
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
Q ( y i Y ) = ( y i a bxi ) 2 ，
第6章 线性回归与曲线拟合
1
线 性 回 归


y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
8
求计算值与实验值的误差
当 x 为 x1， x2，…， xn 时，则相应有
Y1=a+bx1， Y2=a+bx2，
…
Yn=a+bxn。
这些 Y1， Y2，…， Yn 是回归方程计算值， 由于在实际测定过程中存在着实验误差 ，因此，相应于 x1， x2， …， xn 就有实际测定值
y1， y2…， yn， y1， y2…， yn 与 Y1， Y2，…， Yn 是不等同的，
一个系数，它的符号取决于回归系数 b 的符号，若 r＞0，则称 x 与 y 正相关，y 随着 x 的增加 而增加；若 r＜0，则称 x 与 y 负相关，y 随 x 的增加而减小。R 的绝对值越接近于 1，x 与 y 的线性关系越好，当 x 与 y 之间没有任何依赖关系时， r=0。
4
10 8
È y ¿ ¶ Ç
6 4 2 0 0 5 ­ É À ì ± ¶ Ê ý x
5
10
15
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。