第6章 线性回归与曲线拟合分析
sup曲线拟合与回归分析 ppt课件
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
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線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
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線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
(整理)第6章回归分析
第6章回归分析变量之间的联系可以分为两类，一类是确定性的，另一类是非确定性的。
确定型的关系是指某一个或某几个现象的变动必然会引起另一个现象确定的变动，他们之间的关系可以使用数学函数式确切地表达出来，即y=f(x)。
当知道x的数值时，就可以计算出确切的y值来。
如圆的周长与半径的关系：周长=2πr。
非确定关系则不然，例如，在发育阶段，随年龄的增长，人的身高会增加。
但不能根据年龄找到确定的身高，即不能得出11岁儿童身高一定就是1米40公分。
年龄与身高的关系不能用一般的函数关系来表达。
研究变量之间既存在又不确定的相互关系及其密切程度的分析称为相关分析。
如果把其中的一些因素作为自变量，而另一些随自变量的变化而变化的变量作为因变量，研究他们之间的非确定因果关系，这种分析就称为回归分析。
在本章，我们将讲解回归分析有关的内容，而在下一章，我们将讲解相关分析的具体操作方法。
在SppS 10.0 For windows中回归分析分为以下几种：（主要讲前三种）●Linear：线性回归分析（data09-03）●Curve Estimation：曲线回归分析（data13-01）●Binary Logistic：二维 Logistic回归分析（data13-02）●Multinomial Logistic：多维Logistic回归分析●Ordinal：Ordinal回归分析●Proibit：概率单位回归分析●Nonlinear：非线性回归分析●Weight Estimation: 加权估测分析●2-Stage Least Squares: 两阶最小二乘分析8.1线性回归（data09-03）一元线性回归方程（卫生统计114～121页）直线回归分析的任务就是根据若干个观测（Xi，yi）i=1～n找出描述两个变量X、y之间关系的直线回归方程y^=a+bx。
y^是变量y的估计值。
求直线回归方程y^=a+bx,实际上是用回归直线拟合散点图中的各观测点。
回归与拟合分析范文
回归与拟合分析范文
首先，数据选择非常重要。
数据应当具有代表性、完备性和可靠性。
代表性指数据能够代表整个研究对象的特征，完备性指数据应当包括需要分析的全部变量，可靠性则要求数据的采集过程具有一定的科学性，如要求采集者进行培训，确保数据的一致性。
接下来，在建立回归模型时，我们需要考虑自变量和因变量之间的关系。
首先，需明确因变量与自变量的定量关系，是线性关系还是非线性关系。
如果是线性关系，我们可以使用一元线性回归模型进行拟合分析；如果是非线性关系，则应考虑多元回归模型或非线性回归模型。
然后，需要选择适当的评估指标，如相关系数、拟合优度等，来判断模型的好坏。
最后，还需要进行模型的诊断，检查是否存在异常值、异方差等问题，以确保模型的有效性。
在结果解读方面，我们需要关注回归系数、截距项和R方值等信息。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，正系数表示正相关，负系数表示负相关。
截距项则表示当自变量取值为0时，因变量的预测值。
R方值则表示回归模型对数据的拟合优度，数值越接近1，表示模型对数据的解释能力越强。
需要注意的是，回归与拟合分析只能提供因果关系的暗示，而不能证明因果关系的存在。
因此，在数据解读时要谨慎，避免过度解读结果。
综上所述，回归与拟合分析是研究自变量与因变量关系的一种重要方法。
在进行分析时，数据选择、回归模型的建立和结果解读都需要注意细节，并进行科学合理的操作，以得到可靠的分析结果。
同时，对于分析结果的解读要谨慎，避免过度解读。
线性回归与拟合
线性回归与拟合在统计学和机器学习领域中，线性回归是一种常见的数据分析方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系模型。
通过该模型，我们可以预测和分析数据的变化趋势，从而对未来的数据进行预测和决策。
一、线性回归的基本原理线性回归的基本原理是基于最小二乘法，它通过寻找最佳的参数估计值来拟合数据。
最小二乘法的目标是使所有数据点到拟合线的距离平方和最小化。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的拟合线。
线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ϵ其中，Y表示因变量，X1、X2、...、Xn表示自变量，β0、β1、β2、...、βn表示模型的系数，ϵ表示误差项。
线性回归的目标是找到最佳的系数估计值β0、β1、β2、...、βn，使得预测值与实际值之间的误差最小。
二、线性回归的应用线性回归广泛应用于各个领域，例如经济学、金融学、社会科学、医学等。
以下是一些线性回归的应用实例：1. 经济学：通过分析GDP与人口增长率的线性关系，可以预测未来的经济发展趋势。
2. 金融学：通过分析股票价格与市盈率的线性关系，可以预测股票的价值。
3. 社会科学：通过分析教育水平与收入之间的线性关系，可以研究教育对收入的影响。
4. 医学：通过分析吸烟与肺癌发病率的线性关系，可以评估吸烟对健康的影响。
三、线性回归的拟合优度线性回归的拟合优度是衡量拟合程度的指标，常用的拟合优度指标是R方值（R-squared）。
R方值表示拟合线能够解释因变量变异程度的比例，取值范围在0到1之间。
R方值越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好。
然而，R方值并不是唯一的评估指标，我们还需要结合其他统计指标和领域知识来评价模型的可信度和预测能力。
四、线性回归的局限性线性回归模型假设自变量和因变量之间存在线性关系，但实际情况并不总是如此。
当数据存在非线性关系或者误差项不满足正态分布时，线性回归模型可能会失效。
此外，线性回归模型还对异常值和多重共线性敏感。
第6章线性回归与曲线拟合
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
15
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
8
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
回归分析曲线拟合通用课件
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
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回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
第六章相关及回归分析方式
第六章 相关与回归分析方式第一部份 习题一、单项选择题1.单位产品本钱与其产量的相关；单位产品本钱与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。
A.前者是正相关，后者是负相关 B.前者是负相关，后者是正相关2.样本相关系数r 的取值范围( )。
∞＜r ＜+∞≤r ≤1 C. -l ＜r ＜1 D. 0≤r ≤101y x ββ=+上，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A.r ＝0B.r ＝1C.r ＝-1D.|r|＝14.相关分析与回归分析，在是不是需要确信自变量和因变量的问题上( )。
A.前者无需确信，后者需要确信 B.前者需要确信，后者无需确信5.直线相关系数的绝对值接近1时，说明两变量相关关系的紧密程度是( )。
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( )。
7.下面的几个式子中，错误的选项是( )。
8.以下关系中，属于正相关关系的有( )。
9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。
10.进行相关分析，要求相关的两个变量( )。
A.都是随机的B.都不是随机的11.相关关系的要紧特点是( )。
B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着必然的关系，但它们不是确信的关系12.相关分析是研究( )。
13.现象之间彼此依存关系的程度越低，那么相关系数( )。
01y x ββ=+中，假设10β<，那么x 与y 之间的相关系数( )。
A. r=0B. r=1C. 0＜r ＜1D. —l ＜r ＜0 15.当相关系数r=0时，说明( )。
A.现象之间完全无关B.相关程度较小16.已知x 与y 两变量间存在线性相关关系，且210,8,7,100xy xy n σσσ===-=，那么x 与y 之间存在着( )。
17.计算估量标准误差的依据是( )。
A.因变量的数列B.因变量的总变差18.两个变量间的相关关系称为( )。
回归拟合曲线
回归拟合曲线回归拟合曲线是一种数据分析方法，用于确定数据之间的关系模式。
它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
本文将介绍回归拟合曲线的基本概念、常见的回归方法以及如何使用这些方法进行曲线拟合。
回归拟合曲线是通过找到最佳拟合线来描述两个或多个变量之间的关系。
拟合曲线可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归使用一条直线来拟合数据，而非线性回归使用其他类型的函数来拟合数据。
回归分析通常用于预测一个变量的值，基于已知的自变量值。
在回归拟合曲线中，有两个主要的变量：自变量和因变量。
自变量是我们用来预测因变量的变量，而因变量是我们想要预测的变量。
我们假设自变量能够解释因变量的变化。
回归分析的目标是找到自变量和因变量之间的关系，并使用这种关系来预测未来的因变量。
回归分析有很多不同的方法，包括线性回归、多项式回归、指数回归等。
线性回归是最简单的回归方法之一，它使用一条直线来拟合数据。
线性回归的基本原理是找到一条直线，使得这条直线与数据点的距离最小。
这种方法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学和工程学等。
多项式回归是一种非线性回归方法，它使用多项式函数来拟合数据。
它可以适应各种曲线形态，并能更好地拟合非线性数据。
多项式回归的原理是在数据中添加多项式项，使得拟合曲线能够更好地适应数据点。
通过选择合适的多项式次数，我们可以调整曲线的形状和适应性。
指数回归是一种应用较广泛的非线性回归方法，它使用指数函数来拟合数据。
指数回归在研究生长速度、衰变速度等方面非常有用。
指数回归的原理是将因变量和自变量取对数，使拟合曲线变为线性形式。
然后使用线性回归分析来获得最佳拟合直线。
在进行回归拟合曲线之前，我们需要明确两个事项：回归分析的目标和回归模型的选择。
回归分析的目标是什么，决定了我们要解决什么问题。
回归模型的选择取决于我们的数据类型和问题需求。
回归分析在实际应用中非常有价值。
例如，在销售预测中，我们可以使用历史销售数据来预测未来销售额。
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无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数
检验法。
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由于 Yi a bx i ，
y a bx ， 则 y Yi b ( x x i ) ， y i Yi ( y i y ) b ( x i x ) ，
2 ( y Y ) i i ( yi y ) b( xi x ) ， i 1 i 1 n n 2
i 1 i 1 n
i 1 n
n
Y=a+bx
L xx ，
a y bx 。
这就是说回归直线一定通过（x , y ）这一点， 即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
6.3 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有
确定回归方程 Y=a+bx 中的回归系数 a、 b。
y 随 x 增大，称为正相关； y 随 x 减小，称为负相关。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
6
10 8 6 4 2 0 0 5 10 É À ì ± ¶ Ê ý x
7
È y ¿ ¶ Ç
15
6.2 一元回归方程的求法和配线过程
Y=a+bx； a--截距，b--斜率。
2 i
i 1 i 1 n n
使 Q 值最小，只需将上式对 a， b 求偏微分，并令其为零， n Q 2 ( y i a bxi ) 0 ， a i 1 n Q 2 ( y i a bxi ) x i 0 。 b i 1 将上二式求解并简化即可求出 a， b。
8
求计算值与实验值的误差
当 x 为 x1， x2，…， xn 时，则相应有
Y1=a+bx1， Y2=a+bx2，
…
Yn=a+bxn。
这些 Y1， Y2，…， Yn 是回归方程计算值， 由于在实际测定过程中存在着实验误差 ，因此，相应于 x1， x2， …， xn 就有实际测定值
y1， y2…， yn， y1， y2…， yn 与 Y1， Y2，…， Yn 是不等同的，
b
n
( xi x )( yi y )
i 1
( xi x )2
i 1
n
，
a y bx
。
若以 L 代表离差，
Lxx ( xi x ) 2 ， L yy ( y i y ) 2 ， Lxy ( xi x )( y i y ) 。
b L xy
4
10 8
È y ¿ ¶ Ç
6 4 2 0 0 5 É À ì ± ¶ Ê ý x
5
10
பைடு நூலகம்15
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
Y=a+bx Y 是 y 的计算值，与实际值不完全相同。 Y 与 x 之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关 关系，自然要先作实验，拥有一批实验 数据，然后，作散点图，以便直观地观 察两个变量之间的关系。 合成纤维强度与拉伸倍数的关系， 24组实验。
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
à º ± Å 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 É À ì ¶ ±Ê ý ¿ ¶ Ç È y x kgf/cm2 1.9 1.4 2 1.3 2.1 1.8 2.5 2.5 2.7 2.8 2.7 2.5 3.5 3 3.5 2.7 4 4 4 3.5 4.5 4.2 4.6 3.5 à º ± Å 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 É À ì ¶ ±Ê ý ¿ ¶ Ç È y x kgf/cm2 5 5.5 5.2 5 6 5.5 6.3 6.4 6.5 6 7.1 5.3 8 6.5 8 7 8.9 8.5 9 8 9.5 8.1 10 8.1
一个系数，它的符号取决于回归系数 b 的符号，若 r＞0，则称 x 与 y 正相关，y 随着 x 的增加 而增加；若 r＜0，则称 x 与 y 负相关，y 随 x 的增加而减小。R 的绝对值越接近于 1，x 与 y 的线性关系越好，当 x 与 y 之间没有任何依赖关系时， r=0。
r 2 b2
(x (y
i 1 i 1 n
n
i
x)
2
1 y) 2
(y
i 1 n i 1
n
i
Yi ) 2 y) 2
i
(y
L2 xy L xx L yy
。
i
由上式可知，当 y 与 x 之间存在严格的线性关系时，所有的数据点应落在回归线上，则有
yi=Yi， r2=1，当 y 与 x 之间存在相关关系时，r 值在 0 与 1 之间，r 是表示 y 与 x 相关程度的
即实验点（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，…， （ xn， yn） 并不一定落在回归直线上。 每个实验点（ xiy ， yi）相对于回归直线存在着误差 y Y ( a bx )
i i i i
，
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
Q ( y i Y ) = ( y i a bxi ) 2 ，
经变换、化简，
(y
i 1
n
i
Yi ) ( y i y ) b
2 2 i 1
n
2
(x
i 1
n
i
x) ，
2
(y
i 1 n i 1
n
i
Yi )
2
(y
1 b2
(x (y
i 1 i 1 n
n
i
x)2
，
i
y) 2
i
y) 2
令相关系数 r 等于下式，
第6章 线性回归与曲线拟合
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线 性 回 归
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。