第五章 回归分析和曲线拟合
sup曲线拟合与回归分析 ppt课件
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
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線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
2020/12/27
8
線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
回归分析(曲线拟合)算法探究
yi )
0
Q(a, b)
b
m
2 (a bxi
i 1
yi )xi
0
整理得到拟合曲线满足的方程：
ma
(
m i 1
xi )b
m i 1
yi
m
m
m
(
i 1
xi )a
(
i 1
xi2 )b
xi yi
i 1
最小二乘算法介绍
上式称为拟合曲线的法方程，可用消元法或者克莱姆方法解得：
m
yi
a i1 m xi yi i1
属性
text text text text Caption Caption Caption Caption Caption Caption Caption Caption Caption Scale Caption Caption Caption
值
自变量的观测值 因变量的观测值
X坐标名称 Y坐标名称 拟合类型 三次样条函数插值 最小二乘法 对数拟合 双曲线拟合 指数拟合
m
xi
i1
m
xi2
i1
m
m
xi
mm
mm
m
m
m
i1 m
( yi xi2 xi xi yi ) (m xi2 ( xi )2
xi
xi2
i1 i1
i1 i1
i1
i1
i1
i1
m
m
m
m
mHale Waihona Puke b (m xi yi xi yi ) (m xi2 ( xi )2 )
i 1
i1 i1
CH3COOC2H5 +Na+ +OH- = CH3 COO- +Na++C2H5OH 设NaOH和CH3COOC2H5 的初始浓度分别为a和b. 当a = b时, 有线性方程
回归分析曲线拟合通用课件
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
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回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
生物统计学课件--17曲线拟合(回归)
一、对数函数曲线的拟合
1、对数方程的一般表达式： yˆ a b lg x
2、对数曲线 yˆ a b lg x 的图象
3、 yˆ a b lg x 直线化方法：
若令 lg x x` ，则有 yˆ a bx`
4、求 a 和 b 的值：
b SSx`y , SSx`
a y b x`
将up= y`= 0 代入 y`= a + bx`， 则有 ：0 = a + bx`，
则有：x`= -a/b，
a
因为 x` = lgx，所以 x 10 b
此时的x即为半致死剂量，用LD50表示。
a
LD50 10 b
例题：用不同剂量的 射线照射小麦品种库斑克， 调查死苗率，得到以下结果：
剂量（Kr）x 14
a 10a` 101.6706 0.0214 b 10b` 100.1181 1.3125
yˆ 0.0214 1.3125 x
350
300
250
200
150
100
50
0
15
20
25
30
35
40
回归关系的检验：可以利用 b` 或者 r 进行检验，主要是对线 性关系的检验，线性回归或相关显著，则指数回归关系的拟 合就显著。
答:半致死剂量为18.6（Kr）
五、曲线的检验
有时将同一组数据，我们将其做指数函数或幂函数形式的变 换，都能得到X与Y的拟合曲线，并且可能在做线性回归关 系检验的时候，线性关系都显著，那么，究竟哪一条拟合曲 线是最好的呢？
一般情况下，以剩余平方和或称之为误差平方和的大小来判
断，即SSe最小时的拟合曲线为最好的曲线。
第五节 曲线拟合（非线性回归分析）
spss曲线拟合与回归分析
曲线拟合与回归分析1、有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下：（1）说明两变量之间的相关方向；（2）建立直线回归方程；（3）计算估计标准误差；（4）估计生产性固定资产（自变量）为1100万元时的总资产（因变量）的可能值。
解：由表格易知：工业总产值是随着生产性固定资产价值的增长而增长的，而知之间存在正向相关性。
用spss回归有：（2）、可知：若用y表示工业总产值（万元），用x表示生产性固定资产，二者可用如下的表达式近似表示：=x.0+y.567395896（3）、用spss回归知标准误差为80.216（万元）。
（4）、当固定资产为1100时，总产值可能是（0.896*1100+395.567-80.216~0.896*1100+395.567+80.216）即（1301.0~146.4）这个范围内的某个值。
另外，用MATLAP也可以得到相同的结果：程序如下所示：function [b,bint,r,rint,stats] = regression1x = [318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225];y = [524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624];X = [ones(size(x))', x'];[b,bint,r,rint,stats] = regress(y',X,0.05);display(b);display(stats);x1 = [300:10:1250];y1 = b(1) + b(2)*x1;figure;plot(x,y,'ro',x1,y1,'g-');industry = ones(6,1);construction = ones(6,1);industry(1) =1022;construction(1) = 1219;for i = 1:5industry(i+1) =industry(i) * 1.045;construction(i+1) = b(1) + b(2)* construction(i+1);enddisplay(industry);display( construction);end运行结果如下所示：b =395.56700.8958stats =1.0e+004 *0.0001 0.0071 0.0000 1.6035industry =1.0e+003 *1.02201.06801.11601.16631.21881.2736construction =1.0e+003 *1.2190 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965 0.3965200400600800100012001400生产性固定资产价值（万元）工业总价值（万元）2、设某公司下属10个门市部有关资料如下：（1）、确定适宜的 回归模型； （2）、计算有关指标，判断这三种经济现象之间的紧密程度。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
第五章相关分析与回归分析
第五章相关分析与回归分析相关分析（Correlation Analysis）和回归分析（Regression Analysis）都是统计学中常用的数据分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
相关分析主要用于衡量变量之间的线性关系强度和方向，回归分析则是基于相关分析的基础上建立数学模型来预测或解释因变量的方法。
相关分析是一种用于研究两个变量之间关系强度和方向的统计方法。
相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的指标，其取值范围为[-1,1]。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减少；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系弱或不存在。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlati on coefficient）和肯德尔相关系数（Kendall’s rank correlation coefficient）等。
皮尔逊相关系数适用于两个变量均为连续型的情况，斯皮尔曼和肯德尔相关系数则适用于至少一个变量为顺序型或等距型的情况。
回归分析是一种建立数学模型来预测或解释因变量的方法。
在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量建立数学关系，然后通过该关系来预测或解释因变量。
回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析两种。
简单回归分析是指只有一个自变量和一个因变量之间的分析。
该方法主要用于研究一个自变量对因变量的影响，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的线性关系。
简单回归分析的核心是最小二乘法，即通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线。
多元回归分析是指有多个自变量和一个因变量之间的分析。
该方法主要用于研究多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元线性回归模型来描述它们之间的关系。
第5章回归分析
价格X 5.0 5.2 5.8 6.4 7.0 7.0 8.0 8.3 8.7 9.0 10.0 11 消费量Y 4.0 5.0 3.6 3.8 3.0 3.5 2.9 3.1 2.9 2.2 2.5 2.6
5.2 一元线性回归
15
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续） 在坐标轴上做出价格与消费量的相关关系。
• 子女的身高与父亲及母亲的身高之间的关系。
• 农田粮食的产量与施肥量之间的关系。 • 商品的销售量与广告费之间的关系。
5.1 回归分析的基本概念
8
回归分析的步骤 • 确定变量。寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响 因素。 • 建立预测模型。依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立 回归分析预测模型。 • 进行相关分析。作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度 如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的 问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和 因变量的相关程度。 • 计算预测误差。回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检 验和对预测误差的计算。 • 确定预测值。利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最 后的预测值。
最小二乘法的原理就是，找到一组 aˆ ，bˆ 。使所有点的实际测量值 yi 与预测值 yˆi 的偏差的平方和最小。
残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）：
n
n
Q(aˆ,bˆ) (yi -yˆi )2 ( yi - aˆ - bˆxi )2
i=1
i=1
即，找到一组 aˆ ，bˆ 使RSS的值最小。
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^
y0落在
y0
S
范围内的可能性为68％
y
利用此关系，对于指定的x0，我们有95％的把握说，在x x0
^
^
处的实际观测值y0介于
y0
2S
与
y
y0
2S
y
之间
即：
^
^
y0 2Sy y0 y0 2Sy
这样，预报问题就得到了解决
量S
y
称为剩余标准差。S
用来衡量预报的精确度
y
27
（二）控制问题 控制问题只不过是预报的反问题。若要求观测值y0 在y1 y0 y2范围内取值，则可从 a 2Sy bx1 y（1 或a 3Sy bx1 y1） 及 a 2Sy bx2 y（2 或a 3S2 bx2 y2） 中分别解出x1、x2，只要将x的取值控制在x1与x2之间， 我们就能以95％（或99.7％）的把握保证，y0在y1与 y2范围内取值。
^
一般来说，对于固定x0处的观测值y0，其取值是以 y0 为
^
中心而对称分布的。愈靠近 y0 的地方，出现的机会愈大，
^
离 y0 愈元的地方，出现的机会少，而且y0的取值范围与量
Sy
Q N 2
有下述关系： 26
^
y0落在
y0
3S
范围内的可能性为99.7％
y
^
y0落在
y0
2S
范围内的可能性为95％
_
_
a y b x
b Lxy Lxx
(6 19)
r lxy
(6 20) U Lxy2
(6 21)
lxx l yy
Lxx
33
序号
x
y
x2
y2
1
5
4
25
16
2
5
6
25
363108Fra bibliotek100
64
4
20
13
400
169
5
30
16
900
256
6
40
17
1600
289
7
50
19
2500
361
8
60
25
N i 1
yi
求得a，b后，回归方程为：
^
y a bx
便可以确定，b称为回归系数
(6 5) (6 6)
11
三、回归方程检验方法
（一）方差分析法
回顾方差分析的基本特点：
把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平
变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起
的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引 起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的.
f
＝1
U
fQ＝N－2
三者之间仍然有：f总 fU fQ
15
可用F检验考察回归直线的显著性：
（1）计算F= U/fu Q/fQ
(N
2) U Q
（2）对于选定的显著性水平a＝0.0（5 或0.01），从F分布
上找出临界值Fa (1, N 2) （3）比较F与Fa的大小。
若F>Fa，则回归方程有意义，反之则说明方程意义不大
16
（二）相关系数检验法
N^ _
N
_
由U ( yi y)2 U [(a bxi ) (a b x)]2
i=1
i=1
N
_
b2 (xi x)2
i=1
N
^
^_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y)]2整理后可得
i=1
N
_
N
_
( yi yi )2
(xi x)2
11
11
回归方程为： y 4.37 .323x
（2）显著性检验
相关系数
N^ _
第二项 U ( yi y)2 i=1
(6 8)
U反映了总变动中，由于x与y的线性关系而引起y变化的
一部分，称为回归平方和
第三项为零
Lyy U Q
(6 9)
14
每一个变动平方和（即Lyy、U、Q）都有一个“自由度”
和它们对应，Lyy自由度称为总自由度，记做f总。
f总＝观测值个数－1＝N－1
i1 i1 i1
i 1
i 1
_
x
495
11
_
y
208
11
Lxy
13755 1 495 208 11
48345 11
Lxx
35875
1 11
4952
149600 11
35
b Lxy 48345 0.328 Lxx 149600
_ _ 208
495
a y b x 0.323 4.37
28
进行预报和控制，通常也采用图解法。其作法是：在
散点图上作两条平行与回归直线的直线
y a bx1 2Sy
(6 17)
y a bx2 2Sy
y
y a bx 2Sy
y
y2
^
y a bx
y2
(6 18) y a bx 2Sy
^
y1
y a bx 2Sy
x y1
x1 x2
i 1
i 1
Q反映了全部观测值yi (i 1,2,..., N )对直线的偏离程度，显
然，离差平方和Q越小，愈能较好地表示x, y之间的关系。
用最小二乘法原理，通过选择合适的系数a，b，使Q最小 9
Q
N
a
2 ( yi
i 1
a bxi ) 0
Q
b
N
2
i 1
( yi
a
bxi )xi
0
联合求解得：
回归分析主要解决以下几方面的问题： （1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，
如果存在的话，找出她们之间合适的数学表达式 （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一
个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确 度 （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之 间的相互关系等等
4
一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量
n-2 0.05 0.01
11 0.553 0.684 12 0.532 0.661 13 0.514 0.641 14 0.479 0.623 15 0.482 0.606 16 0.468 0.590 17 0.456 0.575 18 0.444 0.561 19 0.433 0.549 20 0.413 0.537
腐蚀时间x（秒） 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 腐蚀深度y（μ） 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46
31
作散点图，即（xi,yi）图
y
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
x
可见x与y之间无确定的函数关系，而表现为相关关系
的取值
5
二、一元线性回归方程的确定
数学上判定直线合理的原则： 如果直线与全部观测数据yi (i 1, 2,..., N )的离差平方和， 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该 直线就是代表x与y之间关系较为合理的一条直线，这条 直线就是x和y之间的回归直线。
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N)是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi* a bxi的值，yi*与xi处实际观测值yi的差：
3600
625
9
65
25
4225
625
10
90
29
8100
841
11 120
46
14400
2116
495
208
35875
5398
xy
20 30 80 260 480 680 950 1500 1625 2610 5520 13755
34
具体计算格式如下：
N
N
N
N
N
列表计算xi2、yi2、xi yi以及 xi， yi， xi2， yi2， xi yi
i=1 N
_
1 b2
i=1 N
_
(6 11)
( yi y)2
( yi y)2
17
i=1
i=1
N
_
N
^
(xi x)2
( yi yi )2
令
r2 b2
i=1 N
_
1
i=1 N
_
( yi y)2
( yi y)2
i=1
i=1
N
_
(xi x)2
r b
i=1 N
_
( yi y)2
Lyy ( yi y)2 [( yi yi ) ( yi y)]2
i=1
i=1
N
^
N^ _
N
^ ^_
( yi yi )2 ( yi y)2 2 ( yi yi )( yi y)
i=1
i=1
i=1
13
N
^
第一项 Q ( yi yi )2
i=1
Q是观测值与回归直线的离差平方和，反映了误差的大小
‹#›
‹#›
变量S的值随t而定，这就是说，如果t去了固定 值，那么S的值就完全确定了
这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系