高中数学：数列的概念与表示

• an－an－1＝2×(n－1)－1.
• 将n－1个式子左右两边分别相加，得
• an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n －1)＝2×
•
－n＋1＝n2－2n＋1，
• ∴an＝n2－2n＋1＋a1＝n2－2n＋1. • 又n＝1时，a1＝0适合上式， • ∴an＝n2－2n＋1(n∈N*)．
要 求
2．了解数列是自变量为正整数的
一类函数．
1.从近几年的高考试题来看，数列
的概念、递推公式、通项公式及
热
前n项和公式成为高考热点，在 选择题、填空题、解答题中都有
• 1．数列的定义
• 数列是 按一定次序排成 的一列数，从函数观
点看，数列正是整定数集义(或域它为的有限子集)
的函数f(n)，当自变量n从1开始一依列次函取数值正
【例 3】 若数列{an}的通项公式为 an＝5·(25)2n－2－
4·(25)n－1，数列{an}的最大项为第 x 项，最小项为第 y 项，
则 x＋y 等于
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：由于
an
＝5·(25)2n－
2－
2 4·(5
)n
－1＝
5·[(
25)n
－1]2
－
4·(25)n－1，设(25)n－1＝t，由于 n≥1，所以 n－1≥0，于是
• 主要命题热点：
• 1．an与Sn的关系 • 2．等差、等比数列的定义、通项公式以
及等差、等比数列的性质、求和公式．
• 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明 问题．
• 4．数列与函数、方程、不等式、三角、 解几综合问题．
• 5．数列应用题．
• 6．探索性问题．
• 1．数列是一种特殊的函数，学习时要善 于利用函数的思想来解决．如通项公式、 前n项和公式等．
解：(1)∵a1＝1＋12，a2＝2＋23，a3＝3＋34，…，
∴an＝n＋n＋n 1. (2)∵a1＝－2－1 1，a2＝2＋2 1，a3＝－2－3 1 a4＝2＋4 1，…，∴an＝(－1)n·2＋n－1n.
【例 2】 求下列数列{an}的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
2n－1(n≥2)．
• 又当n＝1时适合上式，∴an＝－2n－1.
• 解法二：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， • 由Sn＝1＋2an得Sn＝1＋2(Sn－Sn－
1)(n≥2)， • ∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2)． • ∴{Sn－1}成等比数列， • Sn－1＝(S1－1)·2n－1＝－2·2n－1， • ∴Sn＝－2n＋1(n∈Z*)，即1＋2an＝－2n
• 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常 见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、 d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解 方程三个环节，常通过“设而不求，整体 代入”来简化运算．
• 3．分类讨论的思想在本章尤为突出．学 习时考虑问题要全面，如等比数列求和要 注意q＝1和q≠1两种情况等等．
• 4．等价转化在数列中的应用．如an与Sn 的转化，将一些数列转化成等差(比)数列 来解决等．复习时要及时总结归纳．
• 答案：1 0
• 【例4】 (2009·湖北卷)古希腊人常用小 石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比 如：
图甲
图乙
• 他们研究过上图甲中的1,3,6,10，…，由 于这些数能够表示成三角形，将其称为三
角形数；类似地，称图乙中的 1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列 数中既是三角形数又是正方形数的是
整数时所对应的
．
• 数列是否可以看作一个函数，若是，则其 定义域是什么？
• 提示：可以看作一个函数，其定义域是正 整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})， 可表示为an＝f(n).
• 2．数列的通项公式
• 一个数列{an}的第n项an项与数
之间的
函数关系，如果可a以n＝用f(n一) 个公式
0<t≤1.这时 an＝f(t)＝5t2－4t＝5(t－25)2－45，故当 t＝25
时，an 取得最小值－45，此时 n＝2；当 t＝1 时，an 取得
最大值 1，此时 n＝1，所以 x＝1，y＝2，x＋y＝3.故选
A. 答案：A
• 由于数列可以视为一种特殊的函数，所以 在研究数列问题时，可以借助研究函数的 许多方法进行求解．本题正是利用了换元 的思想，将数列的项的最值问题转化为二 次函数的最值问题，但必须注意的是，数 列中的项，即n的值只能取正整数，从而 换元后变量t的取值范围也相应地被限制.
来
表an示＝f，(n)我们把这个公式
叫做这个数
列的通项公式．
• 3分．类数原列则的分类类型
按项数分 有穷数列
类
无穷数列
按项与项 间的大小 关系分类
递增数列 递减数列 常数列
满足条件
项数 有限 . 项数 无限 .
an＋>1 a<n
an＋1 an
an＋1＝ an
其中 n∈N
*
• 4.数列的表示方法 • 数列的表示方法有列举法、公式法、图表法 ．
解：(1)原数列为22－2 1，422×－21，622×－31，822×－41， 120×2－51，…，
∴an＝2n22n－1＝4n22－n 1.
(2)原数列为12，－42，92，－126，225，…， ∴an＝－12n＋1·n2.
• (1)根据数列的前几项求它的一个通项公 式，要注意观察每一项的特点，可使用添 项、还原、分割等方法，转化为一些常见 数列的通项公式来求；
• 变式迁移 3 (2009·北京卷)已知数列{an} 满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an， n∈N*，则a2009＝________；a2014＝ ________.
• 解析：由题设条件，得a2009＝a503×4－3＝ 1，a2014＝a1007×2＝a1007＝a252×4－1＝0. 故填1；0.
1．已知数列－1，85，－175，294，…按此规律， 则这个数列的通项公式是
பைடு நூலகம்
A．an＝(－1)n2nn2＋＋n1
()
B．an＝(－1)n·n2nn＋＋31 C．an＝(－1)n·n＋2n1＋2－1 1 D．an＝(－1)n·n2nn＋＋23
解析：∵a1＝－33＝－12＋×11＋2－11， a2＝85＝22＋×12＋2－11， a3＝－32＋×13＋2－11， a4＝294＝42＋×14＋2－11， ∴an＝(－1)nn＋2n1＋2－ 1 1.
an－an－1＝n. • 以上n－1个式子左右两边分别相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝n＋22n－1， ∴an＝nn＋ 2 1＋1.
又 n＝1 时，a1＝2 适合上式， ∴an＝nn＋ 2 1＋1.
• 4．数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an ＋1－an(n∈N*)，则a2009＝________.
答案：C
2．数列{－2n2＋29n＋3}中最大项是
A．107 C．10813
B．108 D．109
()
答案：B
• 3．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋ 1，则通项an＝________.
• 解析：由an＋1－an＝n＋1，可得 • 当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
()
• A．289
B．1024
• C．1225
D．1378
• 思路分析：由于命题只是要求从选项中选 出既是三角形数又是正方形数的选项，所
以首先应从选项中找到完全平方数，再检
解：由 289＝172,1024＝322,1225＝352 知，有三个正方
形数．又三角形数的通项公式为 an＝1＋2＋3＋…＋n＝ nn＋1
• 5．深刻理解等差(比)数列的定义，能正 确使用定义和等差(比)数列的性质是学好 本章的关键．
• 6．解题要善于总结基本数学方法．如类 比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、 数列结合法，养成良好的学习习惯，定能 达到事半功倍的效果．
考 纲
1.了解数列的概念和几种简单的表 示方法(列表、图象、通项公式) ．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，求 an.
(1)解析：由 an＋1＝an＋4n21－1，得 an＋1－an＝12 (2n1－1－2n1＋1)，
由叠加法，得 an＝44nn－－32.
(2)解：由 an＋1＝a2n＋an2，得an1＋1＝a1n＋12，
∴an1＋1－a1n＝12， ∴数列{a1n}为等差数列，公差为12，首项a11＝1. ∴a1n＝1＋(n－1)×12＝n＋2 1. ∴an＝n＋2 1.
• 5．数列{an}的前n项和Sn＝1＋2an，求其 通项公式an.
• 解法一：∵Sn＝1＋2an，① • ∴Sn＋1＝1＋2an＋1.② • 由②－①得Sn＋1－Sn＝2(an＋1－an)， • 即an＋1＝2an＋1－2an(n≥1)， • ∴an＋1＝2an(n≥1)，∴an＝a1·2n－1(n≥1)． • 而S1＝a1＝1＋2a1，∴a1＝－1，∴an＝－
高考资讯
• 数列是高中数学的重要内容，在历年的高 考题中占有较大比重，数列与函数、方程、 不等式、几何等知识的联系十分密切．数 列中的递推思想、函数思想、分类讨论思 想以及数列求和、求通项公式中的各种方 法与技巧，在中学数学中都有十分重要地 位，涉及数列的应用问题及探索性问题都 可成为命题的方向．这一部分主要考查学 生的运算能力、逻辑思维能力及分析解决
(3)由 an＝2an－1＋1(n≥2)，可得 an＋1＝2(an－1＋ 1)，
∴aan－n＋1＋11＝2. ∴数列{an＋1}是等比数列，公比为 2，首项为 a1 ＋1＝2. ∴an＋1＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． ∴an＝2n－1.(n∈N*)
•
• (1)递推公式形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的 数列求通项常用叠加法；递推公式形如an ＋1＝f(n)·an(n∈N*)的数列求通项常用叠 乘法，用这两种方法求通项时，需分为 n≥2及n＝1两个步骤．
＋1.
• ∴an＝－2n－1.
【例 1】 写出下列数列的一个通项公式，使它 的前几项分别是下列各数：
(1)23，145，365，683，1909，…； (2)12，－2，92，－8，225….
• 思路分析：(1)分子是正偶数数列，分母 是分子的平方减去1；(2)将分母统一化为 2，分子是正整数的平方，并且各项是正 负相间的．
思路分析：由 an＋1－an＝2n－1 可用叠加法求通 项；由aan－n 1＝n－n 1可用叠乘法求通项，由 an＝2an－1＋ 1 可构造等比数列求通项．
• 解：(1)由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an ＝2n－1，
• 当n≥2时，a2－a1＝2×1－1， • a3－a2＝2×2－1， • a4－a3＝2×3－1， •…
(2)由 an＝n－n 1an－1(n≥2)，得aan－n 1＝n－n 1，
当 n≥2 时，aa21＝21，aa23＝32，aa43＝43，…，aan－n 1＝n－n 1，
将
n－1
个
式
子
两
边
分
别
相
乘
，
得
an a1
＝
21·32·43·…·n－n 1＝n，
∴an＝n·a1＝n. 又 n＝1 时，a1＝1 适合上式， ∴an＝n(n∈N*)．
• 解析：a3＝a2－a1＝4，a4＝a3－a2＝4－ 5＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5，a6 ＝a5－a4＝－5－(－1)＝－4，a7＝a6－a5 ＝－4－(－5)＝1，a8＝a7－a6＝1－(－4) ＝5.
• ∴数列{an}为周期数列，6为一个周期． • ∴a2009＝a5＝－5. • 答案：－5
• (2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为非零的 常数，且p≠1)的递推公式求通项常用构 造法，基本思路是：设an＋1＋α＝p(an＋ α)，其中α＝ ，构造一个等比数列，利 用等比数列的通项公式求通项.
变式迁移 2 (1)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝ an＋4n21－1，则 an＝________.
• (2)根据数列的前几项写出数列的一个通 项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特 殊到一般”的思想，得出的结论不一定可 靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行 证明.
变式迁移 1 写出下列各数列的一个通项公 式．
(1)112，223，334，445，…； (2)－1，32，－13，34，－15，36.