8.5三角形的外接圆半径和内切圆半径
三角形的外接圆半径公式是什么
三角形的外接圆半径公式是什么在数学的奇妙世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的外接圆，又为我们研究三角形的性质增添了新的维度。
其中，三角形外接圆的半径公式更是一个关键的知识点。
要理解三角形外接圆半径公式，首先得清楚什么是三角形的外接圆。
简单来说，三角形的外接圆是指经过三角形三个顶点的圆。
这个圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。
对于不同类型的三角形，外接圆半径公式也有所不同。
先来看直角三角形。
假设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
那么，它的外接圆半径 R 就等于斜边 c 的一半，即 R ＝ c／ 2 。
这个公式很好理解，因为直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，所以斜边的中点就是外接圆的圆心，半径就是斜边长度的一半。
接下来是一般的锐角三角形和钝角三角形。
对于这两种三角形，我们通常使用正弦定理来推导外接圆半径公式。
正弦定理是这样表述的：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且等于外接圆的直径 2R 。
假设三角形的三条边分别为 a、b、c，它们所对应的角分别为 A、B、C 。
那么，根据正弦定理有：a ／ sin A ＝b ／ sin B ＝c ／ sin C ＝ 2R由此可以得到外接圆半径 R 的公式为：R ＝ a ／（2sin A) ＝ b ／（2sin B) ＝ c ／（2sin C) 。
为了更深入地理解这个公式，我们可以通过一个具体的例子来看看。
假设有一个锐角三角形，三条边分别为 3、4、5 ，对应的角分别为A、B、C 。
首先，我们可以使用余弦定理求出角 A 的余弦值：cos A ＝（b²＋ c² a²) ／（2bc) ＝（4²＋ 5² 3²) ／（2×4×5) ＝ 4／ 5然后，根据三角函数的关系 sin²A ＋ cos²A ＝ 1 ，可以求出 sin A ：sin A ＝√（1 cos²A) ＝√（1 （4/5)²) ＝ 3 ／ 5最后，代入外接圆半径公式 R ＝ a ／（2sin A) ，其中 a ＝ 3 ，可得：R ＝ 3 ／（2×（3/5)）＝ 5 ／ 2通过这个例子，我们可以更清楚地看到如何运用外接圆半径公式来解决实际问题。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求AABC 的外接圆的半径.解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \A ZC = 90° ,.•.AB 为△ ABC 的外接圆的直径，•••△ABC 的外接圆的半径为.2、一般三角形① 已知一角和它的对边例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90°.•沏=竺=旦sinD sin 80° ••.△ABC 外接圆。
的半径为盘注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10,ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90°•••△ABC 外接圆O0的半径为¥厲・② 已知两边夹一角例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接圆00的半径.分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD •作AE 丄BC,垂足为E.则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的，/.AD= AB 10 sinD sin60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2= 41 rcA AABC 外接圆OO 的半径为.③ 已知三边例 5 如图，已知，在AABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求AABC外接圆O0的半径.分析：作出直径AD,构造RtAABD.只要求出AABC 中BC 边设 CE=x, VAC^CE^AE^AB^BE 2 A 13:-x :=15:-(14-x)2 x=5,即 CE = 5 /.AE=12 A —=4 AD= —•••△ABC 外接圆00 的半径为竺.二、求三角形的内切圆的半径 1、 直角三角形例 6 已知：在ZkABC 中，ZC=90° , AC=b, BC=a, AB = c 求AABC 外接圆O0的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设O0的半径为r, 则 CD=CE=r, BD=a-r, AE=b-r, (a-r) + (b-r) =c,•"二匕导，即AABC 外接圆00的半径为好工.2 22、 一般三角形①已知三边例 7 已知：如图，在ZkABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15求ZXABC 内切圆Q0的半径r.分析：考虑先求出AABC 的面积，再利用“而积桥”，从而~求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S A = Vs(s-a)(s-b)(s-c)(其中s 二斗王)可求 出Ssc=84,从而丄 AB ・r+丄 BCr+丄 ACr 二84, Z.r=4例 8 已知：如图，在AABC 中，cotB=i ,AB = 5, BC=6求AABC 内切圆Q0的半径=分析：考虑先通过解三角形，求出AABC 的而积及AC 的长, 再利用“而积桥S 从而求出内切圆的半径.解：作AABC 的高AD.解直角三角形可得AD=3, CD=2, AC= V13 ,••• AADB^AACE ••• AADB^AACEAD AB 上的髙AE,利用相似三角形就可以求出直径AD. 解：作直径AD ，连结BD.作AE 丄BC,垂足为E. 则ZDBA=ZCEA=90° , ZD=ZC2 2 ②已知两边夹一角因为丄AB T+1 BCr+丄AC・r二丄BC・AD,可求得r」卜血③已知两角夹一边例9 已知：如图，在Z\ABC 中，ZB=60° , ZC=45° ,BC=6求AABC内切圆00的半径r.（精确到分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确左三角形，就可以借鉴上而的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形的外接圆与内切圆的性质
三角形的外接圆与内切圆的性质在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的两个圆形。
本文将描述三角形的外接圆和内切圆的性质，并探讨它们的关系。
一、三角形的外接圆（Circumcircle）三角形的外接圆是能够完全通过三个顶点的圆。
这意味着三角形的每个顶点都位于圆上。
外接圆的圆心被称为三角形的外心（Circumcenter）。
在外接圆中，三角形的三条边都是圆的切线。
下面是三角形外接圆的性质：1. 外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长。
2. 对于直角三角形，外接圆的直径等于斜边的长度。
3. 外接圆的周长等于三角形的周长。
二、三角形的内切圆（Incircle）三角形的内切圆是与三角形的三条边相切的圆。
内切圆的圆心被称为三角形的内心（Incenter）。
在内切圆中，三角形的每条边都是圆的切线。
下面是三角形内切圆的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的内角平分线的长度，也等于三角形三个角的内切点到相应边的距离。
2. 内切圆的圆心到三边距离的和等于内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。
面积越大，半径越大。
三、外接圆与内切圆的关系在任何三角形中，外接圆的圆心、内心以及重心（三条中线的交点）三点共线。
这条直线称为欧拉线（Euler Line）。
此外，外接圆和内切圆的半径之间存在着一个特殊的关系。
设R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，s为三角形的半周长（即三边之和的一半），则有如下关系式：R = （abc）/（4∆）r = ∆/s其中，a、b、c为三角形的三边长度，∆为三角形的面积。
这两个关系式表明，外接圆的半径与三角形的边长成正比，而内切圆的半径与三角形的面积成正比。
总结：三角形的外接圆与内切圆是与三角形紧密相关的圆形。
外接圆通过三角形的三个顶点，内切圆与三角形的三条边相切。
外接圆和内切圆有着许多重要的性质，包括半径与三角形边长、面积的关系等。
同时，外接圆的圆心、内心和重心三点共线，并且外接圆和内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
三角形内切圆与外接圆
三角形内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内切圆与外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、三角形内切圆三角形内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
其圆心被称为三角形的内心，记作I，半径被称为内切圆半径，记作r。
对于任意三角形ABC，其内切圆的半径r可以通过以下公式计算：r = Δ / s其中Δ为三角形的面积，s为三角形的半周长，即 s = (a + b + c) / 2。
内切圆的半径r是三角形的几何特征之一，它可以告诉我们有关三角形内角平分线、垂心、重心等重要几何特性。
二、三角形外接圆三角形外接圆是指可以同时与三角形的三个顶点相切的圆。
其圆心被称为三角形的外心，记作O，半径被称为外接圆半径，记作R。
对于任意三角形ABC，其外接圆半径R可以通过以下公式计算：R = a * b * c / (4 * Δ)其中a、b、c分别为三角形的三边长，Δ为三角形的面积。
外接圆的半径R也是三角形的重要几何特性之一，它可以帮助我们定位三角形的外角平分线以及其他重要点。
三、内切圆与外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在着紧密的关系。
根据欧拉定理，三角形的内心、外心和重心三点共线，并且连线的中点恰好是垂心的投影点。
此外，内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：r = 2R * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)其中A、B、C分别为三角形的三个内角。
四、应用与扩展三角形内切圆和外接圆在几何学中具有广泛的应用。
例如，在三角形判定问题中，内切圆相切于三个顶点可以帮助我们判断三角形是否为等边三角形；外接圆的半径R可以帮助我们判断三角形的类型，如锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
此外，三角形内切圆和外接圆还与三角形的面积、角平分线、三角形的心等几何特性相关。
它们在三角形的构造、证明以及其他几何问题的解决中起着重要的作用。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的外接圆与内切圆是三角形的两个重要特性。
本文将重点介绍三角形外接圆与内切圆的关系，并通过具体的例子和分析来说明这一关系。
一、外接圆与内切圆的定义首先，我们来了解一下外接圆与内切圆的定义。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三条边都相切，这个圆就叫做三角形的内切圆。
另外，我们还可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三个顶点都相切，这个圆就叫做三角形的外接圆。
二、外接圆与内切圆的关系外接圆与内切圆之间存在着一定的关系，这一关系可以通过以下几个方面来说明。
1. 位置关系：外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
我们可以通过一个具体的例子来说明这一关系。
假设有一个等边三角形ABC，我们可以很容易地发现，三角形的外接圆与内切圆的圆心都在三角形的重心上，而重心也是三条中线的交点。
这个例子表明，外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
2. 半径关系：外接圆的半径大于内切圆的半径。
我们可以通过一个等边三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个等边三角形，那么三角形的外接圆的半径等于三角形的边长，而内切圆的半径等于三角形的边长的一半。
由于等边三角形的边长是固定的，所以外接圆的半径大于内切圆的半径。
3. 面积关系：三角形面积与外接圆和内切圆的半径之间存在一定的关系。
我们可以通过一个直角三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据三角形的性质，我们可以得到三角形的面积为S = (1/2) * a * b。
而三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即r = (a^2 + b^2)^(1/2) / 2。
内切圆的半径等于直角边的一半，即r' = (a + b - (a^2 + b^2)^(1/2)) / 2。
通过计算可以得到，外接圆的半径r大于内切圆的半径r'，而且它们的比值r/r'等于(1 + (a^2 + b^2)^(1/2)) / (a + b)。
求三角形外切圆和内接圆半径公式
08-10 00:49
S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/4；
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，则：
∵S=(ar/2)+(br/2)+(cr/2)，∴r=2S/(a+b+c)，
即r=√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/[2√(a+b+c)]；
由正弦定理可知：a/sinA=2R和S=bcsinA/2，
已知A（0，2）B（0，0）C（2，0）三角形ABC的内切圆半径是？圆的一般方...
圆中，直角三角形内切圆半径公式：r=(a+b-c)÷2的推导过程是什么？请详...
求直角三角形的内接圆半径有什么公式吗？
求直角三角形内接圆，外接圆半径计算公式
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知道>数学> 问题页已解决求三角形外切圆和内接圆半径公式老师上课时，没记得清，请问求两个的公式王者回归zx 2010-1-28最佳答案大哥，是外接圆和内切圆
两边之积=第三边的高*外接圆直径
r（内切）=2SC
S为三角形面积，C为三角形周长
wj1232944 2010-1-28其他答案哈哈，真是闹不了，这样还不如不听课！！
wuxch21 2010-1-28外接圆半径R=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
内切圆半径r=三角形面积×2/三角形的周长
=2S/(a+b+c)
xiangshl 2010-1-29已知△ABC的三个顶点A、B、C所对的边长依次为a、b、c，
三角形的外接圆和内切圆的性质与计算
三角形的外接圆和内切圆的性质与计算三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外接圆和内切圆又是三角形的重要性质之一。
本文将详细探讨三角形的外接圆和内切圆的性质，并介绍如何计算它们。
【一、三角形的外接圆】外接圆是指可以与三角形的三个顶点相切的圆。
具体而言，三角形的外接圆满足以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点。
即三角形的三条垂直平分线的交点是外接圆的圆心。
2. 外接圆的半径等于三角形三边的中线的一半。
其中，中线是连接三角形的一个顶点和对立边中点的线段。
3. 外接圆的直径等于三角形的外角平分线的长度。
在计算外接圆时，我们可以利用以下公式：1. 外接圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
外接圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心纵坐标 = (y1 + y2 + y3) / 32. 外接圆的半径可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设外接圆的半径为R。
则R的长度等于三角形任意一条边的一半，可以使用以下公式计算：R = (a + b + c) / (4 * S)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积，可以使用海伦公式或其他计算方法得出。
【二、三角形的内切圆】内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
具体而言，三角形的内切圆满足以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的内角平分线的交点。
即三角形的三条内角平分线的交点是内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
其中，半周长等于三角形的周长除以2。
在计算内切圆时，我们可以利用以下公式：1. 内切圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
内切圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心纵坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学的基础形状之一，它具有丰富的性质和特征。
其中，内切圆和外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将重点探讨三角形的内切圆和外接圆，包括定义、性质和应用。
一、内切圆的定义和性质内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，且与三角形的三条边都相切于一个点的圆。
设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径记为r，则根据内切圆的性质，有以下关系式成立：1. 内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即 r = S/s，其中s=(a+b+c)/2；2. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交点重合。
二、外接圆的定义和性质外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在该圆上的圆。
设三角形的三个顶点为A、B、C，外接圆的半径记为R，则根据外接圆的性质，有以下关系式成立：1. 外接圆的半径R等于三角形的边长abc的乘积除以4倍三角形的面积S，即 R = abc/4S；2. 外接圆的圆心为三角形的三个垂直平分线的交点。
三、内切圆和外接圆的应用内切圆和外接圆在几何学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 内切圆和外接圆的位置关系可以用于解决三角形的相关问题，例如计算三角形的面积、周长等。
通过利用内切圆和外接圆的性质可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
2. 内切圆和外接圆的存在还可以帮助解决三角形相关的构造问题。
例如，已知一个三角形的顶点和边长，可以利用外接圆的性质来构造整个三角形。
同样地，可以利用内切圆的性质来构造三角形的内部结构。
3. 内切圆和外接圆也广泛应用于其他学科和领域。
例如，在工程测量中，通过测量三角形的三边长可以确定外接圆的半径，从而计算出三角形的面积。
在建筑设计中，内切圆和外接圆的特性可以用于优化建筑物的结构和布局。
总之，三角形的内切圆和外接圆是几何学中重要的概念，具有丰富的性质和应用。
了解和掌握内切圆和外接圆的定义和性质，对于解决三角形相关的问题和应用具有重要意义。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。
本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。
一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。
换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。
外接圆也被称为三角形的园外接圆。
2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。
3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。
二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。
内切圆也被称为三角形的园内切圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。
3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。
通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。
因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。
求三角形外接圆半径的公式
求三角形外接圆半径的公式
三角形外接圆半径是三角形内切圆半径的两倍，它确定了三角形的外接圆周围
圆形物体的形状和曲线的范围。
外接圆是一种圆形物体，具有较大的中心角，它的内切圆的半径等于三角形的边的具体距离。
根据海伦公式，三角形的外接圆半径可以用以下公式计算：
外接圆半径＝（a*b*c）/（4•s）
其中，a，b，c分别表示三角形的三条边的长度，s是三角形的半周长，即
“a+b+c”的一半。
利用外接圆半径的计算公式，可以轻松计算出任意一个三角形的外接圆半径。
下面举例说明具体计算过程。
令三角形ABC的三条边AB，BC，CA分别为18，13，15，则三角形ABC的半周长s等于18+13+15的一半＝21，所以外接圆半径＝（18•13•15）/（4•21）＝40.475．
外接圆半径是一个连接三角形空间的一个重要结构，它也可以用来测试曲线是
否符合形状规范与数学定义。
此外，它还可以将正负三角形的面积转换为圆的面积，使几何定律更易于证明。
总之，三角形外接圆半径是三角形之间形状与规律连接的重要参数，可以应用
于几何构建中，以满足复杂空间物体构建的需求，起到重要的作用。
8.5三角形的外接圆半径和内切圆半径ppt课件
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1
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内 切圆？2、如何画出一个三角形 的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫 三角形的外接圆。
②与三角形各边都相切的圆 叫三角形的内切圆。
最新课件
2
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
画圆的关键：
2
b
C
12
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
A
r= s
c
s( s a )( s b )( s c )
s
(其 中 s 1 (a b c)）
2
B
rr Or
a
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b
C
13
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度， I是内心
则，∠BIC＝—1—17—.5—度。
B
B + C = 1 8 0 5 5 1 2 5 BIC180B+C
F D E = 62.5
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15
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法
B
外接圆半径R= c 2
c
O a
内 切 圆 半 径 r= ab
I
a+b+c A
b
C
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16
等边三角形外接圆、内切圆半 径的求法
基本思路：
A
构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
O
a = sin D =
2R
a
2R
sin A
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D
A 9 0 0 10
三角形的外接圆
三角形外接圆半径(外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积)
三角形外接圆半径（外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积）在三角形几何学中，外接圆半径是指可以完全包围三角形的圆的半径。
根据外接圆半径的定义，我们可以得到一个简单的计算公式：外接圆半径等于三角形边长的乘积除以三角形面积的两倍。
为了更好地理解这个公式，我们首先来回顾一下三角形的基本概念。
三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。
根据三角形的性质，我们知道三角形的内角和为180度。
接下来，我们来推导出外接圆半径的计算公式。
假设我们有一个任意三角形ABC，边长分别为a、b和c。
我们可以通过海伦公式（Heron's formula）来计算三角形的面积。
海伦公式如下：\[\text{面积} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，s是半周长，计算公式如下：\[s = \frac{a+b+c}{2}\]现在，假设外接圆的半径为R。
根据外接圆的定义，我们知道三角形的三个顶点A、B和C都位于外接圆上。
由于外接圆的半径相同，三角形的三条边和半径R之间相互存在关系。
我们可以通过观察正弦定理（Law of Sines）的推导过程得出结论，即：\[a = 2R\sin(A)\]\[b = 2R\sin(B)\]\[c = 2R\sin(C)\]将上述三个等式代入海伦公式中，我们可以得到下面的等式：\[\text{面积} = \sqrt{s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right)\left(s-2R\sin(C)\right)}\]为了简化计算，我们可以先对上述等式两边进行平方处理，得到：\[\text{面积}^2 = s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right) \left(s-2R\sin(C)\right)\]将上述等式进一步展开，我们可以得到：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)\right) +4R^2s^2\left(\sin(A)\sin(B)+\sin(A)\sin(C)+\sin(B)\sin(C)\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]由于三角形的内角和为180度，即\(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C) =\frac{s}{R}\)，我们可以将上述等式进一步简化为：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\frac{s}{R}\right) +4R^2s^2\left(\frac{s^2 - r^2 - 4Rr}{4R^2}\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]其中，r是三角形的内切圆半径。
三角形外切圆半径公式求法
三角形外切圆半径公式求法
三角形外接圆半径公式：abc/4R。
三角形的面积记作△，三边长分别是a、b、c，外接圆半径为R，那么△=abc/4R；
R=abc/4△，因为△=（1/2）ah=(1/2)absinC=(1/2)ab·c/(2R)=abc/4R。
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，表示三角形外接圆半径的方法有：
1、用三角形的边和角来表示它的外接圆的半径。
2、用三角形的三边来表示它的外接圆的半径。
3、用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式等。
外接圆性质：
1、锐角三角形外心在三角形内部。
2、直角三角形外心在三角形斜边中点。
3、钝角三角形外心在三角形外。
4、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心，在三角形中，
三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也可能在三角形边上（如直角三角形）。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，而与三角形相关的内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆。
本文将介绍三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
一、内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，它的圆心与三角形的三条边的交点共线，且圆心到三角形的三条边的距离相等。
内切圆的半径称为内切圆半径，内切圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，半周长为s，内切圆半径r的计算公式如下：r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)其中，sqrt表示开平方根运算。
二、外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
外接圆的半径称为外接圆半径，外接圆半径的求解可以通过三角形的边长来计算。
设三角形的三条边长分别为a、b、c，外接圆半径R的计算公式如下：R = (a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。
三、性质1. 内切圆与三角形的三条边相切，且圆心和三条边的交点共线。
2. 外接圆的圆心位于三角形的三条边的垂直平分线的交点上。
3. 内切圆的半径r满足r = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)，其中s为三角形半周长。
4. 外接圆的半径R满足R = (a*b*c)/(4*Δ)，其中Δ为三角形的面积。
四、应用1. 内切圆和外接圆常用于计算三角形的性质和求解三角形的相关问题，例如三角形的面积、周长等。
2. 内切圆和外接圆可以帮助确定三角形的形状和位置，进一步研究三角形的几何性质。
3. 内切圆和外接圆在工程、建筑、地理等领域中有广泛的应用，例如地图绘制、建筑设计等。
五、总结本文介绍了三角形的内切圆和外接圆的定义、性质以及求解方法。
内切圆和外接圆是三角形内部和外部特殊的圆，它们在几何学和实际应用中有重要的地位。
深入理解和应用内切圆和外接圆的概念，可以帮助我们更好地研究和解决与三角形相关的问题。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法之马矢奏春创作一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形, 那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC 中, AB ＝13, BC ＝12, AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径.解：∵AB ＝13, BC ＝12, AC ＝5, ∴AB 2＝BC 2＋AC 2, ∴∠C ＝90°,∴AB 为△ABC 的外接圆的直径, ∴△ABC 的外接圆的半径为. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图, 在△ABC 中, AB ＝10, ∠C ＝100°,求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：利用直径构造含已知边AB 解：作直径BD, 连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°, ∠BAD ＝90° ∴BD ＝Dsin AB＝80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角, 以及已知两角和一边, 都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图, 已知, 在△ABC 中, AB ＝10, ∠AB ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD, 连结BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°, ∠DBA ＝90° ∴AD ＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310.②已知两边夹一角例4如图, 已知, 在△ABC 中, AC ＝2, BC ＝3, 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：考虑求出AB, 然后转化为①的情形解题. ⊥BC, 垂足为E.则∠DBA ＝90°, ∠D ＝∠C ＝60°, CE ＝21AC ＝1, AE ＝3,BE ＝BC －CE ＝2, AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝Dsin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图, 已知, 在△ABC 中, AC ＝13, BC ＝14, AB ＝15求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD, 构造Rt △△ABC 中BC 边上的高AE, 利用相似三角形就可以求出直径AD.⊥BC, 垂足为E.则∠DBA ＝∠CEA ＝90°, ∠D ＝∠C ∴△ADB ∽△ACE ∴AB AEAD AC =设CE ＝x,∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形例6已知：在△ABC 中, ∠C ＝90°, AC ＝＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.⊙O 的半径为r,则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r, ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2cb a -+,即△ABC外接圆⊙O的半径为2cb a -+.2、一般三角形 ①已知三边例7已知：如图, 在△ABC 中, AC ＝13, BC ＝14, AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.Bb分析：考虑先求出△ABC 的面积, 再利用“面积桥”, 从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法, 或利用海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2c b a ++)可求出S△ABC＝84, 从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4②已知两边夹一角 例8已知：如图, 在△ABC 中, cotB ＝34,AB ＝求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先通过解三角形, 求出△ABC 的面积及AC的长, 再利用“面积桥”, 从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3, CD ＝2, AC ＝13,因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311-③已知两角夹一边例9已知：如图, 在△ABC 中, ∠B ＝60°, ∠C ＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1) 分析：思路方法同上, 读者可完成.总之, 只要通过边、角能确定三角形, 就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形外接圆圆半径公式
三角形外接圆圆半径公式在我们学习数学的奇妙世界里，三角形外接圆的半径公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开解决许多几何问题的大门。
咱们先来说说啥是三角形的外接圆。
想象一下，有一个三角形，然后我们画一个圆，这个圆刚好经过三角形的三个顶点，这个圆就是三角形的外接圆。
那外接圆的半径到底咋算呢？这就引出了咱们今天的主角——三角形外接圆半径公式。
一般来说，如果已知三角形的三条边长分别是 a、b、c，那它的外接圆半径 R 可以用下面这个公式来算：\[R = \frac{abc}{4S}\]这里的 S 是三角形的面积。
那这个公式是咋来的呢？这就得从三角形的一些性质说起啦。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这公式有啥用啊？”我就笑着跟他说：“你想想看，咱们要是知道了一个三角形的三条边，就能算出外接圆的半径，那要是要在这个外接圆上做文章，比如算一些和圆相关的长度、角度，是不是就有办法啦？”为了让大家更好地理解这个公式，咱们来举个例子。
假设一个三角形的三条边分别是 3、4、5。
那先算一下它的面积，这是一个直角三角形，面积很好算，就是 3×4÷2 = 6。
然后呢，把数值代入公式，\(R = \frac{3×4×5}{4×6} = \frac{5}{2}\) 。
再复杂一点的三角形，咱们也能通过海伦公式先算出面积，然后再用这个公式算出外接圆半径。
在实际应用中，这个公式可太有用啦。
比如说在建筑设计里，设计师要设计一个三角形的结构，知道了外接圆半径，就能更好地把握整体的稳定性和美观性。
还有在数学竞赛中，经常会碰到一些看似复杂的几何图形，其实就是隐藏着三角形外接圆的问题，只要能想到这个公式，就能迎刃而解。
总之，三角形外接圆半径公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能熟练掌握，让它成为我们解决数学问题的有力武器。
希望大家通过今天的讲解，能对这个公式有更深入的理解和认识，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
三角形的外接圆和内切圆的半径
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
知识拓展
2、△ABC的内切圆半径为 r , △ABC的周长为 l , 求△ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、 OB、OC。）
若△ABC的内切圆半径为 r ,
I
3
B
4 5
D
C
E
达标检测
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。
（ ×）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。
（ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径—6—.5—cm—，内切圆半径—2—c—m—。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比——2:—1 —。
1、①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键： 1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径 是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是 交点到一边的距离。
三角形的外接圆：
A
O
B
C
三角形的内切圆：
E
D
C
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆
半径的求法
B
R= —c2
r = —a—+b—-c— 2
c
O a
I
A
b
C
r=
等边三角形外接圆、内切圆半径
的求法
A
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 【2 】一.求三角形的外接圆的半径 1.直角三角形假如三角形是直角三角形,那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中,AB ＝13,BC ＝12,AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13,BC ＝12,AC ＝5, ∴AB 2＝BC 2＋AC 2, ∴∠C ＝90°,∴AB 为△ABC 的外接圆的直径, ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2.一般三角形①已知一角和它的对边例2如图,在△ABC 中,AB ＝10,∠C ＝100°, 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 剖析：应用直径结构含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD,贯穿连接AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°,∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知双方和个中一边的对角,以及已知两角和一边,都可以应用本题的办法求出三角形的外接圆的半径.例3如图,已知,在△ABC 中,AB ＝10,∠A ＝70°,∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 剖析：可转化为①的情况解题.解：作直径AD,贯穿连接BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°,∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310.②已知双方夹一角例4如图,已知,在△ABC 中,AC ＝2,BC ＝3,∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：斟酌求出AB,然后转化为①的情况解题. 解：作直径AD,贯穿连接BD.作AE ⊥BC,垂足为E.则∠DBA ＝90°,∠D ＝∠C ＝60°,CE ＝21AC ＝1,AE ＝3,BE ＝BC －CE ＝2,AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图,已知,在△ABC 中,AC ＝13,BC ＝14,AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.剖析：作出直径AD,结构Rt △ABD.只请求出△ABC 中BC 边上的高AE,应用类似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD,贯穿连接BD.作AE ⊥BC,垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°,∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴AB AE AD AC = 设CE ＝x,∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE ＝12 ∴1512AD 13=AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二.求三角形的内切圆的半径1.直角三角形例6已知：在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝b,BC ＝a,AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r, 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r, ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2c b a -+.2.一般三角形 ①已知三边例7已知：如图,在△ABC 中,AC ＝13,BC ＝14,AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.剖析：斟酌先求出△ABC 的面积,再应用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解：应用例5的办法,或应用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(个中s=2cb a ++)可求出S △ABC ＝84,从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4②已知双方夹一角例8已知：如图,在△ABC 中,cotB ＝34,AB ＝5,BC ＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.剖析：斟酌先经由过程解三角形,求出△ABC 的面积及AC 的长,再应用“面积桥”,从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3,CD ＝2,AC ＝13, 因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311-③已知两角夹一边例9已知：如图,在△ABC 中,∠B ＝60°,∠C ＝45°,BC ＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(准确到0.1)B剖析：思绪办法同上,读者可完成.总之,只要经由过程边.角能肯定三角形,就可以借鉴上面的办法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
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b c R 2sin A 2sin B 2sin C
a
三角形的内切圆
如图 圆O是 ABC 的内切圆的半径为r，则
= OBC+ OAC+ OAB = ar br cr s ( s a )( s b )( s c ) 2 2 2 c = r (a b c) s ( s a )( s b )( s c ) 2 s (a b c) 2 r= s s ( s a )( s b )( s c ) s 1 1 1 1 1
A
r r
b
Or B
1 2
a
(a b c)）
C
(其中s
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
r= s s 1 2 (a b c)）
A
r
s ( s a )( s b )( s c )
c
r
b
Or B
a
(其中s
C
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度， I是内心 则，∠BIC＝————度。
一三角形的三边长分别为3cm、4cm、 5cm，则其内切圆的 1cm 半径为————。
达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离 相等。 （ × ） 2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ √ ） 二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是 5cm和12cm，则它的外接圆
2cm 半径————，内切圆半径——— —。
同弧的圆周角是圆心角的一半 FDE=62.5
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法
B
c 外接圆半径R= 2 ab 内切圆半径r= a+b+c
c O
a
I A
b
C
等边三角形外接圆、内切圆半 径的求法
基本思路：
构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
O B
A 90
0
C
三角形的外接圆
0 当A 90 ，过B作直径交于D
设 ABC 的外接圆的半径为R，则 A
由A+D=180 得 0 sinA=sin（180 -D） = sin D= a sin A a 2R 2R 0
C
B
O
D
A 90
0
三角形的外接圆
由以上的证明可知， 三角形的外接圆的半径等于任意一边与它 对角的正弦的比的一半。
实质
三角形的外心 三角形的内心
性质
三角形的外心与内心
1、①外心是指三角形外接圆的圆心； ②内心是指三角形内切圆的圆心 ⒉外心与内心的比较： 实质
三角形的外心 三角形各边垂直平分线 的交点
性质
到三角形各顶 点的距离相等
三角形的内心 三角形各内角角平分线 到三角形各边 的交点 的距离相等
三角形的外接圆
设 ABC 的外接圆的半 径为R，则
B O
A
a b c 2R sin A sin B sin C
BC 2 R a , 而sin A=1，
a 2R sin A
C
A 90
0
三角形的外接圆
设 ABC 的外接圆的半径为R，则
0 当A 90 ，过B作直径交于D
A D
由A=D得 a sinD= sin A 2R a 2R sin A
8.5三角形的外接圆和内切圆
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
1、什么是三角形的外接圆与内 切圆？2、如何画出一个三角形 的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫 三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆 叫三角形的内切圆。
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
画圆的关键：
1、确定圆心 2、确定半径
作业：
1、习题8d 1、3、4、 9、10
A
117.5
I
C
B
B+C=180 55 125 B+C BIC 180 2 125 =180 2 =117.5
巩固练习：
2、如图，△ABC中，
A
∠A=55度，其内切圆切
△ABC 于D、E、F，则 62.5 度。 ∠FDE＝————
F
I
E
B
D
C
FAI=27.5 FIA=62.5则FIE=125
R B A
O r D C
等边三角形外接圆、内切圆半 径的求法
外接圆半径OB=R a cos30 2 R
a a 2 a 3 R / cos 30 2 2 3 3 3 内切圆半径r , r 3 a tan30 r a 3 2 2 3a 6
R 2r
做一做:
三角形的外接圆的圆心是各边 垂直平分线的交点；其半径是交 点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆心是各内 角平分线的交点；其半径是交点 到一边的距离。
三角形的外接圆：
A
O B C
三角形的内切圆：
A
I
B
C
二、三角形的外心与内心
对照画出的图形，讨论解决下列问题：
1、什么是三角形的外心与内心?
2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
6.5cm
达标检测 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半
2:1 径之比———— 。
三、选择题： 下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心Байду номын сангаас外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
小结与质疑：
1、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 2、三角形的外心及内心。 3、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。