回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)

0-1背包问题

计科1班朱润华 2012040732

方法1：回溯法

一、回溯法描述：

用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),

xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：

0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。

三、回溯法实现代码：

#include "stdafx.h"

#include

using namespace std;

template

class Knap

{

template

friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int);

private:

Typep Bound(int i);

void Backtrack(int i);

Typew c; //背包容量

int n; //物品数

Typew *w; //物品重量数组

Typep *p; //物品价值数组

Typew cw; //当前重量

Typep cp; //当前价值

Typep bestp;//当前最后价值

};

template

Typep Knapsack(Typep p[],Typew w[],Typew c,int n);

template

inline void Swap(Type &a,Type &b);

template

void BubbleSort(Type a[],int n);

int main()

{

int n = 4;//物品数

int c = 7;//背包容量

int p[] = {0,9,10,7,4};//物品价值下标从1开始

int w[] = {0,3,5,2,1};//物品重量下标从1开始

cout<<"背包容量为："<

cout<<"物品重量和价值分别为："<

for(int i=1; i<=n; i++)

{

cout<<"("<

}

cout<

cout<<"背包能装下的最大价值为："<

template

void Knap::Backtrack(int i)

{

if(i>n)//到达叶子节点

{

bestp = cp;

return;

}

if(cw + w[i] <= c)//进入左子树

{

cw += w[i];

cp += p[i];

Backtrack(i+1);

cw -= w[i];

cp -= p[i];

}

if(Bound(i+1)>bestp)//进入右子树

{

Backtrack(i+1);

}

}

template

Typep Knap::Bound(int i)// 计算上界 { Typew cleft = c - cw; // 剩余容量

Typep b = cp;

// 以物品单位重量价值递减序装入物品

while (i <= n && w[i] <= cleft)

{

cleft -= w[i];

b += p[i];

i++;

}

// 装满背包

if (i <= n)

{

b += p[i]/w[i] * cleft;