光明市的菜篮子工程
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案例四 光明市的菜篮子工程
光明市是一个人口不到15万人的小城市。根据该市的蔬菜种植情况，分别在花市（A）、城乡路口（B）和下塘街（C）设三个收购点。清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分别送到全市的8个菜市场。该市道路情况、各路段距离（单位：100m）及各收购点、菜市场①，②，…，⑧的具体位置见图。
④
按常年情况，A、B、C三个收购点每天收购量分别为200、170和160（单位：100kg），各菜市场每天的需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100 kg）见下表，设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/（100 kg·100m）
菜市场①②③④⑤⑥⑦⑧
每天需求（100kg）75608070100559080
短缺损失（元/100 kg）108 5 1010 8 5 8 （1）为该市设计一个从各收购点至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小；
（2）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的80%，重新设计定点供应方案；
（3）为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增产的蔬菜每天应分别向A、B、C三个收购点各供应多少最经济合理。
解：先用确定最短路的方法求出三个收购点至八个菜市场的最短路，距离如下
①②③④⑤⑥⑦⑧供应量
A 4 8 8 1911 6 2220200
B 14 7 7 1612 162317170
10160
15 5
191114 6
C 20
虚产地10 8 5 1010 8 5 8 80
需求量75 60807010055908075
Min 4x11+8x12+8x13+19x14+11x15+6x16+22x17+20x18+14x21+7x22+7x23+16x24 +12x25+16x26+23x27+17x28+20x31+19x32+11x33+14x34+6x35+15x36+5x37+10x38
+10x41+8x42+5x43+10x44+10x45+8x46+5x47+8x48
st
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=80
x11+x21+x31+x41=75
x12+x22+x32+x42=60
x13+x23+x33+x43=80
x14+x24+x34+x44=70
x15+x25+x35+x45=100
x16+x26+x36+x46=55
x17+x27+x37+x47=90
x18+x28+x38+x48=80
end
①②③④⑤⑥⑦⑧供应量
A 75 40 30 55 200
B 604070 170
C 70 90 160
虚产地8080
需求量75 60807010055908075
最小费用是： 4610.00元
（2）min 4x11+8x12+8x13+19x14+11x15+6x16+22x17+20x18+14x21+7x22 +7x23+16x24+12x25+16x26+23x27+17x28+20x31+19x32+11x33+14x34+6x35 +15x36+5x37+10x38+10x41+8x42+5x43+10x44+10x45+8x46+5x47+8x48
st
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160
x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=80
x11+x21+x31+x41=75
x12+x22+x32+x42=60
x13+x23+x33+x43=80
x14+x24+x34+x44=70
x15+x25+x35+x45=100
x16+x26+x36+x46=55
x17+x27+x37+x47=90
x18+x28+x38+x48=80
x11+x21+x31>=60
x12+x22+x32>=48
x13+x23+x33>=64
x14+x24+x34>=56
x15+x25+x35>=80
x16+x26+x36>=44
x17+x27+x37>=72
x18+x28+x38>=64
end
①②③④⑤⑥⑦⑧供应量
A 75 10 60 55 200
B 506456 170
C 24 7264160
虚产地 161416 181680
需求量75 60807010055908075 最小费用是： 4806.00元
（3）min 4x11+8x12+8x13+19x14+11x15+6x16+22x17+20x18
+14x21+7x22+7x23+16x24+12x25+16x26+23x27+17x28
+20x31+19x32+11x33+14x34+6x35+15x36+5x37+10x38
st
x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18>=200
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28>=170
x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38>=160
x11+x21+x31=75
x12+x22+x32=60
x13+x23+x33=80
x14+x24+x34=70
x15+x25+x35=100
x16+x26+x36=55
x17+x27+x37=90
x18+x28+x38=80
end
①②③④⑤⑥⑦⑧供应量
A 75 40 30 55 200
B 208070 170
C 70 9080240
需求量75 60807010055908075
最小费用是：4770.00元
增产的蔬菜不供应A收购点，也不供应B收购点，供应C收购点80个单位（100kg）。model:
! A 4 Warehouse, 8 Customer
Transportation Problem;
SETS:
WAREHOUSE / WH1, WH2, WH3,WH4/ : CAPACITY;
CUSTOMER / C1, C2, C3, C4,C5,C6,C7,C8/ : DEMAND;
ROUTES( WAREHOUSE, CUSTOMER) : COST, VOLUME;
ENDSETS
! The objective;
[OBJ] MIN = @SUM( ROUTES: COST * VOLUME);
! The demand constraints;
@FOR( CUSTOMER( J): [DEM]
@SUM( WAREHOUSE( I): VOLUME( I, J)) >=
DEMAND( J));
! The supply constraints;
@FOR( WAREHOUSE( I): [SUP]
@SUM( CUSTOMER( J): VOLUME( I, J)) <=
CAPACITY( I));
! Here are the parameters;
DATA:
CAPACITY = 200,170,160,80;
DEMAND = 75,60,80,70,100,55,90,80;
COST =
4,8,8,19,11,6,22,20,14,7,7,16,12,16,23,17,20,19,11,14,6,15,5,10,1 0,8,5,10,10,8,5,8;
ENDDATA
end