离散数学-耿素云PPT(第5版)1.7
合集下载
离散数学完整版课件全套ppt教学教程最全整套电子讲义幻灯片(最新)
(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0，即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励，都不能说老妈的 话是假的，故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”， 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假，即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了，即pq为1
由于所有内容(整数，实数，字符，汉字，图片，声 音，视频，网页，……)进入电脑后，全是01组成的字 符串，从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现，命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散，由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索：数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性，到2018年12月时能确定的，若届 时建成了则它是对的、为真命题，否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如：
(7) x与y之和为100，其中x为整数，y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的，当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的，为二进制时正确，当为八进制、 十进制时是错的，因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀！ (10)动作快点！ (11)你是杨老师吗？ 这三个语句不是陈述语句，因此不是命题。
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
7
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch6
AB = AB = A
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )} 广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
注意 和 是不同层次的问题
4
空集、全集和幂集
1．定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 实例： { x | xR x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2. 定义6.5 幂集：P(A)={ x | x A } 实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n. 3. 定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p：王晓用功，q：王晓聪明，则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式
的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题？
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
数学离散数学PPT课件
(b) 对公式 A: F(x, y)∧M→F(u, x)中的 F, 欲代以 B: G(x1)∨H(x2, s)→H(t, x2), 则只需x , y , u不是B内的约 束变元, 而且s , t不是A内的约束变元。 代入结果为 (G(x)∨H(y, s)→H(t, y))∧M→(G(u)∨H(x, s)→H(t, x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入：在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z)， 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证： 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
9
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
PPT课件
24
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
PPT课件
16
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2} 则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定
PPT课件
17
离散数学(第5版)耿素云9.2省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
5,
1 1
10
2,
2 0
11
3,
2 2
01
第8页8
积代数性质
设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统，其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 积代数是 V=<S1S2,∙> (1) 若 o 和 运算是可交换，那么∙ 运算也是可交换 (2) 若 o 和 运算是可结合，那么∙ 运算也是可结合 (3) 若 o 和 运算是幂等，那么∙ 运算也是幂等 (4) 若 o 和 运算分别含有单位元 e1 和 e2，那么∙ 运算
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>子代数. N{0}是<Z,+> 子代数，但不是<Z,＋,0>子代数
说明： 子代数和原代数是同种代数系统 对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在.
第6页6
关于子代数术语
最大子代数 就是V 本身. 假如V 中全部代数常数组 成集合 B，且 B 对V 中全部运算封闭，则 B 就组 成了V 最小子代数. 最大和最小子代数称为V 平凡 子代数. 若 B 是 S 真子集，则 B 组成子代数称为V 真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然 数，则 nZ 是 V 子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 平凡子代数，其它都是 V 非平凡真子代数.
第111页1
例题
例1 V=<R*,>, 判断下面哪些函数是V 自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1
7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 结论引入规则
AÙB
(3) 置换规则 (4) 假言推理规则
A®B A \B
\A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
(5) 附加规则
A®B
AB®Cຫໍສະໝຸດ \AÚB\A®C 9
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AÚB ØB \A
(10)构造性二难推理 规则
A®B C®D AÚC \BÚD
15
构造证明之三——归谬法(反证法)
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将ØB加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确. 理由:
A1ÙA2Ù…ÙAk®B Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAk)ÚB Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAkÙØB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1ÙA2Ù…ÙAk®B)为 重言式
前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 若推理正确，则记作：A1ÙA2Ù…ÙAkÞB.
3
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 判断推理是否正确 • 主析取范式法 • 构造证明法 证明推理正确
说明：用前3个方法时采用形式结构 “ A1ÙA2Ù…ÙAk®B” .
用构造证明时, 采用 “前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
⑨p
前提引入
⑩ ØpÙp
⑧⑨合取
请用直接证明法证明之
18
1.7 推理理论
§ 推理的形式结构 § 判断推理是否正确的方法 § 推理定律与推理规则 § 构造证明
直接证明法, 附加前提证明法, 归缪法
1
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若AÈCÍBÈD，则AÍB且CÍD.
推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程.
4
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p：今天是1号，q：明天是5号.
推理的形式结构为: (p®q)Ùp®q 证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1 得证推理正确
5
(11) 破坏性二难推理 规则
A®B C®D ØBÚØD \ØAÚØC (12) 合取引入规则 A B \AÙB
10
构造证明之一——直接证明法
例 构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课， 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以， 明天不是星期一和星期三.
解 设 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我有课，s：我备课
解 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 2是无理数，s：4是素数
推理的形式结构 前提：pÚq, p®r, r®Øs 结论：s®q
14
附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② p®r
前提引入
③ r®Øs
前提引入
④ p®Øs
②③假言三段论
⑤ Øp
①④拒取式
⑥ pÚq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
实例 (续)
(2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p：今天是1号，q：明天是5号.
推理的形式结构为: (p®q)Ùq®p 证明（用主析取范式法）
(p®q)Ùq®p Û (ØpÚq)Ùq®p Û Ø ((ØpÚq)Ùq)Úp Û ØqÚp Û (ØpÙØq)Ú(pÙØq)Ú (pÙØq)Ú(pÙq) Û m0Úm2Úm3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确.
6
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律
A Þ (AÚB) (AÙB) Þ A (A®B)ÙA Þ B (A®B)ÙØB Þ ØA (AÚB)ÙØB Þ A (A®B)Ù(B®C) Þ (A®C) (A«B)Ù(B«C) Þ (A«C) (A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
16
归谬法 (续)
例 构造下面推理的证明
前提：Ø(pÙq)Úr, r®s, Øs, p
结论：Øq
证明（用归缪法）
①q
结论否定引入
② r®s
前提引入
③ Øs
前提引入
④ Ør
②③拒取式
17
归谬法 (续)
⑤ Ø(pÙq)Úr
前提引入
⑥ Ø(pÙq)
④⑤析取三段论
⑦ ØpÚØq
⑥置换
⑧ Øp
①⑦析取三段论
7
推理定律 (续)
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B 构造性二难（特殊形式） (A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC)
破坏性二难
证明:描述推理过程的命题公式序列，其中每个命 题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题 公式应用推理规则得到的结论.
8
推理规则
(1) 前提引入规则
(6) 化简规则
2
推理的形式结构
定义 若对于每组赋值，或者A1ÙA2Ù…Ù Ak 均为假， 或者当A1ÙA2Ù…ÙAk为真时, B也为真, 则称由A1, A2, …, Ak推B的推理正确, 否则推理不正确（错误）. “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确
当且仅当 A1ÙA2Ù…ÙAk®B为重言式. 推理的形式结构: A1ÙA2Ù…ÙAk®B 或
推理的形式结构为 前提：(pÚq)®r, r®s, Øs 结论：ØpÙØq
11
直接证明法 (续)
证明
① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r ⑤ Ø(pÚq) ⑥ ØpÙØq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
12
构造证明之二——附加前提证明法
欲证明
前提：A1, A2, …, Ak 结论：C®B
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由： (A1ÙA2Ù…ÙAk)®(C®B)
Û Ø( A1ÙA2Ù…ÙAk)Ú(ØCÚB)
Û Ø( A1ÙA2Ù…ÙAkÙC)ÚB
Û (A1ÙA2Ù…ÙAkÙC)®B
13
附加前提证明法 (续)
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数，则 2是无理数. 若 2是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是 素数，则2是合数. 用附加前提证明法构造证明