离散数学-耿素云PPT(第5版)1.7
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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0,即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励,都不能说老妈的 话是假的,故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”, 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假,即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了,即pq为1
由于所有内容(整数,实数,字符,汉字,图片,声 音,视频,网页,……)进入电脑后,全是01组成的字 符串,从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现,命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散,由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索:数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性,到2018年12月时能确定的,若届 时建成了则它是对的、为真命题,否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如:
(7) x与y之和为100,其中x为整数,y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的,当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的,为二进制时正确,当为八进制、 十进制时是错的,因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀! (10)动作快点! (11)你是杨老师吗? 这三个语句不是陈述语句,因此不是命题。
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”, 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假,即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了,即pq为1
由于所有内容(整数,实数,字符,汉字,图片,声 音,视频,网页,……)进入电脑后,全是01组成的字 符串,从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现,命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散,由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索:数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性,到2018年12月时能确定的,若届 时建成了则它是对的、为真命题,否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如:
(7) x与y之和为100,其中x为整数,y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的,当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的,为二进制时正确,当为八进制、 十进制时是错的,因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀! (10)动作快点! (11)你是杨老师吗? 这三个语句不是陈述语句,因此不是命题。
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著

7
9.1二元运算及其性质
例6:设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表, 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统, 和*是二元运算。 如果存在映射:S1S2,若x,yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射,简称同态。
35
9.2 代数系统
例14: (1)G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,令
:ZZn,(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态?
六、消去律(定义9.7)
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件:
(1)若xy=xz且x,则y=z。 (2)若yx=zx且x,则y=z。 那么称运算满足消去律,其中(1)称作左消去律,(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10:设是字母的有穷集,称为字母表,中的有限 个字母组成的序列称为上的串,对任何串,串中字 母的个数叫做串的长度,记作||,长度是0的串叫空 串,记作,对任给的自然数k,令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2: f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6:设S={1,2},给出P(S)上的运算~和的运算表, 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统, 和*是二元运算。 如果存在映射:S1S2,若x,yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射,简称同态。
35
9.2 代数系统
例14: (1)G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,令
:ZZn,(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态?
六、消去律(定义9.7)
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件:
(1)若xy=xz且x,则y=z。 (2)若yx=zx且x,则y=z。 那么称运算满足消去律,其中(1)称作左消去律,(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10:设是字母的有穷集,称为字母表,中的有限 个字母组成的序列称为上的串,对任何串,串中字 母的个数叫做串的长度,记作||,长度是0的串叫空 串,记作,对任给的自然数k,令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2: f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集

3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合,如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示,则称S是联结词全功能集.
说明:若S是联结词全功能集,则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合,且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合,如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示,则称S是联结词全功能集.
说明:若S是联结词全功能集,则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合,且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
《离散数学概述》PPT课件

同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分,是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象,因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑: “证明”在计算科学的某些领域至关重要,构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析:解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数,……,是关于运算的学说,是关于运算规则 的学说,但它不把自己局限在研究数的运算性质上,而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——M.Klein
数学之所以重要,其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩;此外的原因是,数学给出了一个系统,以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题,回 答问题,并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年,因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》,所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年,匈牙利数学家寇尼格(Konig)出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》,这是图论发展史上的重要的里程碑 ,它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学的ppt课件

科学中的许多问题。
03
例如,利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等,可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科, 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策,离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ,可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起,形成一个新的集合。
详细描述
例如,{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如,对于集合{1, 2, 3},{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
)的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系,强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如,集合{1, 2, 3}的基数是3,即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向,即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向,即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子(如necessity、possibility)的语义和语法。
离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch6

AB = AB = A
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )} 广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}, {{a}}={a} {a}=a, {a}=a
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1.只涉及一个运算的算律: 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算(普通运算和广义运算) 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1.判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
注意 和 是不同层次的问题
4
空集、全集和幂集
1.定义6.4 空集 :不含有任何元素的集合 实例: { x | xR x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A, A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2. 定义6.5 幂集:P(A)={ x | x A } 实例:P()={}, P({})={,{}} 计数:如果 |A|=n,则 |P(A)|=2n. 3. 定义6.6 全集 E:包含了所有集合的集合 全集具有相对性:与问题有关,不存在绝对的全集
精品课程《离散数学》PPT课件(全)

言1
为什么学习离散数学?
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机科学与技术 的理论基础,所以又称为计算机数学,是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研 究对象一般是有限个或可数个元素,因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课?
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数: (3) 只有 a能被2整除, a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除, a才能被2整除。
解: 令r: a能被4整除, s: a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,记作p ∨ q,符号∨称 为析取联结词。 运算规则:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点:只有参与运算的二命题全为假时,运算结果才 为假,否则为真。 相容或:二者至少有一个发生,也可二者都发生 排斥或:二者只有一个发生,即非此即彼 例如: (1)小王爱打球或爱跑步。 设p:小王爱打球。 q:小王爱跑步。 则上述命题可符号化为:p ∨ q (2)张晓静是江西人或湖南人。 设p:江西人。 q:湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为:p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
(1)星期天天气好,带儿子去了动物园; (2)星期天天气好,却没带儿子去动物园; (3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园; (4)星期天天气不好,没带儿子去动物园。
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt

p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意: pq 与 qp 等值(真值相同)
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p,q为二命题,复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式,记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p:王晓用功,q:王晓聪明,则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生,s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学,t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词,整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题,复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式,记作 pq ,并称 p 是蕴涵式
的前件, q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词,
并规定,pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题?
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
数学离散数学PPT课件

(b) 对公式 A: F(x, y)∧M→F(u, x)中的 F, 欲代以 B: G(x1)∨H(x2, s)→H(t, x2), 则只需x , y , u不是B内的约 束变元, 而且s , t不是A内的约束变元。 代入结果为 (G(x)∨H(y, s)→H(t, y))∧M→(G(u)∨H(x, s)→H(t, x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入:在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z), 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
第26页/共41页
例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证: 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
第22页/共41页
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
第23页/共41页
谓词演算规则
1、代入规则 2、替换规则 3、对偶原理
第24页/共41页
1. 代入规则
(i)自由个体变元的代入:在一公式中, 任一自由个体变元 可代以另一个体变元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 例: 在公式xP(x, y)∨Q(w, y)中, 将y代以z, 则得xP(x, z)∨Q(w, z), 将y代以w, 则得xP(x, w)∨Q(w, w)。 所得公式称为原公式的代入实例。
1.后边的r个自由变元 不允许在原公式中以约束变元出现; 2. F(x1,x2, …, xn)中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元 出现。
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例: (a) 对公式(P→Q) (P∨Q)中的P代以xP(x), Q代以S(x), 得
(xP(x)→S(x)) (xP(x)∨S(x))
Q4
xP(x) xQ(x)
E14
第31页/共41页
(b) 证明
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
证: 根据CP规则, 上式等价于
x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x)) (R(x) P(x))
而 x(P(x) Q(x)) x(R(x) Q(x))
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件

证明:设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以:等式不成立 (3)(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明:设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
9
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律,即: (4)(BC)×A= (B×A)(C×A)
证明: 对于任意的<x,y>
<x,y>(BC)×A
PPT课件
24
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5:设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解:P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
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4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4:设A,B,C,D为任意集合,判断真假。 (1)A×B=A×CB=C 证明:若A=,B={1},C={2} 则A×B=A×C=,而BC。 所以:命题真假不定
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离散数学(第5版)耿素云9.2省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

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01
第8页8
积代数性质
设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,>是代数系统,其中 o 和 是二元运算. V1 与 V2 积代数是 V=<S1S2,∙> (1) 若 o 和 运算是可交换,那么∙ 运算也是可交换 (2) 若 o 和 运算是可结合,那么∙ 运算也是可结合 (3) 若 o 和 运算是幂等,那么∙ 运算也是幂等 (4) 若 o 和 运算分别含有单位元 e1 和 e2,那么∙ 运算
实例 N是<Z,+> 和<Z,+,0>子代数. N{0}是<Z,+> 子代数,但不是<Z,+,0>子代数
说明: 子代数和原代数是同种代数系统 对于任何代数系统 V ,其子代数一定存在.
第6页6
关于子代数术语
最大子代数 就是V 本身. 假如V 中全部代数常数组 成集合 B,且 B 对V 中全部运算封闭,则 B 就组 成了V 最小子代数. 最大和最小子代数称为V 平凡 子代数. 若 B 是 S 真子集,则 B 组成子代数称为V 真子代数 . 例2 设V=<Z,+,0>,令 nZ = { nz | z∈Z},n 为自然 数,则 nZ 是 V 子代数, 当 n = 1 和 0 时,nZ 是 V 平凡子代数,其它都是 V 非平凡真子代数.
第111页1
例题
例1 V=<R*,>, 判断下面哪些函数是V 自同态? (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1
7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编

3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
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M
R
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0 0
1 0
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7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
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7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
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(2) 结论引入规则
AÙB
(3) 置换规则 (4) 假言推理规则
A®B A \B
\A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
(5) 附加规则
A®B
AB®Cຫໍສະໝຸດ \AÚB\A®C 9
推理规则(续)
(9) 析取三段论规则 AÚB ØB \A
(10)构造性二难推理 规则
A®B C®D AÚC \BÚD
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构造证明之三——归谬法(反证法)
欲证明
前提:A1, A2, … , Ak 结论:B 将ØB加入前提,若推出矛盾,则得证推理正确. 理由:
A1ÙA2Ù…ÙAk®B Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAk)ÚB Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAkÙØB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1ÙA2Ù…ÙAk®B)为 重言式
前提: A1, A2, … , Ak 结论: B 若推理正确,则记作:A1ÙA2Ù…ÙAkÞB.
3
判断推理是否正确的方法
• 真值表法 • 等值演算法 判断推理是否正确 • 主析取范式法 • 构造证明法 证明推理正确
说明:用前3个方法时采用形式结构 “ A1ÙA2Ù…ÙAk®B” .
用构造证明时, 采用 “前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B”.
⑨p
前提引入
⑩ ØpÙp
⑧⑨合取
请用直接证明法证明之
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1.7 推理理论
§ 推理的形式结构 § 判断推理是否正确的方法 § 推理定律与推理规则 § 构造证明
直接证明法, 附加前提证明法, 归缪法
1
推理的形式结构—问题的引入
推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若AÈCÍBÈD,则AÍB且CÍD.
推理: 从前提出发推出结论的思维过程 上面(1)是正确的推理,而(2)是错误的推理. 证明: 描述推理正确的过程.
4
实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号,则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号. 解 设 p:今天是1号,q:明天是5号.
推理的形式结构为: (p®q)Ùp®q 证明(用等值演算法)
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1 得证推理正确
5
(11) 破坏性二难推理 规则
A®B C®D ØBÚØD \ØAÚØC (12) 合取引入规则 A B \AÙB
10
构造证明之一——直接证明法
例 构造下面推理的证明: 若明天是星期一或星期三,我就有课. 若有课, 今天必备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一,q:明天是星期三, r:我有课,s:我备课
解 设 p:2是素数,q:2是合数, r: 2是无理数,s:4是素数
推理的形式结构 前提:pÚq, p®r, r®Øs 结论:s®q
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附加前提证明法 (续)
证明
①s
附加前提引入
② p®r
前提引入
③ r®Øs
前提引入
④ p®Øs
②③假言三段论
⑤ Øp
①④拒取式
⑥ pÚq
前提引入
⑦q
⑤⑥析取三段论
请用直接证明法证明之
实例 (续)
(2) 若今天是1号,则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设p:今天是1号,q:明天是5号.
推理的形式结构为: (p®q)Ùq®p 证明(用主析取范式法)
(p®q)Ùq®p Û (ØpÚq)Ùq®p Û Ø ((ØpÚq)Ùq)Úp Û ØqÚp Û (ØpÙØq)Ú(pÙØq)Ú (pÙØq)Ú(pÙq) Û m0Úm2Úm3 结果不含m1, 故01是成假赋值,所以推理不正确.
6
推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律
A Þ (AÚB) (AÙB) Þ A (A®B)ÙA Þ B (A®B)ÙØB Þ ØA (AÚB)ÙØB Þ A (A®B)Ù(B®C) Þ (A®C) (A«B)Ù(B«C) Þ (A«C) (A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难
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归谬法 (续)
例 构造下面推理的证明
前提:Ø(pÙq)Úr, r®s, Øs, p
结论:Øq
证明(用归缪法)
①q
结论否定引入
② r®s
前提引入
③ Øs
前提引入
④ Ør
②③拒取式
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归谬法 (续)
⑤ Ø(pÙq)Úr
前提引入
⑥ Ø(pÙq)
④⑤析取三段论
⑦ ØpÚØq
⑥置换
⑧ Øp
①⑦析取三段论
7
推理定律 (续)
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B 构造性二难(特殊形式) (A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC)
破坏性二难
证明:描述推理过程的命题公式序列,其中每个命 题公式或者是已知的前提,或者是由前面的命题 公式应用推理规则得到的结论.
8
推理规则
(1) 前提引入规则
(6) 化简规则
2
推理的形式结构
定义 若对于每组赋值,或者A1ÙA2Ù…Ù Ak 均为假, 或者当A1ÙA2Ù…ÙAk为真时, B也为真, 则称由A1, A2, …, Ak推B的推理正确, 否则推理不正确(错误). “A1, A2, …, Ak 推B” 的推理正确
当且仅当 A1ÙA2Ù…ÙAk®B为重言式. 推理的形式结构: A1ÙA2Ù…ÙAk®B 或
推理的形式结构为 前提:(pÚq)®r, r®s, Øs 结论:ØpÙØq
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直接证明法 (续)
证明
① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r ⑤ Ø(pÚq) ⑥ ØpÙØq
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 ⑤置换
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构造证明之二——附加前提证明法
欲证明
前提:A1, A2, …, Ak 结论:C®B
等价地证明
前提:A1, A2, …, Ak, C 结论:B
理由: (A1ÙA2Ù…ÙAk)®(C®B)
Û Ø( A1ÙA2Ù…ÙAk)Ú(ØCÚB)
Û Ø( A1ÙA2Ù…ÙAkÙC)ÚB
Û (A1ÙA2Ù…ÙAkÙC)®B
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附加前提证明法 (续)
例 构造下面推理的证明: 2是素数或合数. 若2是素数,则 2是无理数. 若 2是无理数,则4不是素数. 所以,如果4是 素数,则2是合数. 用附加前提证明法构造证明