2006年浙江省高考数学试卷及答案(文科)

绝密★考试结束前
2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式 台体的体积公式
121
()3
V h S S =
其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1
3
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式
24S R π=
球的体积公式
34
3
V R π=
其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么
()()()P A B P A P B +=+
一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=
A ．［0,2］
B ．［1,2］
C ．［0,4］
D ．［1,4］ 2．在二项式()6
1x +的展开式中，含3
x 的项的系数是
A ．15
B ．20
C ．30
D ．40 3．抛物线2
8y x =的准线方程是
A ．2x =-
B ．4x =-
C ．2y =-
D ．4y =- 4．已知112
2
log log 0m n <<，则
A ．n ＜m ＜ 1
B ．m ＜n ＜ 1
C ．1＜ m ＜n
D ．1 ＜n ＜m
5．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2
||c =
A ．1
B ．2
C ．4
D ．5 6．3
2
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是
A ．-2
B ．0
C ．2
D ．4 7．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不允分也不必要条件
8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点， 则EF 的长是
A ．2
B 3
C 5
D 7
9．在平面直角坐标系中，不等式组20,
20,0x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积是
A ．42
B ．4
C ．22
D ．2 10．对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨
⎧≥b
a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是
A ．0
B ．12
C ．3
2
D ．3
非选择题部分（共100分）
注意事项：
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。

二．填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。

11．不等式
1
02
x x +>-的解集是 。

12．函数y=2sinxcosx-1,x R ∈的值域是 。

13．双曲线2
21x y m
-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 。

14．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，平面α过棱AB ，且CD ∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是 。

三．解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列。

(Ⅰ)求数列124,,S S S 的公比。

(Ⅱ)若24S =，求{}n a 的通项公式.
16．如图，函数y=2sin(πx ＋φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2
)的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM
17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB ⊥DM;
(Ⅱ)求BD 与平面ADMN 所成的角。

18．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2
个红球，n 个白球.现从甲，乙两袋中各任取2个球. (Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为4
3
，求n.
19．如图，椭圆b
y a x 2
22 ＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公
共点T ，且椭圆的离心率e=2
3
. (Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，求证：2
121||||||2
AT AF AF ＝ 。

20．设2
()32f x ax bx c =++，0a b c ++=若,f(0)f(1)＞0，求证： （Ⅰ）方程 ()0f x =有实根。

（Ⅱ）-2＜
b
a
＜-1；
（Ⅲ）设12,x x 是方程f(x)=0的两个实根，则.122||33
x x ≤-＜
数学（文科）试题参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
B
A
D
D
C
A
C
B
C
二．填空题．
11． 1,2x x x <->或 12．[]2,0- 13．18 14．1
2
三．解答题
15．本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。

满分 14分。

解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ,由题意，得 2
214S S S =⋅
所以2
111(2)(46)a d a a d +=+
因为0d ≠，所以 12d a = 故公比2
1
4S q S =
= （Ⅱ）因为2121114,2,224,S d a S a a a ===+= 所以11,2a d ==，因此21(1)2 1.a a n d n =+-=-
16．本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） ，所以 2sin 1x =,，即 1
sin 2
x =
因为02
l π
≤≤
，所以6
l π
=
.
（Ⅱ）由函数2sin()6y x π
π=+
及其图象，得115
(,0),(,2),(,0),636M P N - 所以 11(,2,)(,2)2
2
PM PN =--=-，从而cos ,PM PN PM PN PM PN
⋅<>=
⋅1517
=
故15,arccos 17
PM PN <>=.
17．本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。

满分14分。

解：方法一：
（Ⅰ）因为N 是PB 的中点，PA=AB, 所以AN ⊥PB. 因为AD ⊥面PAB, 所以AD ⊥PB. 从而PB ⊥平面ADMN.
DM ADMN ⊂因为平面，所以PB ⊥DM.
（Ⅱ）连结DN ， 因为PB ⊥平面ADMN ，
所以∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角.
在Rt BDN ∆中, 1
sin ,2BN BDN BD ∆== 故BD 与平面ADMN 所成的角是6
π
.
方法二：
如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -,设BC=1，则(0,0,0)A
1
(0,0,3),(2,0,0),(1,,1),(0,2,0)2
P B M D
（Ⅰ）因为3
(2,0,2)(1,,1)2
PB DM ⋅=--0= ，所以PB ⊥DM .
（Ⅱ）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0= 所以PB ⊥AD. 又PB ⊥DM.
因此PB AD <⋅>的余角即是BD 与平面ADMN 所成的角. 因为 cos 3
PB AD π
<⋅>=
，所以PB AD <⋅>=
3
π 因此BD 与平面ADMN 所成的角为6
π.
18．本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A.
22222245111
().61060
C C P A C C =⋅=⋅=
（Ⅱ）记“取到的4个球至多有一个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B . 由题意，得 31
()144
P B =-
= 211112
2222
122224242()n a a a C C C C C C P B C C C C ++=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =
++ 22
2
12242()a a C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)
n n n n -=
++ 所以 12()()()P B P B P B =+22(1);3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=
+++++1
4
= 化简，得 2
71160,n n --=解得2n =，或3
7
n =-（舍去）， 故 2n =.
19．本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为
12
x
y += 因为由题意得22
22111
2
x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩有惟一解．即222222
1()04b a x a x a b +-+=有惟一解,
所以22
2
2
(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠， 故2
2
(44)0a b +-=
又因为
2c =,即222
34a b a -= ， 所以224a b = ，从而得22
12,,2
a b == 故所求的椭圆方程为2
2212
x y +=.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c =
所以
12(F F
由 22
22
111
2
x y a b y x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-+⎪⎩解得 121,x x ==, 因此1(1,)2T =.从而 254AT =,
因为1252AF AF ⋅=, 所以2
1212
AT AF AF =⋅
20．本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

满分 14分。

证明：（Ⅰ）若 a = 0, 则 b = －c ,
f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) 2
0c =-≤， 与已知矛盾， 所以 a ≠ 0.
方程2
32ax bx c ++ = 0 的判别式 2
4(3),b ac ∆=-
由条件 a + b + c = 0，消去 b ，得2
2
4()a b ac ∆=+-22
134()024a c c ⎡⎤
=-+>⎢⎥⎣
⎦
故方程 f (x) = 0 有实根.
（Ⅱ）由条件，知 1223b x x a +=-, 1233c a b
x x a a
+⋅==-, 所以22
121212()()4x x x x x x -=--2431().923
b a =++
因为 21,b a -<<-所以 2
1214()39
x x ≤-<
故
1223
x x ≤-<。