运动路径

运动路径

1．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是．

2．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B 停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．3．如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是．

4．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=，PD=．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

5．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．

（1）若AE=CF；

①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；

②若AE=2，试求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

6．某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．

（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．

几何最值问题

1．（2014•江阴市校级模拟）如图，线段AB 的长为4，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．

2．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC 的边长为6，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一点，则PE+PC 的最小值为 ． 3．（2014秋•贵港期末）如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∠BAD=110°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当△AMN 周长最小时，∠MAN 的度数为 ．

4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D 到点O 的距离最大时，OA 长度为 5．（2014•河南校级模拟）如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ=2，当BP= 时，四边形APQE 的周长最小． 6．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE=1，长为的线段MN 在AC 上运动，当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值 ．

7．（2015•江干区一模）如图，△ABC 中，CA=CB ，AB=6，CD=4，E 是高线CD 的中点，以CE 为半径⊙C ．G 是⊙C 上一动点，P 是AG 中点，则DP 的最大值为 ． 8．（2013•武汉）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ． 9．（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，连接A ′A ，当点A 落在A ′C 上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP 的最大值是 ．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4，P 为△ABC 内部一点，则AP+BP+CP 的最小值是 ．（结果可以不化简）

10. (2015诸暨模拟)正方形ABCD 的面积为（2-）cm 2，点P 是对角线AC 上的一个动点，则

线段AP ，BP ，DP 之和的最小值为 .