九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析

一、圆的综合

1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tan A=1

2

，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3

2

x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理

即可得出结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，

∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BD

AE DE AD

==．∵Rt△ABD

中，tan A=BD

AD

=

1

2

，∴

DE BE

AE DE

==

1

2

，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3

2

x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（3

2

x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣

2

9

（舍）或x=2，

∴圆O的半径为3．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．

2．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC=6，sinA=3

5

，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.

【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】

分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.

（2）由sinA=3

5

且BC=6可知，AB=10且cosA=

4

5

，然后求出OD的长度即可.

（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.

详解：（1）如图：连接OD、OB.

在△ODB和△OCB中：

OD=OC,OB=OB,BC=BD;

∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.

∴AB为⊙O的切线.（2）如图：

∵sinA=3

5，∴

CB3

AB5

=,

∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,

∴AD=AB-BD=4,

∵sinA=3

5，∴cosA=

4

5

，

∴OA=5，∴OD=3，

即⊙O的半径为：3.

（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，

由三角形的三边关系可知：

当P点与E点重合时，PB取最小值.

由（2）可知：OD=3，DB=6,

∴22

3635

+=

∴PB=OB-OE=353.

当P点与F点重合时，PB去最大值，

PB=OP+OB=3+35

点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.

3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=25，sin∠P=2

3

，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=

2

3

CD

PD

，5，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为1

2

×4×2=4，

扇形ABE的面积为1

2

π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.