一元函数微积分学内容提要

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第2章一元函数微分学

第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。

一元微积分讲义

专升本培训教育一元微积分学讲义王子包子王王子包2011-5-26按照安徽省专升本2011考试大纲整理微积分2011年安徽省专升本考试大纲1．函数：函数的概念、函数的几种常见性态、反函数与复合函数、初等函数；2．极限与连续：极限的概念及运算、极限存在准则、两个重要极限、无穷大量与无穷小量、函数的连续性；3．导数与微分：导数的概念、基本公式与运算法则、隐函数的导数、高阶导数、函数的微分；4．导数的应用：微分中值定理（Rolle定理，Lagrange中值定理）洛比达法则、函数的单调性及其极值；函数的最大值和最小值、曲线的凹凸性与拐点；5．不定积分：不定积分的概念、性质与基本积分公式、换元积分法、分部积分法、简单的有理函数积分；6．定积分及其应用：定积分的概念、性质、定积分与不定积分的关系、定积分的换元积分法和分部积分法、无穷区间上的广义积分；定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）；7．多元函数微分法：多元函数的概念、偏导数、全微分、复合函数的微分法；8．二重积分：二重积分的概念、性质与计算（直角坐标与极坐标）；9．微分方程：微分方程的基本概念、一阶微分方程（分离变量、齐次、线性）；10．无穷级数：数项级数的概念和性质、正项级数及其审敛法、幂级数的收敛半径及收敛域。

目录第一章函数、极限、连续 (1)1.1 函数 (1)1. 函数的定义： (1)2. 函数的简单性态 (1)3. 反函数 (2)4. 复合函数 (2)6. 初等函数 (3)1.2 极限 (4)一、极限的概念与基本性质 (4)二、无穷小量 (5)三、求极限的方法 (6)典型例题 (7)1.3 连续 (13)一、函数连续的概念 (13)二、函数的间断点及其分类 (13)三、初等函数的连续性 (14)四、闭区间上连续函数的性质 (14)典型例题 (15)第二章一元函数微分学 (17)2.1 导数与微分 (17)一、导数与微分概念 (17)二、导数与微分计算 (19)典型例题 (22)2.2 微分中值定理 (26)一、罗尔定理 (26)二、拉格朗日中值定理 (26)典型例题 (27)2.3 导数的应用 (29)一、判断函数的单调性 (29)二、函数的极值 (29)三、函数的最大值和最小值 (30)四、凹凸性与拐点 (32)典型例题 (33)第三章一元函数积分学 (35)3.1 不定积分 (35)一、基本概念与性质 (35)二、换元积分法 (36)三、分部积分法 (37)四、简单的有理函数积分 (37)典型例题 (41)3.2 定积分 (43)一、定积分的概念 (43)二、定积分的性质 (43)三、基本定理 (44)四、定积分的还原积分法和分部积分法 (44)五、无穷区间上的广义积分 (45)六、奇偶函数的积分 (45)典型例题 (46)3.3 定积分的应用 (50)一、平面图形的面积 (50)二、绕坐标轴旋转的旋转体的体积 (50)典型例题 (51)附一元积分学07-10年真题 (54)一元微积分部分讲义第一章函数、极限、连续1.1 函数1. 函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

大一下微积分的知识点

大一下微积分的知识点微积分是数学的一个重要分支，研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。

大一下学期的微积分主要包括一元函数的定积分、微分方程、多元函数的偏导数和多元函数的二重积分等知识点。

一、一元函数的定积分1.牛顿-莱布尼茨公式2.定积分的定义和性质，包括区间的可加性、线性性质、平均值定理等3.定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法、定积分的几何应用等4.定积分的应用，如计算曲线下的面积、求旋转体的体积等二、微分方程1.微分方程的概念和分类，包括常微分方程和偏微分方程2.一阶常微分方程的解法，如分离变量法、齐次方程的解法、一阶线性微分方程的解法等3.高阶常微分方程的解法，如常系数线性齐次微分方程的特征方程法、非齐次方程的待定系数法等4.微分方程的应用，如生物学中的人口模型、经济学中的边际收益函数等三、多元函数的偏导数1.多元函数的定义和性质，包括函数的定义域、值域、图像等2.偏导数的定义和性质，包括一阶偏导数和高阶偏导数、混合偏导数等3.链式法则和隐函数定理4.多元函数的极值和最值，包括鞍点、临界点、二阶判别法等四、多元函数的二重积分1.二重积分的定义和性质2.二重积分的计算方法，如极坐标法、二重积分的换序、二重积分的应用等3.曲线与曲面的面积计算，包括极坐标下曲线的长度、曲面的表面积等4.二重积分的物理应用，如计算质量、质心、转动惯量等总结起来，大一下微积分的知识点主要包括一元函数的定积分、微分方程、多元函数的偏导数和多元函数的二重积分等内容。

学习这些知识点，能够帮助我们更深入地理解函数的性质和变化规律，并应用于实际问题的求解和分析中。

第2章--一元函数微分学

即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理若函数y=f(x)在点x0 处可导则它在点x0 处必定连续 .
证明设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx

《大学数学课件一元函数微积分学》

曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积分：代换法、分部积分法、三角函数积分法、有理函数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的形式，从而来研究一些不易计算的函数。

一元函数微分学

一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。

一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。

本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。

一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。

通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。

2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。

唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。

二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。

2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。

线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。

三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。

四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。

当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。

高等数学1：一元函数微积分学

高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。

一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。

微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。

研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。

在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。

这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。

总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。

研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。

只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。

一元函数微分学内容概要总结

一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。

以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。

微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。

2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。

3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。

4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。

5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。

6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。

7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。

以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。

希望能对你有所帮助。

第三章一元函数微分学本章主要内容...

第三章一元函数微分学本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.I 基本概念与主要结果一导数与微分1 导数定义1 设函数在点某领域内有定义，若极限)(x f y =0x 00)()(lim 0x x x f x f x x −−→ 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. f 0x f 0x )(0x f ′等价形式：.lim )()(lim )()(lim )(00000000x y hx f h x f x x f x x f x f x h x ΔΔ=−+=Δ−Δ+=′→Δ→→Δ 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数.左导数：设函数在点的左领域)(x f y =0x ),(00x x δ−上有定义，若左极限)0()()(lim 000<Δ<−Δ−Δ+−→Δx xx f x x f x δ 存在，则称该极限为函数在点左导数，记作f 0x ).(0x f −′类似可定义右导数：xx f x x f x f x Δ−Δ+=′+→Δ+)()(lim )(0000（δ<Δ<x 0）. 左右导数统称为单侧导数.可导的充要条件：在点可导f 0x ⇔f 在点的左右导数存在，且相等. 0x 有限增量公式：设在点可导，则)(x f 0x x y xx f x x f x f x x ΔΔ=Δ−Δ+=′→Δ→Δ00000lim )()(lim)(，由此得 ).()(0x o x x f y Δ+Δ′=Δ称之为在点的有限增量公式. 注意，此公式对f 0x 0=Δx 仍旧成立.若函数在区间I 上每点都可导，则称为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间，则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数.f f 2 导数的几何意义函数在点可导的充要条件是：曲线f 0x )(x f y =在点存在不平行于轴的切线.))(,(00x f x y 若函数在点可导，则曲线)(x f y =0x )(x f y =在点的切线方程为))(,(00x f x ).)(()(000x x x f x f y −′=−注此说明：可导一定存在切线，但存在切线未必可导.3 导数与连续的关系（1）在点可导，则在点连续，但反之不成立.f 0x f 0x （2）在点的左（右）导数存在，则在点左（右）连续.f 0x f 0x 4导函数的两大特性：（1）无第一类间断点；)(x f ′（2）具有介值性.)(x f ′其证明参看例1和例2.5 求导法则（1）四则运算法则设函数在)(),(x v x u x 可导，则)()(),()(x v x u x v x u ⋅±在x 可导，当时，0)(≠v v )()(v v x u 在x 可导，且 )()())()((x v x u x v x u ′±′=′±；)()()()())()((x v x u x v x u x v x u ′+′=′；.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u ′−′=′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ （2）复合函数求导的链式法则设)(x u ϕ=在点可导，在点0x )(u f y =)(00x u ϕ=可导，则复合函数))((x f y ϕ=在点可导，且0x ).())(()))(((00x x f x f ϕϕϕ′′=′（3）反函数求导法则设为)(x f y =)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在点某领域内连续，严格单调，且0y 0)(0≠′y ϕ，则在点)(x f )(00y x ϕ=可导，且.)(1)(00y x f ϕ′=′ 6 参数方程求导法则设函数由参数方程 )(x f y =,),(),(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，若)(t x ϕ=具有反函数，)(),(t t φϕ可导，且0)(≠′t ϕ，则.)()(t t dx dy ϕφ′′= 7 基本初等函数求导公式c c ,0=′为常数；；1)(−=′αααx x x x cos )(sin =′； x x sin )(cos −=′；x x 2sec )(tan =′；；x x 2csc )(cot −=′x x x tan sec )(sec =′； x x x cot csc )(csc −=′；211)(arcsin x x −=′； 211)(arccos x x −−=′； 211)(arctan x x +=′； 211)(arccot xx +−=′； a a a x x ln )(=′；；x x e e =′)(ax x a ln 1)(log =′； .1)(ln x x =′ 8 微分定义2 设函数在点某领域内有定义，若)(x f y =0x y 在点的改变量可以表示为0x y Δ)(x o x A y Δ+Δ=Δ，其中A 是与无关的常数，表示x Δ)(x o Δx Δ的高阶无穷小量，则称函数在点可微，并称为)(x f y =0x x A Δ)(x f y =在点的微分，记作0x )d (d 0x A x A y x x =Δ== 或 )d ()(d 0x A x A x f x x =Δ==. 9 可微与可导的关系函数在点可微的充要条件是：在点可导.f 0x f 0x 10 一阶微分形式的不变性对函数，不论是自变量，还是中间变量，都有)(u f y =u.d )(d u u f y ′=此性质常用来求函数的导数.11 近似计算与误差估计.)()()(000x x f x f x x f Δ′+≈Δ+绝对误差：x x f y Δ′≈Δ)(0.相对误差：.)()(00x x f x f y y Δ′≈Δ 12 高阶导数函数一阶导数的导数，称为二阶导数，记作)(x f y =)(x f ′)(x f ′′；一般地，阶导数的导数称为阶导数，记为1−n n )()(x f n 或 n n n n dxy d dx x f d =)(. 二阶以及二阶以上导数都称之为高阶导数.高阶导数运算法则（1） .)()())()(()()()(x v x u x v x u n n n ±=±（2） Leibniz 公式 ∑=−=nk k n k k n n x v x u C x v x u 0)()()()()()]()([. 若干简单函数的阶导数： n n n x n x −+−−=ααααα)1()1()()("；)2sin()(sin )(πn x x n +=； )2cos()(cos )(πn x x n +=； )1,0(ln )!1()1()(log 1)(≠>−−=−a a a x n n n n x a ； n n n x n x )!1()1()(ln 1)(−−=−； n x n x a a a )(ln )()(=；.)()(x n x e e =高阶导数的计算经常用到数学归纳法.13 高阶微分函数的一阶微分的微分，称为二阶微分，记作；一般地，阶微分 )(x f y =dy y d 21−n y d n 1−的微分，称为n 微分，记作，即y d n .)())(()()(1)1(1n n n n n n dx x f dx x f d y d d y d ===−−−二阶以及二阶以上的微分都称为高阶微分.注（1）高阶微分不在具有形式不变性；（2）符号意义各不相同，，表示)(,,222x d x d dx 22)(dx dx dx dx =⋅=x d 2x 的二阶微分，而表示的微分.)(2x d 2x 二微分中值定理1 极值定义3 若函数在点的某领域内对一切f 0x )(0x U )(0x U x ∈，都有))()(()()(00x f x f x f x f ≤≥，则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.f 0x 0x 注极值是函数的局部性质，因此，极大值未必大于极小值.定理1（极值的第一充分条件）设函数在点连续，在某领域内可导.f 0x ),(00δx U （1）若当),(00x x x δ−∈时，0)(≤′x f ，当),(00δ+∈x x x 时，，则在点取得极小值；0)(≥′x f )(x f 0x （2）若当),(00x x x δ−∈时，0)(≥′x f ，当),(00δ+∈x x x 时，，则在点取得极大值.0)(≤′x f )(x f 0x 定理2（极值的第二充分条件）设函数在点的某领域f 0x ),(0δx U 内一阶可导，在处二阶可导，且0x x =.0)(,0)(00≠′′=′x f x f（1）若0)(0<′′x f ，则在取得极大值；f 0x （2）若，则在取得极小值.0)(0>′′x f f 0x 注仿定理2，由Taylor 定理可以给出借助于更高阶导数的极值判别充分条件.2 Fermat 定理设函数在点某领域内有定义，且在点可导，若为的极值点，则必有f 0x 0x 0x f .0)(0=′x f注（1）使得0)(=′x f 的点x 称为的驻点或稳定点.f （2）极值点未必是稳定点，稳定点未必是极值点. 对于可导函数来说，极值点一定是稳定点. 对于一般函数来说，极值点必为的稳定点或不可导点.f （3）最值点未必是极值点，只有当最值点落在区间内部（即不是区间的端点）时，最值点才是极值点，此性质常用来寻找导数为零的点.（4）最值点必为极值点或区间的端点，或者说，最值点必为稳定点、不可导点或区间端点.3 Rolle 中值定理若函数满足如下条件：f （1）在闭区间上连续；f ],[b a （2）在开区间内可导；f ),(b a （3），)()(b f a f =则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(=′ξf注（1）几何意义：若函数满足上述条件，则在曲线f )(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线（x 轴）.（2）此定理可推广为：若函数在开区间（有界或无界区间）内可导，且f ),(b a )(lim )(lim x f x f bx a x −+→→=，其中极限可以是有限数，或，或∞+∞−，在内至少存在一点),(b a ξ，使得.0)(=′ξf4 Lagrange 中值定理若函数满足下列条件：f （1）在闭区间上连续；f ],[b a （2）在开区间内可导，f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.)()()(ab a f b f f −−=′ξ 注（1）几何意义：若函数满足上述条件，则在曲线f )(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线.（2）几种不同的表示形式：b a a b f a f b f <<−′=−ξξ),)(()()(；10),))((()()(<<−−+′=−θθa b a b a f a f b f ；10,)()()(<<+′=−+θθh h a f a f h a f ；.)()()(ξf a f b f a b ′−=− 特别注意最后一式在解题中的应用.若令，则中值定理又可写成0,x a x b ==).())(()(00x f x x f x f +−′=ξ5 Cauchy 中值定理若函数满足下列条件：)(),(x g x f （1）在闭区间上连续；],[b a （2）在开区间内可导；),(b a （3）在开区间内不同时为零；),(b a g f ′′,（4），)()(b g a g ≠则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：若在直角坐标平面uv 内的曲线参数方程],,[),(),(b a x x f v x g u ∈⎩⎨⎧== 满足上述条件，则曲线上至少存在一点))(),((ξξv u ，使得该点的切线平行于曲线两端点的连线.6 Taylor 定理（公式）若函数在点存在阶导数，则称由这些导数构造的次多项式f 0x n n ∑=−=n k k n x x k x f x T 000)()(!)()( 为函数在点处的Taylor 多项式，中的各项系数f 0x )(x T n ),,2,1(!)(0)(n k k x f k "=称为Taylor 系数. 带Peano 型余项的Taylor 公式：若函数在点存在直至阶导数，则有f 0x n ).)(()()(0n n x x o x T x f −+=带Lagrange 型余项的Taylor 公式：若函数在上存在直至阶的连续导数，在内存在阶导数，则对任意给定的f ],[b a n ),(b a 1+n ],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ，ξ介于x 与之间，使得0x .)()!1()()()(10)1(++−++=n n n x x n f x T x f ξ 当时，上述两个公式又称为Maclaurin 公式.00=x 注意比较两种不同类型余项的Taylor 公式的条件与结论，前者给出了定性的描述，后者给出了定量的刻画，注意它们在不同场合的应用.几种常见函数的Maclaurin 公式：)(!!212n nxx o n x x x e +++++="； )()!12()1(!5!3sin 1212153−−−+−−+++−=n n n x o n x x x x x "； )()!2()1(!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +−+++−="； )(32)1ln(32n nx o n x x x x x ++++−=+"； )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++−−++−++=+ααααααα""；).(1112n n x o x x x x+++++=−" 注意以上几个公式在不定式极限计算中的应用.7 微分中值定理之间的关系（1）； Rolle Lagrange Cauchy Taylor ⇒⇒⎭⎬⎫（2）微分中值定理的推广设函数在区间上连续，在内可导，定义h g f ,,],[b a ),(b a )()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =，则在内至少存在一点),(b a ξ，使得.0)()()()()()()()()()(=′′′=′ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F特别地，若令1)(,)(≡=x h x x g ，即得Lagrange 中值定理（若再有)()(b f a f =，便是Rolle 中值定理）；若令，便得Cauvhy 中值定理的另一形式：1)(≡x h )].()()[()]()()[(a g b g g a g b g f −′=−′ξξ若附加Cauchy 中值定理的条件，可得到Cauchy 中值定理一样的形式.8 应用（1）判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数问题；（2）对于给定的可微函数得到某些中值公式，并证明某些等式或不等式；（3）推倒某些可微函数的整体性质，如单调性，有界性，最值，一致连续性，以及某些导函数的极限等问题；（4）求解某些不定式极限问题（L ’Hospital 法则，等价无穷小替换）；（5）研究函数曲线的形态，如曲线的单调性，凹凸性，渐进线，极值等，描绘某些函数的图象；（6）近似计算，方程近似求解等.中值定理的灵活运用是本章重点和难点. 如果要解决的问题中含有未知的“ξ”，首先应分析题目中所给函数的条件，若仅有连续性条件，则只能用闭区间上连续函数的性质，而不能使用微分中值定理；若有可微性条件，往往要用到微分中值定理；若函数二阶可导，往往要两次使用罗尔或拉格朗日中值定理，或直接使用泰勒公式；若存在三阶或三阶以上导数，则泰勒公式是首选. 其次，要对所证明的等式或不等式进行适当的恒等变形，使之符合定理的形式.三凸函数1 凸函数的几种定义及其等价关系：定义1 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x ∈∀21,，)1,0(∈∀λ，有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ−+≤−+，称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ−+≥−+，则称为f I 上的凹函数. 式中的不等号改为严格不等号时，称之为严格凹函数. 下面仅就凸函数进行讨论.定义2 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x ∈∀21,，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+. 称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义3 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x n ∈∀,,1"，有2)()()(211x f x f n x x f n ++≤++"". 称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义4 设函数在区间I 有定义，如果)(x f I x x n ∈∀,,1"，，有1,01=≥∀∑=ni i i λλ)()()(21111x f x f x x f n n n λλλλ++≤++"".称函数为I 上的凸函数，式中“)(x f ≤”改为“<”时称为严格凸函数.定义5 设函数在区间I 有定义且可导，如果曲线)(x f )(x f y =的切线保持在曲线的下方，称函数为I 上的凸函数；若除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称之为严格凸函数.)(x f 定义 6 设函数在区间I 有定义且可导，如果)(x f )(x f ′单增，称函数为I 上的凸函数.)(x f 注定义1与定义4等价；定义2与定义3等价；当连续时，定义1至定义4均等价；当函数可导时，以上6个定义均等价.)(x f 由定义6立得定义7 若函数在I 存在二阶导数，则为凸函数)(x f )(x f ⇔0)(≥′′x f .（辽宁师大） 2 凸函数的性质与定理定理1 设函数在I 有定义，则下列条件等价：)(x f 321321,,,x x x I x x x <<∈∀，（1）为I 上的凸函数；)(x f （2）13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−；（3）23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−；（4）23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−；（5）曲线上三点所围成的有向面积)(x f y =))(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 0)(1)(1)(121332211≥x f x x f x x f x . 推论1（清华大学）若函数为I 上的凸函数，则)(x f 321321,,,x x x I x x x <<∈∀，13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤−−2323)()(x x x f x f −−≤.推论2 若函数为I 上的凸函数，则)(x f I x ∈∀0，过的弦的斜率0x 00)()(x x x f x f k −−=是x 的增函数，且当函数为严格时凸函数时，斜率严格单调递增.k 推论3 若函数为I 上的凸函数，则I 上任意四点)(x f v u t s <<<，有uv u f v f s t s f t f −−≤−−)()()()(.事实上也是充分条件.推论4 若函数为I 上的凸函数，则)(x f I x ∈∀0，在的左右导数均存在，皆为增函数，且0x .int ),()(I x x f x f ∈∀′≤′+−.推论5 若函数为I 上的凸函数，则在内连续.)(x f )(x f I int 定理2（中国科技大学）设函数在区间I 有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得，有)(x f )(x f R I x ∈∃∈∀α,0D I x ∈∀)()()(00x f x x x f +−≥α.证（1）必要性因为为凸函数，由推论4知：，)(x f D I x ∈∀0)(0x f −′存在，且0)()(x x x f x f −−单增趋于（），由此，任取)(0x f −′−→0x x )(0x f −′≥α，则当0x x <时，有)()()(00x f x x x f +−≥α.同理，当)(0x f +′≤α时，则当时，有0x x >)()()(00x f x x x f +−≥α.而，所以存在)()(00x f x f +−′≤′α：)()(00x f x f +−′≤≤′α，I x ∈∀，有)()()(00x f x x x f +−≥α.（2）充分性设是定义域上的任意三点，由已知条件，对，存在321x x x <<2x α，使得，有I x ∈∀)()()(22x f x x x f +−≥α.分别令可得31,x x x x ==23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f −−≤≤−−α.由定理1知为凸函数.)(x f 推论1 设函数在I 内可导，则为凸函数的充要条件是：有)(x f )(x f ,0D I x ∈∀)())(()(000x f x x x f x f +−′≥.推论2 若函数为I 凸函数，则在曲线)(x f ,0D I x ∈∀)(x f y =上，过点可作一直线l ，使曲线位于直线l 之上.))(,(00x f x 若为严格凸函数，则除点外，曲线严格地位于直线l 的上方. f ))(,(00x f xII 典型例题与方法一导函数的两大特性1 导函数无第一类间断点例1（南京大学）设函数在内处处可导. 证明：中的点或为的连续点，或为的第二类间断点.)(x f ),(b a ),(b a )(x f ′)(x f ′证只需证明：若在点)(x f ′),(0b a x ∈左右极限存在，则)(x f ′在该点连续. 由已知条件知函数在点)(x f ),(0b a x ∈可导，由右导数定义及微分中值定理得)(),(lim )()(lim)()(0000000x x f x x x f x f x f x f x x x x <<′=−−=′=′+→+→+ξξ. 由假设在点存在右极限，根据上式可得)(x f ′0x )0()(lim )(000+′=′=′+→x f f x f x x ξ.同理可证：若)(x f ′在点存在左极限，则必有0x )0()(lim )(000−′=′=′−→x f f x f x x ξ.因此，在点连续，从而无第一类间断点.)(x f ′),(0b a x ∈思考题1（西安交大2003）设在内可导，证明： )(x f ),(b a （1），在处不可能发生第一类间断； ),(0b a x ∈∀)(x f ′0x （2）当在内单调时，)(x f ′),(b a )(x f ′必在内连续.),(b a 思考题2（武汉大学）若函数在可导，)(x f ),(b a )(x f ′在内单调，则在内连续.),(b a )(x f ′),(b a 思考题3（北京大学）设在上连续，在内可导，且存在极限)(x f ],[b a ),(b a l x f a x =′+→)(lim ，则右导数存在，且.)(l a f =′+思考题4（中科院）设⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,)(x x x x f 证明：不存在一个函数以为其导函数.)(x f 2 导函数具有介值性例2（G. Darboux 定理）（西安交大，武汉大学，北京师范大学,北航2001）若函数在上可导，且，则)(x f ],[b a )()(b f a f ′<′c ∀：)()(b f c a f ′<<′，),(b a ∈∃ξ，使得c f =′)(ξ.提示：作辅助函数cx x f x g −=)()(，则在可导，且)(x g ],[b a 0)()(,0)()(>−′=′<−′=′c b f b g c a f a g .只需证明：),(b a ∈∃ξ，使得0)(=′ξg .事实上，由于0)()(lim)(<−−=′+→ax a g x g a g a x ，则当a x >而充分接近时，a )()(a g x g <. 同理可证：当b x <而充分接近时，. 这样的最小值点b )()(b g x g <)(x g ξ必落入内，从而为的极值点，由Fermat定理知),(b a )(x g 0)(=′ξf .严格证明请读者自己给出.例3（武汉大学）设有界函数实数集R 上二次可微. 证明：)(x f R x ∈∃0，使得0)(0=′′x f .证法一若在R 上变号，由导函数的介值定理知)(x f ′′R x ∈∃0，使得. 若在R 上不变号，不妨设，此表明0)(0=′′x f )(x f ′′0)(>′′x f )(x f ′严增，因此存在.由泰勒定理得0)(,≠′∈c f R c 2))((21))(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ，其中ξ介于x 与之间. 由知c 0)(>′′x f 0)(>′′ξf . 于是，若0)(>′c f ，令+∞→x 得，若+∞→)(x f 0)(<′c f ，令−∞→x 得+∞→)(x f ，这与有界矛盾，故在R 上变号，从而结论成立.)(x f )(x f ′′证法二若R b a ∈<∃，使得)()(b f a f ′=′，由Rolle 定理知结论成立. 若，则在R 上严格单调. 事实上，若不然，则,,R b a ∈∀)()(b f a f ′≠′)(x f ′321x x x <<∃,有)()()(321x f x f x f ′>′<′ 或 )()()(321x f x f x f ′<′>′，由导函数的介值定理知：),,(),,(3221x x b x x a ∈∈∃有)()(b f a f ′=′，与假设矛盾，故在R 上严格单调. 不妨设严格单增，则存在)(x f ′0)(,≠′∈c f R c . 若，则当0)(>′c f c x >时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(+∞→+∞→−′+=x c x f c f x f ξ.若，则当0)(<′c f c x <时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(−∞→+∞→−′+=x c x f c f x f ξ.由此得在R 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真. )(x f二导数与可微问题1 显函数求导问题例4（武汉大学2003）设dt t t x F x∫−=1ln )(，求).(x F ′解由左右导数定义得xdtt t dt t t x F x F F x x x ∫∫−−→→+−=−=′++10100ln ln lim)0()(lim )0(xdt t t xdt t t x x x x ∫∫++→→==0000ln limln lim0ln lim 0==+→x x x ；同理可求：所以,0)0(=′−F .0)0(=′F例5（北京大学2002）设x x x x f arcsin 1)(2+−=，求).(x f ′解 .121111)(22222x x x x x x f −=−+−−−=′例6（人民大学2001）设2111arcsin)1()(xxe x x xf x +−++=−，求 ).1(f ′解记1)1()(−+=x exx x g ，则212ln 41)1ln(21)(ln +−++=x x x x g ，两边关于x 求导得]2141)1(21)[()(−++=′x x x g x g ， .0)1(=′g222222112)1(211)1(11)11(arcsinx x x x x x x xx ++−−+−⋅+−−=′+−， 22)11(arcsin 12−=+−=x x x ，所以，.22)1(−=′f 例7（北京科技大学1998）设，0>x ∫=2sin )(x xdu uuxx f ，求).(x f ′ 解 0,0>∃>∀αx ，使得，在矩形区域上，)1,(,22+∈ααx x ]1,[]1,[22+×+αααα)sin (,sin u uxx u ux ∂∂ 均连续，所以xx x x x du u ux x f x xx 23sin 2sin )sin ()(2−⋅+′=′∫xx x uxdu x x23sin sin 2cos 2−+=∫x x x x x x x 2323sin sin 2sin sin −+−=.sin 2sin 323xx x −=例8（西北工业大学）设)))((()(,1)(2x f f f x f xx x f n "=+=（个），求n f ).(x f n ′解由数学归纳法易证：.,1)(2+∈+=Z n nx x x f n于是.)1(111)1()(3222222nx x nxnx nx nx nxx x f n +=++−+=′+=′思考题5 求下列函数的导数：（1）（复旦大学1999）；)sin(sin x x xy =（2）（复旦大学1998）； xx y cos tan =（3）（华东师大1998）⎩⎨⎧≥+<=,0),1ln(,0,cos 2x x x x y （4）1ln arctan 22+−=x x xe e e y （山东大学）；（5）x x x y arcsin 12+−=（北京大学2002）；（6）∫++=tudu e y sin 111)1( （北京化工大学）；（7）)12sin(212x x x y +++−= （广西大学）. 2 分段函数求导问题例9 设.0)0(=f 证明：在点)(x f 0=x 处可微的充要条件是：存在在点处连续的函数，使得0=x )(x g )()(x xg x f =，且).0()0(g f =′证由导数的定义易证充分性成立，只证必要性. 令⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 则由题设及导数定义得)0()0()(lim)(lim)(lim 00f xf x f x x f xg x x x ′=−==→→→，即在处连续，且由的定义得)(x g 0=x )(x g )()(x xg x f =.例10（中科院2003，湘潭大学）设为自然数，在m ),(+∞−∞上定义函数为f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f m（1）当为何值时，在点m )(x f 0=x 处连续；（2）当为何值时，在点m )(x f 0=x 处可导；（3）当为何值时，在点m )(x f ′0=x 处连续. 解（1）要使0)0(1sin lim )(lim 00===→→f x x x f m x x ，当且仅当.2≥m （2）由导数定义得xx x f x f m x x 1sin lim )0()(lim100−→→=−，要使在处可导，即上式极限存在，当且仅当，且f 0=x 2≥m .0)0(=′f（3）当时，0≠x ,1cos 1sin)(21x x xmx x f m m −−−=′ （*）要使连续，当且仅当极限)(x f ′)0()(lim 0f x f x ′=′→成立. 由（2）知，因此，由（*）式知，当且仅当2≥m 02>−m ，即.3≥m 思考题6（山东大学）试作一函数在),(+∞−∞内二阶可微，使得)(x f ′′在处不连续，其余处处连续.0=x 思考题7（华东化工学院）确定常数，使函数b a ,⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 处处连续，且可微.例11（内蒙古大学）讨论函数⎩⎨⎧∈+∈−=,\),1(,),1()(Q R x x x Q x x x x f的连续性和可微性.解首先证明：在处连续. 事实上)(x f 0=x 0)0(=f ，且)1,0(U x ∈∀时，有x f x f 2)0()(≤−，因此，)1(2,0<=∃>∀δεδε，当),0(δU x ∈时，有ε<−)0()(f x f ，所以，在处连续.)(x f 0=x 下证在任意点处不连续. 事实上，分别取收敛于的有理点列{和无理点列，有)(x f 00≠=x x 0x }n a {}n b ),1()1(lim )(lim 00x x a a a f n n n n n −=−=∞→∞→),1()1(lim )(lim 00x x b b b f n n n n n +=−=∞→∞→显然当时，00≠x )1()1(0000x x x x +≠−，由海涅定理（归结原则）知极限不存在，从而不连续，当然不可微.)(lim 0x f x x →最后证明：在点处可微. 事实上，当)(x f 0=x 0≠x 时，有x xxx f x f x f =−=−−)(1)0()(，从而有1)0()(lim=−→xf x f x ，即.1)0(=′f 例12（哈尔滨工大）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=,0,,0,cos )()(x a x xxx g x f 其中具有二阶连续导数，且)(x g .1)0(=g（1）确定的值，使在点a )(x f 0=x 连续；（2）求；)(x f ′（3）讨论在点处的连续性. )(x f ′0=x 解（1）由洛必达法则得)0()sin )((lim cos )(lim)(lim 00g x x g xxx g x f x x x ′=+′=−=→→→，要使在处连续，必须使)(x f 0=x ).0(g a ′=（2）当时，0≠x 2cos )()sin )(()(x xx g x x g x x f +−+=′；当时，由定义及洛必达法则得0=x xg x xx g x f x f f x x )0(cos )(lim )0()(lim )0(00′−−=−=′→→ 2)0(cos )(limxg x x x g x ′−−=→ xxg x g x 2sin )0()(lim+′−′=→.21)0(21+′′=g 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+′′≠+−+′=′.0),1)0((21,0,cos )()sin )(()(2x g x x xx g x x g x x f （3）由于2cos )()sin )((lim)(lim x xx g x x g x x f x x +−+′=′→→xxx g x x g x x g x x 2sin )(sin )()cos )((lim−′−+′++′′=→2cos )(limxx g x +′′=→)1)0((21+′′=g 所以，在处连续.)(x f ′0=x例13（中科院2002，西安电子科技大学）设为二次连续可微函数，且定义函数)(x f .0)0(=f ⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 证明：连续可微.)(x g 证当时，0≠x 2)()()(x x f x f x x g −′=′；当时，0=x 200)0()(lim)0()(lim)0(x f x x f x g x g g x x ′−=−=′→→ xf x f x 2)0()(lim 0′−′=→).0(21f ′′= 且有)0()0(212)(lim )()(lim)(lim 020g f x x f x xx f x f x x g x x x ′=′′=′′=−′=′→→→，即在处连续，当时，)(x g ′0=x 0≠x )(x g ′显然连续，所以)(x g ′连续可微.思考题8（云南大学，吉林大学）设在)(x f R 上有二阶连续的导数，且. 令0)0(=f ⎪⎩⎪⎨⎧=′≠=,0),0(,0,)()(x f x xx f x g 证明（1）在)(x g R 上连续；（2）在)(x g R 上可微；（3）在)(x g ′R 上连续. 3 抽象函数的导数与可微问题例14 设在领域),0(δU 内函数满足g f ,)()(x g x f ≤，且求.0)0()0(=′=g g ).0(f ′解由已知条件得0)0()0(=≤g f ，即于是，有.0)0(=f ),0(0δU x ∈∀.)0()()()()0()(0xg x g x x g x x f x f x f −=≤=−≤由得0)0(=′g 0)0()(lim=−→xg x g x ，从而由两边夹定理得0)0()(lim=−→xf x f x ，即.0)0(=′f 例15 设函数)(x ϕ在a x =处连续，分别讨论下列函数在a x =处是否可导：（1）)()()(x a x x f ϕ−=；（2）)()(x a x x f ϕ−=；（3）.)()()(x a x x f ϕ−=解（1）可导. 由)(x ϕ在a x =处连续及导数定义得).()(lim )()(lim)(a x ax a f x f a f a x ax ϕϕ==−−=′→→ （2）因为)()(lim )()(lim )(a ax x a x a x a f x f a f a x ax ϕϕ=−−=−−=′++→→+；同理可得).()(a a f ϕ−=′− 所以当0)(=a ϕ时，)()(a f a f −+′=′，可导；否则不可导.（3）类似（1）可得)()(a a f ϕ=′，所以可导.例16（人民大学2001）设函数连续，)(x f )0(f ′存在，并且满足：.,,)()(41)()()(R y x y f x f y f x f y x f ∈∀−+=+（1）证明：在R 上可微； )(x f （2）若,21)0(=′f 求 ).(x f 解（1）令得0==y x)0(41)0()0(2f f f −=，解之得由存在知存在极限.0)0(=f )0(f ′).0()(limf hh f h ′=→ 从而，，由假设条件可得R x ∈∀hx f h f x f h f x f h x f h x f h h )()()(41)()(lim )()(lim 00−−+=−+→→ )()(41)(41)(lim20h f x f x f h h f h −+⋅=→ ， )](41)[0(2x f f +′=所以，，即在R 上可微.)](41)[0()(2x f f x f +′=′)(x f （2）记，则有)(x f y =)41(212y y +=′，整理得dx y y d =+2)2(1)2(，两边积分得c x y +=2arctan ，即).tan(21c x y +=注意到，由此得0)0(=y 0=c ，故所求函数为.tan 21)(x x f y == 例17（中科院2003）设函数在点f 0=x 连续，且满足.)()2(limA xx f x f x =−→求证：存在，并且)0(f ′.)0(A f =′证由极限定义知，0,0>∃>∀δε，当时，有),0(0δU z ∈ε<−−A zz f z f )()2(，即.)()2(εε+<−<−A zz f z f A任取，令，则有),0(0δU x ∈n m x z m,,2,1,2"==−)(2)()2()(2εε+<−<−−−A xz f z f A m m m m ，.,,2,1n m "=将上述式相加得n ).)(21()2()())(21(εε+−<−<−−−−−A xx f x f A n n n令，则由在处连续得∞→n f 0=x εε+≤−≤−A xf x f A )0()(，即ε≤−−A xf x f )0()(，由导数定义知.)0(A f =′.例18 设函数在点处连续，且)(x f a )(x f 在点处可导，证明：在点a 处也可导.a )(x f 解若，由连续函数的保号性知，存在点的某领域，使得时，，从而有0)(>a f a )(a U )(a U x ∈0)(>x f ax a x a x x f ax a f x f a x a f x f =→→′=−−=−−)()()(lim )()(lim ，即在点可导.)(x f a 同理可证：当时，在点a 也可导.0)(<a f )(x f 当时，由0)(=a f )(x f 在点可导，可设其导数为A ，则有a ax x f ax a f x f A ax ax −=−−=→→)(lim)()(lim，由此知：当时，可得；当时，可得+→a x 0≥A −→a x 0≤A ，故.0=A 即,0)(lim=−→ax x f ax则0)(lim=−→a x x f ax ，所以 0)(lim )()(lim=−=−−→→ax x f a x a f x f a x a x . 4 隐函数的求导问题例19（浙江大学2001）设可微函数)(x y y =满足方程x x e ye y y x 7sin 2−+−=，求).0(y ′解方程两边关于x 求导得,7cos 2sin 2−+′+−′−=′x e x y e ye e y y y y x x将代入原方程得再将0=x .0)0(=y 0,0==y x 代入上式得72)0()0(−+′−=′y y ，故.25)0(−=′y5 参数方程求导例20（华东理工大学）设，，求∫=21ln )(t udu u t x ∫=122ln )(tudu u t y .dxdy 解由参数方程求导公式得.ln 2ln 222225t t t t t dtdx dt dy dx dy −=−== 例21（北京化工大学）已知∫++=tudu e y sin 111)1(，其中)(x t t =是由⎩⎨⎧==,sin ,2cos v t v x 所确定，求.dxdy解由所给参数方程可得2221sin 21t v x −=−=，从而有.4)1(cos 4)1(cos sin 11sin 11t e t t e t dtdx dt dy dxdy t t +++−=−+== 6 反函数求导例22（厦门大学）已知为不等于零的常数，求的反函数的二阶导数.k ke x f x,)(=′)(x f 解记，其反函数记为)(x f y =)(y x ϕ=，则)(1)(x f y ′=′ϕ，于是.1)]([)())(1())(1()(223x e k x f x f dxdy x f dx d x f dy d y −=′′′−=′=′=′′ϕ 7 高阶导数与高阶微分例23（中国地质大学2002）设)(x f ′′存在，且满足方程)(y x f y +=，求.,22dxy d dx dy 解方程两边关于x 求导得)1)((y y x f y ′++′=′，（1）解之得.)(1)(y x f y x f y +′−+′=′（2）由（1）式继续关于x 求导得y y x f y y x f y ′′⋅+′+′++′′=′′)()1)((2，解之方程，并将得（2）式代入化简可得.))(1()(3y x f y x f y +′−+′′=′′注求二阶导数，往往并不是直接求一阶导数的导数，而是转化为含有一阶导数的方程两边求导问题，这样往往能大大降低计算量.例24（复旦大学1998）已知，其中)()()(2x a x x f ϕ−=)(x ϕ′在a x =的某领域内连续，求).(a f ′′解由于)()()()(2)(2x a x x a x x f ϕϕ′−+−=′，所以由导数定义及.0)(=′a f )(x ϕ′的连续性假设得)]()()(2[lim )()(lim)(a a x x ax a f x f a f a x ax ϕϕ′−+=−′−′=′′→→).(2a ϕ= 例25 已知⎩⎨⎧−=−=),cos 1(),sin (t a y t t a x 求.,22dx yd dx dy 解由参数方程求导公式得ttt a t a dx dy cos 1sin )cos 1(sin −=−=， )cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos )((2222t a t t t t dtdx dx dydt d dxdy dx d dx y d −−−−=== .)cos 1(12t a −−= 注求参数方程表示的函数的二阶导数，通常情况下并不是直接套用公式，而是求一阶导数（它是参数的函数）关于参变量的导数，再除以自变量关于参变量的导数. 这种方法也适用于更高阶的导数.例26（北京工业大学）设x x x f ωsin )(=，求证：.,2,1),cos 2sin ()1()(122)2("=−−=−n x n x x x f n n n n ωωωω解当时，1=n x x x x f ωωωcos sin )(+=′，x x x x f ωωωωsin cos 2)(2−=′′，即时，结论成立. 假设时结论成立，即1=n k n =)cos 2sin ()1()(122)2(x k x x x f k k k k ωωωω−−−=，则当时，有1+=k n ]sin 2cos sin [)1()(2122)12(x k x x x x f k k k k k ωωωωωω++−=++，]cos sin )12([)1(122x x x k k k k ωωωω+++−=]sin cos cos )12([)1()()1(21212)22(x x x x k x f k k k k k ωωωωωω++++−++−=，]cos )1(2sin [)1(12)1(21x k x x k k k ωωωω++++−−=由数学归纳法知结论成立.例27（华中科技大学）设x x f arctan )(=，求).0()(n f 解法一当1<x 时，有∑∞=−=+=′022)1(11)(n nn x x x f ，从而的Maclaurin 展式为)(x f ∑∞=++−=01212)1()(n n nn x x f ，因此，⎩⎨⎧+=−==.12,)!2()1(,2,0)0()(k n k k n fkn 解法二记，则)(x f y =211x y +=′，即.1)1(2=′⋅+y x上式两边关于x 求导得02)1(2=′+′′⋅+y x y x .利用Leibniz 公式，上式两边求阶导数得n .0)1()1(2)1()1()2(2=+++++++n n n y n n xy n y x例28（南京大学）求 ).0()ln (2>x x x d n解记，则x x y ln 2=x x x y +=′ln 2，3ln 2+=′′x y ，",2xy =′′′， .3,1)!3(2)1(21)(≥−−=−−n xn y n n n所以，⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=+=−−.)!3(2)1(,2,)3ln 2(,1,)1ln 2()ln (2122n n n n dx x n n dx x n dx x x x x d注求高阶导数或高阶微分通常有四种方法：数学归纳法，Leibuniz 公式，递推公式法和幂级数方法.思考题9（同济大学）试用数学归纳法证明：.)1()(11)(11x n n n xn e xe x+−−= 例29（华东师大2000）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,sin )(x x xxx f 求).0()(n f解由的幂级数展开式得：当x sin 0≠x 时，""++−+++−=)!12()1(!5!31sin 242n x x x x x n n，从而由幂级数的逐项可微性，有0)0()(lim)0(0=−=′→xf x f f x ，31)(!32lim )sin (lim )0()(lim)0(000−=+−=′=′−′=′′→→→x x o x x x x x f x f f x x x ， 031)(10131lim )0()(lim )0(2200=+++−=′′−′′=′′′→→xx o x x f x f f x x ， 51)(51lim )0()(lim)0(00)4(=+=′′′−′′′=→→x x o x x f x f f x x ，由数学归纳法易证：.,2,1,2,11)1(,12,0)0()("=⎪⎩⎪⎨⎧=+−−==k k n k k n f kn 思考题10（浙江大学2002）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=−.0,0,0,)(21x x e x f x 求).0()(n f 8 其它相关问题例30（湖北大学2001）设为可导函数. 证明：若)(x f 1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =，则必有0)1(=′f ，或 .1)1(=f证由复合函数求导法则得)(2)(22x f x x f dx d′⋅=， )()(2)(2x f x f x f dxd ′=，由已知条件得)()()(2x f x f x f x ′=′，将代入上式得1=x 0)]1(1)[1(=−′f f ，从而可得0)1(=′f ，或 .1)1(=f例31（四川大学1999）函数xe y −=在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？解函数xey −=在处连续，不可导，有极大值，极大值为1. 事实上，连续，0=x ue y =x u −=连续，由复合函数连续性定理知xe y −=在0=x 处连续. 又⎪⎩⎪⎨⎧<=>=−,0,,0,1,0,x e x x e y x x （1）由洛必达法则（或等价无穷小替换）得1lim 1lim )0(00−=−=−=′−→−→+++x x x x e x e y ； 1lim 1lim )0(00==−=′−−→→−xx x x e xe y ，即，所以函数在处不可导. 由（1）式知，函数在时单调递增，在时单调递减，所以在处取得极大值，极大值为)0()0(−+′≠′y y 0=x 0<x 0>x 0=x .1)0(=y例32（北京科技大学，东北师大）设在点)(x f a x =某领域有定义，且在该领域内可导，计算极限.0,0,)()(lim≠≠+−+→βαβαtt a f t a f t解由导数定义得tt a f t a f t )()(limβα+−+→ta f t a f t a f t a f t t βββααα)()(lim)()(lim00−+−−+=→→ ).()(a f ′−=βα 注（1）不能使用洛必达法则；（2）只要在f a x =处可导，结论仍然成立.例33（武汉大学）社函数在点的某领域内有定义. 证明：到数存在的充要条件是：存在这样的函数，它在内有定义，在点连续，且在内成立等式：)(x f 0x )(0x U )(0x f ′)(x g )(0x U 0x )(0x U ).()()()(00x g x x x f x f −+=证充分性显然，下证必要性.令⎪⎩⎪⎨⎧=′≠−−=.),(,,)()()(00000x x x f x x x x x f x f x g 则容易验证满足题目中的条件，所以命题成立.)(x g例34 设函数定义在R 上，证明：)(x f （1）若是奇函数，则奇数阶导数是偶函数，偶数阶导数是奇函数；)(x f （2）若是偶函数，则奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数；)(x f （3）若是奇函数，则（是正整数）； )(x f 0)0(,0)0()2(==n ff n （4）若是偶函数，则)(x f .,2,1,0,0)0()12("==+n f n 证（1）若是奇函数，则)(x f R x ∈∀，有)()(x f x f −−=，两边求导得)()(x f x f −′=′，)()(x f x f −′′−=′′，一般地，我们有.,2,1,2),(,12),()()2()12()("=⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−=−n n k x fn k x f x f n n k 由奇偶函数的定义知结论成立.（2）若为偶函数，则)(x f R x ∈∀，有)()(x f x f −=，仿上可得.,2,1,2),(,12),()()2()12()("=⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−n n k x fn k x f x f n n k 由奇偶函数的定义知结论成立.（3）由奇函数的定义得)0()0(f f −=，所以.0)0(=f 同时，由已证结论（1）立得.0)0()2(=n f（4）由（2）立得.0)0()12(=+n f 例35（人民大学2001）设,cos 1sin 1)(2425x x xx x f +⋅+= 求.)(),0(11)6()6(∫−dx x f f 解容易验证为奇函数，由上题结论知也为奇函数，所以)(x f )()6(x f .0)(,0)0(11)6()6(==∫−dx x f f例36（东北师大）证明：若在R 上连续，且对任意)(x f R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f =+，则在R 上可微.)(x f 证若，或，则命题显然成立. 若不恒为零，也不恒等于1，则，使得，由此得0)(≡x f 1)(≡x f )(x f R x ∈∃00)(0≠x f 0)()()()(000≠−=+−=x f x x f x x x f x f ，从而由归纳法，对任意正整数，有.0)(≠x f m m f m f ))1(()(=，m f m f 1))1((1(=，从而对任意正有理数pq （既约分数），有 p qf p q f ))1(()(=. 于是，对任意正数r ，必存在正有理数列{}n r ，使得)(∞→→n r r n ，故连续可得)(x f .))1(())1((lim )(lim )(r r n n n f f r f r f n ===∞→∞→ （1）又，所以)0()()0()(000f x f x f x f =+=1)0(=f ，这样，对任意正数r ，有)()()()0(1r f r f r r f f −=−==，由此得.))1(()(1)(r f r f r f −==− （2）又，综合（1）式和（2）式得：0))1((1)0(f f ==R x ∈∀，有x f x f ))1(()(=.而不恒等于1，所以，故为指数函数，当然在R 上可微.)(x f 1)1(≠f )(x f例37 设函数在（0，+∞）上有定义，且对任意f ),0(,+∞∈y x ，都有).()()(y f x f xy f +=证明：若存在，则在上可导，并求)1(f ′f ),0(+∞).(x f ′证在等式中令，得1=y .0)1(=f R x ∈∀，令x y Δ+=1（10<Δ<x ），得)1()()(x f x f x x x f Δ++=Δ+，)1()()(x f x f x x x f Δ+=−Δ+，于是，xf x f x x x f x x x f x Δ−Δ+=Δ−Δ+⋅)1()1()()(，令得 0→Δx )1()(f x f x ′=′，即xf x f )1()(′=′. 例38 设,1)(,)(x x q x x p −==)(x f 为多项式，且R x x q x f x p x f ∈∀≥≥),()(),()(. 证明：21)21(>f . 分析：借助几何图形分析. 证由假设知，因此，只需证明.1112)2()2(−−−=≥p f 112)2(−−≠f 假设，则当时，有 112)2(−−=f 12−>x 1)2(,122)(22)(11111≥′⇒=−−≥−−−+−−−−f x x p x x f ；同理，当时，有12−<x 1)2(,122)(22)(11111−≤′⇒−=−−≤−−−−−−−−f x x q x x f ，这与可导相矛盾，从而结论成立.)(x f 例39（吉林大学）设函数在闭区间上连续，)(x f ],[b a )()(b f a f =，且在内有连续的右导数. 证明：),(b a ),(b a ∈∃ξ，使得0)(=′+ξf .证法一由)(x f +′在内连续知，只需证明),(b a )(x f +′在内变号，用反证法. ),(b a 假设在内不变号，不妨设)(x f +′),(b a 0)(>′+x f . 由于0)()(lim )(0>−+=′+→+hx f h x f x f h ，。

《高等数学课件-一元函数微积分》

3
应用
极限可用于求斜率、判断函数的收敛性等。
4. 连续性与间断点的概念及分类讨论
连续性
连续函数的图像没有断裂或跳跃。
间断点
间断点将连续函数的图像切割成不同的部分。
5. 导数的定义、基本性质及其求解方法
1 定义
2 基本性质
导数描述了函数在某一点的变化速率。
导数可用于求切线、判断函数的平滑性等。
2. 函数的基本概念及其符号表示法
定义
函数描述了两个变量之间的关系，每个输入值都有唯一的输出值。
符号表示法
函数可以用公式、图像或表格形式表示。
常用函数类型
包括线性函数、指数函数、对数函数等。
3. 极限的定义、常用极限法则与应用
1
定义
极限描述了函数在某一点附近的行为。
2
常用极限法则
包括极限的四则运算法则、夹逼定理等。
2 判定条件
凸曲线的二阶导数大于等于零，凹曲线的二阶导数小于等于零。
3 性质
凸曲线整体向上弯曲，凹曲线整体向下弯曲。
12. 函数的最大极值、最小极值及其求解方法
最大极值
最大极值函数取得的最小值。
3 求解方法
包括使用导数公式和求极限的方法。
6. 中值定理及利用中值定理证明函数的性质
1
中值定理简介
中值定理建立了导数与函数性质之间
罗尔定理
2
的关系。
如果一个函数在两个点上取得相同的
函数值，那么在两点之间，函数的导
数为零。
3
拉格朗日中值定理
如果一个函数在一个闭区间上连续，在该区间内可导，那么在该区间内至少存在一个点，使得导数等于函数在该区间的平均变化率。

一元函数微积分学知识点总结

一元函数微积分学知识点总结
学习数学能使人们更合乎逻辑、更有条理、更严密、更精确、更深入地思考和解决问题，能增强人们的好奇心、想象力和创造性。

一、定义
导数
微分
不定积分
定积分
变限积分
反常积分
二、计算
求导数
1.复合函数求导
2.分段函数求导
3.隐函数求导
4.高阶导数求导
求积分
1.凑积分法
2.换元法
3.分部积分法
4.有理函数积分法
5.运用牛顿-莱布尼茨公式
三、应用
几何应用（数一、数二、数三）
1.导数的几何应用：“三点两性一线”（极值点、最值点、拐点、单调性、凹凸性、渐近线）
2.积分的几何应用：利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值
物理应用（数一、数二）
1.变化率问题
2.静水压力
3.抽水作功
4.质点引力
经济应用（数三）
1.边际
2.弹性
3.积分的简单经济应用
四、逻辑推理证明
中值定理的证明
求方程的根
不等式的证明
等式的证明
【注】整个高数上册就是在讲一元函数微积分，复习这部分要整体把握，先把整个知识框架了熟于心，在复习过程中多总结知识点
之间的联系。

由于最近五一集训营和真题大全解的事情比较忙，知识点精讲一直没有更新，真题出来之后五月份我会重点多讲解知识点，把整个一元函数部分每个知识点梳理一遍，希望同学们多多体谅！。

第一篇一元函数微分学解读

第一篇一元函数微分学第一章修读指南1．函数定义函数y ＝f (x ) 是两个变量之间的关系，其中x 是自变量，y 是因变量，f 是对应规则。

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的全体。

在定义域内的每一个值x ，按照对应规则f ，可唯一地确定y 值与x 对应。

当对应规则用数学式子表达时，函数值可由公式计算（解析法）。

当对应规则用图象表达时，函数值可由图示曲线测定（图象法）。

当对应规则用表格形式表达时，函数值可在表中直接查出（表格法）。

在本课程中，我们主要研究解析法表示的函数。

2．求函数值当给定自变量的一个值，求其对应因变量的值，但自变量不一定是具体数值，也可以是用字母表达的式子，这实质上是一种代换。

例如已知f (x )＝x 2＋2x ，则f (3)＝32＋2×3＝15f (a )＝a 2＋2af (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2(x ＋1) 将“x ＋1”看作上一行的“a ”x x x f 2)1()1(2+= 将“x1”看作“a ” f [ f (x )]＝[ f (x )]2＋2f (x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x ) 将“f (x )”看作“a ”又设g (x )＝e x ，则f [g (x )]＝[g (x )]2＋2g (x )＝(e x )2＋2(e x )＝e 2x ＋2e x 将“g (x )”看作“a ” x xx f e e x f g 2)(2)]([+== g (u )＝e u ，将“f (x )”看作“u ”3．求函数定义域从最简单的函数开始，我们知道xy 1=要求x ≠0，x y =要求x ≥0，y ＝log a x 要求x＞0，因此得出确定函数定义域的三条基本要求：（1）分式的分母不能为零。

即0)( )(1≠x x ϕϕ要求。

（2）偶次方根下的表达式非负。

即0)( )(≥x x n ϕϕ要求（其中n 为偶数）。

（3）对数函数中的真数表达式大于零。

《微积分》学习大纲

《微积分》学习大纲一、本课程所学主要内容、各内容之间的相互联系本课程包含了一元函数及多元函数微分学和积分学、微分方程和差分方程、无穷级数四部分，它们是几乎所有专业必学内容。

各部分之间的相互联系如下：第一部分，一元函数微积分，主要包括一元函数微分学和积分学两部分。

其中最为重要的是极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分等概念和计算方法，还有它们的一些应用。

一元函数微积分是高等数学的基础部分和重要支柱。

第二部分，多元函数微积分，主要包括二元函数微分学和重积分两部分。

其中最为重要的是偏导数、全微分及二重积分的概念和计算方法，还有它们的一些应用。

多元函数微积分是在第一部分基础上的拓展，其应用范围更为广泛。

第三部分，微分方程和差分方程，主要介绍微分方程和差分方程以它们的应用，其中最为重要的是一阶、二阶微分方程的求解方法，还有它们的一些应用。

微分方程的基础是一元函数微积分。

第四部分，无穷级数，是利用极限理论以及微积分等知识将“有限个常数求和”的问题拓展为“无穷多个常数求和或无穷多个函数求和”，即常数项级数和函数项级数。

从“有限”到“无限”其实就是量变引起质变的一个过程，这一点在第一部分极限和定积分中已经有所体现。

请读者在学习中仔细体会。

需要特别说明的是，极限是贯穿于微积分始终的一个最基本的概念，同时也是应用最为广泛、最重要的工具。

许多概念都是利用极限定义的，比如，连续、导数和偏导数、定积分和重积分、级数收敛和发散等等。

因此，可以说极限是整个高等数学这座高楼大厦的根基。

二、各部分学习要求第一部分一元函数微积分（第一~ 六章）通过一元函数微积分的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●函数—反函数—复合函数—初等函数●数列极限—函数极限●无穷小—无穷大—无穷小的比较●连续—间断（点）—可导—可微●原函数—不定积分—定积分—广义积分2．牢固掌握并能熟练使用以下公式：●导数基本公式●微分基本公式●积分基本公式●牛顿—莱布尼滋公式3．熟练掌握以下法则和方法：●求极限的各种法则和方法●求导数的各种法则和方法●求微分的各种法则和方法●求积分的各种法则和方法4．能够利用所学知识解决以下实际问题：●求平面曲线上某点处的切线方程和法线方程●求变速直线运动的瞬时速度与加速度●求物体转动的角速度●求电流强度和线密度●经济中边际分析与弹性分析●函数单调性、凹凸性的判断●求函数的极值与最值●求函数增量或某点附近函数值的近似值●求平面图形的面积、平面曲线段的弧长●连续函数的平均值●求旋转体或已知截面表达式的立体体积●求变力沿直线作功●求液体的侧压力●求非均匀细杆的质量5．能够利用所学知识，进行有关的讨论或证明：●方程根的讨论或证明●某些等式或不等式的证明第二部分多元函数微积分（第七~ 九章）通过多元函数微积分的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●多元函数—二重极限—连续—间断（点或线）●偏导数—全微分●二重积分2．熟练掌握以下方法：●求偏导数的各种方法●求全微分的各种方法●求二重积分的各种方法3．能够利用所学知识解决以下实际问题：●求空间曲线上某点处的切线方程和法平面方程●求空间曲面上某点处的切平面方程和法线方程●经济中偏边际分析与偏弹性分析●求二元函数的极值与最值●求二元函数全增量的近似值●求立体的体积●求非均匀平面薄板的质量第三部分微分方程与差分方程（财大版第十三章；高教版第十章）通过微分方程与差分方程的学习，读者应该：1．正确理解以下概念并了解它们之间的联系：●微分方程—微分方程的阶—微分方程的解、通解、特解●差分方程—差分方程的阶—差分方程的解、通解、特解2．熟练掌握以下方法：●求各种一阶微分方程的通解和特解（主要包括可分离变量、齐次、一阶线性、贝努利微分方程）的方法；●求高阶微分方程的通解和特解（主要包括可降阶、二阶常系数线性微分方程）的方法；●一阶常系数线性差分方程的求解方法。

微积分讲义_第三章-一元函数的导数和微分

3.6 导数和微分在经济学中的简单应用，由于知识体系的关联性，我们把本节放到第四章后面讲。
例11.求
的导数
【答疑编号11030311：针对该题提问】
例12.求
的导数
【答疑编号11030312：针对该题提问】
例13.求
的导数
【答疑编号11030313：针对该题提问】
例14.求
的导数
【答疑编号11030314：针对该题提问】
例15.（教材习题3.2，8题）已知【答疑编号11030315：针对该题提问】
切线方程为法线方程为
例8、求双曲线
处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
【答疑编号11030108：针对该题提问】
解由导数的几何意义, 得切线斜率为
所求切线方程为
法线方程为
六、可导与连续的关系 1.定理凡可导函数都是连续函数. 注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。我们有：不连续一定不可导极限存在、连续、可导之间的关系。
2.连续函数不存在导数举例
例9、讨论函数
在x=0处的连续性与可导性。
【答疑编号11030109：针对该题提问】
解：
例10、 P115第10题
设
，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。
（1）连续；（2）可导。【答疑编号11030110：针对该题提问】解：（1）
（2）
七、小结 1.导数的实质：增量比的极限； 2.导数的几何意义：切线的斜率； 3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；
第三章一元函数的导数和微分
一、问题的提出 1.切线问题割线的极限位置——切线位置
3.1 导数概念
如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即

解读一元函数微分学新增知识点

2008年数⼀⼤纲对⼀元函数微分学部分新加了两个知识点： 1、曲率圆在原来对曲率以及曲率半径的概念以及计算掌握的基础上，新添加了“曲率圆”，实际上有曲率半径就肯定对应有⼀个相应的曲率圆，所以曲率圆可以当作是曲率半径的延伸，这个知识点的增加基本没有增加对我们复习难度的要求，⼤家可以注意到，虽然在考试内容中提到了曲率圆的概念，但在考试要求中却并未强调，所以很⼤程度上该知识点的添加，只是为了完善我们的知识体系，为了确保不出意外，我们在复习的过程中在复习曲率半径的时候，理解曲率圆是什么东西，怎么来的，就可以了，没必要花太多时间深究。

2、函数图形凸凹性的判断新⼤纲在原有凸凹性要求的基础上进⼀步强调了凸凹性的判断⽅法，⾸先明确这点修改与以往相⽐没有增加难度，但是由于突出强调这个判断⽅法，有可能会在此问题上出相应的选择填空考核，函数的凸凹性本来就是⾮常重要的⼀项内容也是经常考到的内容，所以，需要我们在复习这部分内容的时候特别在意⼀下这个考点，多理解，多练习，多总结，把与这个知识点相关的有可能的出题⽅式以及此项知识点需要注意的易考细节都要复习到位，这样即使碰到这样的题也可以应付⾃如。

三、⼀元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念　不定积分的基本性质　基本积分公式　定积分的概念和基本性质　定积分中值定理　⽤定积分表达和计算质⼼　积分上限的函数及其导数　⽜顿⼀莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式　不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三⾓函数的有理式和简单⽆理函数的积分　⼴义反常(⼴义)积分　定积分的应⽤考试要求： 1、理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3、会求有理函数、三⾓函数有理式及简单⽆理函数的积分。

4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握⽜顿-莱布尼茨公式。

一元函数微分学总结

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例5. 设 y
( x 1)3 4 2 x
5
( x 3)
2
求y' .
1 2 解取对数 ln y 3ln x 1 ln(2 x) ln x 3 4 5
1 3 1 2 等式两边对 x 求导数: y' y x 1 4(2 x ) 5(x 3)
sinx ). 则有: y' x (cosxlnx x 解法2: 作指数对数恒等变形:
y x e = esinxlnx , y = (esinxlnx ) = esinxlnx (sinx lnx)
sinx
ln( xsinx )
=x
sin x
1 (cosx lnx sinx ). x
则曲线 y = f (x) 在
是曲线y = f (x) 的拐点.
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二﹑典型例题分析与解答
例6. 已知解: 应填−1. 注释: 本题考查导数的定义. 则
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e , x 1 例7. 设 f ( x) 在 x 1处可导,求 a, b. ax b, x 1 解: x 1 处连续且可导,即 f ( x) 在
由
例8. 设f (x)可导, F ( x) f ( x)(1 | sinx |) 则 f (0) 0 是F (x)在x=0可导的( A ). (A) 充分必要条件 ; (B) 充分条件但非必要条件; (C) 必要条件但非充分条件; (D) 既非充分条件又非必要条件. 解: 直接计算解此题. 由于F ( x) f ( x)(1 | sinx |)= f ( x) + f ( x) | sinx |, 而f (x)可导, 所以F (x)的可导性与 f ( x) | sinx | 的可导性相同.

《高等数学》一元函数微积分内容应知应会知识点、题型、典型题基础与提高

《高等数学》一元函数微积分内容应知应会知识点、题型、典型题基础与提高公众号ID：xwmath关注一、函数与连续1、三角不等式与平均值不等式（1）绝对值的三角不等式（2）算术-几何平均值不等式2、常见函数及其性质与图形狄利克雷函数及其变形式、符号函数、绝对值函数、取整函数等3、函数的定义域（1）注意函数的自然定义域与实际定义域的区别与联系，对于有生成过程的函数，比如四则运算、复合运算所得函数，注意最终定义域的取值要保证运算过程的有效性。

（2）注意反函数的定义域、值域之间的联系，尤其注意与反函数相关问题的一个讨论过程中不要改变自变量、因变量的符号描述！除了最终的反函数描述！4、函数的简单特性(1) 有界性的讨论：定义法，注意无界与无穷大的区别与联系(2) 单调性的判定：可导的情况下应用导数法，不可导的情况使用定义法(3) 奇偶性的判定：定义法，注意函数为奇函数.•定义在区间内的任何函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和•任何一个函数可以表示为两个非负函数的差(4) 周期性的判定：定义法，注意周期与最小正周期的关系，并不是周期函数都有最小正周期。

注意基本初等函数中三角函数的周期性，函数为周期函数，且为最小正周期．注意周期函数描述的曲线图形的“平移复制性”。

5、曲线的参数方程与极坐标方程(1) 常见函数转换为参数方程描述的方法与参数方程消参数转换为显函数或方程描述的方法。

注意参数方程的不唯一性. 注意二元方程描述的方程转换为参数方程的常用方法，比如令y=tx转换参数方程.(2) 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程的互换。

极坐标转换中注意点的位置与角度取值范围之间的关系.6、数列极限存在性及计算的常规方法一般数列极限的直接计算基于海涅定理（归结原则）转换为函数极限讨论.(1) 常用数列极限的结论(2) 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性(3) 数列极限的四则运算法则：一定注意极限存在并且分母极限不为零才能应用！即先判定再应用.(4) 子数列与原函数的极限之间的关系：•子数列极限存在，原数列极限不一定存在，原数列极限存在，则子数列极限存在且相等•一个子数列极限不存在，或连个子数列极限虽然存在但是极限值不等，则原数列极限不存在•拉链定理：即原数列奇数项构成的数列与偶数项构成的数列极限都存在并且极限值相等，则原数列极限存在且极限值相同.(5) 夹逼定理判断并计算数列极限•注意定义证明转换为绝对值极限等于0然后基于夹逼定理求极限的方法•注意求和式应用夹逼定理求极限的思路与方法，常将求和变量改写放置到分母，然后令其取0或放大、缩小项转换求得通项后应用夹逼定理计算极限和.(6) 单调有界原理：单调有界原理只能用来判定极限的存在性，不能用于求极限值. 单调性常用差值法、比值法、数学归纳法或函数的单调性判定，有界性常用常见不等式结论、放缩法或数学归纳法来判定。