质点角动量定理附角动量守恒定律
高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
2.4质点的角动量定理和角动量守恒定律
t1
质点的角动量定理：对同一参考点O，质点 所受的冲量矩等于质点角动量的增量.
M 0,
例 2-6
四. 质点的角动量守恒定律
L 恒矢量 （有心力作用）
7
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率. 强调：力矩和角动量都是相对同一个参考点的。
6
dL
dm v
dr
物理学
M
dL
t1 dt t2 M d t ：力矩对给定点的冲量，称为冲量矩
t2
M d t L 2 L1
Mi 0
F
F
M i 2r F 0
4
i
Fi 0 ,
i
物理学
三 质点的角动量定理
dp dt F
dL dt
？
5
物理学
d (r mv ) r mv dt dt dt dt dr dL dp v , v mv 0 r rF dt dt dt dL 质点角动量定理 M 的微分形式 dt
物理学
2.4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
z
1. 质点的角动量 质量为 m 的质点以速 度 v 运动，某时相对 参考 点O 的位矢为 r ，则定义 质点对O的角动量为： L r p r mv 大小: L rm v sin 方向: 符合右手法则 角动量单位：kg· 2·-1 m s
O
z
F
r
d
*
P
M rF
d : 力臂
M
力矩的方向： （叉乘的方向）
质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
M r F M r F i j k
x Fx
y Fy
z Fz
L r p r mv Lrp i j k x y z p x p y pz
15
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
dp dL F, ? Lrp dt dt dL d dp dr ( r p) r p dt dt dt dt dr dL dp υ, υ p 0 r r F dt dt dt 表述： 作用在质点上的合力对某参 dL M 考点 的力矩 ，等于质点对同一参考 dt 点的角动量随时间的变化率。
(质点角动量定理的微分形式)
16
三、质点的角动量定理
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律
在实际过程中，要研究的是力矩对时间的积累效应。
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩：
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：质点所受合力矩的冲量矩 等于质点角动量的增量。 注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。 说明:
解： 摆球受力如图。
1）以O为参考点。
c l
T 重力矩： M R mg 逆时针方向。 m R o M Rmg υ 张力矩：M R T 顺时针方向。 mg
M RT sin( 900 ) RT cos θ Rmg
对Ｏ点的合力矩为零，角动量守恒。
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
角动量
（3.2）
式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．
应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．
(3.7)
即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理．
对于绕z轴作圆周运动的质点来说，Lz=mr2ω，ω为质点转动的瞬时角速度，因此，由（3.7）式可知，质点对z轴的角动量定理可以写成
例4用质点的动量定理求出单摆摆锤的瞬时切向加速度与重力加速度的关系式．
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）．
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的．当力F不为零时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点O，此时sinφ=0．如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力心．上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零．
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
v2
地球
o
太阳
M Fd 0
v1
§2.5 质点角动量定理 角动量守恒（一角动量 二力矩）
2.5.3 质点的角动量定理 想法：动量随时间的变化率
力矩M
r
F
角动量 L
r
p
dp
d
(mv)
F
— — dL ？
推导：
dL
d
(r
p)
dt dt dr p r dp
dt
dt dt
dt
dt
其中
v mv 0
从而
M
dL
dt
——定理
r
F
M
质点角动量定理：质点对固定点的角动量随时间的变化率
等于质点所受合力对该点的力矩。
§2.52.当.45 质M质点点的角0 角动时量动定量理守恒d角L定动dt律量守0恒（L一 角恒动矢量量—二力—矩角三动定量M理守）恒ddLt定律 即：当质点所受合力矩为零时，质点的角动量守恒
r1
1
O
例：（P53：例2-12）已求知：：v光滑平面m、k、v0 、l0（原长）、l.
解：物块受有心力作用——对O点角动量守恒
LA LB rA mv0 rB mv
Ol
v
B
大小 rAmv0 sin 90 rBmv sin l0 , k
l0mv0 lmv sin 两个未知量？
Байду номын сангаас
v0 mA
大小 方向 大小 方向
LA rAm1v1 sin(
—— 里 LB Rm2v2 —— 外
) Rm1v1
G1
(2)选向里为正方向 M 合外 (m2 m1)Rg
G2
角动量定理和角动量守恒定律
O
M
l
l /2
1 1 2 2 l 0 = Ml ω + (Mg ) 2 3 2
3g ω= l
m
第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 第二阶段：碰撞瞬间角动量守恒（不是动量守恒） 1 1 2 1 2 ′ + mVl = ( M + m)lV ， V = ω′l Ml ω = Ml ω 3 3 3
t2
∫
例：水平面内，均质杆 (M, l) 水平面内， 子弹 (m,V ) 击穿杆的 自由端后速度降为 V / 2 求：杆转动的角速度 ω 解：角动量守恒 3mV V 1 2 mVl = m l + Ml ω ， ω = 2Ml 2 3
O
M
l
ω
m
V /2
V
例：rA = 0.2m ，mA = 2kg
ω0A = 50rads rB = 0.1m ，mB = 4kg ω0B = 200rads 1
dL d dω = (Iω) = I = Iβ = M dt dt dt dL = M ：角动量定理 dt dL = Mdt
L = ∫ Mdt
t1 t2
y
x
如果 M = 0 ，则 L = C ：角动量守恒定律 非刚体， 一般随时间变化， 非刚体， I 一般随时间变化， M = Iβ 不成立 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 角动量定理及角动量守恒定律仍成立！ 定轴转动， dL = M ， dL = Mdt ， L = Mdt 定轴转动， dt t1 L = C ， L = Iω ， M = Iβ
如果合外力矩 M = 0
例：圆锥摆球在水平面内匀速转动 分别对固定点 A和 O ，讨论 小球受到的张力矩，重力矩， 小球受到的张力矩，重力矩， LA 合力矩和角动量 对 A: M = R ×T = 0
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
4-3角动量 角动量守恒定律
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
质点的角动量
i
ri p i ,
对于标号为i的质点，它不仅受到来自系统外的作用力，而且 还受到系统内其它质点的作用力（内力）
fi
j
f ij ,
利用质点的角动量定理 可得
d dt
d Li dt
ri Fi f i ,
i
i
Li
i
ri ( Fi f i )
r1 , 以角速度 1旋转，然后慢慢向下拉 离为 r2时，拉力对质点所做的
v
绳，求质点离圆心距
功。
选小孔为参考点，任意 时刻质点受力矩 M r f 0 , 质点的角动量守恒，因 而有：
o r f
f
mr 1 1 mr 2 2
2 2
根据动能定理，外力做功为
v
O
rห้องสมุดไป่ตู้m
若一个质量为m的粒子在半径为r的圆周上以速 v 运动，则它的动量为 P m v ,相对于圆心的 度 位置矢量 r 与粒子运动速度 v 互相垂直 ，角 动量大小为： L m rv m r 2
是质点运动的角速度
角动量的方向由右手螺旋法则判断，垂直于物体转动 所在的平面
2
1
4、推广到质点系情形
利用牛顿第三定律，我们还可以将质点角动量定律推广到质 点系的情况，得到质点系总角动量的时间变化率与合外力 矩的简单关系，即质点系的角动量定理。 我们定义质点系对给定参考点O的总角动量为系统内所有质 点对选定参考点O的角动量的矢量和，即 ：
L
i
Li
多个外力作用于同一个质点的合力矩等于各 力的力矩的矢量和，即如果
大学物理—质点的角动量和角动量守恒定律
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理
第二章 刚体的定轴转动
1
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
一 质点的角动量定理 (theorem of angular moment)
质点运动
p mv
2
L
p
o
m r
2.质点的角动量定理
M dL dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等 于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率。
第二章 刚体的定轴转动
4
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
M dL dt
t2
t1
M d t L 2 L1
0, p 0
0, p 0
pi
pj
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律 1.质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v
在空间运动，某时对 O 的位 矢为 r ，质点对参考点 O 的 角动量
L r p r mv
当 M 0， L C
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零时，质点 对该参考点Ｏ的角动量为一恒矢量。——质点的 角动量守恒定律
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.3 质点的角动量和角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光 滑圆环置于竖直平面内。 一质量为 m 的小球穿在 圆环上， 并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于 圆环上的点 A (该点在通 过环心 O 的水平面上)， 然后从 A点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦力 略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度。
4.0 质点的角动量 角动量定理和守恒定律
定义： 质点对选取的参考点的角动量等于其 矢径 r 与其动量 mv 之矢量积。用 L 表示。
LO
LO
LO r mv
o m
mv r mv r
L
LO
o m
mv r
LO r mv
注意：1)为表示是对哪 个参考点的角动量，通 常将角动量L画在参考 点上. 2）单位：
MO
注意：
1）大小
MO r F
o m
F r
M
3）单位：牛顿米
2）方向： r F 的方向
M rF sin
F
r
M
O
4）当 F 0 时
A) r 0
有两种情况,
M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ） 有心力的力矩为零.
dL 0 L 恒矢量 则： dt
合外力矩
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩为零 时，质点系的角动量保持不变. 注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，
无论在宏观上还是微观领域中都成立. 2、守恒定律 ：表明尽管自然界千变万化，变换 无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制 约，变中有不变. 这反映着自然界的和谐统一.
两式相加：
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
d M 1 M 2 ( L1 L2 ) 4 dt 令：M M 1 M 2 质点所受的合外力矩
L L1 L2
F
三、角动量定理 1、角动量定理的微分形式 对一个质点：
质点角动量定理附角动量守恒定律
第六章角动量内容：§6－1 力矩（4课时）§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时）要求：１.熟练掌握力对点的力矩。
２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。
重点与难点：角动量守恒定律。
作业：P219 1，2，3，4，P220 5，6，，第六章角动量§6－1 力矩一、力对点的力矩：如图所示，定义力F 对O 点的力矩为：Fr M 大小为：s i nFr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0M ；2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F 对转轴的力矩，用M 表示。
力矩的大小为：FdM ＝或：s i nFr M ＝其中是F 与r 的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力iF F 合外力矩ii i M F r F r F r M ＝即iM M ＝四、单位：mN 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。
（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；。
质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力
质点的角动量定理和角动量守恒定律
例题6
L 0 m r mr
2
e
k
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
常量 r 2
掠面速度
1 r r dA A 1 2 2 lim lim r dt t 0 t t 0 t 2
角运动: 即使质点做直线运动, 只要 点在直线之外 ,角 O 运动就存在.
动量是质点线运动的度量, 角动量则是质点角运动的 度量.质点的径向运动对质点的角运动没有贡献.
r dr dA LO r mv m 2m dt dt
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
dLO MO dt
MO r F 0
LO r mv
= 常矢量
角动量守恒 （角动量积 分）
MO 0
F 0 F // r
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律
（1） LO r mv C r和 必始终与 v LO , 质点必在过 垂直 O 点且与 垂直的平面内运动 . LO
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7
sin e mv mRe mR
sin Lz R sin mR
2 Lz mR sin 2
0 sin 0 mR
2 2
sin 0 0 2 sin
d ) yFz zFy m zy dt ( m yz d m xz ) zFx xFz ( m zx dt d m yx ) xFy yFx dt ( m xy
质点对固 定点的角 动量定理
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
角动量
※匀速直线运动质点相对任意固定点 的角动量守恒
如图, 圆锥摆. 例： 如图, 圆锥摆. 点的角动量是否守恒? 是 m对于 o 点的角动量是否守恒? (是) 点的角动量是否守恒? 否 m对于 o’ 点的角动量是否守恒?(否) m动量是否守恒? (否) 动量是否守恒? 否 质点绕行半周时间内的绳的张 力冲量是多少?(A --B ?(A点 力冲量是多少?(A点--B点) mA r v
r r r Lo' = l × m v
≠0
方向随时间变化, 大小 Lo’=mvl 方向随时间变化 不守恒 *合外力矩、角动量均对同一点而言 合外力矩、角动量均对同一点而言 均对同一点
解: 绕行半周时间
∆t =
πR
v
r r rr 绕行半周动量增量为: 绕行半周动量增量为 − m v k − mv k = −2mv k
r r
(4)行星在公转轨道上的角动量 行星在公转轨道上的角动量
r p r p
ϕ
ϕ
r r
d
O
dr r
L= pd = pr sinϕ
质点做直线运动时， 质点做直线运动时，该质点对直线上 一点和直线外一点的角动量分别是多 少？
在讲力矩和角动量时一定指明对那一个点而言. 在讲力矩和角动量时一定指明对那一个点而言.
2-7质点的角动量与角动量守恒定律
一、力矩
r M
r r
o
r F
α
r r r M = r ×F
※力矩大小 ※力矩方向 右手螺旋法 的选择（点力矩） ※取决于固定点 的选择（点力矩） 单位: ※单位:
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第六章角动量
内容：
§6－1 力矩（4课时）
§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律（4课时）
要求：
１.熟练掌握力对点的力矩。
２.理解对点的角动量定理及角动量守恒定律。
重点与难点：
角动量守恒定律。
作业：
P219 1，2，3，4，
P220 5，6，，
第六章 角动量
§6－1 力矩
一、力对点的力矩：
如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ⨯=
大小为： θs i n
Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋
法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲
的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向
时，拇指指向的方向就是力矩的方向。
二、力对转轴的力矩：
力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F 对转轴的力矩，用M 表示。
力矩的大小为： Fd M ＝
或： θs i n Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。
3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。
对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方
向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。
三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝
四、单位： m N ⋅
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的单位不能写成焦耳。
（1）与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；
（2）与转轴平行的力对转轴不产生力矩；
§6－2 质点的角动量定理及角动量守恒定律
在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。
本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
本节将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。
一、 质点的角动量定理和角动量守恒定律
1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量
1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量为r ，定义质点对坐标原点O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的
矢量积，即 v m r P r L ⨯=⨯=
角动量是矢量，大小为
L=rmv sin α
式中α为质点动量与质点位置矢量的夹角。
角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。
角动量的单位： kg.m 2.s -1
2）说明：
（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。
但从18世
纪定义角动量，直到20世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在
近代物理中的运用更为广泛。
例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。
原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。
这叫做角动量的量子化。
因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。
（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。
对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。
因此在说明一个质点的角动量时，
必须指明是相对于哪一个参考点而言的。
（3）角动量的定义式v m r P r L ⨯=⨯=与力矩的定义式F r M ⨯=形
式相同，故角动量有时也称为动量矩——动量对转轴的矩。
（4）若质点作圆周运动，r v ⊥，且在同一平面内，则角动量的大小为L=mrv=mr 2ω，写成矢量形式为ω 2mr L = （5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r 变化，但是质点的角动量L 保持不变。
L=rmv sin α=mvd
2．质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum ）
（1）质点的转动定律
问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。
设质点的质量为m ，在合力F 的作用下，运动方程为 ()t v m t v m a m F d d d d === 用位置矢量r 叉乘上式，得 ()t
v m r F r d d ⨯=⨯ 考虑到 ()()v m t r v m t r v m r t ⨯+⨯=⨯d d d d d d 和 0d d =⨯=⨯v v v t
r 得 ()v m r t F r ⨯=⨯d d 由力矩 F r M ⨯＝ 和角动量的定义式()v m r t L ⨯=d d 得 t
L M d d ＝ 表述：作用于质点的合力对参考点O 的力矩，等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式）。
这与牛顿第二定律t P F / =在形式上是相似的，其中M 对应着F ，L 对应着P 。
（2）冲量矩和质点的角动量定理 把上式改写为 L t M = dt M 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。
对上式积分得
1221
L L t M t t -=⎰
式中1L 和2L 分别为质点在时刻t 1和t 2的角动量，⎰21
t t t M 为质点在时间间隔t 2- t 1内所受的冲量
矩。
质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。
成立条件：惯性系
3．质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum ）
若质点所受的合外力矩为零，即M=0，则 ＝恒矢量＝v m r L ⨯
这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。
说明：
(1)质点的角动量守恒定律的条件是M =0，这可能有两种情况：
● 合力为零；
● 合力不为零，但合外力矩为零。
例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。
质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力
是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。
不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。
太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点O，则行星的角动量是守恒的。
特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；
（2）匀速直线运动。
（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。
在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。