第一章1.2.2空间中的平行关系1教案教师版

1.2.2空间中的平行关系(一)
【学习要求】
1．掌握空间中两条直线的位置关系．
2．理解并掌握基本性质4及等角公理．
【学法指导】
通过平行直线、基本性质4及等角定理的学习，进一步加深对空间两直线位置关系的理解及运用；通过在平面上画出直线的位置关系，培养空间想象能力.
填一填：知识要点、记下疑难点
1．基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．3．空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境]
在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？
探究点一平行直线
问题1在初中平行直线是怎样定义的？
答：我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
问题2初中学过的平行公理的内容是什么？
答：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
问题3空间中两条直线有几种位置关系？分别是哪几种？
答：空间两条直线的位置关系有且只有三种：
问题4在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.
答：教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内，且三条直线两两平行．
小结：基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．基本性质4通常又叫做空间平行线的传递性．
问题5基本性质4有什么作用？如何用符号语言表示基本性质4?
答：基本性质4作用：判断空间两条直线平行的依据．符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c，若a∥c，b∥c，则a∥b.
例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1.
证明：如图，连接AC，在△ABC中，E, F分别是AB, BC 的中点，所以EF∥AC.
又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1.
即四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，从而EF∥A1C1.
小结：本题主要考查两条直线平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由基本性质4证明．
跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF∥ED1.
证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1、GE.
∵F为CC1的中点，∴BG=C1F. ∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.
又∵EG∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴EG∥D1C1. ∴四边形EGC1D1为平行四边形．
∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.
探究点二等角定理
问题1观察图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的
两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
答：从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＝∠A′B′C′.
小结：本题主要考查两条直线的平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由平行线公理
证明．
问题2试一试，如何证明等角定理呢？
已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，
射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.
证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明
两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE
和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD綊A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．
可得AA′綊DD′.
同理可得AA′綊EE′. 于是DD′綊EE′，因此DD′E′E 是平行四边形．
可得DE ＝D′E′. 于是△ADE ≌△A′D′E′，因此∠BAC ＝B′A′C′.
问题3 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向
都相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？
答：这两个角相等．如图，过∠2的一边作∠1的一边的平行线，则∠1与∠3的对应边分
别平行且方向相同，所以∠1＝∠3，而∠2与∠3是内错角，所以∠2＝∠3，因此∠1＝∠2.
问题4 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，如果一组对应边方
向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？
答：这两个角互补．因为延长一个角的一边，则这个角的补角与另一个角的两条对应边分别平行，且方向相反，所以一个角的补角与另一个角相等，所以这两个角互补．
问题5 想一想，由等角定理能推出什么结论？
答：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．
例2 如图，已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1 ＝ ∠CEB. 证明：由于E ，E
1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点，
所以EE 1∥DD 1，且EE 1＝DD 1，
又因DD 1∥CC 1且DD 1＝CC 1， 所以EE 1∥CC 1且EE 1＝CC 1，
所以四边形EE 1C 1C 是平行四边形． 所以E 1C 1∥EC.
同理可得E 1B 1∥EB ， 所以由等角定理知∠C 1E 1B 1＝∠CEB.
小结：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：①利用等角定理及其推论；②利
用三角形相似；③利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．请同学们利用第
三种途径给予证明．
跟踪训练2 已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点．
求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.
证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点，
∴MN 是三角形的中位线， ∴MN//AC ，MN ＝12
AC. 由正方体的性质得：AC//A 1C 1，AC ＝A 1C 1.
∴MN//A 1C 1，且MN ＝12
A 1C 1，即MN≠A 1C 1， ∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN//A 1C 1， 又∵ND//A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．
而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.
探究点三 空间四边形的有关概念
问题1 阅读教材40页，你能说出什么是空间四边形？什么是空间四边形的顶点？什么是空间四边形的边？空间四边形的对角线？
答：顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；
四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线
问题2 你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对角线吗？
答：如图，是一个空间四边形， AC 、BD 是它的对角线.
问题3 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能画出吗？
答： 如下图中的两种空间四边形ABCD 和ABOC.
例3 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形.
证明：连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线，
所以EH ∥BD ，
且EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ， 且FG ＝12
BD. 因为EH ∥FG ， 且EH ＝ FG ,
所以四边形EFGH 为平行四边形.
跟踪训练3 在例3中，如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？
解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：由例3可知四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ，
由题意知HG 为△ADC 的中位线，所以HG ＝12
AC ， 又因为EH 是△ABD 的中位线，EH ＝12
BD ，由AC ＝BD 知，HG ＝EH.所以四边形EFGH 是菱形. 练一练：当堂检测、目标达成落实处
1．下列结论正确的是 ( )
A ．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行
B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C ．空间四边形的两条对角线可以相交
D ．空间四边形的两条对角线不相交
解析： 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.
2．下面三个命题， 其中正确的个数是 ( )
①三条相互平行的直线必共面；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．
A ．1个
B ．2个
C ．3个 D. 一个也不正确
解析： 空间中三条平行线不一定共面，故①错；
当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.
课堂小结：
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．
3．注意：等角定理的逆命题不成立．。