电磁场习题解2(上)
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第二章习题解
2-1.已知真空中有四个点电荷q C 11=，q C 22=，q C 34=，q C 48=，分别位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)点，求(0,0,1)点的电场强度。
解：设z r ˆ=
,y r x r y r x
r ˆ',ˆ',ˆ',ˆ'2321-=-=== z y r r R z x r r R z y r r R z x
r r R ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ';ˆˆ'44332211+=-=+=-=+-=-=+-=-=
84ˆ15ˆ6ˆ3)ˆˆˆˆ(41
0244
42333222221110πεπεz y x R R q R R q R R q R R q E ++=
+++=
2-2.已知线电荷密度为ρl 的均匀线电荷围成如图所示的几种形状，求P 点的电场强度。
(a) (b) (c)
题2-2图
解：(a) 由对称性04321=+++=E E E E E
(b) 由对称性0321=++=E E E E
(c) 两条半无限长线电荷产生的电场为
y
a
y x y x a E E E l
l a ˆ2)}ˆˆ()ˆˆ{(40021περπερ-=--+-=
+=
半径为a 的半圆环线电荷产生的电场为
y a E l
b ˆ20περ=
总电场为0=+=b a E E E
2-3.真空中无限长的半径为a 的半边圆筒上电荷密度为ρs ，求轴线上的电场强度。
解:在无限长的半边圆筒上取宽度为ϕad 的窄条,此窄条可看作无限长的线电荷,电荷线密度为
ϕρρad s l =,对ϕ积分,可得真空中无限长的半径为a 的半边圆筒在轴线上的电场强度为
y d x y a d r a E s
s s ˆ)ˆc o s ˆs i n (22ˆ00
00
0⎰⎰-=--==πππερϕϕϕπερπεϕρ 题2-3图 题2-4图
2-4.真空中无限长的宽度为a 的平板上电荷密度为ρs ，求空间任一点上的电场强度。
解: 在平板上'x 处取宽度为'dx 的无限长窄条，可看成无限长的线电荷，电荷线密度为'dx s l ρρ=，
在点
),(y x 处产生的电场为
ρρ
ρπε'ˆ21
),(0dx y x E d s =
其中
22)'(y x x +-=ρ；2
2
)'(ˆˆ)'(ˆy
x x y y x
x x +-+-=ρ
对'x 积分可得无限长的宽度为a 的平板上的电荷在点),(y x 处产生的电场为
)}2
/2/(2ˆ)2/()2/(ln ˆ{4),(2
2220y a x arctg y a x arctg y y
a x y a x x y x E s --+++-++=περ 2-5.已知电荷分布为
ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a r a
r a
2
20;;
ρs b r a ==;
r 为场点到坐标原点的距离，a ，b 为常数。求电场强度。
解： 由于电荷分布具有球对称性，电场分布也具有球对称性，取一半径为 r 的球面，利用高斯定理
⎰⎰=⋅s
q
S d E 0
ε
等式左边为
r s
E r S d E ⎰⎰
=⋅2
4π 半径为 r 的球面内的电量为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+<=a
r ba a a r a r q ;554;542
325
ππ 因此，电场强度为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<=a r r
ba a a r a
r E r ;55;5202
32
03
εε
2-6.在圆柱坐标系中电荷分布为
ρ=≤>⎧⎨⎪⎩⎪r a r a
r a
;;0
r 为场点到z 轴的距离，a 为常数。求电场强度。
解: 由于电荷分布具有轴对称性，电场分布也具有轴对称性，取一半径为 r ,单位长度的圆柱面，利用高斯定理
⎰⎰=⋅s
q
S d E 0
ε
等式左边为 r s
E r S d E ⎰⎰=⋅π2
半径为 r 的圆柱面内的电量为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r a a r a
r q ;3
2;322
3
ππ 因此，电场强度为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a r r a a r a r E r ;3;30
202
εε
2-7. 在直角坐标系中电荷分布为
ρρ(,,);;x y z x a
x a =≤>⎧⎨⎩
00
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，
取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为
⎩
⎨⎧><=a x aS a x xS q ;2;200ρρ
因此，电场强度为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=a x a a x x
E x ;;0
00
0ερερ 题2-9图
题2-7图
2-8. 在直角坐标系中电荷分布为
ρ(,,);;x y z x x a
x a =≤>⎧⎨⎩
求电场强度。
解: 由于电荷分布具有面对称性，电场分布也具有面对称性，取一对称的方形封闭面,利用高斯定理,穿过
面积为 S 的电通量为S E x 2,方形封闭面内的电量为 ⎩
⎨⎧><=a x S a a
x S x q ;;22