垂径定理—巩固练习(基础)

15.【答案与解析】 （1）证明：连接 AC，如图 ∵直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，
∴
，
∴AC=AD， ∵过圆心 O 的线 CF⊥AD， ∴AF=DF，即 CF 是 AD 的中垂线， ∴AC=CD， ∴AC=AD=CD． 即：△ACD 是等边三角形， ∴∠FCD=30°，
在 Rt△COE 中，
12．如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB=90°，AB=a，则 OA=______，O 点到 AB 的距离=______．
三、解答题 13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为 60 米，拱高 18 米，当洪水泛滥到跨度只有 30 米时，要采 取紧急措施，若拱顶离水面只有 4 米，即 PN=4 米时是否要采取紧急措施?
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垂径定理—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1.下列结论正确的是（ ）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
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B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与直径相交的直线是圆的对称轴
2．下列命题中错误的有( )．
(1)弦的垂直平分线经过圆心
(2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分
14. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O 半径．
15．（2020•绵阳模拟）如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F， 且 CF⊥AD． （1）请证明：E 是 OB 的中点； （2）若 AB=8，求 CD 的长．
A．CE=DE
B．AE=OE
C． =
D．△OCE≌△ODE
5．如图所示，矩形 ABCD 与⊙O 相交于 M、N、F、E，若 AM=2，DE=1，EF=8，则 MN 的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．已知⊙O 的直径 AB=12cm，P 为 OB 中点，过 P 作弦 CD 与 AB 相交成 30°角，则弦 CD 的长为（ ）．
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【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A；
【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线. 2.【答案】C；
【解析】(1)正确； （2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确； （3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选 C.
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9．圆的半径为 5cm，圆心到弦 AB 的距离为 4cm，则 AB=______cm． 10．如图，CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD 于 E，DE=8cm，CE=2cm，则 AB=______cm．
10 题图
11 题图
12 题图
11．如图，⊙O 的半径 OC 为 6cm，弦 AB 垂直平分 OC，则 AB=______cm，∠AOB=______°．
，
∴
，
∴点 E 为 OB 的中点；
（2）解：在 Rt△OCE 中，AB=8，
∴
，
又∵BE=OE， ∴OE=2，
∴
∴
．
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，
2
2
2
且 OP＝OA－PA＝3k－k＝2k．
∵ AB⊥CD 于 P，
∴ CP＝ 1 CD ＝5． 2
在 Rt△COP 中用勾股定理，有 OC 2 PC 2 PO2 ，
∴ (3k)2 52 (2k)2 ．
即 5k 2 25 ，∴ k 5 (取正根)，
∴ 半径 OC 3k 3 5 (cm)．
∴CE= CD=2，∠OEC=90°，
设 OC=OA=x，则 OE=x﹣1， 根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2， 即 22+（x﹣1）2=x2，
解得：x= ；
故答案为： ．
9．【答案】6； 10．【答案】8；
11．【答案】 6 3, 120o ；
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12．【答案】 2 a ， 1 a ； 22
3.【答案】C；
【解析】 AB AB ； AC AD ； BC BD .
4.【答案】B； 【解析】∵⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E， ∴CE=DE，弧 CB=弧 BD， 在△OCE 和△ODE 中，
，
∴△OCE≌△ODE， 故选 B
5.【答案】C； 【解析】过 O 作 OH⊥CD 并延长，交 AB 于 P，易得 DH=5，而 AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.
A． 3 15cm B． 3 10cm C． 3 5cm
D． 3 3cm
二、填空题 7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________． 8．（2020•黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点 E，已知 CD=4，AE=1， 则⊙O 的半径为 ．
(4)圆的对称轴是直径
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB⊥CD 于 E，则图中不大于半圆的相等弧有( )．
A．l 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
第3题
第5题
4．（2020•广元）如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论一定错误的是（ ）
6.【答案】A；
【解析】作 OH⊥CD 于 H，连接 OD,则 OH= 3 , OD=6,可求 DH= 3 15 ,CD=2DH= 3 15 .
2
2
二、填空题 7．【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．【答案】 ；
【解析】连接 OC，如图所示： ∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
三、解答题 13.【答案与解析】
设圆弧所在圆的半径为 R，则 R2-(R-18)2=302， ∴R=34
当拱顶高水面 4 米时，有
，
∴不用采取紧急措施.
14.【答案与解析】
连结 OC．设 AP＝k，PB＝5k，
∵ AB 为⊙O 直径，
∴ 半径 OC 1 AB 1 (AP PB) 1 (k 5k ) 3k ．