(教案)等比数列的前n项和公式

《等比数列的前n项和公式》的教案

教学目标

1、认知目标：理解并掌握等比数列的前n项和公式及证明方法；熟练掌握运用等比数列的前

n项和公式求和。

2、素质目标：向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类与讨论等数学思想。培养学生数学

思维的深刻性、广阔性等思维品质。

3、情感目标：培养学生热爱科学、热爱自然的良好品质，激发学生的学习兴趣。

重点、难点

重点：等比数列前n项和公式及初步应用

难点：等比数列前n项和公式的推导方法。

教学方法

本节课采用“多媒体优化组合一激励一发现”式教学模式进行教学。

教学手段

教学中，利用投影仪、微机这些现代化教学媒体来激发学生的学习兴趣，启迪学生思维，增强课堂容量，提高课堂效益。

教学过程

1、课题的引入（微机演示）

引例：某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂借砖盖房，双方约泄，在一个月（30天）内，每天砖厂向建筑队提供10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还一块砖, 第二天返还2块砖，第三天返还4块砖，……。即每天返还的砖是前一天的2倍，请问，假如你是厂长或建筑队长，你会在这个合约上签字吗？

分析：（建立数学模型）

对于有30项每一项都是10000常数列，英和就是30X 10000.

而对于首项为1、公比为2、有30项的等比数列来说，这30项的和怎么计算？有没有具体的计算公式呢？

回答是肯定的一一即等比数列的前n项和公式。

2、公式的推导（多媒体演示）

提问：什么是一个数列的前n项和公式？等差数列的前n项和公式是怎样推导的？

（微机演示）

设等比数列｛a』的首项是a 公比是q,记

s n=ai+aiq+aiq2+ ........ +aiq nU

两边同时乘以q,得qs n= aiq+aiq2+ ............. a]q n l+aiq n

两式相减得：

Sn-qSn=a 1+0+0+ ... +0- aiq n

即得：(1-q) Sn= ai-aiq n

(根据恒等变形的规则：分母不能为0,势必分qHl和q=l两种情况进行讨论。)

当qHl 时,有s n=ai (l-q n) / (1-q)

当q=l 时，有s n=nai

结合等比数列的通项公式，qHl时，公式还可以写成：s n= (a r a n q) / (1-q)

3、公式的说明

⑴从公式的形式上看，已知an q, n就可求岀s n：本质上s n是关于n的函数。结合1-q" 的分解式l-q n= (1-q)( 1+q+q2+ ........................ +q n'*)来记忆

⑵、一定要注意到Sn=ai (1-q") / (1-q)只适宜于qHl的情况：对q=l的情况，另行讨论。⑶、在求等比数列前n项和时：

如果已知首项①，公比q (qHl),及项数n,可以用公式Sn=a】(l-q n) / (1-q)；如果已知首项a”末项an，以及公比q (qHl),可以用公式s n=(a r a n q) / (1-q)

4、例题的处理

处理引例(具体由学生解决)

略解：砖厂借岀的砖数：30X 10000=300000 (块)

建筑队要返还的砖数：1+2+4+8+-+229= (1-2如)/(]_2) =1073741823 (块)例2：已知等比数列1/2, 1/4, 1/8,…，求S8, Sn。

解：(略)

5、形成性练习

形成性练习

1. 根据下列各组条件，求相应的等比数列的sn

(1) . a】=3, q=2, n=6

(2) . ai=8» a n=l/2> q=l/2

2. (1)求等比数列1, 2, 4,…，从第5到第10项的和。

(2)求等比数列1, 3, 9…，从第3项到第7项的和。

3. 求和

1+X+X2+X3+•••+X n,o

处理方法：学生分组完成，教师巡查，抽取部分学生练习(主要是有错误的)用投影仪投放到大屏幕上，对苴中独到的解法给予表扬和鼓励，对英中偶发性错误进行辨析和指正。

6、课堂小结

引导学生总结，教师加以整理：

⑴公式的形式和特点。

⑵常用求和方法一一错位相减法。

7、课外作业

阅读课本P55-56,

⑴思考①公式的推导还有其它的方法吗？(如结合比例的性质等)

②求和

1 +2x+3x2+4x3+- • •+nx n*1

⑵作业：P60.11(1X2)