小结与习题

从而 a0 0.
于是(1)式为 a1T ak1T k1 0
再用 T k2作用(2)，可得 a1 0. 依此类推可得
（2）
a0 a1 a2 ak1 0.
,T , ,T k1 线性无关.
例2、设 1, 2 为线性空间V的基，V的线性变换T在
3）任意取定线性空间V的一组基 1, 2 , 作映射 : L(V ) Pnn, A 这里A为 在基 1, 2 , , n 下的矩阵. 则 就是L(V )到 Pnn的一个同构映射.
, n后，
从而，对任意 , L(V ), k P，若 , 在基
1, 2 , , n 下的矩阵分别为A、B，有
( A1 )k
0 1
1 2
k

1 2 23
0 1 k2 12

2 3
3 4
0 1 k3 12


(k 1) k
k k 1
（用数学归纳法验证之）
故 X 1( A1 )k X

(k 1) k
k 1 k 1
(k 1) k
k1 K


B
即A与B相似. 若 0 是A的特征值，则有
0E A 0E B 0
但
0
E

B

0
E


0 En1
k1 K

0 0


1
0
0 0
0 k1 0 k2

1 0 kn
其中有一个n－1级子式不为0.
∴ 秩 (0E B) n 1. 从而 (0E A) n 1.
A B, AB, k kA,
若 可逆，则A可逆，且 1 A1.
4）设 (1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A,
对 V，若 在基下的坐标为 ( x1 , x2 ,
则 ( )在基下的坐标 ( y1, y2 , , yn ) 満足
令 , L(V ), 且它们关于基 1, 2 , , n 的矩阵
分别为R、S， 则 为可逆变换， 为幂等变换，且
.
例4、设A为n阶复矩阵，X是n维列向量，向量组
X , AX , A2 X , , An1X 线性无关，0 是A的一个特征
值. 证明：A的属于 0的线性无关的特征向量只有
特别地， A C nn与对角矩阵相似 A 的最小多项式没有重根.
4）若当标准形存在定理.（略）
基本题型
一、线性变换判定及运算 二、线性变换与矩阵的特征值、特征向量的求法 三、特征多项式与最小多项式的求法 四、线性变换与矩阵的对角化判定、化法及证明 五、线性变换的值域与核的求法及有关证明 六、不变子空间与线性空间分解的问题
则 A( X , AX , A2 X , , An1X )
( X , AX , A2 X ,
,
An1
X
)

0 En1
k1 K

其中 K (k2 , k3 , , kn )
令 T ( X , AX , A2 X , , An1X )
则T可逆，且
T 1 AT


0 En1
基本内容 基本题型 例题 小测验
基本内容
一、线性变换及其运算 二、线性变换与矩阵 三、特征值与特征向量
四、线性变换与矩阵的对角化
重点： 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法. 难点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.
一、线性变换及其运算
基本概念： 线性变换；可逆线性变换与逆变换；线性变换的 值域与核；线性变换的秩与零度；线性变换的和、
11
22
nn
5）设 gA( x)是矩阵A的最小多项式， f ( x)以A为根
gA( x) f ( x).
特别地，gA( ) fA( ), fA( )为A的特征多项式.
四、线性变换与矩阵的对角化
基本概念：
不变子空间；Jordan标准形 基本结论： 1）设为 数域P上n 维线性空间V的线性变换，则
故 (0E A)X 0 的基础解系只含一个向量.
即，A的属于 0的线性无关的特征向量只有一个.
例5、P328 25 例6、P328 26
又 1,2到 1,2的过渡矩阵 X
(k 1) k
k k 1
,
于是 T 1 在1,2下的矩阵为 X 1 A1 X ,
从而 T k T 1 k 在1,2下的矩阵为
X 1 A1X k X 1( A1 )k X
而
k k 1
(k 1) k k k1

(k 1) k k k1
为 T 1在基 1,2 下的矩阵.
例3、设V为n维线性空间，证明：V上任意线性变换
都可表成一个可逆线性变换与一个幂等矩阵的乘积.
证： L(V ), 设 在基1, 2 , , n 下的矩阵为A.
若 dim(V)＝n，则 L(V ) Pnn.
4）线性变换 的值域 (V )与核 1(0)都是V的子空
间，且若 V L(1, 2 , , n ), 则
(V ) L (1), (2 ), , ( n );
的秩＋ 的零度＝n； 是单射 是満射.
差、积及数量乘法；线性变换的幂和多项式. 基本结论：
1） (0) 0, ( ) ( ), (k11 k22 krr )
k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ).
2）线性变换的基本运算律 3）线性空间V上所有线性变换作成的集合关于线性 变换的加法和数量乘法构成一个线性空间L(V)，且
3）相似矩阵具有相同的特征多项式与最小多项式. 4）Hamilton-Caylay定理：
设V的线性变换 在某组基下的矩阵为A，
f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
f ( A) An (a a a )An1 (1)n A E 0.
11
22
nn
f ( ) n (a a a ) n1 (1)n A E 0.
在某组基下的矩阵为对角形 有n个线性无关的特征向量 ； 的所有不同特征子空间的维数之和等于n ； 可分解为n个一维不变子空间的直和.
2） 有n个不同特征值 可对角化. 3）设 为数域P上n 维线性空间V的线性变换，则 在某组基下的矩阵为准对角形 V 可分解为一些 －子空间的直和. 在某组基下的矩阵为对角形 的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积.
例1、设T是线性空间V上的线性变换，如果
T k1 0, 但 T k 0, 求证： ,T , ,T k1 (k 0)
线性无关.
证：设 a0 a1T ak1T k1 0
用 T k1作用（1）的两端，得
（1）
a0T k1 a1T k ak1T 2k2 T k10 由 T k 0, 即有 a0T k1 0,
基 1,2下的矩阵为
21 1 0
若基 1 (k 1)1 k 2 , 2 k1 Βιβλιοθήκη Baidu(k 1) 2
其中 k 2, 求 T k 在 1,2 下的矩阵.
解：记 A
21 1 0
,
则
A1
0 1
1 2
.
于是T可逆，且 T 1 在基 1, 2 下的矩阵为 A1.
二、线性变换与矩阵
基本概念： 线性变换基下的矩阵；相似矩阵 基本结论：
1）若1, 2 , , n 为V的一组基，1,2 , ,n 为V中 任意n个向量，则存在唯一的线性变换 ，使
( i ) i , i 1, 2, , n
2）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反之, 矩阵相似, 则可看作同一线性变换在不同基下的矩阵.
, xn ),
y1 x1

y2
＝A

x2

yn xn
或
x1
y1

x2


A1

y2

.
xn
yn
三、特征值与特征向量
基本概念： 线性变换（矩阵）的特征值与特征向量；特征多项 式与最小多项式；特征子空间. 基本结论： 1）线性变换与其在某组基下的矩阵的特征值、特 征向量及特征子空间之间的关系.（略） 2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
若 0, 结论显然成立.
不妨设 0, 则 A 0.
令秩(A)＝r，则 r 1.
于是存在可逆阵P、Q，使
PAQ


Er 0
0 0

.
令
C


Er 0
00 , 则 C 2 C.
而 A P1CQ1 P1Q1QCQ1 RS.
这里 R P1Q1为可逆矩阵，S QCQ1为幂等阵.
一个. 证：由 X , AX , A2 X , , An1X 线性无关，有 X , AX , A2 X , , An1X , An X 线性相关，且 An X 能 由 X , AX , A2 X , , An1X 线性表出. 设 An X k1X k2 AX k2 A2 X kn An1X