穷举法
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
1穷举法
竞赛辅导1------穷举法一、穷举法基本思想：是根据提出的问题穷举所有可能的状态，并用问题给定的条件寻找问题的解。
适用穷举的的问题需要满足下面两个条件：1) 可预先确定状态（搜索元/变量）的元素个数2）状态元素的可能值为一个连续的值域穷举算法的模式：1）搜寻问题解的可能范围：用循环或循环嵌套结构实现2）确定约束条件：3）程序的优化，以减少搜索范围和程序运行时间穷举算法的优点：1）由于穷举算法一般是现实生活问题的直译，因此比较直观，易于理解2）由于穷举算法建立在考察大量状态、甚至是穷举所有状态的基础上，所以算法正确性比较容易证明。
穷举算法的缺点：由于穷举的数据量过大，效率较低。
二、实例解析：穷举算法的一般设计过程先对问题进行直译，然后优化。
（一）、问题的“直译”：将自然语言描述的过程直接“翻译”成程序语言的实现过程（算法），找到搜索元，找到搜索元的数据范围和问题的约束条件。
例1、百鸡百钱问题：公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡3只2文钱。
要求一百文钱买一百只鸡，编程计算各种鸡的具体数量。
分析：设三种鸡的数量为x,y,z ，则原问题可转化为在1=<x<100,1=<y<100,1=<z<100,范围内搜寻满足约束条件5*x + 3*y+z/3=100的x,y,z的值。
则，原问题可直接转化成的穷举算法如下：for x---1 to 100 dofor y---1 to 100 dobeginz=100-x-y;if 5*x + 3*y+z/3=100 then 输出x,y,z;end;{for}能直译的问题的一半的特点是：1）输出变量的个数确定，数据在可选范围内连续或者满足一定的递增（递减）关系2）约束条件直观，可以用解析式表达或者近似表达3）直译穷举算法时间复杂度为一个多项式。
4）数据范围较大时不适宜采用直译方法，时间耗费较大。
练习：1、求完全数：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2-1000内的所有完全数。
求最小值的方法
求最小值的方法一、穷举法。
穷举法是最直观、最简单的一种方法，它通过遍历所有可能的取值来找到最小值。
在一些情况下，穷举法是非常有效的，尤其是当问题规模较小、搜索空间较小的时候。
但是，穷举法的时间复杂度通常较高，当问题规模较大时，它的效率会变得很低。
二、贪心算法。
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优的选择，从而希望最终能够达到全局最优的算法。
在某些问题中，贪心算法可以很快地找到最小值，但是在一些情况下，贪心算法得到的结果并不一定是最优的。
三、动态规划。
动态规划是一种将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求得原问题的最优解的方法。
动态规划通常适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
通过存储子问题的解，动态规划可以避免重复计算，从而提高求解效率。
四、二分法。
二分法是一种非常高效的求最小值的方法，它通常适用于在有序数组中查找特定元素的问题。
通过比较中间元素和目标值的大小关系，二分法可以将搜索空间缩小一半，从而快速地找到最小值。
二分法的时间复杂度为O(logn)，因此在大规模问题中具有较高的效率。
五、数学优化方法。
在一些数学问题中，我们可以通过对函数进行求导，找到函数的极值点来求得最小值。
数学优化方法通常需要一定的数学知识和技巧，但是它可以提供精确的最小值结果。
总结。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求最小值。
穷举法适用于规模较小的问题；贪心算法适用于一些特定的问题；动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题；二分法适用于有序数组中的查找问题；数学优化方法适用于一些数学问题。
希望本文介绍的方法能够帮助读者更好地理解和应用求最小值的方法。
穷举法详细
第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
穷举法
• 基本算法思想， 上述方程属于不定方程，解并不唯一，因此，可 用穷举法对 x、y、z 的所有组合情况，测试满足 条件的解。具体是： 把x可能值0~20和y可能值0~33用二重循环来组 合，每个x和y组合都可得到z值，即z=100-x-y， 若x、y、z值使5x+3y+z/3=100成立，则该组x、 y、z即为一组所求值。即： 穷举范围： x : 0~20 , y : 0~33 , z : 100-x-y 判断式： z%3==0&&5*x+3*y+z/3==100ຫໍສະໝຸດ 练习题
有一群海盗（不多于20人），在船上比拼酒量。过程如下：打开一瓶酒，所有 在场的人平分喝下，有几个人倒下了。再打开一瓶酒平分，又有倒下的，再次重 复...... 直到开了第4瓶酒，坐着的已经所剩无几，海盗船长也在其中。当第4瓶酒 平分喝下后，大家都倒下了。 等船长醒来，发现海盗船搁浅了。他在航海日志中写到：“......昨天，我正好喝 了一瓶.......奉劝大家，开船不喝酒，喝酒别开船......” 请你根据这些信息，推断开始有多少人，每一轮喝下来还剩多少人。 如果有多个可能的答案，请列出所有答案，每个答案占一行。 格式是：人数,人数,... 例如,有一种可能是：20,5,4,2,0
另一方法是：把x可能值0~20、y可能值0~33和z 可能值0~99用三重循环来组合，若x、y、z值使 5x+3y+z/3=100和x+y+z=100同时成立，则该组 x、 y、z即为一组所求值。即： 穷举范围： x : 0~20 , y : 0~33 , z : 0~99 判断式： z%3==0&&5*x+3*y+z/3==100&&x+y+z==100
中国 穷举法 材料
中国穷举法材料
【原创实用版】
目录
1.中国的背景和历史
2.穷举法的定义和应用
3.材料科学的重要性和发展
4.中国在材料科学领域的贡献和成就
正文
中国，一个历史悠久的国家，自古以来就在科技领域有着重要的贡献。
在现代科学研究中，中国也在许多领域展现出了卓越的实力，其中之一就是材料科学。
材料科学是一门研究物质性质、结构和制备的学科，它在现代科技领域有着广泛的应用。
材料的质量和性能在很大程度上决定了一个产品的成功与否。
因此，对材料的研究和开发是科技发展的重要环节。
而在材料科学的研究中，穷举法是一种常用的方法。
穷举法，简单来说，就是通过尝试所有可能的方式，来找到问题的最佳解决方案。
在材料科学中，穷举法常常被用来研究材料的性质和结构，以找到最佳的制备方法和应用方式。
中国在材料科学领域的研究和应用，一直处于世界的前沿。
我国科学家在材料科学的基础研究和应用研究方面，都取得了重要的成果。
例如，我国在超导材料、纳米材料、生物材料等领域的研究，都取得了世界领先的成果。
这些成果的取得，离不开穷举法的应用。
总的来说，中国在材料科学领域的研究和应用，展现了我国在科技领域的实力。
第1页共1页。
穷举法
MR.CHEW 2018.11.22
导入
• 某个暑假你携带密码行李箱外出旅游，旅行中发现自己 忘记了开锁的密码，怎么办？
用穷举法设计程序
• 一、穷举法的基本思想
• 二、穷举法的程序实践
• 三、穷举算法总结
穷举法的基本含义
• 穷举法也称为“枚举法”或“列举法”。 • 穷举法，指在一个有穷的可能的解的集合中，一一列举 出集合中的每一个元素。用题目给定的检验条件来判断 该元素是否符合条件，若满足条件，则该元素为本问题 的一个解；否则，该元素就不是本问题的解。 • 穷举法在具体的程序实现过程中，可以通过循环和条件 判断语句来完成。 • 穷举法常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等类型的 问题
穷举法的应用举例
• 4.水仙花数问题
• 水仙花数是指一个三位数，它的各位数的立方和正好是 等于该数本身。例如153=1^3+5^3+3^3。请设计算法求 解该问题。
1.思路：三位数范围100--999 2.约束条件：该三位数的各位数的立方和正好是 等于该数本身 3.程序结构选择：1重循环
谢谢！
2.程序结构选择：2重循环
百钱百鸡
• 3.我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出的数学 问题：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
1.思路：确定公鸡的范围，母鸡的范围，小鸡的 范围 2.约束条件：总共100元钱，100只鸡 3.程序结构选择：3重循环
1.思路：枚举所有情况1000--1999 2.约束条件：5人一组剩余1人，7个人一组还剩 两个人，8个人一组还剩3个人 3.程序结构选择：1重循环
穷举法的应用举例
• 2.鸡兔同笼
拓展知识5-1 穷举法
拓展知识5-1 穷举法一、什么是穷举法在实际问题中，经常遇到在一定范围内寻求某类事物解的问题。
比如：求水仙花数，因为水仙花数是一个三位数，所以，[100,999]就是给定的范围，水仙花数就是要求的解；又如：百马百担问题，求解决方案，大马数量[1,33]，中马数量[1,50]，小马数量[1,100] 就是给定的范围，解决方案就是要求的解等。
像这类问题，可以通过对指定范围内每种可能的情况进行一一测试，验证其是否是满足条件的解的方法来解决，我们就把这种解决问题的方法称为穷举法。
由于实际问题的指定范围可能很大，所以，穷举法更适合于使用计算机，因此，这类问题可通过程序设计来解决。
二、穷举法解决问题的关键1．确定范围（1）往往实际问题给定的范围不一定很明确，需要我们通过分析来确定范围；（2）所得到的范围还可以利用给定的部分约束条件进一步缩小，以减少程序的运行时间，提高效率。
2．确定解的条件通过对实际问题进行分析，给出判断解的条件，有了判断解的条件才能对每种可能的情况进行一一验证，从而得到问题的解。
三、穷举法解决问题的步骤1．分析问题，确定范围变量，给出解的判断条件；2．用循环或循环的嵌套对范围变量的所有可能情况进行一一测试；3．用选择语句判断每种情况是否符合解的条件；4．输出符合条件的情况。
四、穷举法的优化策略1．减少范围变量范围变量能少用尽量少用，这样可大大减少测试的数量。
例如百马百担问题，对大马、中马、小马均可设一个范围变量dm、zm、xm，其范围分别是：[1,33]，[1,50]，[1,100]，总的测试数量为33*50*100=165000次；在大马、中马具体确定后，小马可利用约束条件dm+zm+xm=100来确定，因此，只需将大马、中马设为范围变量，这样测试数量为33*50=1650次。
可见，减少范围变量的使用可大大减少测试的数量。
2．缩小穷举范围根据实际问题的隐含条件，可将不符合条件的情况去掉，缩小穷举范围，减少穷举变量的值域。
穷举法的原理
穷举法的原理穷举法是一种解决问题的常用方法，它通过遍历所有可能的情况来寻找问题的解决方案。
在数学、计算机科学、工程等领域，穷举法被广泛应用于问题求解和决策制定。
一、什么是穷举法？穷举法，又称为暴力搜索法，是一种基于遍历所有可能情况的解决问题的方法。
它的基本思想是将问题的解空间进行穷尽，找出满足条件的解。
穷举法通常适用于问题的规模较小，解空间相对较小的情况。
二、穷举法的步骤穷举法的步骤如下：1. 理解问题：首先要对问题进行充分的理解，明确问题的目标和限制条件。
2. 枚举可能性：根据问题的特点和限制条件，列出所有可能的情况。
这一步需要进行适当的抽象和推理，将问题转化为具体的数学模型或算法。
3. 遍历解空间：对所有可能的情况进行遍历，逐个检验是否满足问题要求。
这一步需要有一定的策略和方法，以便尽快地找到满足条件的解。
4. 验证解答：对找到的解答进行验证，确保其符合问题的要求和限制条件。
5. 总结和优化：根据问题的特点和解答的效果，进行总结和优化，提出改进的方案和思路。
三、穷举法的应用举例1. 破解密码：穷举法可以用于破解密码，通过遍历所有可能的密码组合，找到正确的密码。
2. 棋盘问题：穷举法可以用于解决棋盘问题，通过遍历所有可能的棋子布局，找到满足条件的解。
3. 整数拆分：穷举法可以用于整数拆分问题，通过遍历所有可能的拆分方式，找到满足条件的解。
4. 组合优化问题：穷举法可以用于解决组合优化问题，通过遍历所有可能的组合方式，找到最优解。
5. 网络搜索：穷举法可以用于搜索引擎的网页索引，通过遍历所有可能的网页，找到相关的搜索结果。
四、穷举法的优缺点穷举法的优点是简单易懂，适用于问题规模较小的情况。
它可以保证找到问题的解决方案，而且解决方案通常是准确的。
然而，穷举法的缺点是计算复杂度较高，当问题规模较大时，遍历所有可能情况的时间和空间成本非常高。
五、穷举法与其他方法的比较1. 贪心法：贪心法通过选择当前最优解来解决问题，而不考虑全局最优解。
穷举法
【实例1-4】完美运算式
把数字1、2、…、9这9个数字填入以下含 加减乘除与乘方的综合运算式中的9个□中， 使得该式成立 □^□+□□÷□□-□□×□=0 要求数字1，2，…、9这9个数字在式中都 出现一次且只出现一次。
编程思路1
设式右的6个整数从左至右分别为 a、b、x、y、z、c， 其中x、y、z为2位整数，范围为12~98；a、b、c为一 位整数，范围为1~9。 设臵a、b、c、x、y、z循环，对穷举的每一组a、b、c、 x、y、z，进行以下检测：
若x不是y的倍数，即 x % y!=0，则返回继续下一次穷举。 若等式不成立，即a^b+x/y-z*c!=0，则返回继续下一次穷举。 式中9个数字是否存在相同数字。将式中6个整数共9个数字 进行分离，分别赋值给数组元素f[1]~f[9]。连同附加的 f[0]=0（为保证9个数字均不为0），共10个数字在二重循环 中逐个比较。
【实例1-2】4位分段和平方数
一个4位自然数分为前后两个2位数，若该 数等于所分两个2位数和的平方，则称为4 位分段和平方数。例如，2025=（20+25）2。
编写程序求出所有4位分段和平方数。
编程思路1
对所有的4位整数n进行穷举，n的范围为 1000~9999，共9000个数。对每个数n，分 离出高两位数x（x=n/100）和低两位数y （y=n%100），然后进行判断，若满足 n==(x+y)*(x+y)，则n是一个4位分段和平方 数。
编程思路2
按程序1的思路，穷举次数有99次，如果分别设三 个数为x、2x和3x，以x为枚举对象，则x的最小值 为123、最大值为329（因为下一个数 341*3=1023>987），穷举的范围就减少为107。 由于对x进行穷举，因此需要将3个三位数的各个位 上的数字分离出来。这9个数字可以像程序1中一样， 用A~I这9个变量来保存。在程序2中，我们采用另 外一种方法。定义一个一维数组a[9]，把组成整数x、 2x、3x的9个数字存放在数组a中。然后用一个二重 循环统计1~9这9个数字是否全在数组中出现。
穷举法(枚举法)
一、穷举法（枚举法）列出问题的全部可能解，然后找到最佳解例：设有A、B、C、D四个数都在1～16范围内。
要求打印出四个数都不相同时，其和为34的所有值。
•算法分析：最直接的想法是设置A、B、C、D四个变量，都从1至16循环。
但这需要164次循环，而且循环中还必须判断A、B、C、D四数有所重复的情况。
我们可以加上一定的限制条件A≠B≠C≠D，设A<B<C<D，这样可以设A的初值为1，B的初值为A+1，C的初值为B+1，D的初值为C+1。
每一个循环的终值(可能的最大数)我们也可以计算出来。
A + A+1 + A+2 + A+3 = 34，故A=7；1 + B + B+1 + B+2 = 34，故B=10；1 +2 + C + C+1 = 34，故C=15；D=C+1，故D=16。
函数如下：void fournums() {int a, b, c, d ;for (a = 1; a<=7; a++)for (b = a+1; b<=10; b++)for (c = b+1; c<=15; c++)for (d = c+1; a<=16; d++)if (a+b+c+d == 34)cout << “A=”<< a << “B=”<< b << “C=”<< c << “D=”<< d <<”\n”; }二、贪心法当一个问题的状态空间很大时，穷举法计算量可能会太大。
当人们面对一个问题时，可能会采取目前看来最接近解状态的选择方案。
•有时运用最直接的方法，可能会得到很好的效果。
•《C程序设计选讲》背包问题•Huffman树贪心法一般原则贪心法把构造可行解的工作分阶段来完成。
在各个阶段，选择那些在某些意义下是局部最优的方案，期望各阶段的局部最优的选择带来整体最优。
穷举法
第16章 穷举算法与实验穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
虽然穷举法效率并不高，但是适应一些没有明显规律可循的问题的解决。
因为穷举算法就是从所有可能的情况中搜索正确的答案，所以一般可按如下步骤： 第1步: 对于一种可能的情况，列举出来并计算其结果；第2步：判断结果是否满足要求，如果不满足则执行第1步来搜索下一个可能的情况，如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案，执行下一步操作，如寻找其他正确（合适）的答案或者中断循环。
16.1三角形数问题16.1.1 问题描述将 ,F ,E ,D ,C ,B ,A 这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。
求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。
如图就是一个解。
A 6B C 3 1D F 2 4E 516.1.2 问题分析程序引入变量123456,,,,,i i i i i i ，代表,F ,E ,D ,C ,B ,A 并让它们分别顺序取1至6的正整数，在它们互不相同的前提条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。
当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。
细节见下面的程序。
【程序1】%穷举法解三角形数 for i1=1:6 for i2=1:6 if i1==i2 continue;endfor i3=1:6if i1==i3 || i2==i3continue;endfor i4=1:6if i1==i4 || i2==i4 || i3==i4continue;endfor i5=1:6if i1==i5 || i2==i5 || i3==i5 || i4==i5continue;endfor i6=1:6if i1==i6 || i2==i6 || i3==i6 || i4==i6 || i5==i6continue;endif i1+i2+i4==i1+i3+i6 && i1+i2+i4==i4+i5+i6fprintf ('%6d\n',i1) ;fprintf ('%4d%4d\n',i2,i3) ;fprintf ('%2d%4d%4d\n\n',i4,i5,i6) ;endendendendendendEnd16.1.3 问题讨论按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。
穷举法
2.4 进制工具（二）
例如，一列火车可以在1~N这N个车站停车。每次 停车意味着可以多载顾客（不同的车站按照订单收益 不同），这方面可以提高火车的效益；但停车又意味 着时间的耽搁、站内费用的增加（不同的车站耗费不 同），这方面使收入减少。请给出一个策略，让火车 在某些站停车，使得收入最大化。
for (int i=0; i<2N; i++){ 把i解码成N位二进制串 用二进制串计算此次收益情况 如果此次收益大于最大值，则保存此次停车安排 }
2.3 排列工具(四)
给出一个尺寸是任意大小矩形和矩形中任意位置的6 个点，以这6个点为中心的气球先后膨胀：膨胀时触 到矩形的边或其他的气球则停止膨胀。问采用何种顺 序才能使得气球的总横切面积最大？
该如何采用穷举法中的排列工具解决这个问题？)
2.4 进制工具（一）
进制工具来源于k进制数。 k进制从小到大排列 （位数不足补0）时，数字呈现字典序。例如，000, 001, 010, … 111。又例如，000, 001, 002, 010, …, 222 进制状的数据变化各个位置上的数字可以自由变化， 而不像排列组合一样，受到其他位置上的制约 进制工具可以不使用类单独封装数据和方法，而是 直接用数进行循环，然后在循环中解码当前循环数
2.4 进制工具（三）
上述的进制情况是一种特殊情况，更普遍的情况是： 共有N个元素，每个元素可以独立取值0~ni (0<=i<N) 这种情况下，需要进制工具—一个类—来处理遍历 问题 进制工具是一个类CDigital，内部结构是一个数组， 对外接口是一个BOOL next()函数
2.4 进制工具（四）
2.2 组合工具的变种
基于0-1位的组合工具 基于0-1串的组合工具
计算机算法：穷举法
穷举法穷举法是程序设计中使用最为普遍的一种基础算法。
计算机的特点之一就是运算速度快、善于重复做一件事情，“穷举法”正是基于这一特点的最古老算法。
它一般是在一时半会找不到解决问题的更好途径，即从数学上找不到求解的公式或规律时，根据问题中的“约束条件”，将求解的所有可能情况一一列举出来，然后再逐一验证它否符合整个问题的求解要求，从而得到问题的所有解。
示例1：求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C为1~3之间的整数。
【分析】本题非常简单，即枚举变量A，B，C的所有可能取值情况，对每种取值情况判断是否符合表达式即可。
【算法】算法用伪代码描述如下：for A:=1 to 3 dofor B:=1 to 3 dofor C:=1 to 3 doif(A+B=C) thenwriteln(A,’’,B,’’C);【流程图】所谓穷举法，指的是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定那些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立的，即为解。
在本案例中解变量有3个：A，B，C。
其中：解变量A的可能取值范围A∈｛1,2,3｝解变量B的可能取值范围B∈｛1,2,3｝解变量C的可能取值范围C∈｛1,2,3｝从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件（A+B==C）的解元素，即为问题的解。
穷举法的适用范围：其一，能确定解变量（枚举变量）的个数n，其二，每个解变量Ai（1<=i<=n）的可能值能确定范围且能连续取得。
设解变量的个数是n，Ai1----解变量Ai的最小值；Aik----解变量Ai的最大值（1≤i≤n）；即A11≤A1≤A1k，Ai1≤Ai≤Aik，……，An1≤An≤Ank算法框架如下（伪代码）：for A1←A11 to A1k do……for Ai←Ai1 to Aik do……for An←An1 to Ank doif状态（A1,…,Ai,…,An）满足检验条件then 输出问题的解穷举法（枚举法）的特点是算法简单，但是有时运算量大。
常用算法-穷举法
常⽤算法-穷举法穷举法⼜称为枚举法，它是在计算机算法设计中⽤得最多的⼀种编程思想。
它的实现⽅式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进⾏考查，确定是否满⾜条件。
经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。
这种⽅法充分利⽤了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决⼤部分的问题。
什么样的问题适合使⽤穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使⽤穷举法：1. 答案的范围已知：虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。
譬如说：①求1－100之间所有的素数：⽆论结果如何，都在1－100的范围之内。
②求2000－2015年间有⼏个⽉的13号是周⽇？这15年间共有180个⽉，⽉份的个数最多不会超过180③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和。
如果仔细观察，将会发现许多题⽬的结果范围都是已知的，都可以使⽤穷举法来实现。
2. 答案的结果是离散的，不是连续的。
如果要求出1－2之间所有的⼩数，就⽆法⽤穷举法来实现，因为其结果是⽆限连续的。
3. 对时间上的要求不严格。
蓝桥杯⽐赛中的许多题⽬对于算法的设计是有时间要求的，有时会⾮常苛刻。
如果⽤穷举法则耗时过长，不可取。
例如求出21位的⽔仙花数，使⽤穷举法可能会花费30分钟的时间。
⽽蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长⾄3分钟。
在这种情况下，必须使⽤新的算法来解决问题。
下⾯举个经典的例⼦：100块砖100⼈来搬，男⼈⼀⼈搬4块，⼥⼈⼀⼈搬3块，⼩孩3⼈抬⼀块，问男，⼥，⼩孩各⼏⼈？若设男，⼥，⼩孩⼈数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100 4*X+3*Y+Z/3＝100 。
三个未知数两个等式，⽆法求解。
这就只能够使⽤穷举法来实现，具体做法如下：先确定每种类型⼈员的数量的取值范围，由题意可知，男⼈X的取值范围是0~100/4＝25 ⼥⼈Y的取值范围是0~100/3＝33 ⼩孩的取值范围是0~99（必须不⼤于100且为3的倍数）。
中国 穷举法 材料
中国穷举法材料
（原创实用版）
目录
1.中国的资源和需求
2.穷举法的定义和应用
3.材料科学的重要性和发展
4.中国在材料科学领域的贡献和成就
正文
中国是一个资源丰富、人口众多的国家，拥有各种各样的资源和产业。
然而，随着人口的增长和经济的发展，中国的资源需求也在不断增加，对资源的管理和利用提出了严峻的挑战。
为了解决这个问题，中国采用了穷举法，对资源进行全面的调查和评估，以便更好地管理和利用资源。
穷举法是一种科学方法，指的是对所有可能的情况进行逐一排查，以便找到解决问题的最佳方案。
在中国，穷举法被广泛应用于资源调查、工程设计、质量控制等领域。
通过穷举法，中国能够全面了解资源的分布和状况，制定出合理的资源开发和管理方案，保证资源的可持续利用。
材料科学是研究物质性质、结构和制备的科学，是现代科技领域的重要组成部分。
材料科学的发展为人类提供了各种新型材料，如塑料、陶瓷、复合材料等，这些材料在工业、医疗、航空等领域发挥着重要的作用。
中国在材料科学领域有着悠久的历史和丰富的经验。
近年来，中国在材料科学领域取得了一系列的重要成就，如新型材料的研发、新材料的产业化应用等。
这些成就为中国的经济发展和科技进步做出了重要贡献。
第1页共1页。
穷举法
cmin>sum if (_____________) { cmin=sum; for (i=1;i<=n;i++) d[i]=b[i]; } j=n; b[j]==k while( _______ ) j=j-1; b[j]=b[j]+1; for(i=j+1;j<=n;j++) b[i]=1; ___________; } printf(“%40d”,cmin); for(i=1;i<=n;i++) printf(“%d”,d[i]); }
例1．找完全数 ． 古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外）。 例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完 全数。编写一个程序求2~10000内的所有完全数。 分析： 分析 1.本题只需一个枚举变量a即可，它的范围是2~10000； 2.验证完全数的条件是：所有因子的和等于该数据本身； 3.找出所有因子、并求出因子和是关键的一步，可采用循环完成分解因 子和求因子和。
从上例可知，穷举法是一种比较笨拙的算法，因为它需要列举出许多个可能解来 一一验证，程序往往需要运行很长时间，效率较低。但是，穷举法也有自己的优 点，它思路简单，容易编写程序，只要时间足够，穷举法能够很容易地求出问题 的全部正确解。 针对穷举法效率较低的缺点，在设计穷举算法时，我们必须注意以下二点： ①考虑枚举变量一定要慎重，枚举变量应尽量少，尽量通过计算而不是枚举来确 定变量。 ②枚举前应尽可能多地将不符合条件的情况预先排除，以缩小枚举范围。
练习：2．将n个整数分成k组(k≤n,要求每组不能为空),显然这k个部分均可 得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为: P=(S1-S2)^2+(S1一S3)^2+……+(S1-Sk)^2+(s2-s3)^2+……+(Sk-1Sk)^2 问题求解:求出一种分法,使P为最小(若有多种方案仅记一种) 程序说明: 程序说明: 数组: a[1],a[2],...a[n]存放原数 s[1],s[2],...,s[k]存放每个部分的和 b[1],b[2],...,b[n]穷举用临时空间 d[1],d[2],...,d[n]存放最佳方案
穷举法
穷举法
四、穷举法应用
begin e:=15-a-b-c-d;b0:=(e<>2) and (e<>3);
m:=bton(e=1)+bton(b=2)+bton(a=5)+bton(c<>1)+bton(d=1);
b0:=b0 and (m=-2); b1:=(e=1) and (a<>2); b1:=b1 or (a=5) and(c<>1) and(c<>2); b1:=b1 or (c<>1) and (d<>1) and (d<>2); b1:=b1 or (d=1) and (e<>2); b0:=b0 and not b1; if b0 then
穷举法
四、穷举法应用
分析：本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采 分析：本题是一个逻辑判断题， 用穷举法进行解决。 我们对5 用穷举法进行解决 。 我们对 5 所学校所得名次的各种可 能情况进行穷举。在每种情况中， 能情况进行穷举。在每种情况中，为了防止不同学校取 相同的名次，设立了逻辑数组x x[I]为false表示已有 相同的名次，设立了逻辑数组x，x[I]为false表示已有 某校取第I 某校取第I名。 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b0来 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b 描述这一条件，主要有两个条件： 校不是第2 描述这一条件，主要有两个条件：“E校不是第2名或第 只有第1名和第2 名的学校的人猜对” 3 名 ” 与 “ 只有第 1 名和第 2 名的学校的人猜对 ” ， 后一 条件要判断： 是否只有两人说法正确？ 条件要判断：1）是否只有两人说法正确？2）说得正确 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？ 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？要判断是否 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，设立 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此， 了函数bton 将逻辑量数值化。 bton， 了函数bton，将逻辑量数值化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算某个解对应的连续最大R值
培养学生自主建构的意识和能力
1、不应对蕴含穷举思想的问题求解抱通过了事的心态。 、不应对蕴含穷举思想的问题求解抱通过了事的心态。 2、而应基于异中求同的思维，把蕴含穷举思想的问题 、而应基于异中求同的思维， 纳入穷举法的算法系统中来，引导、培养学生自主 纳入穷举法的算法系统中来，引导、 建构信息学知识系统的意识和能力。 建构信息学知识系统的意识和能力。 3、现状。平时做大量试题，比赛时却对类似问题的算 、现状。平时做大量试题， 法确定犹豫不决。知识系统建构不完善的结果。 法确定犹豫不决。知识系统建构不完善的结果。
初识穷举法
穷举法算法结构 按照问题解的特征可以分为“解分量只有 按照问题解的特征可以分为“ 一个” 解分量有多个”二类。 一个”和“解分量有多个”二类。所谓解 分量个数指的是问题解包含特征参数的个 数。
解分量只有一个的情形
这种情形的问题求解由于只有一个解分量， 这种情形的问题求解由于只有一个解分量， 程序结构相对简单。由于只有一个解分量， 程序结构相对简单。由于只有一个解分量， 所以就可用一重循环来穷举所有的可能值， 所以就可用一重循环来穷举所有的可能值， 然后进行条件判断。 然后进行条件判断。
解分量有多个的情况
由于一重循环只能穷举问题解的一个解分量， 由于一重循环只能穷举问题解的一个解分量， 所以当问题解的分量有多个时， 所以当问题解的分量有多个时，就需要用多 重循环嵌套来穷举问题解的所有分量。 重循环嵌套来穷举问题解的所有分量。一般 的处理方法是一层循环穷举一个分量， 的处理方法是一层循环穷举一个分量，如果 个分量， 重循环嵌套。 有3个分量，就需要 重循环嵌套。 个分量 就需要3重循环嵌套
二维组合式穷举
【例4】邮票问题1。邮局发行一套有4种不 例 同面值的邮票，如果限制每封信所贴的邮 票张数不能超过3枚。存在整数R，使得用 不超过3枚的邮票可以贴出一下连续序列： 1，2，3，4，5，......,R。 编程求出可以得到尽可能大的R值以及对 应的4种邮票面值。
大致算法结构
细化后的程序结构
FOR R：=1 TO 3*S4 DO BEGIN FOR N1:=0 TO 3 DO BEGIN FOR N2:=0 TO 3-N1 DO BEGIN FOR N3:=0 TO 3-N1-N2 DO BEGIN FOR N4:=0 TO 3-N1-N2-N3 DO BEGIN R1:= N1*S1+N2*S2+N3*S3+N4*S4; IF R=R1 THEN BREAK; END; IF R=R1 THEN BREAK; END;
IF R=R1 THEN BREAK; END; IF R=R1 THEN BREAK; END; IF R<>R1 THEN BREAK; END; R:=R-1;
），输出 【例1】输入一个自然数 （N>2），输出 】输入一个自然数N（ ）， 1到N之间所有的质数。 之间所有的质数。 到 之间所有的质数
算法结构
子程序
function zs(j:integer):boolean; var k:integer; f:boolean; begin f:=false; k:=2; while (k<=sqrt(j)) and not(f) do begin if trunc(j/k)=j/k then f:=true else k:=k+1; end; zs:=not(f); end;
【例2】二元一次方程组求解。编程对下列方程组 例 求解（X、Y均为自然数）。
算法结构
核心程序段
x:=1;f:=false; while (x<=13) and (not f) do begin y:=1; while (y<=13) and (not f) do if (2*x+3*y=13) and (3*x-y=3) then begin write('x=',x,' y=',y);f:=true;end else y:=y+1; x:=x+1; end;{while x<=13}
穷举法
Hale Waihona Puke 穷举法的概念穷举法也叫枚举法， 穷举法也叫枚举法，它的基本思想是按照 问题要求确定问题解的大致范围， 问题要求确定问题解的大致范围，然后在 此范围内对这些解进行一一列举， 此范围内对这些解进行一一列举，再对当 前列举出的解进行是否满足问题要求的判 最后把符合要求的解输出， 断，最后把符合要求的解输出，直到所有 可能解全部列举完毕。 可能解全部列举完毕。