九年级数学 第8讲 二次函数探究—二次函数与线段和差问题教案

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灵活运用技

知识讲解

探究线段和差的一般思路

线段的和的最小值：

此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；

线段的差的最大值：

此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；

线段的最值问题：

我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：

此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。

当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解。

例题精析

例1已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．

（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：

（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、O M，求证：ON⊥OM．

（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

例2已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．

（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．

（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x

轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

例4如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

A

课程小结

有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与线段的和差问题提供有利的依据。在探究二次函数与线段的和差问题时，抓住已有的信息及条件用所设未知数来表示出线段的长度，并能运用二次函数的最值来解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键，如遇到线段和最大及差最小问题可相应的将其转换为对称点及三点共线的问题来解决。

例1【规范解答】

解：（1）由题意，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=

（2）如图①，设P（a， a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1．

在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ；

（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，

∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．

∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，

∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠A OM+∠AMO+∠OAM=360°

∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；

②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，

∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，

∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D

∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），

∴F的横坐标为1，∴F（1，

3

-

4

）．

【总结与反思】

1. 由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式；

2. 由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论；

3. ①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论；

②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩

形的性质可以得出结论．

例2【规范解答】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:

抛物线解析式为

顶点横坐标,将代入抛物线得

(2)如图,当时,设,则

过作直线轴,

(注意用整体代入法)

解得,

当在之间时，或时，为钝角.

(3)依题意，且

设移动（向右，向左）

连接则又的长度不变