九年级数学 第8讲 二次函数探究—二次函数与线段和差问题教案
九年级数学《二次函数》第八课时教案
中学“自导式”育人设计方案一、 课前复习检测单1.一次函数y=kx+b (k ≠0)的图像与x 轴的交点坐标和一元一次方程kx+b=0的解有什么关系？2.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数. 二次函数与一元二次方程有什么联系？当y =0时，ax 2+bx +c =0.3.一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的情况可由什么确定？b 2-4ac >0方程有两个不等的实数根；b 2-4ac =0方程有两个相等的实数根；b 2-4ac <0方程无实数根.二、 探究单：(一)探究一：1.画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． ①图象与x 轴交点的坐标是什么？②当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系?2.做一做：利用图象法解一元二次方程0322=--x x3.拓展思考：根据函数322--=x x y 的图象回答下列问题．①当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？②能否用含有x 的不等式来描述①中的问题？4.试一试:利用图象法解不等式x 2－2x －3＞0。
（二）探究二： 1.下列二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y =x 2+x -2；(2) y =x 2-6x +9；(3) y =x 2-x +12. 做一做：利用函数图象求方程x 2-2x -2=0的实数根(结果保留小数点后一位)三巩固训练单1、求下列抛物线与x 轴交点的坐标①822--=x x y ②322-+=x x y ③652++=x x y2、利用图象解一元二次方程0322=-+x x3、利用函数的图象求下列方程或不等式的解．①022=-+x x ②22-+x x ＜0．（提示：可以运用实际求解来帮助画图）4.拓展思考：利用函数的图象解下列方程（组），并思考它们的关系。
九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计
1.针对重点内容的设想
（1）采用直观演示法，通过绘制二次函数图像，引导学生观察、分析图像性质，使他们在直观感知的基础上，形成对二次函数性质的深入理解。
（2）设计具有层次性的练习题，由浅入深地让学生掌握二次函数的定义、图像和性质，使他们在解决问题的过程中，逐步提高自己的数学能力。
2.针对难点内容的设想
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，讨论以下问题：
a.二次函数的定义是什么？各参数有什么含义？
b.二次函数的图像有哪些性质？如何判断开口方向、对称轴和顶点？
c.如何将二次函数的解析式转化为顶点式？顶点式与解析式的互化方法是什么？
2.小组代表发言：每个小组选派一名代表，汇报本组的讨论成果，分享对二次函数性质的理解和应用。
九年级数学下册《二次函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式，并能根据实际情境抽象出二次函数模型；
2.掌握二次函数图像的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，并能够通过描点法或解析法绘制二次函数图像；
3.掌握二次函数的顶点式和解析式的互化方法，了解其几何意义，并能够应用于实际问题中；
（1）运用实际问题引入顶点式与解析式的互化，让学生在实际情境中感受互化的意义，降低学习难度。
（2）通过小组合作、讨论交流，引导学生共同探究二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点等性质的几何意义，培养学生合作解决问题的能力。
（3）设计专题讲座，针对二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、优化问题等，进行详细讲解，帮助学生克服难点。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结二次函数的定义、图像性质、顶点式与解析式的互化等方面。
【最新】数学：二次函数与线段关系问题教案教学设计
【课堂教学备课】唤醒主体 以情激情 以诱达思 启智悟道（生本、生成、生动）九年级（下）数学教案课题：二次函数与线段关系问题主备： 预授时间： 年 月 日 第 周【教学目标】通过本节课的教学，学生能处理二次函数中出现的有关线段的关系问题【教学重点】掌握并会运用线段关系的已知条件解决二次函数有关问题【教学难点】根据线段关系寻求正确的解决方法【教学方法】归纳、探究、引导【教学过程】（一）情景创设，引入新课提问：在解几何题中，往往出现类似AB=CD 这样的已知条件，当看到这样的已知条件时，我们会想到哪些定理或处理方法？（根据这一问题创设一激起想知道的问题情境）（等腰三角形、垂直平分线、中位线等，答对其一均给予表扬）线段关系作为已知条件往往在综合题中呈现有哪些呈现方式呢？面积关系、线段相等关系、线段份数或倍数关系知识联系（结合具体图形，图形教师可随堂画出，问题回答让学生思考教师逐渐补充）面积关系：如S △PAE ：S △AEF =2：3 PE ：EF=2：3相等关系：AB=CD 中位线等份数或倍数关系：AB=32 CD 线段成比例构平行线，可作为相似对应边成比例的条件根号关系：AB=3CD 可联想到线段的平方关系、可构成特殊三角形 （习惯性地寻找线段关系、特殊角）（二）引入新课例：如图，抛物线y=-x 2-4x+5交坐标轴于A 、B 、C 三点，点P 在抛物线上，PF ⊥x 轴于F 点，交AC 于E 点，若S △PAE ：S △AEF =2：3，求P 点坐标分析引导：题目中的主要信息是什么？条件S △PAE ：S △AEF =2：3可得出什么结论？ PE ：EF=2：3这种关系通常怎样处理？P 、E 横坐标相同，纵坐标有关系，如何求P例：如图，抛物线y=x 2-4x+3与y 轴交于点C ，P 在x 轴上，PC 交抛物线于M ，若PM=2CM ，求P 点坐标 y分析引导：根据上面归纳，条件PM=2CM 怎么用？C M如何构成比例关系？O A B P x根据比例关系，可先求哪条线段？这样一来，便可求哪一点坐标？如何求P 点坐标？（学生只需方法，不需解答过程） 例：如图，抛物线y= 21 （x-2）2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，直线y=x+n 交抛物线于M 、N ，M 点的横坐标为1，若点F 在MN 上，FP ⊥x 轴于P ，交抛物线于E ，且EF=EP ，求E 点坐标分析引导：题中主要信息除了抛物线这一条件外 y还有哪些信息？ C F N M 点横坐标为1可以得出哪些结论？EF=EP 根据归纳可采取什么方式来解决？ M E 可得了出E 、F 点坐标中存在几个未知数？可找到几个方程？O A P x六、小结：1、回顾线段关系的处理方法2、如何正确选择方法七、作业练习（2008武汉市四月调考数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax Z +2ax 一b 与x 轴交与A,B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，且A （-4，0) ,0C ＝2OB:(1）求此抛物线的解析式；(2)如图1，作矩形ABCD ，使DE 过点C,点P 是AB 边上的一动点，连接PE,作PH 上PE 交 BD 子点H.设线段PB 的长为x,线段BH 的长为1/2，当P 点运动时,求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围．在同一直角坐标系中，试函数的图象与（1）DE 的抛物线中Y ≧ 0的部分有何关系？（3）如图2，在（1）的抛物线中,点T 其顶点,L 为抛物线上一动点(不与T 重合),取点N(-1,0)，作MN ⊥LN 且MN=2/3LN(点M,N,L 按逆时针顺序)当点L 在抛物线上运动时，直线AM 、TL 是否存在某种确定的位置关系？若存在写出你的证明结论;若不存在，请说明理由．八、教学反思课堂关注情境与问题，阅读与思维，互动与引导，练习与反馈四大要素。
九年级数学 第8讲 二次函数探究—二次函数与线段和差问题教案
2灵活运用技知识讲解探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。
当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解。
例题精析例1已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、O M，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例2已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．例4如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．A课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与线段的和差问题提供有利的依据。
二次函数教学设计(精选6篇)
二次函数教学设计（精选6篇）（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇
九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇二次函数教案篇一一、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
(1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些因变量(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。
果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况。
你能根据表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试。
x/棵y/个三。
做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。
也就是说，利率是一个变量。
在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的。
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).四、二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。
例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数。
我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子。
随堂练习1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数？y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.(1)写出y与x之间的关系表达式；(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少？五、课时小结1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。
九年级数学上册《探索二次函数的性质》教案、教学设计
3.拓展提高题：针对学有余力的同学，可以尝试完成课本第XX页的拓展题11-15题，深入研究二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
4.数学写作：请同学们结合本节课所学，撰写一篇关于二次函数性质与应用的小论文，要求观点明确、论据充分，字数在500字左右。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生勇于尝试、善于发现、敢于创新，为未来的发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和一次函数的性质有了初步的了解。在此基础上，学习二次函数的性质，他们需要将已学的知识进行拓展和深化。然而，学生在面对二次函数图像的变换、最值问题的求解等方面可能存在困难。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：求解给定二次函数的顶点、对称轴、开口方向等。
2.应用题目：利用二次函数的性质解决实际问题，如最大（小）值问题、曲线交点问题等。
3.拓展题目：研究二次函数图像的变换规律，以及在实际问题中的应用。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生一起回顾本节课所学的内容，总结二次函数的定义、性质、图像变换规律以及最值问题的求解方法。同时，我会强调数形结合的数学思想在解决二次函数问题中的重要性。
3.对于拓展提高题，同学们可以自主选择题目进行研究和探讨，培养自己的创新意识和解决问题的能力。
4.数学写作要注重逻辑性和条理性，通过论文撰写，提高自己的数学表达和归纳总结能力。
5.小组讨论要积极参与，分享自己的学习心得和经验，互相学习，共同进步。
数学《二次函数》教案(4篇)
数学《二次函数》教案（4篇）数学《二次函数》教案篇一教学目标（一）教学学问点1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
（二）力量训练要求1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，培育学生的探究力量和创新精神。
2、通过观看二次函数图象与x轴的交点个数，争论一元二次方程的根的状况，进一步培育学生的数形结合思想。
3、通过学生共同观看和争论，培育大家的合作沟通意识。
（三）情感与价值观要求1、经受探究二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动布满着探究与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性。
2、具有初步的创新精神和实践力量。
教学重点1、体会方程与函数之间的联系。
2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标。
教学难点1、探究方程与函数之间的联系的过程。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学方法争论探究法。
教具预备投影片二张第一张：（记作§2.8.1A）其次张：（记作§2.8.1B）教学过程Ⅰ。
创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，争论了它们之间的关系。
当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。
数学《二次函数》教案篇二教学目标（一）教学学问点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
2、进一步进展估算力量。
（二）力量训练要求1、经受用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
初中数学二次函数教案
初中数学二次函数教案初中数学二次函数教案【精选5篇】教师需要不断探索新的教学方法，如互动式教学、案例分析、情境模拟等，让学生积极参与课堂，提高学习效果。
下面是小编为大家整理的初中数学二次函数教案，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。
初中数学二次函数教案（篇1）教学目标1、经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点2、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题3、能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究教学重点和难点重点：用三种方式表示变量之间二次函数关系难点：根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们来学习二次函数的三种表达方式。
二、师生共同研究形成概念1、用函数表达式表示☆做一做书本P56矩形的周长与边长、面积的关系鼓励学生间的互相交流，一定要让学生理解周长与边长、面积的关系。
比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系2、用表格表示☆做一做书本P56填表由于运算量比较大，学生的运算能力又一般，因此，建议把这个表格的一部分数据先给出来，让学生完成未完成的部分空格。
表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系3、用图象表示☆议一议书本P56议一议关于自变量的问题，学生往往比较难理解，讲解时，可适当多花时间讲解。
可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势☆做一做书本P574、三种方法对比☆议一议书本P58议一议函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简单地表示出变量之间的关系。
这三种表示方式积压自有各自的优点，它们服务于不同的需要。
在对三种表示方式进行比较时，学生的看法可能多种多样。
只要他们的想法有一定的道理，教师就应予以肯定和鼓励。
初中数学初三数学下册《二次函数》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的定义、图像及其性质；二次函数的顶点公式和最值问题；二次方程的求解和应用。
2.难点：二次函数图像的绘制和性质的理解；二次函数在实际问题中的应用；二次方程求解过程中的符号判断和计算。
（二）教学设想
1.对于重点内容的处理：
-利用多媒体演示二次函数图像的生成过程，帮助学生形象地理解二次函数的性质。
二、学情分析
本章节的学习对象为初三学生，他们在之前的学习中已经掌握了线性函数的基本概念、性质及其图像特点，初步具备了研究函数的思想和方法。在此基础上，学生对二次函数的学习具备了一定的认知基础，但鉴于二次函数的抽象性和复杂性，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，应注重以下方面：
1.关注学生个体差异，针对不同学生的学习能力和认知水平，采取差异化教学策略，使全体学生都能在原有基础上得到提高。
3.对练习题进行讲解，强调解题思路和关键步骤，帮助学生巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生从以下几个方面进行总结：
-二次函数的定义和一般形式；
-二次函数的图像性质，如开口方向、顶点、对称轴等；
-二次方程的求解方法；
-二次函数在实际问题中的应用。
2.学生分享学习心得，总结自己在学习过程中遇到的困难和解决方法。
-创设问题情境，引导学生从不同角度审视问题，培养他们解决问题的灵活性。
3.教学策略：
-采用启发式教学，激发学生的求知欲和好奇心，引导学生主动探究二次函数的奥秘。
-结合学生的生活实际，设计富有情境性的教学活动，让学生在情境中体验数学、感知数学。
-注重知识的整合，将二次函数与已学的线性函数、不等式等内容相互联系，形成完整的知识体系。
九年级数学《二次函数》教案(优秀)
九年级数学《二次函数》教案（优秀）总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出错误并改正，快快来写一份总结吧。
那么如何把总结写出新花样呢？这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技巧，方便大家学习。
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一、素质教育目标(一)知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
(三)德育渗透点二、教学重点、难点1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念。
2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念。
三、教学步骤(一)明确目标1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的。
”2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值，正弦和余弦。
(二)整体感知只要知道三角形任一边长，其他两边就可知。
而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定。
这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了。
通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象。
(三)重点、难点的学习与目标完成过程正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点。
在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”。
初三数学 二次函数与线段和差问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与线段和差的点存在性问题，主要考查了学生是否能够在图形中寻找到线段和最小或差最大及线段长度的最值的能力。
二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。
九年级数学上册《二次函数》教案、教学设计
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，如最优化问题、几何图形问题等，并通过实际问题进一步理解二次函数的性质。
讨论过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和引导，确保每个学生都能积极参与讨论。
（四）课堂练习
课堂练习环节，我会设计以下几类题目：
1.基础题目：主要考察学生对二次函数定义、图像、性质的掌握，以及基本的求解方法。
2.提高题目：涉及二次函数在实际问题中的应用，如最值问题、几何图形问题等，提高学生的应用能力。
5.写作任务：要求学生撰写一篇关于二次函数在实际问题中应用的小论文，字数在500字左右。论文可以围绕二次函数在生活中的应用、二次函数与其他数学知识的联系等方面展开，旨在培养学生的数学表达能力和逻辑思维。
1.完成教材课后练习题：第1题、第3题、第5题，巩固二次函数的基础知识。
2.解决实际问题：根据课堂所学，选择一个实际问题，建立二次函数模型并求解，将解题过程和结果写在作业本上。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二次函数的定义、图像特征、性质以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解并掌握二次函数的图像与性质之间的关系，如开口方向、顶点、对称轴等。
（2）灵活运用二次函数求解最值问题，特别是顶点公式的运用。
（3）将二次函数的知识应用于解决实际问题，提高学生的数学建模能力。
3.学生在讨论、练习过程中遇到的困难和问题，以及如何克服这些困难。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数知识的掌握，提高他们的应用能力，我将在课后布置以下几类作业：
九年级数学《二次函数》教案最新7篇
九年级数学《二次函数》教案最新7篇九年级数学上册二次函数教案2021模板篇一一、素质教育目标(一)知识教学点使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系。
(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力。
(三)德育渗透点培养学生独立思考、勇于创新的精神。
二、教学重点、难点1.重点：使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系并会应用。
2.难点：一个锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)之间的关系的应用。
三、教学步骤(一)明确目标1.复习提问(1)、什么是∠A的正弦、什么是∠A的余弦，结合图形请学生回答。
因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施。
(2)请同学们回忆30°、45°、60°角的正、余弦值(教师板书).(3)请同学们观察，从中发现什么特征？学生一定会回答“sin30°=cos60°，sin45°=cos45°，sin60°=cos30°，这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”。
2.导入新课根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值。
”这是否是真命题呢？引出课题。
(二)、整体感知关于锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系，是通过30°、45°、60°角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明。
引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式。
在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明。
(三)重点、难点的学习和目标完成过程1.通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并猜想“任一锐角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正弦)值吗？”提出问题，激发学生的学习热情，使学生的思维积极活跃。
初中数学二次函数教案(5篇)
初中数学二次函数教案（5篇）学校数学二次函数教案篇1一、说课内容：人教版九班级数学下册的二次函数的概念及相关习题二、教材分析：1、教材的地位和作用这节课是在同学已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。
二次函数是学校阶段讨论的最终一个详细的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。
同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着亲密的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法供应新的方法和途径，并使同学更为深刻的理解数形结合的重要思想。
而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。
所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。
2、教学目标和要求：(1)学问与技能：使同学理解二次函数的概念，把握依据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何依据实际问题确定自变量的取值范围。
(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经受二次函数概念的探究过程，提高同学解决问题的力量.(3)情感、态度与价值观：通过观看、操作、沟通归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，进展同学的数学思维，增加学好数学的愿望与信念.3、教学重点：对二次函数概念的理解。
4、教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
三、教法学法设计：1、从创设情境入手，通过学问再现，孕伏教学过程2、从同学活动动身，通过以旧引新，顺势教学过程3、利用探究、讨论手段，通过思维深化，领悟教学过程四、教学过程：(一)复习提问1.什么叫函数?我们之前学过了那些函数?(一次函数，正比例函数，反比例函数)2.它们的形式是怎样的?(y=kx+b，ky=kx ,ky= , k0)3.一次函数(y=kx+b)的自变量是什么?函数是什么?常量是什么?为什么要有k0的条件? k值对函数性质有什么影响?【设计意图】复习这些问题是为了关心同学弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k0的条件，以备与二次函数中的a进行比较.(二)引入新课函数是讨论两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。
最新-二次函数数学教案(优秀11篇)二次函数教案
二次函数数学教案(优秀11篇) 二次函数教案作为一名无私奉献的老师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？它山之石可以攻玉，本页是爱岗敬业的小编小月月给大家整理的二次函数数学教案【优秀11篇】，希望对大家有所帮助。
《1.1二次函数》教学设计篇一【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
【过程与方法】经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。
【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识。
【教学重点】二次函数的概念。
【教学难点】在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程。
一、情境导入，初步认识1.教材p2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积s(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是s=-2x2+100x,(0x50)；电脑价格y（元）与平均降价率x的关系式是y=6000x2-1+6000,(0x1).它们有什么共同点？一般形式是y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)这样的函数可以叫做什么函数？二次函数。
2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢？有。
二、思考探究，获取新知二次函数的概念及一般形式在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出。
《1.1二次函数》教学设计篇二二次函数的教学设计马玉宝教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页教学目标：1. 1. 理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；2. 2. 通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
二次函数教学设计(精选9篇)
二次函数教学设计（精选9篇）《二次函数》数学教案篇一教学目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。
（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，1），（1，3），（－1，1）三点。
（2）抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）。
（3）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过（3，0），（2，－3）两点，并且以x＝1为对称轴。
（4）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y 轴的交点；且过（1，1），求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a（x－h）2＋k的形式。
学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式？并让学生阐述解题方法。
教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。
当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。
当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）强化练习：已知二次函数的图象过点A（1，0）和B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m。
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。
二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交次函数教案篇二教学目标熟练地掌握二次函数的最值及其求法。
九年级数学《二次函数》教案最新3篇
九年级数学《二次函数》教案最新3篇次函数数学教案篇一在整个中学数学知识体系中，二次函数占据极其关键且重要的地位，二次函数不仅是中高考数学的重要考点，也是线性数学知识的基础。
那老师应该怎么教呢？今天，小编给大家带来初三数学二次函数教案教学方法。
一、重视每一堂复习课数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。
二、重视每一个学生学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。
而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求三、做好课外与学生的沟通，学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的课堂上听进一点四、要多了解学生。
你对学生的了解更有助于你的教学，特别是在初三总复习间断，及时了解每个学生的复习情况有助于你更好的制定复习计划和备下一堂课，也有利于你更好的`改进教学方法。
2二次函数教学方法一一、立足教材，夯实双基：进行中考数学复习的时候，要立足于教材，重新梳理教材中的典例和习题，就显得尤为重要。
并且要让学生在掌握的基础上，能够做到知识的延伸和迁移，让解题方法、技巧在学生遇到相似问题时，能在头脑中再现二、立足课堂，提高效率：做到教师入题海，学生出题海。
教师应多做题、多研究近几年的中考试题，并根据本班学生的实际情况，从众多复习资料中，选择适合本班学生的最佳练习，也可通过对题目的重组。
三、教师在设计教学目标时，要做到胸中有书，目中有人，让每一节课都给学生留有时间，让他们有独立思考、合作探究交流的过程，最大限度的调动学生的参与度，激发他们的学习兴趣，达到最佳的复习效果。
四、激发兴趣，提高质量：兴趣是学习最好的动力，在上复习课时尤为重要。
数学九年级下册《二次函数-实践与探索》教案
26．3 实践与探索第1课时 二次函数与实际问题课示要求【知识与技能】能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测．【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的过程：问题情境—建模—解释．【情感态度】让学生认识到数学是解决问题和进行交流的工具．【教学重难点】重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．教学过程一、情景导入，初步认识1．一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9米，水面宽4米时，拱顶离水面2米，想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？设问：①这是什么样的函数？②怎样建立直角坐标系比较简便？③如何设函数的表达式？如何确定系数？④自变量的取值范围是什么？⑤当水面宽4.6米时，拱顶离水面高多少米？⑥你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？2．二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．二、思考探索，获取新知探究一：(对于情景导入一)建立函数模型这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线应当是某个二次函数的图象以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，由于顶点坐标系是(0，0)，因此这个二次函数的形式为y ＝ax 2已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A (2，－2)在抛物线上由此得出－2＝4a ，a ＝－12因此，y ＝－1/2x 2其中|x |是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化．由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x 的取值范围是：现在你能求出水面宽4.6米时，拱顶离水面高多少米吗？探究二：某网络玩具引进一批进价为20元/件的玩具如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件，根据销售经验提高销售单价会导致销售量下降，即销售单价每上涨1元，月销售量终相应减少10件当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？让一学生在黑板上板书其解答过程解：设每件商品的单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元；每月减少的销售量为10x 件，实际销售量为(180－10x )件，单价利润为(30＋x －20)元则：y ＝(10＋x )(180－10x )即y ＝－10x 2＋80x ＋1 800(x ≤18)将上式进行配方得：y ＝－10(x －4)2＋1 960当x ＝4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润为1 960元．【教学说明】通过探究引导学生掌握将实际问题转化为数学问题，建立二次函数模型，体现数形结合的思想．【归纳结论】引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决．步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的表达式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内)．三、运用新知，深化理解1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( B )A ．5元B ．10元C ．15元D ．20元2．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？会．3．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？解：建立平面直角坐标系球出手点，最高点，篮圈坐标分别为(0，52)，(4，4)，(7，3)，设这条抛物线为y ＝a (x －4)2＋4，把点(0，52)代入函数关系式中，求出y ＝－332(x －4)2＋4，看点(7，3)是否在抛物线上，当x ＝7时，代入函数关系式计算y ＝3532，所以此球不能投中． 4．龙泉休闲山庄现有116米长篱笆材料，山庄计划利用这些材料和已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，让游客能自己进菜地采摘新鲜蔬菜，菜地当然是越大越好，若你是庄主，你将如何使得这块菜地的面积达到最大？解：设矩形与墙平行的一边长为x 米，则另一边长为116－x 2米，根据题意得：S ＝x ·116－x 2＝－12x 2＋58x ＝－12(x －58)2＋1 682.即当长为58时，宽为29时，矩形面积最大为1 682 m 2. 5．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y ＝－x 210＋710x ＋710，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？解：现在的销售量为：10(－x 210＋710x ＋710)＝－x 2＋7x ＋7. 利润S ＝－x 2＋7x ＋7－x ＝－x 2＋6x ＋7＝－(x －3)2＋16.即当广告费为3万元时，利润最大为16万元．【教学说明】通过以上练习，巩固所学知识，并让学生更加熟练运用二次函数模型解决实际问题．四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？如何将实际问题转化为二次函数问题．从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．课后作业完成该书本课时的对应练习．第2课时 二次函数和一元二次方程(不等式)的关系 课标要求【知识与技能】1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x 轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【过程与方法】1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．【情感态度】1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲．2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识．【教学重难点】重点：1．体会方程与函数之间的联系．2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．难点：1．探索方程与函数之间关系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程一、情景导入，初步认识请同学们画y＝x2－2x－3，y＝x2－6x＋9，y＝x2－2x＋2这三个二次函数的图象．问题：所画的图象与x轴交点的个数与对应的二次方程根的个数有什么联系？【教学说明】通过新问题的引入，引导学生形成解决一类问题的通用方法的思维品质．二、思考探究，获取新知探究一：画出y＝x2＋2x、y＝x2－2x＋1、y＝x2－2x＋2的图象，观察并解答：1．每个图象与x轴有几个交点？2．一元二次方程x2＋2x＝0、x2－2x＋1＝0、x2－2x＋2＝0有几个根？用判别式验证．3．函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？探究二：给出三个二次函数：(1)y＝x2－2x－3；(2)y＝x2－2x＋2；(3)y＝x2－6x＋9.它们的图象分别为观察图象与x轴的交点个数，分别是 2 个、0 个、 1 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法．【归纳结论】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．三、运用新知，深化理解1．知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(B)A．ac＞0B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3C．2a－b＝0D．当x＞0时，y随x的增大而减小分析：根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；B．∵抛物线对称轴是x＝1，与x轴交于(3，0)，∴抛物线与x轴另一交点为(－1，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，故本选项正确；C．∵抛物线对称轴为x＝1，∴2a＋b＝0，故本选项错误；D．∵抛物线对称轴为x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，故本选项错误．故选B.2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝()A．－1.6 B．3.2C．4.4 D．以上都不对分析：根据图象知道抛物线的对称轴为x＝3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2.解：由抛物线图象可知其对称轴为x＝3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.故选C.3．根据下列表格的对应值：x 89101112ax2＋bx＋c －4.56－2.01－0.38 1.2 3.4判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是() A．8＜x＜9 B．9＜x＜10C．10＜x＜11 D．11＜x＜12分析：根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围．解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而－0.38＜0＜1.2，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是10＜x＜11.故选C.4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：①写出方程ax2＋bx＋c＝0的两根；②写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；③写出方程ax2＋bx＋c＝2.5的两根；④写出不等式ax2＋bx＋c<2.5的解集；⑤若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：①0，4②x<0或x>4③5，－1④－1<x<5⑤k>－1【教学说明】学生独立完成4个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表迸行总结，教师作以补充．课后作业完成练习册中本课时的练习．教学反思本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想．四种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标、函数图象与x轴的位置关系．。
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2灵活运用技知识讲解探究线段和差的一般思路线段的和的最小值：此类问题归结为对称点问题，我们只需将其中的一个已知点关于直线的对称点找到，同时连接该对称点与另一已知的点，则该直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的差的最大值：此类问题归结为三点共线问题，我们只需将两个已知的点都转换到直线的同一侧，同时连接这两个已知的点得到的直线与已知直线的交点即为寻找的点；线段的最值问题：我们可以将所需线段用所设的未知数表示出来，再根据函数最值的求解方式便可以得到线段的最值了；图形周长的最值问题：此类问题可以归结为线段的和的最值问题，我们可以借助线段和的最值求法来研究。
当需要求解出线段的最值时，我们可以将线段放置于直角三角形中，运用勾股定理求解。
例题精析例1已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、O M，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．例2已知平面直角坐标系中两定点A（-1，0），B（4，0），抛物线（）过点A、B，顶点为C．点P（m，n）（n<0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式与顶点C的坐标．（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围．（3）若，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（）个单位，点P、C移动后对应的点分别记为、，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．例4如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．A课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与线段的和差问题提供有利的依据。
在探究二次函数与线段的和差问题时，抓住已有的信息及条件用所设未知数来表示出线段的长度，并能运用二次函数的最值来解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键，如遇到线段和最大及差最小问题可相应的将其转换为对称点及三点共线的问题来解决。
例1【规范解答】解：（1）由题意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=（2）如图①，设P（a， a2﹣1），就有OE=a，PE=a2﹣1，∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1．在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ；（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠A OM+∠AMO+∠OAM=360°∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D∴EG=F′H，∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，3-4）．【总结与反思】1. 由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，就可以得出﹣=0，由待定系数法求可以求出抛物线的解析式；2. 由（1）设出P的坐标，由勾股定理就可以求出PE和PQ的值而得出结论；3. ①由（2）的结论就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的内角和定理记平行线的性质就可以求出∠MON=90°而得出结论；②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．例2【规范解答】(1)解:依题意把的坐标代入得: ;解得:抛物线解析式为顶点横坐标,将代入抛物线得(2)如图,当时,设,则过作直线轴,(注意用整体代入法)解得,当在之间时，或时，为钝角.(3)依题意，且设移动（向右，向左）连接则又的长度不变四边形周长最小，只需最小即可，将沿轴向右平移5各单位到处沿轴对称为∴当且仅当、B、三点共线时，最小，且最小为，此时，设过的直线为，代入∴即将代入，得：，解得：∴当，P、C向左移动单位时，此时四边形ABP’C’周长最小。
【总结与反思】1.二次函数待定系数法;2.存在性问题,相似三角形;3.最终问题,轴对称,两点之间线段最短例3【规范解答】解：（1）由抛物线顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解得a=﹣，故所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+；（2）∵y=﹣x2﹣x+，∴x=0时，y=，∴C（0，）．y=0时，﹣x2﹣x+=0，解得x=1或x=﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴B C==2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当CP=CB时，有CP==2，解得m=±；当BP=BC时，有BP==2，解得m=±2．综上，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（﹣1，+），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BC⊥AC．连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC于点Q，∵B、B′关于直线AC对称，∴QB=QB′，∴QB+QM=QB′+QM=MB′，又BM=2，所以此时△QBM的周长最小．由B（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．设直线MB′的解析式为y=kx+n，将M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直线MB′的解析式为y=x+．同理可求得直线AC的解析式为y=﹣x+．由，解得，即Q（﹣13，）．所以在直线AC上存在一点Q（﹣13，），使△QBM的周长最小．【总结与反思】（1）先由抛物线的顶点坐标为N（﹣1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，再将M（﹣2，）代入，得=a（﹣2+1）2+，解方程求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先求出抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交点A、B，与y轴交点C的坐标，再根据勾股定理得到BC==2．设P（﹣1，m），显然PB≠PC，所以当△PBC为等腰三角形时分两种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，连结BC并延长至B′，使B′C=BC，连结B′M，交直线AC 于点Q，由轴对称的性质可知此时△QBM的周长最小，由B（﹣3，0），C（0，），根据中点坐标公式求出B′（3，2），再运用待定系数法求出直线MB′的解析式为y=x+，直线AC的解析式为y=﹣x+，然后解方程组，即可求出Q点的坐标．例4【规范解答】解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将C点的横坐标x=2，代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是：y=﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣12）2+94，∴当x=12时，PE的最大值=94；（3）存在4个这样的点F，分别是：F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（0），F4（40）．①如图1，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图2，AF=CG=2，A 点的坐标为（﹣1，0），因此F 点的坐标为（1，0）；因此F 点的坐标为（1，0）； ③如图3，此时C ，G 两点的纵坐标关于x 轴对称，因此G 点的纵坐标为3，代入抛物线中，即可得出G 点的坐标为（13），由于直线GF 的斜率与直线AC 的相同，因此可设直线GF 的解析式为：y=﹣x+h ，将G 点代入后，可得出直线的解析式为：y=﹣x+7．因此直线GF 与x 轴的交点F 的坐标为：（0）；④如图4，同③可求出F 的坐标为：（40）；综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F 点． 【总结与反思】1. 抛物线223y x x =--与x 轴的交点即为A 和B ，再将A 和C 带入求解直线方程。
2. 将点P 和点E 坐标设出后，求解最大值。
3. 将已知AC 边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。