正方形的性质与判定经典例题练习

正方形第一课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。

2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。

合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是
【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：边
角
对角线
对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的周长与面积
边讲边练：
①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合
1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝°
2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°.
3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：
（1）∠E=°；(2) ∠AFC=°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2.
其中正确的有（）
A．5个个个个
4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.
5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合
1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ）
° ° ° °
2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.
3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．
③正方形对角线的对称性
1. 如图：正方形ABCD 中，AC =10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD
于F ，则PE +PF = .可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两
对角线的距离之和等于
.
思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出
你的结论，并加以说明.
2.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ．
思考：当点P 在DB 的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
④正方形的折叠
1.如图1，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN
的长是 .
2.如图2
，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且C
B'=3，则AM的长是 .
3如图3，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；
④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是 .
课后练习
1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠
MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）+122 +62 +2 +62
3.正方形的面积是
3
1
，则其对角线长是________.
4. 如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ 交于E，CP与DQ交于F.求证：PM = QM.
P
5. 如图4，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F，若正方形A′B′C′D′绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？
6．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.试判断PE与PB的关系.
7. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ADE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PB＋PE的和最小，则这个最小值为 .
8.如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠
(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的
点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接
EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
正方形第二课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。

2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。

二、合作学习
合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练：
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。

（）
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。

（）
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。

（）
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。

（）
2．不能判定四边形是正方形的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
3、四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）
A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA
4、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．
精讲精练
例1、已知Rt ABC V 中，90C ∠=︒，CD 平分ACB ∠,交AB 于D ，DF
ABCD AC BD ，O E BD ACE △ABCD 2AED EAD ∠=∠ABCD
(1)求证：EO =FO
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
(3) 当点O 运动到何处时，四边形AECF 是有可能是正方形？并证明你的结论.
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC 。

试判断EFG V 的形状，并说明理由。

D
B A
O A B
M
N
E
2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ ，求PAQ ∠。

（2）若45PAQ ∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：BDE BCF ≅V V .(2)判断BEF V 的形状。

(11 舟山)以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．
（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°）， ① 试用含α的代数式表示∠HAE ；
② 求证：HE =HG ；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD 的度数。

变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.
例3、P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数.
例4如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB .
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
1、如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则AFD =。

2、（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE=3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF=AE ，则BM 的长为 。

A
B
C P D
E
为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M
为线段AE的中点。

探究：线段MD、MF的关系。

（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45 ，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD 的边BC的延长线上，M为AE的中点。

试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。