第4讲 基本不等式PPT课件
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
2.2基本不等式课件(人教版)(4)
∴2( + ) ≥ 40，
当且仅当 = = 10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的
长度为40.
例析
(2)用一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的
边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
+ =
解：(2)由已知得2( + ) = 36，矩形菜园的面积为2 .
例1.(1)用篱笆围一个面积为1002 的矩形菜园，当这个矩形
的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
=
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，，篱笆的长度为2( + ).
(1)由已知得 = 100.
+
由
2
≥ ，可得 + ≥ 2 = 20，
第二章 一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式
学习目标
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
重点
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
难点
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不
等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来
2.已知x>0，求 x +
1
的最小值.
练一练
3.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
课堂小结
课堂小结：
(1)重要不等式；
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎛⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．导师提醒关注应用基本不等式的两个易错点(1)应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略某个条件，就会出错．(2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 函数f (x )＝x ＋1x 的值域为( )A ．[－2，2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R解析：选C.当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：因为x >1，所以x －1>0，所以x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值(多维探究)角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二 通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三 通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时， 即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立． 所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．(2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋b y 的最值”的问题，先将ax ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．1．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______．解析：因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 答案：12．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，“＝”成立．答案：43．已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．解析：由题意a ＞b ＞0，则a －b ＞0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4， 当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取“＝”，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.答案：4基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究)角度一 与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋bc ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9(2)92角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4.【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．(2019·石家庄教学质量检测(一))已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0，则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab ≥5＋2 6. 当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 62．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 3．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________． 解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x .因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，⎭⎪⎪⎫等号成立)，所以3x ＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立， 所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min，即k ＋1<22，即k <22－1. 答案：(－∞，22－1)[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C. 1a ＋1b >2abD. b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对于选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1x 2＋1≤1.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A. 12 B. 43 C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以lg(2x ·8y )＝lg 2， 所以2x ＋3y ＝2， 所以x ＋3y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1. 答案：17．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83. 当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．答案：838．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．(应用型)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立，所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(应用型)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( )A ．1 B.94C ．9D ．16 解析：选B.1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1＝94， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1，即a ＝13，b ＝53时取等号，故选B.3．(创新型)(2019·山东青岛模拟)已知x ＞0，y ＞0，(lg 2)·x ＋(lg 8)y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________．解析：因为(lg 2)x ＋(lg 8)y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，则1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时取等号，故1x ＋13y的最小值为4.答案：44．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3. 答案：1 35．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.6．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。
基本不等式 课件
提示： a2＋b2，a2＋b2，2ab．
(2)根据 4 个直角三角形的面积和与 正方形面积的大小关系，我们可得一个怎 样的不等式？
解：(1)由 lg a＋lg b＝2 可得 lg ab＝2，即 ab ＝100，且 a>0，b>0，因此由基本不等式可得 a ＋b≥2 ab＝2 100＝20，当且仅当 a＝b＝10 时， a＋b 取到最小值 20.
(2)∵x>0，y>0，2x＋3y＝6， ∴xy＝16(2x·3y)≤16·2x＋2 3y2＝16·622＝32， 当且仅当 2x＝3y， 即 x＝32，y＝1 时，xy 取到最大值32.
提示：a2＋b2>2ab．
(3)存在 4 个直角三角形的面积和与 正方形的面积相等的情况吗？何时相 等？图形怎样变化？
提示：当直角三角形变成等腰直角三 角形，即 a＝b 时，正方形 EFGH 变成一 个点，这时有 a2＋b2＝2ab.
2．归纳总结，核心必记 (1)重要不等式 对于任意实数 a、b 有 a2＋b2 ≥ 2ab， 当且仅当 a＝b 时，等号成立． (2)基本不等式 如果 a>0，b>0 那么 ab ≤ a＋2 b， 当且仅当 a＝b 时，等号成立．
讲一讲 3.如图所示，动物园要围成相同面积 的长方形虎笼四间，一面可利用原有的 墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎 笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎 笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每 间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围 成四间虎笼的钢筋网总长最小？
基本不等式课件
2．均值不等式的应用 应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值． (1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 m； (2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy 有最大值n2.
4 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相 等”．否则会得出错误的结果.
(2)均值不等式a＋b≥ 2
ab(a，b∈R ＋)．
这两个不等式都是在 a＝b 时，等号成立．而(1)只要求 a，
b∈R，而公式(2)条件加强了，要求 a>0，b>0.注意区别．
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式： a＋1≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)．
a 当 ab>0 时，ba＋ab≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)． a2＋b2≥a＋b2≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号
探究 3 利用a＋b≥ ab求最值的条件是怎样的？ 2
【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1) 各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
探究 4 你能给出基本不等式的几何解释吗？ 【提示】 如图，以 a＋b 为直径的圆中，DC＝ ab，且 DC⊥AB. 因为 CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a＋b，根据
(当且仅当 x＝1 时取等号)
当 x<0 时，f(x)＝x＋1x＝－－x＋－1x≤－2. (当且仅当 x＝－1 时取等号) 显然 f(x)无最小值，也无最大值.
探究 2 在基本不等式a＋2 b≥ ab中，为什么要求 a>0，b>0?
【提示】 对于不等式a＋2 b≥ ab，如果 a，b 中有两个或一个为 0，虽然不 等式仍成立，但是研究的意义不大，当 a，b 都为负数时，不等式不成立；当 a， b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．
第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 理
)
1
3
+ = 1, > 0, > 0, 则 3 + 4 = (3 +
5 5
13
3
12
13
3 12
+ +
≥ +2
· =5,当且仅当 x=2y=1 时取等号,所以
5
5
5
5
5 5Biblioteka 4.C 【解析】由题意可得
4)
1
3
+
5 5
=
3x+4y 的最小值是 5.
第七页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
数.
第三页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第六章
第四节
基本不等式及其应用
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-4-
2.利用基本不等式求最值
(1)积定和最小
当 a,b∈(0,+∞),ab=P(定值)时,则 a+b≥2 ,当且仅当 a=b= 时,a+b 取得最小值
2 ;
(2)和定积最大
当
2
a,b∈(0,+∞),a+b=S(定值)时,则 ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,ab
4
2
2
取得最大值 .
4
第四页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第四节
第六章
基本不等式及其应用
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-5-
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
+ 2
(2)ab≤
B.
4
4
15
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
第4讲 基本不等式
B．2 2＋2 D．2 2
3．若2x＋3y＝1(x＞0，y＞0)，则 2x＋3y 的最小值为
A．16 C．24
B．20 D．25
() ()
4．(人A必一P46例3(2)改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场
地的最大面积是________．
5．(人A必一P48习题1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是______．
B．若 x＜12，则函数 y＝2x＋2x－1 1的最小值为 3
C．若 0＜x＜1，则函数 y＝
x＋
1 的最小值为 x
2
D．函数 y＝4x＋1－1 x(0＜x＜1)的最小值为 9
9．(多选)已知第一象限内的点 P(a，b)在直线 x＋y－1＝0 上，则
A．1a＋2b≥3＋2 2 C．ln a＋ln b≥－2ln 2
恒成立，则实数 m 的取值范围是
()
A．(－4，1)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．[－1，4]
D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
(2)当 x∈(1，2)时，不等式 x2＋mx＋2＞0 恒成立，则实数 m 的取值范围是
()
A．(－2，＋∞)
B．(2 2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－2 2，＋∞)
C．a＋b 的最小值为 6 2－3
D．a＋1 1＋b＋1 2的最小值为
2 2
1．当 x＞0 时，x＋29x的最小值为
()
A．3
B．32
C．2 2
D．3 2
2．设 a∈R，若关于 x 的不等式 x2－ax＋1≥0 在[1，2]上有解，则 a 的取值范围是
A．(－∞，2] C．－∞，52
高考数学复习考点知识讲解课件4 基本不等式
— 返回 —
2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 ___2___P____. (2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
解法二：由题设易知 a>0，b>0，∴ ab＝1a＋2b≥2 时“＝”成立，即 ab≥2 2，故选 C．
a2b，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2
— 24 —
(新教材) 高三总复习•数学
3．已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5的最小值为____1______．
— 返回 —
[解析] 因为 x≥52，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2 ≥1，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立．
角度 3：消元法求最值 【例 3】 (1)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为___6___．
4 (2)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是___5____．
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析] (1)解法一：由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 解法二：由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12
基本不等式PPT演示文稿
分析：在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常 数，求长与宽的乘积的最大值。
（2）设矩形的长、宽分别为x(米)，y(米)，依题意有 2(x+y)=36，即x+y=18，
因为x>0，y>0，所以，
因此
xy ≤ 9
x y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy ≤ 2
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9， 因此，当这个矩形的长与宽都是9米时，它的面积 最大，最大值是81平方米。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(米)，y(米)，依题 意有xy=100(平方米)， 因为x>0，y>0，所以， 因此，即2(x+y)≥40。 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=10。 因此，当这个矩形的长与宽都是10米时，它的周长最 短，最短周长是40米.
x y ≥ xy 2
（2）已知矩形的周长是36米，问这个矩形的长、 宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
基本不等式
学习目标
• 1.掌握基本不等式的证明方法。 • 2.理解基本不等式的应用条件。 • 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值 问题.
一.复习引入
比较a b 与2ab的大小
2
2
二.新课讲授
重要不 等式：
如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”）
1．指出定理适用范围：
规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
探究：下面几道题的解答可能有错，如果
错了，那么错在哪里？
１．已知函数 和此时x的取值．
1 f ( x) x x
江苏省2020年高二数学第04讲 基本不等式 课件
解:方法一
由ab a b 3,得b a 3 0,则a 1, 所以ab= a2 3a ,
a1
a1
2，
t
所以 1 1 的最小值为3 2 2. xy
为什么要说 大于零？
解(1):方法二
1 1 =1 ( 1 1 ) ( x 2 y) ( 1 1 )
xy
xy
xy
1 x 2y 2 3 2 x 2y 3 2 2,
yx
yx
当 x 2 y , x 2 y,即y 1 2 取等号,
所以该说法正确.
(3)已知x 1,函数y x 2 2 x 2 ,当且仅当x 2
x1
x1
x1
即x 1时取等号,则此时函数有最小值ymin 2
2 2 2; 11
解(3):显然x=
1 2
时,
y
1 2
1
2
1
=
11 6
2,
2
所以该说法不正确.
思考：
函数y x 2 ( x 1)的最小值怎么求呢？ x1
解(1):x 3 ,有x 3 0，2x 3 0,
2
2
y x 3 8 + 3 2 ( x 3) 8 3 11 ,
2 2x 3 2
2 2x 3 2 2
x 3 8 ,即x 7 时取等号.
2 2x 3
2
所以函数的最小值为 11 . 2
例1.(2)当0 x 1 时,求函数y 1 x(1 2x)的最大值.
4 简记为"积定和最小，和定积最大."
变式1：
已知正实数 x y 1,则 x y的最小值为______.
解:方法一
由公式 a b a2 b2 ,则 a2 b2 2 (a b),
基本不等式公式(4)精品PPT课件
例1.有一根长4a的铁丝,如果围成你不一还 同个有 的矩什 方形么 法;吗？ 求:围成图形面积最大值：
解:(1)设矩形的长为x, 那么宽为2a-x
(2)面积S=x(2a-x)
x
2a 2
x
2
a2
(3)当x=a时，矩形面积S最大=a2
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y
那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
x
2
y
2
a2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.
基本步骤：
(1)设某线段长为x (求出其它线段长)
(1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0)
(2)建立目标函数w=f(x)
(2)建立函数w=g(x,y)
(用基本不等式求出最值) (用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
1. H
E D
A
2. G
D A
3. D
A
G 长方体，体积是4800m3,
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知识与方法回顾
知识梳理 辨析感悟
探究 一 利用基本不等式证明 简单不等式
例1 训练1
技能与规律探究
探究二 利用基本不等式 求最值
例2 训练2
探究三 基本不等式的实际
例3 训练3
经典题目再现
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1．基本不等式： ab≤a＋2 b
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(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
条件最值的求解通常有两种方法： 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，
然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或
积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
规 律 方
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训练 2 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是( c )．
∴1a＋b1＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ab＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ba＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝31时，取等号．
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利用基本不等式求最值
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考点
例 2 (1)(2013·山东卷)设正实数 x,y,z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xzy取
a2＋b2 2 .( )
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )
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3．利用基本不等式求最值的理解
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(6)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为 4.( ) (7)(2014·福州模拟改编)若 x＞－3，则 x＋x＋4 3的最小值为 1.( )
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1．对基本不等式的认识
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(1)当 a≥0，b≥0 时，a＋2 b≥ ab.( ) (2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是相同的．( )
2．对几个重要不等式的认识
(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( )
(4)a2＋abb＝1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
(2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号． a＋b
(3)其中___2___称为正数 a，b 的算术平均数，__a_b__ 称为正数 a，b 的几何平均数．
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2．几个重要的不等式
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(1)重要不等式：a2＋b2≥_2_a_b (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥_2__(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当__x_＝__y__时，x＋y 有最_小__
值是_2___p__ (简记：积定和最小)．
(2)是如_果_s4_2和_(简x＋记y：是和定定值积s最，大那)么．当且仅当_x_＝__y__时，xy 有最_大__值
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例 2 (2)(2014·广州一模)已知x2＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则 x＋y 的最
小值为( D )．A．1 B．2 C．4 D．8
解(2) ∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·2x＋2y ＝4＋2xy＋xy ≥4＋4 xy·xy＝8. 当且仅当xy＝xy，即 x＝y＝4 时取等号．
A.254 B.258 C．5 D．6
(2)(2014·浙江十校联考)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy
的最大值是(
c
)．
4 A.3
5 B.3
C．2
5 D.4
解（1）
解（2）
由 x＋3y＝5xy 可得51y＋53x＝1， 由 x＞0，y＞0，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)51y＋53x ＝95＋54＋35xy＋152xy≥153＋152 ＝5
得最大值时,2x＋1y－2z的最大值为(
)．A．0
B．1
9 C.4
D．3
(1)解 由 x2－3xy＋4y2－z＝0，
审题路线
得 ＝xyz＋＝4xx1y2－－33.xy又＋4xy，2，∴y，xzyz＝为x正2－实3xx数yy＋，4y2
条件：x2－3xy＋4y2－z＝0 变形得：z＝x2－3xy＋4y2 ⇒代入 z ⇒变形后利用基
得 4x2＋9y2＋3xy ≥2×(2x)×(3y)＋3xy (当且仅当 2x＝3y 时等号成立)，
(当且仅当35xy＝152xy时,等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，即 xy≤2，
证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0，
规律方法
∴xy＋xz≥2
x yz＞0，xy＋yz≥2
y xz＞0，
利用基本不等式证 明不等式是综合法证
明不等式的一种情况，
xz＋yz≥2 z xy＞0，
证明思路是从已证不 等式和问题的已知条
∴xy＋xz xy＋yz xz ＋yz ≥
件出发，借助不等式 的性质和有关定理，
xy
∴ 此x时y＋z4＝xy≥24y，2.当∴且2x＋仅1y当－x2z＝＝222yy＋ 时1取y－等22y号2 ，
本不等式⇒ 取 等 号 的 条
件
把
2x ＋
1 y
－
2 z
转化
关
于
1 y
＝ 当1－y＝1y1，2＋即2y
＝－1y－12＋1，
y＝1 时，上式有最大值
1.
的一元二次函数 ⇒利用配方法求最大值．
(8)(2013·四川卷改编)已知函数 f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝36.( )
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二个防范
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考点
利用基本不等式证明简单不等式
例 1 已知 x＞0，y＞0，z＞0.求证：xy＋xzxy＋yzxz＋yz≥8.8yz· xz· xyz
xy＝8.
经过逐步的逻辑推理 最后转化为需证问 题．
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
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利用基本不等式证明简单不等式
训练 1 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9.
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考点
证明
∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，