不等式恒成立

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恒成立的不等式

恒成立的不等式一．恒成立的不等式的定义不等式恒成立：不等式对给定区间上的所有的值都成立，则称此不等式在给定区间上恒成立二．恒成立的不等式的性质a> f(x) 恒成立⇔ a>f max (x) a ≥ f(x) 恒成立⇔ a ≥ f max (x) a< f(x) 恒成立⇔ a< f min (x) a ≤ f(x) 恒成立⇔ a ≤ f min (x) ex1:已知不等式a x x >++-21对一切x ∈R 的值都成立，求实数a 的取值范围解： 3)2()1(21=+--≥++-x x x x∴ （)21++-x x min=3∴ 不等式a x x >++-21对一切x ∈R 的值都成立⇔ a<3 ∴实数a 的取值范围为（-∞，3）ex2: 定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对任意,,21R x x ∈都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称函数)(x f 是R 上的凹函数.已知二次函数)(x f =).0,(2≠∈+a R a x ax（Ⅰ）求证：当0>a 时，函数)(x f 是凹函数；（Ⅱ）如果]1,0[∈x 时，|)(x f |≤1，试求实数a 的范围. 解：（Ⅰ）对任意,0,,21>∈a R x x)]2)2([2)2(2)]()([212212221212121x x x x a x ax x ax x x f x f x f +++-+++=+-+∴=.0)(21)2(212212122212221≥-=++-+x x a x x x x a axax∴+≤+∴)].()([21)2(2121x f x f x x f 函数)(x f 是凹函数.(Ⅱ)由|)(x f |.(*)111)(112≤+≤-⇐⇒≤≤-⇐⇒≤x axx f当0=x 时，;R a ∈ 当]1,0(∈x 时，（*）即 1,122+-≤--≥x axx ax恒成立，即 41)211(11,41)211(112222--=-≤++-=--≥x xxa x xxa 恒成立. .11],1,0(≥∴∈xx∴当11=x时，41)211(2++-x取得最大值是－2，当11=x时，41)211(2--x取得最小值是0.,02≤≤-∴a 结合,0≠a 得.02<≤-a综上,a 的范围是).0,2[-说明：在此题(Ⅱ)中，求a 的范围的方法是分离参数法，即将参数a 放在不等式的一边，而将关于x 的函数式放在另一边，再求出关于x 的函数的最大值（和最小值），最后利用恒成立的不等式的性质求出a 的范围分离变量法：若关于x 的不等式()0,≥λx f （或()0,≤λx f ）在区间D 上恒成立，求参数λ的取值范围，如果能将原不等式化为()()x G F ≥λ（或()()x G F ≤λ）的形式，而且可以求出()x G 在区间D 上的最大（最小）值，那么原不等式在区间D 上恒成立的充要条件是：()()max x G F ≥λ（或()()min x G F ≤λ）。

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型，涉及数学中各部分知识，但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题，最常考的一种题型是：已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决。

在正式求解之前先解决两个问题： 1、怎么判断是恒成立问题？恒成立问题一般都有很明显的关键词，比如任意、所有、全、都、总、恒、均等。

2、如何区分主元和参数？恒成立问题一般会出现这样一句话：“对某个未知数在某个区间范围内恒成立”，那么这个未知数就是主元，剩下的未知数就是参数。

函数性质法 1、一次函数型给定一次函数()y f x kx b ==+(0≠k ),若()y f x =在[,]m n 内恒有0)(>x f ，则根据函可得上述结论等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[,]m n 内恒有()0f x <，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 。

例对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．解：设函数，显然，则是的一次函数，40≤≤p 342-+>+p x px x x x p x p x y -+-+=3)4(2[]4,0∈p 0>y x )34()1()(2+-+-=x x p x p f 1≠x )(p f p要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是．点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色．例设函数3)(x x f =，若20πθ<<时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围答案：]1,(-∞变式练习1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

基本不等式的恒成立问题

基本不等式的恒成立问题一、基本不等式1. 基本不等式的形式- 对于正实数a，b，有a + b≥2√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 变形形式：ab≤((a + b)/(2))^2。

2. 基本不等式成立的条件- a>0，b>0。

二、基本不等式恒成立问题的常见类型及解法1. 类型一：求参数的取值范围使得不等式恒成立- 例1：已知x>0，y>0，若x + y+ (1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，求m的取值范围。

- 解析：- 因为x>0，y>0，根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立；同理y+(1)/(y)≥2，当且仅当y = 1时等号成立。

- 所以x + y+(1)/(x)+(1)/(y)=(x+(1)/(x))+(y+(1)/(y))≥2 + 2=4。

- 因为x + y+(1)/(x)+(1)/(y)≥ m恒成立，所以m≤4。

2. 类型二：已知不等式恒成立，求代数式的最值- 例2：若对于任意x>0，(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，求a的最小值。

- 解析：- 因为x>0，则(x)/(x^2)+3x + 1=(1)/(x+frac{1){x}+3}。

- 根据基本不等式x+(1)/(x)≥2√(x×frac{1){x}} = 2，当且仅当x=(1)/(x)即x = 1时等号成立。

- 所以x+(1)/(x)+3≥2 + 3=5，则0<(1)/(x+frac{1){x}+3}≤(1)/(5)，即0<(x)/(x^2)+3x + 1≤(1)/(5)。

- 因为(x)/(x^2)+3x + 1≤ a恒成立，所以a≥(1)/(5)，a的最小值为(1)/(5)。

3. 类型三：含有多个变量的基本不等式恒成立问题- 例3：已知x,y∈ R^+，若2x + y = 1，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，求正实数a 的值。

不等式恒成立

不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。

不等式恒成立问题解题方法汇总(含答案)

不等式恒成立问题解题方法汇总（含答案）不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．答案部分1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为常数．（I）试确定的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．分析：不等式恒成立，可以转化为解：（I）（过程略）．（II）（过程略）函数的单调减区间为，函数的单调增区间为．（III）由（II）可知，函数在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值．分析：对于（II）不等式中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3 数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象（如右），从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即．故所求的的取值范围为．评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4 变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设，，则原问题转化为恒成立的问题．故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5 特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意有求出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．解：（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对进行分段讨论，当时，不等式恒成立，所以，此时；当时，不等式就化为，此时的最小值为，所以；当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交集即区间说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的要同时成立，所以，用求交集的结果就是所求的结果．评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．7单调性法例8．若定义在的函数满足，且时不等式成立，若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．解：设，则，有．这样，，则，函数在为减函数．因此；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当时，要使不等式一切实数恒成立，须有，解得．综上可知，所求的实数的取值范围是．不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为；下面只要求在时的最小值即可，分段处理如下．当时，，，再令，，它的根为；所以在区间上有，递增，在区间上有，递减，则就有在的最大值是，这样就有，即在区间是递减．同理可以证明在区间是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．。

不等式的恒成立

不等式的恒成立,能成立,恰成立用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:（1）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .（2）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .（3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,不等式的恒成立【例】已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (Ⅰ)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(Ⅱ)若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围。

【解】递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭与()1,+∞,递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭(Ⅱ) 1c <-或2c >. 【例】已知向量),,1(),1,(2t x b x x a -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围【解】 5≥t . 【例】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【分析及解】（Ⅰ）65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）10m ≥ 【例】已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(),13-∞-上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】2232a -≤≤. 【例】设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。

不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。

解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。

本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。

一、置换法。

这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。

如果成立，则不等式恒成立。

对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。

由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。

二、加法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

三、减法法则。

与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

四、乘法法则。

这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

五、除法法则。

与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。

对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。

由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。

六、平方法则。

这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。

对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。

不等式恒成立问题

变式：已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围
由题意得，对于恒成立对于恒成立,令 ,设 ,则，
, , k的取值范围是k> .
解：令，所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。
例5：已知，求实数a的取值范围。
解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才能够，所以。
3.设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。
综上可得实数的取值范围为。
4：在 ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。
解析：由
，，恒成立，，即恒成立，
5、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。
解：设，对满足的，恒成立，
解得：
6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。
解：由题意知：在内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数和
观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

不等式有解与恒成立问题

不等式恒成立与能成立问题学号姓名不等式恒成立指不等式对指定其间上的任意值都成立；不等式能成立指不等式在指定其间上至少有一个解（或称有解）。

下面从三个例子针对这两类问题的解决策略作比较说明。

例1.（1）若不等式()350x a -+<在[]1,1x ∈-内恒成立，求实数a 的取值范围。

（2）．若不等式()350x a -+<在[]1,1x ∈-内能成立，求实数a 的取值范围。

例２．（１）若不等式22310x x m ++-≥在[]0,1x ∈内恒成立，求实数ｍ的取值范围．（２）若不等式22310x x m ++-≥在[]0,1x ∈有解，求实数ｍ的取值范围．例３．（１）若不等式245462x x a x -+≤+-在[]3,5x ∈内恒成立，求实数ａ的取值范围．（２）若不等式245462x x a x -+≤+-在[]3,5x ∈内有解，求实数ａ的取值范围。

总结：１．不等式恒成立与能成立（有解）解法策略比较：2.恒成立的参数范围是有解的参数范围的子集。

3. 不等式恒成立与能成立（有解）问题都是转化为最值解决。

作业：1.已知关于x 的不等式2350x a +-<。

（1）若此不等式对[]1,5x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。

（2）若此不等式对[]1,5x ∈上能成立，求实数ａ的取值范围。

2.已知关于x 的不等式20x a +>。

（1）若此不等式对[]1,2x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。

（2）若此不等式对[]1,2x ∈上能成立，求实数ａ的取值范围。

3. 已知关于x 的不等式2+2310x x a -+>。

（1）若此不等式对[]0,1x ∈上恒成立，求实数ａ的取值范围。

（2）若此不等式在[]0,1x ∈上有解，求实数ａ的取值范围。

4. 若不等式4213a x x +≤+-在[]0,1x ∈内有解，求实数ａ的取值范围。

不等式恒成立问题3种基本方法

不等式恒成立问题3种基本方法不等式恒成立问题是指在数学中有特定条件下，当不等式满足某些条件时，就能证明不等式恒成立。

一般来说，要证明不等式恒成立，都是采用一定的技巧和方法，其中，最常用的三种方法包括把不等式化简为等式、归纳法或组合法以及图解法。

1.不等式化简为等式最常用的一种方法是将不等式化简为等式，这种方法最为直观，也是最容易的方法，也就是利用数学语言，利用数学公式将不等式化为等式，然后利用数学推论让等式恒成立。

例1:y+2除以3大于9，则y大于17令y+2=3x得3x除以3大于9化简得 x大于9代入y+2=3x，y大于17所以y+2除以3大于9时，y大于17。

2.纳法或组合法归纳法或组合法是比较常用的一种方法，也称为反演法。

特别是在分析比较复杂的不等式时，往往可以借助这种方法。

归纳法或组合法的步骤是：1首先分析不等式的全部特性，然后根据不等式的特性进行分析，把这些特性分为若干步，每步解决一个特殊问题；2）然后利用反演法，逐步推出最后的结论。

例 2:y>8，则9-y<1第一步： y>8明 y>8成立的第二步：y>8带入y-8>0，即可推出y-8的值大于0第三步：y-8>0带入9-y<1，即可推出9-y的值小于1第四步：以上四步推出，若y>8，则9-y<13.解法图解法是把问题的定义，公式，结果等用图示表示出来，从而把问题用图形化的方式来分析。

例 3:|x-2|≤3，则-1≤x≤5由于|x-2|≤3，即x-2≤3 x-2≥-3，因此可以把上述问题用图形化的方式来分析，即x-2=3时表示x-2≤3，x-2=-3时表示x-2≥-3，两条线在x=5和x=-1的位置相交，由此可以推出-1≤x≤5。

通过以上三种方法可以解决许多不等式恒成立的问题，它们各有优缺点，需要在实际操作中根据不等式本身的特点来选择最合适的方法，以达到最好的解决效果。

但是，无论如何，从本质上来讲，学习和掌握数学，尤其是求解不等式恒成立问题，关键在于不断积累知识，勤加练习，加强技巧。

求解不等式恒成立问题的三种途径

考点透视不等式恒成立问题的常见命题形式有：（1）证明某个不等式恒成立；（2）根据恒成立的不等式求参数的取值范围.求解不等式恒成立问题的常用思路有：构造函数、分离参数、数形结合等.对于不同的不等式，往往需采用不同的途径进行求解.下面结合实例来进行探究.一、构造函数在求解不等式恒成立问题时，我们可先将不等式左右两边的式子移项、变形；然后将不等式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，通过研究函数的单调性，求得函数的最值，来证明不等式恒成立.在求函数的最值时，可根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性；也可以利用简单基本函数的单调性来求得函数的最大、最小值，建立使不等式恒成立的式子，即可解题.例1.求证：当x >-1时，1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.证明：设f ()x =ln ()x +1-x ，求导可得f ′()x =1x +1-1=-x x +1，因为当-1<x <0时，f ′()x >0，当x >0时，f ′()x <0，所以函数f ()x 在()-1,0上单调递增，在()0,+∞上单调递减，即f ()x ≤f ()0=0，故f ()x =ln ()x +1-x ≤0，即ln ()x +1≤x .令g ()x =ln ()x +1+1x +1-1，则g ′()x =1x +1-1()x +12=x ()x +12，因为当-1<x <0时，g ′()x <0，当x >0时，g ′()x >0，所以函数g ()x 在()-1,0上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知g ()x ≥g ()0=0，故ln ()x +1+1x +1-1≥0，ln ()x +1≥1-1x +1，综上可知，当x >-1时，不等式1-1x +1≤ln ()x +1≤x 恒成立.要证明目标不等式恒成立，需分两步进行，先证明ln ()x +1≤x ，再证明ln ()x +1≥1-1x +1.在证明这两个不等式时，都需要先将不等式左右两边的式子作差、移项，构造出新函数f ()x =ln ()x +1-x 、g ()x =ln ()x +1+1x +1-1；然后对函数求导，分析导函数与0之间的大小关系，判断出函数的单调性，进而求得函数的极值，从而得出f ()x min =0、g ()x max =0，即可证明f ()x ≤0、g ()x ≥0.例2.设函数f ()x =e x ln x +2e x -1x，曲线y =f ()x 在点()1，f ()1处的切线方程为y =e ()x -1+2，证明：不等式f ()x >1恒成立.证明：由f ()x >1可得x ln x >xe -x -2e，令g ()x =x ln x ，可得g ′()x =ln x +1，∵当x ∈æèöø0,1e 时，g ′()x <0；当x ∈æèöø1e ,+∞时，g ′()x >0，∴函数g ()x 在æèöø0,1e 上单调递减，在æèöø1e ,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g æèöø1e =-1e ，令h ()x =xe -x -2e，则h ′()x =e -x ()1-x ，∵当x ∈()0,1时，h ′()x >0；当x ∈()1,+∞时，h ′()x <0，∴函数h ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴h ()x ≤h ()1=-1e，∴当x >0时，g ()x >h ()x ，即不等式f ()x >1成立.由于不等式x ln x >xe -x -2e左右两侧的式子分别含有对数式、指数式，于是分别令g ()x =x ln x 、h ()x =xe -x -2e，那么只要证明g ()x min ＞h ()x max ，即可证明不等式恒成立.利用导数法求出函数g ()x 、h ()x 在定义域内的最值，即可证明不等式成立.在构造函数时，要注意观察不等式的结构特点，将其进行合理的变形，以便构造出合适的函数模型，从而顺利证明不等式.二、分离参数对于含参不等式恒成立问题，我们通常要采用分离参数法，将不等式中的参数、变量分离，即使不等式一侧的式子中含有参数、另一侧的式子中含有变量，得到形如a ≥f ()x 、a ≤f ()x 的不等式.探讨函数f ()x 在定义域内的最值与参数a 的大小关系，即可求得问赵瑛琦37考点透视题的答案.例3.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x.(1)求函数f ()x 的单调区间；(2)若对于任意n ∈N ∗，不等式æèöø1+1n n +a≤e 恒成立，求参数a 的最大值.解：(1)函数f ()x 的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞；（过程略）(2)不等式æèöø1+1n n +a≤e 等价于()n +a ln æèöø1+1n ≤1，因为1+1n ≥1,所以a ≤1ln æèöø1+1n -n，设g ()x =1ln ()1+x -1x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =-1()1+x ln 2()1+x +1x 2=()1+x ln 2()1+x -x 2x 2()1+x ln 2()1+x ，由(1)可得ln 2()1+x -x 21+x≤0，即()1+x ln 2()1+x -x 2≤0，故当x ∈(]0,1时，g ′()x ≤0，函数g ()x 单调递减，即g ()x 在(]0,1上的最小值为g ()1=1ln 2-1，故a 的最大值为1ln 2-1.由于参数a 为指数，所以考虑对不等式左右两边的式子取对数，以将参数分离，得到a ≤1ln æèöø1+1n -n .只要求得1ln æèöø1+1n -n的最小值，即可求得a 的最大值.于是构造函数g ()x =1ln ()1+x -1x ，利用导数法求得函数的最小值，即可解题.在分离参数时，可通过移项、取对数、取倒数等方式，使参数与变量分离.例4.已知函数f ()x =-x ln x +a ()x +1，若f ()x ≤2a 在[)2,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.解：当x ≥2时，由f ()x ≤2a 可得a ≤x ln xx -1，令g ()x =x ln x x -1,x ≥2，∴g ′()x =ln x -x +1()x -12，令h ()x =ln x -x +1，x ≥2，∴h ′()x =1x-1，∵当x ≥2时，h ′()x ＜0，函数h ()x 单调递减，∴h ()x ≤h ()2=ln 2+1＞0，∴g ′()x ＞0，函数g ()x 在[)2,+∞上单调递增，∴g ()x ≥g ()2=2ln 2，∴a ≤g ()x min =g ()2=2ln 2，∴实数a 的取值范围为(]-∞,2ln 2.先将不等式变形，使参数a 单独在不等式的左边，得到不等式a ≤x ln xx -1；然后在定义域[)2,+∞内求不含参函数式的最小值，即可求得参数a 的取值范围.三、数形结合有时不等式中的代数式可用几何图形表示出来，如y =kx 表示的是一条直线；y =a x 、y =x a 表示的是两条曲线；x 2+y 2=1表示的是一个圆，此时就可以采用数形结合法，根据代数式的几何意义画出图形，通过分析图形中曲线、直线之间的位置关系，研究图形的性质，来证明不等式成立.例5.若不等式e x ≥kx 对任意x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____.解：设过原点的直线与y =e x相切于点()x 0,ex 0，∵y ′=e x，∴由几何导数的意义可知切线的斜率为k =e x，∴切线的方程为y -e x 0=e x 0()x -x 0，∵切线经过点()0,0，可得x 0=1，∴切线的斜率k =e .由图可知，要使等式e x ≥kx 恒成立，需使y =e x的图象始终在直线y =kx 的上方，∴0≤k ≤e .根据不等式两侧式子的几何意义画出图形，即可将不等式问题看作函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系问题.结合图形讨论函数y =e x 和直线y =kx 的位置关系，并根据导函数的几何意义求得切线的方程，即可得到关于参数的新不等式.运用数形结合法解题，需密切关注直线、曲线之间的临界情形，如相切、相交的情形，从而确定参数的临界值.可见，解答不等式恒成立问题，需注意以下几点：（1）仔细观察不等式的结构特点，并将其进行合理的变形，如作差、移项、分离参数；（2）合理构造函数模型，将问题转化为函数最值问题，以便利用导数法、函数的单调性求得最值；（3）灵活运用数形结合思想，以直观、便捷的方式来解题.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）38。

不等式恒成立问题

不等式恒成立问题常见类型：在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题。

是历年高考的一个热点。

类型一. 二次不等式在R 上恒成立若二次函数2f(x)=ax +bx+c(a 0)≠在R 上大于0恒成立，则有0a >且0∆<；同理()0f x <在R 上大于0恒成立，则有0a <且0∆<。

其本质是确保()f x 的图像均在x 轴上方（或下方）。

例1. 若函数y =定义域为R ，求m 的取值范围。

解: y =R ，即2680mx mx m +++≥在R 上恒成立。

1 0m =时，80≥恒成立0m ∴=成立20m ≠时，由()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，得01m <≤ 综上，m 的取值范围为01m ≤≤.(最高次系数含参数时,先考虑系数为0的情况)类型二：转化为最值问题()f x a >对于一切x I ∈恒成立⇔min ()f x a >⇔min (())0f x a -> ()f x a <对于一切x I ∈恒成立⇔max ()f x a <⇔max (())0f x a -<例2:函数3()3f x x x a =-+,若()2f x ≤对于[0,2]x ∈恒成立,求a 的取值范围.(参数只在常数项位置)解: 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-由()0,[0,2]f x x '=∈得1x =(1)2,(0),(2)2f a f a f a =-+==+,max ()(2)2f x f a ==+要使()2f x ≤对于任意[0,2]x ∈恒成立,只需max ()2f x ≤即22a +≤, 解得0a ≤故a 的取值范围为0a ≤. (类型:练习1 5 6 7)类型三．分离参变量通过恒等变形将参数与变量分别置于不等号的两边，转化为类型二：已知不等式f(x,a)0≥（或0≤）对于任意(,)x m n ∈恒成立，求a 的取值范围。

不等式恒成立

不等式的恒成立一．什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。

关于x 的不等式f(x)≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。

常见的有：2(1)0,;(2)0,;0,0xx x R ax R x ≥∈>∈≥≥等等。

其形式与函数的最值关系如下：m in m ax 1.()();2.()()f x m f x m f x m f x m≥∀∈⇔≥≤∀∈⇔≤对x D 恒成立对x D 恒成立变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。

其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习：1.下列哪些关系是恒成立的？（1）当x R ∈时26100x x -+>，（2）当0x ≤时，21x≤（3）当1x >时log a x >0(0,1)a a >≠（4）若2()log f x x x =+对任意的12x x >>0，都有12()()f x f x >。

例题一：1.已知函数2()23f x x x =+-，求证当(],2x ∈-∞-时，f(x)的最小值为f(-2) ；说明()(2)f x f ≥-是否恒成立？[]21,3∈->2.对x ,不等式x +2x+1p 恒成立.求p 的取值范变式：2,R ∈>0对x 不等式x +px+1恒成立.求p 的取值范例题二：[]1.1,2x ax ∈>当时,不等式-20恒成立.求a 的取值范围。

变式：若函数()f x = [)1,+∞上有意义，求常数m 的取值范围。

思考：变式与“()f x =的定义域为[)1,+∞，求常数m 的取值”有什么不同？2..已知函数1y x x=-（1）判断函数在()0x ∈+∞上的单调性。

（2）若不等式2x +≤ax-10对任意的1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求常数a 的取值范围。

3．若函数2y kx =图像恒在函数1y kx =-图像的下方，求常数k 的取值范围。

不等式的恒成立问题基本解法9种解法

不等式的恒成立问题基本解法9种解法在解决不等式的恒成立问题时，有多种基本解法可以选择，每种解法都有其独特的特点和适用场景。

在本文中，我们将深入探讨不等式的恒成立问题，并从不同的角度提出9种基本解法，帮助读者更全面、深入地理解这一主题。

1. 直接法直接法是解决不等式的恒成立问题最直接的方法。

通过对不等式的特定性质和条件进行分析，直接得出不等式恒成立的结论。

这种方法通常适用于简单的不等式，能够快速得到结果。

2. 间接法间接法是一种通过反证法或对立法解决不等式的恒成立问题的方法。

当直接法无法直接得出结论时，可以尝试使用间接法来推导不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于较为复杂的不等式，可以通过推翻假设得到结论。

3. 分类讨论法分类讨论法是一种将不等式的条件分为多种情况进行分析的方法。

通过将不同情况进行分类讨论，找出每种情况下不等式的恒成立条件，从而得出综合结论。

这种方法适用于不等式条件较为复杂的情况，能够全面考虑不同情况下的特殊性。

4. 代入法代入法是一种通过代入特定的数值进行验证的方法。

通过选择合适的数值代入不等式中，可以验证不等式在特定条件下是否恒成立。

这种方法通常适用于验证不等式的特定性质或条件。

5. 齐次化法齐次化法是一种将不等式中的不定因子统一化的方法。

通过将不等式中的不定因子进行统一化，可以简化不等式的表达形式，从而更容易得出不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于不等式较为复杂的情况，能够简化问题的复杂度。

6. 几何法几何法是一种通过几何形象进行分析的方法。

通过将不等式转化为几何图形，可以直观地理解不等式的恒成立条件。

这种方法通常适用于具有几何意义的不等式问题，能够通过几何图形进行直观分析。

7. 递推法递推法是一种通过递归关系进行推导的方法。

通过建立递推关系，可以得出不等式的递推解，从而得出恒成立条件。

这种方法通常适用于递推关系较为明显的不等式问题，能够通过递推求解不等式问题。

8. 极限法极限法是一种通过极限的性质进行分析的方法。

不等式恒成立的条件

不等式恒成立的条件在数学中，不等式是一个常见的概念，是指两个或多个数或变量之间的大小关系。

当不等式的两边用某种方法进行等价变换后，如果变换后的不等式恒成立，那么我们就称这个不等式为恒等不等式。

那么，不等式恒成立的条件是什么呢？下面是详细的介绍。

一、一元一次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax>b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a。

2.当不等式形如ax<b时，若a>0，那么不等式恒成立的条件是x<b/a；若a<0，那么不等式恒成立的条件是x>b/a。

二、一元二次不等式的恒成立条件1.当不等式形如ax^2+bx+c>0时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/(2a)或x>-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是x∈R。

2.当不等式形如ax^2+bx+c<0时，若a>0，那么恒成立的条件是x>-b/(2a)且x<-b/(2a)；若a<0，那么恒成立的条件是不存在实数x能使不等式成立。

三、绝对值不等式的恒成立条件1.当不等式形如|ax+b|>c时，若a>0，那么恒成立的条件是x<-b/a-c或x>-b/a+c；若a<0，那么恒成立的条件是x∈(-∞,-b/a-c]U[b/a+c,+∞)。

2.当不等式形如|ax+b|<c时，那么恒成立的条件是-x<b/a-c且x>-b/a-c或-x<b/a+c且x>-b/a+c。

总结而言，不等式恒成立的条件是通过对不等式进行一系列的等价变换，并求解使得不等式成立的参数或变量的值。

这个过程需要一定的数学知识和技巧，需要有耐心去理解、推导和计算。

只有掌握了不等式恒成立的条件，才能更好地运用不等式去解决实际问题。

不等式“恒成立”问题的解法

不等式“恒成立”问题的解法对于不等式问题，“恒成立”是一个重要的概念。

如果一个不等式对于所有的变量的取值都成立，那么我们就说这个不等式“恒成立”。

在本文中，我们将介绍几种方法，解决不等式“恒成立”问题。

寻找不等式“恒成立”的方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，它可以证明一个结论对于所有自然数都成立。

我们可以借助数学归纳法来证明一个不等式对于所有变量取值都成立。

首先，我们要确定一个起点。

假设我们要证明不等式P(n)对于所有 $n \\in \\mathbb{N}$ 都成立，我们需要找到一个n0，使得不等式P(n0)是成立的。

通常情况下，我们选择n0=1。

接下来，我们需要证明不等式P(n)成立时，不等式P(n+1)也成立。

也就是说，我们需要证明P(n+1)与P(n)之间的关系。

如果我们能证明 $P(n)\\Rightarrow P(n+1)$，那么就可以使用数学归纳法证明不等式P(n)对于所有 $n \\geq n_0$ 都是成立的。

2. 分析不等式的性质在一些特定的不等式中，我们可以利用它们的性质来证明恒成立的情况。

例如，对于任何一组实数a1,a2,...,a n，我们都有：$$ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + ... + (a_{n-1} - a_n)^2 \\geq 0 $$不等式左侧是一组非负实数的和，因此它一定大于等于零。

所以，上面的不等式对于所有实数a1,a2,...,a n都是恒成立的。

3. 利用代数等式有时，我们可以通过将一个不等式转化为代数等式来解决恒成立的问题。

例如，假设我们要证明不等式 $x^2 + y^2 \\geq 2xy$ 对于所有实数x和y都成立。

我们可以将这个不等式变成以下代数等式：$$ (x - y)^2 \\geq 0 $$根据平方数的非负性，不等式左侧一定大于等于零，所以原来的不等式对于所有实数x和y都是成立的。

实例分析接下来，我们将通过几个实例来演示如何使用上述方法解决不等式“恒成立”的问题。

不等式--恒成立问题

不等式恒成立问题四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。

法一：转换主元法。

适用于一次型函数。

法二：化归二次函数法。

适用于二次型函数。

法三：分离参数法。

适用于一般初等函数。

法四：数型结合法。

1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。

此方法通常化为一次函数。

例1：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x03-2x 2x22解之：得x 的取值范围为231x 271+<<+-2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。

结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<<解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立即x 2-x-a 2+a+1>0对x ∈R 恒成立记f(x)=x 2-x-a 2+a+1则应满足(-1)2-4(-a 2+a+1)<0化简得 4a 2-4a-3<0 解得 2321<<-a ,故选择C 。

例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

解：设f(x)=x 2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0≤x ≤1上的最小值大于0，求m 的取值范围。

不等式恒成立的公式

不等式恒成立的公式
在数学中，不等式是用来描绘数值之间的大小关系的表达式。

而符合某些条件的不等式有时会表现出恒成立的特点。

在本文中，我将介绍一些与不等式恒成立相关的公式。

1. 平方不等式：
当a为正实数时，对于任意实数x，恒有a^2 ≥ 0恒成立。

这个公式表明了平方数始终大于等于零。

2. 加法不等式：
对于任意实数a和b，恒有a + b ≥ 2√(ab)恒成立。

这个公式被称为算术-几何平均不等式（AM-GM不等式），它指出两个正实数的和始终大于等于它们的算术平均值的两倍根号。

3. 奇偶不等式：
对于任意实数x和y，当x为奇数，y为偶数时，恒有xy < x^2 + y^2恒成立。

这个公式说明了在给定条件下，奇数乘以偶数的结果始终小于它们各自的平方和。

4. 三角不等式：
对于任意实数a、b和c，恒有|a + b| ≤ |a| + |b|恒成立。

这个不等式被称为三角不等式，它说明了两个实数的绝对值之和始终小于等于这两个实数绝对值的和。

5. 复数不等式：
对于任意复数z，恒有|z|^2 ≥ 0恒成立。

这个不等式表明了复数的模的平方始终大于等于零。

这些公式是在不等式恒成立时经常出现的特例。

它们在数学推理和证明中起着重要的作用，帮助我们理解不等式的性质和关系。

不等式“恒成立”问题的解法

不等式“恒成立”问题的解法在微积分学中，不等式“恒成立”问题是一个解决方法的重要组成部分。

这个问题的主要目的是研究在某一条件下，某个变量的取值范围如何受到不等式的限制。

解决“恒成立”问题，主要分为以下几步：1.首先，确定不等式恒成立的变量，并对变量进行分类。

2.其次，通过数学归纳法，确定不等式恒成立时变量的取值范围。

3.接着，把不等式恒成立的变量分别带入不同的条件，根据不同的条件，分别研究变量取值范围如何受到不等式的限制。

4.最后，总结所有的条件下变量的取值范围，得出不等式恒成立的结果。

上述就是不等式“恒成立”问题的常规解法，但也有一些特殊情况，则需要用到更多的数学工具，如变量变换、隐函数等，来解决不等式“恒成立”问题。

例如，假设有不等式$x^2+2x-3>0$，并且$x \in \mathbb{R}$，要求求解不等式恒成立的解。

这时，先将不等式左边进行变换，即$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)>0$，然后分别把变量$x+3$、$x-1$的正负性考虑进去。

由此得出，不等式恒成立的解为 $x>1$ 或 $x<-3$ 。

以上就是不等式“恒成立”问题解决的具体步骤，由此可见，要解决不等式“恒成立”问题，需要通过多种数学工具来求解，能够用文字清晰表达出来，从而解决这类问题。

另外，在解决不等式“恒成立”问题时，还可以使用一些特殊的数学工具，从而达到更好的解决效果。

例如，在解决不等式 $x^2+2x-3>0$，并且$x \in\mathbb{R}$ 的问题时，可以使用隐函数的方法处理。

即，通过将该不等式变换为$y=x^2+2x-3$，将该不等式变换为一个隐函数，然后由该隐函数求解其在实数范围内的正负性变化，最后得到不等式恒成立的解。

同样，对于更加复杂的不等式，也可以采用类似的思路，将不等式变换为若干个隐函数，然后逐个求解，从而得到不等式恒成立的解。

总而言之，解决不等式“恒成立”问题，既可以采取常规解法，也可以使用特殊的数学工具，如变量变换、隐函数，从而精准求解出不等式恒成立的解，从而达到有效解决不等式“恒成立”问题的目的。

高一不等式恒成立问题3种基本方法

高一阶段，不等式恒成立问题是学习数学的重要内容之一。

在解决这类问题时，通常有三种基本方法：直接法、间接法和综合法。

接下来，我将分别介绍这三种方法，并从中深入探讨不等式恒成立问题。

**直接法**直接法是指通过直接计算和推导，证明不等式在一定条件下成立。

这种方法通常需要运用不等式的性质和基本运算法则。

举个简单的例子来说，要证明不等式a^2 ≥ 0在所有实数a成立，可以通过直接计算a^2的值来证明。

**间接法**间接法是指通过反证法或者假设法，证明不等式在一定条件下不成立，从而得出不等式在其他条件下成立的结论。

这种方法通常需要运用逻辑推理和证伪的思维方式。

举个例子来说，要证明对于任意实数a，不等式a^2 + 2a + 1 > 0成立，可以采用间接法，假设a^2 + 2a + 1 ≤ 0，然后通过推导得出矛盾，从而证明原不等式成立。

**综合法**综合法是指通过结合多种方法和技巧，来解决不等式恒成立问题。

这种方法通常需要灵活运用数学知识，并且具有一定的创造性和灵感。

综合法可以综合考虑不等式的多个方面，从而得出更加全面的结论。

举个例子来说，要解决不等式a^2 - b^2 ≥ 0，可以结合直接法和间接法，分别讨论a和b的正负情况，从而得出不等式成立的条件。

综合以上三种方法，我们可以更深入地理解不等式恒成立问题。

在解决这类问题时，需要运用数学知识和思维方式，从多个角度和方法综合考虑，最终得出准确的结论。

对于高一阶段的学生来说，通过掌握这三种基本方法，可以更好地理解和应用不等式的性质，为今后的学习打下良好的基础。

在我个人看来，不等式恒成立问题是数学中具有一定难度和挑战性的内容。

通过学习解决这类问题的基本方法，可以培养逻辑思维和数学推理能力，对于学生的数学素养有着重要的促进作用。

我相信通过不断练习和探索，一定能够更加深入地理解和应用不等式恒成立问题。

希望以上内容对您有所帮助，如果有任何问题，欢迎您随时向我提问。

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