第18届华杯赛决赛小中组卷及参考答案
第18届华杯初赛解答小中B卷(2013)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题及解答（小学中年级组B卷）（时间: 2013 年 3 月23日）一、选择题(每小题10 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内)1.下面图形中，恰有2条对称轴的图形是（）.（A）（B）（C）（D）答案：C解答：对称轴数量如图：(4条) (0条) (2条) (1条) 故选C.2.A、B、C三个自然数之和是111，已知A、B的平均数是31，A、C的平均数是37.那么B、C的平均数是（）.（A）34 （B）37 （C）43 （D）68答案：C解答：因为，A、B的平均数是31，所以A+B=31×2=62；则C=111－62=49.又因为，A、C的平均数是37，所以A+C=37×2=74；则B=111－74=37.所以B、C的平均数是（37+49）÷2=43.故选C.3.由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块.（A）4 （B）5 （C）6 （D）8答案：A解答：搭成的立体是右图，需要4块小正方体木块.故选A.4.在七个三角形的所有内角中，有两个直角，三个钝角.那么这些三角形中有（）个锐角三角形.（A）1 （B）2 （C）3（D）4答案：B解答：因为三角形的内角和为180度，所以每个直角和每个钝角必然要与两个锐角组成直角三角形或钝角三角形，所以，两个直角三个钝角就要和10个锐角组成两个直角三角形和三个钝角三角形. 此时共减少了15个角，还剩下6个角，为两个锐角三角形的角.5.把自然数按右图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是（）.（A）79 （B）87 （C）94 （D）101解答：根据数阵的排列规律可知，第10行的第一个数应该为++1=++++++2+31055;894567而这一行的第五个数为55=++++11.101131210故选D.6.如右图，一张长方形的纸片，长20厘米，宽16厘米.如果从这张纸上剪下一个长8厘米、宽4厘米的小长方形，而且至少有一条边在原长方形的边上，那么剩下纸片的周长最大是（）厘米.（A）72 （B）80 （C）88 （D）96答案：C解答：因为要求剪下的这个长方形至少有一条边在原长方形的边上，所以可以分以下三种情况：周长分别为：（20+16）×2=72（厘米）；（20+16）×2+4×2=80（厘米）；（20+16）×2+8×2=88（厘米）.所以剩下图形的周长最大是88厘米.故选C二、填空题(每小题10 分, 满分40分)7.如图，一个正方形被分成了4个相同的长方形，每个长方形的周长都是20厘米.则这个正方形的面积是平方厘米.解答：设每个长方形的宽为a，则长为4a，得到等式：（4a+a）×2=20；可知，a=2，4a=8；所以，正方形的面积为8×8=64（平方厘米）.8.计算：=+-++-+-3692004200720102013 .答案：1008解答：因为2013÷3=671，所以，3、6、9…2013共671个数.则. 1008310053 33353)69()20042007()20102013(335=+=+⨯=+-++-+-组共9.在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是______.答案：78解答：可以列出除以7后余1的自然数8，15，22，29，36，43，50，57，64，71，78，…列出除以11后余1的自然数12，23，34，45，56，67，78，89，100，…找出公共的数，当然第一个78就是问题的答案.10.九个同样的直角三角形卡片，拼成了如右图所示的平面图形.这种三角形卡片中的两个锐角较小的一个是度.答案：36解答：图中每个直角三角形，除直角外，还有两个锐角，一大一小. 汇集在中心的是7个小角和2个大角.注意：大角+小角=90.而在中心的9个角之和为360.即7个小角+2个大角=360，即5个小角+（2个大角+2个小角）=360所以5个小角+180360=，即=一个小角=36.5个小角+180,。
第十八届华杯赛决赛答案_小高B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9.答案：106解答. 图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++(个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含含“*”号有210－104＝106个.10.答案：9解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC的面积. 由BD:DA = 1:2, 得三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的13, 即三角形AEC的面积等于三角形ABC面积的13. 那么EC等于BC的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11.答案：61解答. 设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 答案：59解答.① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.② 观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.答案：4解答. 用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c)若右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a)右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中之一;b)左下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (9), (10) 中之一;c)若左上角的22⨯小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14.解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
奥数第十八届华杯赛决赛小高年级(A)卷试题及解析
奥数第十八届华杯赛决赛小高年级〈A 〉卷试题及解析决赛试题A 〈小学高年级组〉一、填空题〈每小题 10分, 共80分〉1．计算: 19×0.125+281×81-12.5=________. 解析：原式=〈19+281-100〉×0.125=200×0.125=252．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是________九的第________天.解析：31-21+1+1=12,12÷9=1…3，2013年的元旦是二九的第3天.3．某些整数分别被119977553，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是92725232，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A, 分别被119977553，，，除后, 所得的商分别为A A A A 911795735，，，; )1(911921911)1(7972179)1(5752157)1(3532135-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[3，5，7，9]的时候满足题意。
所以A-1=315，A=316。
4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD 中, 以AB 为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB . 则三角形PAC 的面积等于________平方厘米.解析:过P 点做PE ⊥AB,由于三角形PAB 为等腰三角形，所以AE=EB=6cm 。
根据勾股定理：PE 2=102-62=64=82，所以PE=8cm 。
S △PAB=12×8÷2=48cm 2，S △PCB=12×6÷2=36cm 2，S △PAC=48+36-12×12÷2=12 cm 2。
第18届“华杯”总决赛北京赛区选拔考试(小中组第一试)
第18届“华杯”总决赛北京赛区选拔考试试题（中年级第一试，60分钟）所在学校年级姓名电话一、填空题（每题8分，共40分）1.幼儿园将一堆苹果分给一班和二班的小朋友，如果先给一班的小朋友每人分5个，那么剩余的苹果恰好够二班的小朋友每人分7个；如果先给二班的小朋友每人分4个，那么剩下的苹果恰好够一班同学每人分9个．又知两班人数相差5人，那么原来这堆苹果有_____个．（215）【答案】215【作者】饶海波⨯⨯+⨯+⨯+⨯+++=__________.2.计算：293949293939492949293949【答案】59999【作者】赵晓峰3.小李、小王、小温、小班和小邹是一支篮球队的五名先发队员．其中：两个人惯用左手，三个人惯用右手．两个人超过2米高，三个人不到2米高．小李和小温的惯用手相同，而小班和小邹的惯用手不同．小王和小邹在同样的身高范围内，但小温和小班在不同的身高范围内．队伍中的中锋超过2米高且惯用左手．那么中锋是__________.【答案】小班【作者】路亨4.在下图★处有一枚棋子，棋子每次只能移动到相邻（上、下、左、右）的格子，走遍其余15个格子（每个格子只能走一次）最后回到★处．一共有__________种不同的走法.【答案】12【作者】石健5.如图，用27个小立方体拼成了“2”、“1”、“3”三个图形，现在要求切n刀（每刀只能沿着某块图形中的某一个小立方体的表面切），将其分成若干个部分，然后将其拼成一个333⨯⨯的大立方体，那么n的最小值是多少？【答案】3【难度】★★★☆【作者】方非二、解答题（每题10分，共20分）6.一个等差数列共25项，如果它前10项的和比后5项的和大10，后10项的和比前5项的和大100，那么，这25项的和是多少？【答案】275【作者】孙佳俊7.1000只动物围成一圈，有鸭子，牛，兔子三种。
其中鸭子有600只，每只鸭子要么挨着牛，要么夹在两个兔子中间。
那么牛最少有几只？【答案】201【作者】王刚。
华杯赛决赛天天练汇总(解析版)
题目1第十八届华杯赛决赛 A 卷（2014×2014+2012）-2013×2013= 【答案】6039【解析】（2014×2014+2012）-2013×2013=（（2013+1）×2014+2012）-2013×2013=（2013×2014+2014+2012）-2013×2013=2013×2014-2013×2013+2014+2012=2013×（2014-2013）+2014+2012=2013+2014+2012=6039题目2第二十届华杯赛决赛 B 卷3752÷（39×2）+5030÷（39×10）= 【答案】61【解析】3752÷（39×2）+5030÷（39×10）=3752÷（39×2）+5030÷（39×5×2）=3752÷（39×2）+5030÷5÷（39×2）=3752÷（39×2）+1006÷（39×2）=3752÷78+1006÷78=（3752+1006）÷78=4758÷78=61题目1第十九届华杯赛决赛用□和○表示两个自然数, 若□⨯○= 42, 则(□⨯4)⨯(○÷3)=【答案】56【解析】(□⨯4)⨯(○÷3)=□⨯4⨯○÷3=□⨯○⨯4÷3=42⨯4÷3=56题目2第二十一届华杯赛决 A 卷计算:(98×76 – 679×8)÷(24×6 + 25×25×3-3)= 【答案】1【解析】(98×76 – 679×8)÷(24×6 + 25×25×3-3)=(7448 – 5432)÷(144 + 1875-3)=2016÷2016=1题目12018 年1 月19 日（小中组计数专题）第十九届华杯赛决赛第一次操作将图a。
第十八届华杯赛决赛答案_初一A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（初一组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9. 解答：其中的五个算式如下5444454444544445445444444=+⨯=+-⨯-=--+-⨯=+-=+-+-+,)()(,)()(,)(,)()(10. 答案：1829,1827,1825=x 解答： 由于15]15[115,2]2[12+≤+<-++≤+<-+x x x x x x 所以36259]15[]2[16+≤-=+++<+x x x x x 由此得 61167≤<x 于是14131211109259,,,,,=-x 分别解方程： （1）9259=-x , 解得：1823=x .验算：左=3+7=10, 右=,92523=-左≠右, 1823=x 不是解. （2）10259=-x , 得： 1825=x .验算：左=3+7=10, 右=右左==-,1025225, 1825=x 是解.（3）11259=-x , 解得： 1827=x验算：左=3+8=11, 右左右==-=,1125227, 1827=x 是解. （4）12259=-x , 解得：1829=x验算：左=3+9=12, 右左右==-=,1225229, 1829=x 是解. （5）13259=-x , 解得：1831=x验算：左=3+9=12, 右左右≠=-=,1325231, 1831=x 不是解.（6）14259=-x , 解得：1833=x 验算：左=3+10=13, 右左,右≠=-=1425233, 1833=x 不是解.因此, 解是：182918271825,,=x 11. 答：144平方厘米.解：如图, 以D 为中心, 逆时针旋转三角 形BDE , 使DE 和DF 重合, BE 和FG 重合,三角形BDE 和三角形DFG 重合.（即割下三角形BDE 补到三角形DFG 的位置）由于∠EDF ＝90°, 所以∠1+∠2＝90, 所以∠ADG 是直角, 三角形ADG 是直角三角形, 它的直角边AD =20, BD=DG =15, 由勾股定理可得斜边AG =25. 此时正方形的边长DF 恰是直角三角形ADG 中斜边AG 上的高,所以1125152022DF ⨯⨯=⨯⨯, 解得12DF =, 因此黄色正方形纸片面积是212144=（平方厘米） 12. 答案：13.解答：方法1:把105+=d c 代入183-=c b , 得到1215181053+=-+=d d b )(, 代入82+=b a , 3230812152+=++=d d a )(, 所以||||||2242112242107+=++=+d d d a d ,因为d 为整数, 所以1-=d 时, ||a d 7+取得最小值, 此时值为13. 方法2：因为63+=bc 所以, b 是3的倍数, 因为25-=cd 所以, c 是5的倍数,d +7a =25-c +7a =25615-+b +7a =25615-+b +14b +56153+=b +14b +55由d c b a ,,,是整数,3整除b , 5整除b +3, 令b =3p , 其中p 为5的倍数, 所以上式等于51+p +42p +55=d +7a , 其中p 为5的倍数, 当p 增时,d +7a 也增, p =-1时, d +7a =13, p =-6时, d +7a =-198, p =4时, d +7a =224, 所以, d +7a 的绝对值的最小值等于13.三、解答下列各题（每小题15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）13. 答案：42 cm2解答：记三角形COD 的面积为x cm2. 因为等腰三角形的顶角相等, 所以EDC ACB ∠=∠, ECD ABC ∠=∠.所以DE AC //, CE AB //. 所以C O D A O E S S ΔΔ=. 又CDE COD S S CE OC ΔΔ=, EACCOD EAC AOE S SS S CE OE ΔΔΔΔ==, 因为三角形EAC 在边AC 上的高和三角形CDE 在边DE 上的高相等,B CADE O所以21ΔΔ===DE AC S S OE OC CDE EAC , 可以得到OC OE 2=. 所以OCD CDE S S ΔΔ3=x 3=, x S S S S ODE COD CDE EAC 232121ΔΔΔΔ=+==)(. 因为21ΔΔ==OE OC S S AOE AOC , 所以x S S S COD AOE AOC 212121ΔΔΔ===. 因为CE AB //, 所以21ΔΔ==CE AB S S ACE ABC , 即x S S S S OAE AOC ACE ABC 432121ΔΔΔΔ=+==）(. 所以x x x x S S S S S DOE COD ACE ABC ABCDE 22343ΔΔΔΔ+++=+++=. 因为8=x , 即四边形ABDE 的面积为42cm2. 14. 答案：（1）30解答：记红球、黄球和蓝球分别分了i , j , k 组, 每组的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分组方法分组的组数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的组为A 组. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 组的30个盒子分到这不超过14个组中去, 必有一组至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
第十八届华杯赛决赛解答_小高B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）（时间: 2013 年4月20日）一、填空题 (每小题 10 分, 共80分)1. 计算: =+⨯+⨯5.1281281125.019________. 【答案】50【解答】原式=505.125.375.12125.0300=+=+⨯.2. 农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年2月10日是________九的第________天.【答案】6(六), 7(七)【解答】从2012年12月21日算起, 2013年2月10日是第52天, 79552+⨯=, 所以是六九的第七天.3. 某些整数分别被1311,119,97,75除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是 112,92,72,52, 则满足条件且大于1的最小整数为________. 【答案】3466【解答】设m 是所求之整数, n 是正整数. 因为nm m n n m n n m 222+=+⨯=+÷ 和题目条件, 所以m 的2倍除以n 的余数必为2, 所以, m 是n 的倍数加1.又因为[]346511,975=，，, 所以, 符合条件的最小整数是3465+1=3466.4. 如图所示, P , Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点,且4:1:=PD AP , 2:3:=QC AQ . 如果正方形ABCD 的面积为25,那么三角形PBQ 的面积是 .【答案】213或6.5 【解答】由三角形面积公式和已知条件, 可知:235153225=⨯⨯=+∆∆PAM PMQ S S , 255121=⨯⨯=+∆∆MAB PAM S S , 215532521=⨯⨯=+∆∆BQM MAB S S . 将第1, 3个等式相加再减第2个等式, 得213=∆PBQ S . 5. 有一箱苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这箱苹果至少有________个.【答案】67【解答】 设甲、乙、丙三班分别有x 、y 、z 人. 则有125114103+=+=+z y x .现求出x 、y 、z 的最小整数解:⎩⎨⎧-=-=,235,134x z x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.523,413x z x y 当 x 为 34+k (0≥k ) 时 y 为整数; 当 x 为 45+l (0≥l ) 时 z 为整数. 所以4534+=+l k时, x , y 均为整数. 使得上式成立的最小k 为4, 此时11,14,19===z y x ,6710193103=+⨯=+x （个）,即一箱苹果至少有67个.6. 两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中,小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为4, 则这个立体图形的表面积为________.【答案】136【解答】大正方体的棱长为4, 其每个正方形面的面积为 1644=⨯. 由右图可以看出小正方体的每个正方形面的面积是大正方体的1610, 等于10. 于是 立体图形的表面积 = 136104166=⨯+⨯.7. 甲、乙两车分别从A, B 两地同时出发相向而行, 甲车每小时行40千米, 乙车每小时行60千米. 两车分别到达B 地和A 地后, 立即返回, 返回时, 甲车的速度增加二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是50千米, 则A, B 两地的距离为_______千米.【答案】71000 【解答】设两地的距离为S 千米, 第一次相遇时两车已经行驶t 小时, 故 100S t =. 第一次相遇的地方距离A 地 S 52 千米. 第一次相遇后甲车需行驶 t 23 小时到达B 地, 乙车需行驶t 32小时到达A 地. 因此, 当甲车从B 地开始返回时, 乙车已经以每小时行60千米的速度从A 地到B 地的方向行驶了t t t 653223=- (小时), 距离A 地为26010065S S =⨯⨯(千米). 由于返回时甲、乙两车的速度相同, 第二次相遇距离A 地为S 43千米, 因此505243=⎪⎭⎫ ⎝⎛-S 千米, 得71000=S 千米. 8. 用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那么“学习”所能代表的两位数共有 个.【答案】3【解答】因为 学学学学1111⨯=学, 习习习习1111⨯=习, 123432*********=⨯,所以习学习习习习学学学学⨯⨯=⨯1234321.因为上式左端是个七位数且它的个位数和百万位数字都与“学”所表示的数字相同, 所以习学⨯的乘积不超过4且“习”只能是1. 此时, “学”表示1, 2, 3 和4. 学与习不能相同，所以学只能为2, 3或4, 满足题目要求.所以总共有3种情况.二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 右图中, 不含“*”的长方形有多少个?【答案】106【解答】图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++ (个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含“*”号有210－104＝106个.10. 如右图, 三角形ABC 中, AD = 2BD , AD = EC , BC = 18, 三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等, 那么AB 的长度是_______.【答案】9【解答】由于三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC 的面积. 由BD :DA = 1:2, 得三角形BDC 的面积等于三角形ABC 面积的13, 即三角形AEC 的面积等于三角形ABC 面积的13. 那么EC 等于BC 的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11. 若干人完成了植树2013棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有5人不参加植树, 其余的人每人多植2棵不能完成任务, 而每人多植3棵可以超额完成任务. 问：共有多少人参加了植树?【答案】61【解答】设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是多少?【答案】59【解答】① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.②观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.用八个右图所示的14⨯的正方形. 若一个拼成2⨯的小长方形可以拼成一个4的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 可以拼成几种两条对角线都是其对称轴的正方形图形?【答案】4【解答】用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c) 若右上角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A 中的 (1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a) 右上角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (7), (8) 中之一;b) 左下角的22⨯小正方形是图A 的 (1), (2), (9), (10) 中之一;c) 若左上角的22⨯小正方形是图A 中的 (1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A 中的 (1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14. 对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少? 2) 说明, 至少三个盒子有至少两种颜色的球, 它们的数目分别相同.【解答】记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 ．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是度．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有只．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有个正方形．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有个．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生名．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：（2014×2014+2012）﹣2013×2013 6039 ．【分析】把2014看作2013+1，把2012看作2013﹣1，进行简算即可．【解答】解：（2014×2014+2012）﹣2013×2013＝[（2013+1）×（2013+1）+（2013﹣1）]﹣2013×2013＝（2013+1）×（2013+1）+2013﹣1﹣2013×2013＝2013×2013+2013+2013+1+2013﹣1﹣2013×2013＝（2013×2013﹣2013×2013）+（1﹣1）+（2013+2013+1+2013）＝6039．故答案为：6039．2．（10分）将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平，使三角形DCF 落在三角形DEF的位置，顶点E恰落在边AB上．已知∠1＝22°，那么∠2是44 度．【分析】由题意可知：因为是翻折，∠CFD应该和∠EFD相等，又因∠DEF 等于90°，∠1＝22°，于是利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数，又因∠CFD和∠EFD和∠2构成了一个平角，平角是180°，据此即可求出∠2的度数．【解答】解：因为翻折，∠CFD＝∠EFD＝90°﹣22°＝68°，∠2＝180°﹣68°﹣68°＝44°．故答案为：44．3．（10分）鸡兔同笼，共有40个头，兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只，那么兔有33 只．【分析】设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系：兔脚的数＝鸡脚的数×10倍+8只，可列方程解答即可．【解答】解：设兔有x只，则鸡有（40﹣x）只，根据脚的倍数关系可列方程：4x+8＝10×2×（40﹣x）4x+8＝800﹣20xx＝33答：兔子有33只．故答案为：33．4．（10分）第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形，见图b；第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形，见图c；这样继续下去，当完成第六次操作时，得到的图形中共有29 个正方形．【分析】图a有5个正方形，以后每次操作将一个正方形数目变成四个小正方形，每次增加4个正方形．所以答案为5+6×4＝29．【解答】解：5+6×4＝29．故答案为：29．5．（10分）如图加法竖式中，相同的汉字代表1至 9中的相同数字，而不同的汉字代表不同的数字．则竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3 个．【分析】根据“学+学+学”没有进位，可知“学”只有3种可能．“学”＝1，“学习”＝17，“数学”＝51；“学”＝2，“学习”＝24，“数学”＝72；“学”＝3，“学习”＝31，“数学”＝93．竖式中的“数学”所表示的两位数共有3个．【解答】解：根据题干分析可得：所以数学表示的两位数是51或72或93，一共有3个．答：竖式中的“数学”所表示的两位数共有 3个．故答案为：3．6．（10分）大小两个正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2，那么这个立体图形的表面积是32 ．【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍．因此，这个立体图形的表面积是大正方体的表面积加上小正方体四个面的面积．据此解答．【解答】解：6×2×2+4×（2×2÷2）＝24+4×2＝24+8＝32．答：这个立体图形的表面积是32．故答案为：32．7．（10分）某班学生人数大于20而小于30，其中女同学的人数是男同学的2倍．全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人．这个班有学生27 名．【分析】女同学的人数是男同学的2倍，所以全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．【解答】解：根据分析知：全班人数是3的倍数，全班人数只能是21，24，27；全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人，所以全班人数加1人，是4的倍数；检验的全班人数为27人．故答案为：27．8．（10分）如图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积为9 ．【分析】如下图所示：OA×OC＝30，OD×OF＝12，将两个式子的等号的两边分别相乘，得出OA×OC×OD×OF＝30×12，而OC×OD＝10×2＝20，由此得出OA×OF，进而求出阴影三角形的面积．【解答】解：因为OA×OC＝30，OD×OF＝12，所以OA×OC×OD×OF＝30×12＝360．又因为OC×OD＝10×2＝20，所以OA×OF＝360÷20＝18．所以S△AGF＝GF•AG＝OA•OF＝×18＝9；答：阴影三角形的面积为9．故答案为：9．二、简答题（每小题15分，共60分，要求写出简要过程）9．（15分）用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号，写出四个分别等于3、4、5和6的算式．【分析】因为12÷4＝3，4+4+4＝12，所以可以写成（4+4+4）÷4＝3；因为4×（4﹣4）＝0，4﹣0＝4，所以可以写成4﹣（4﹣4）×4＝4；因为4×5＝20，20÷4＝5，所以可以写成（4×4+4）÷4＝5；因为2+4＝6，（4+4）÷4＝2，所以可以写成（4+4）÷4+4＝6．【解答】解：（4+4+4）÷4＝3；4﹣（4﹣4）×4＝4；（4×4+4）÷4＝5；（4+4）÷4+4＝6；10．（15分）如图是U，V，W，X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量．如果每辆车都有50升油，那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米？【分析】根据统计图所提供的信息，可以看出每种车每百千米的耗油量，用50（升）除以每种车的百千米耗油量（升），就是每种车行驶的路程，把四辆车行驶的路程相加即可．【解答】解：（50÷20+50÷25+50÷5+50÷10）×100＝（2.5+2+10+5）×100＝19.5×100＝1950（千米）答：这四辆车最多可行驶的路程总计是1950千米．11．（15分）某商店卖出一支钢笔的利润是9元，一个小熊玩具的进价为2元．一次商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销，共获利润1922元．问这次促销最多卖出了多少支钢笔？【分析】根据题意，“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”这样卖4支钢笔实得利润9×4﹣2＝34元，要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．由此可以求出1922是34的多少倍就是打包卖出多少个4支，进而求出最多卖出多少支钢笔．据此解答．【解答】解析：要这次促销钢笔卖出最多，则要求尽量打包销售．1922÷（4×9﹣2）＝1922÷34＝56（倍）…18（元）；18÷9＝2（支）；56×4+2＝224+2＝226（支）．答：这次促销最多卖出了226支钢笔．12．（15分）编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：（1）涂2个球；（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．那么不同的涂色方法有多少种？【分析】本题采用枚举法，令被涂色的第一个球的编号小于第二个球的编号，由于8+2＝10，要使编号之差大于2，所以第二个球编号最大是7，那么第一个球可以是1～7号中的任意一个，由此进行逐个情况讨论，最后再把各种情况的种数相加即可．【解答】解：第一个球涂1号，则另一个球可涂4～10；有7种不同的情况；第一个球涂2号，则另一个球可涂5～10；有6种不同的情况；第一个球涂3号，则另一个球可涂6～10；有5种不同的情况；第一个球涂4号，则另一个球可涂7～10；有4种不同的情况；第一个球涂5号，则另一个球可涂8～10；有3种不同的情况；第一个球涂6号，则另一个球可涂9～10；有2种不同的情况；第一个球涂7号，则另一个球可涂10；有1种不同的情况；所以，不同的涂色方法有：7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．答：不同的涂色方法有28种．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:49；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800第11页（共11页）。
第十八届华杯赛决赛小高C试题及详细解答
2013年第十八届华杯赛决赛小高C试题及详细解答说明：试卷及答案由华杯赛官网下载，详细解答由广州启慧教育提供。
广州市决赛使用此卷。
详细解答：一、填空题：1、原式=827551153331138⨯+÷-⨯=827165533838⨯⨯⨯=215（或7.5） 难易程度：☆2、周期问题。
答案是5，92012年12月21到2013年2月3，包含12月21在内，共（31-21+1）+31+3=45天周期为9，45÷9=5，余0，故 五 九的最后一天，即：第 九 天难易程度：☆3、先分别求出a+b 的最大值与最小值：要使a+b 最大，则a 与b 应尽量大，由于b 不超过19，故b 最大为19，由b a 是最简分数，且4151<<b a ，当b=19时，利用商不变性质有：20519204<<a ，故a 最大可为4，因此，a+b 最大可为19+4=23。
同理，可求出a+b 的最小值：由4151<<b a 可得：82102<<b a ，b a 最小可为92，故a 最小可为2，b 最小可为9，a+b 最小可为2+9=11因此，所有的积是：23×11=253难易程度：☆☆4、面积问题。
答案是37.5总体思路是：直接求△PBQ 的面积不容易，转化为用正方形面积减去其他图形的面积。
故需要连接DQ ，把四边形DPQC 转化为二个三角形。
接下来，多次利用同顶点的三角形面积的关系即可求出。
正方形的面积为100，故边长为10（1）、以D 为顶点来看△DQC 与△DQA因为AQ ：QC=4：1，所以△QDA 的面积是△QDC 的4倍，所以△DQC 的面积是△ADC 的1/5，而△ADC 的面积是正方形ABCD 的一半，故△DQC 的面积是100÷2÷5=10显然△BCQ 的面积与△DQC 的面积相等，也是10（2）、以Q 为顶点来看△QDP 与△QPA因为AP：PD=1：3，所以△QDP的面积是△QAP 的3倍，所以△QDP的面积是△QDA的3/4，而△QDA的面积是△ACD的面积减去△DQC的面积，也就是50-10=40，故，△QDP的面积为30 （3）、求△ABP的面积：由于AP：PD=1：3，AD=10，因此，AP=2.5，故，△ABP的面积是2.5*10/2=12.5综合以上结论，就可求出△PBQ的面积为：100-10-10-30-12.5=37.5难易程度：☆☆5、和差问题。
第十八届华杯赛决赛中年级A卷试题及解析word版
文档仅供参照总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题 A （小学中年级组）（时间 2013年4月20日10：00～11：30）一、填空（每小10分, 共 80分）1．算 : (2014 × 2014+2012)-2013 × 2013________.分析： (2014 × 2014+2012)-2013 × 2013=（ 2013+1）×（ 2013+1 ）+2013— 1-2013 × 2013=2013×2013+2013+2013+1+2013-1-2013 × 2013=6039考中最直接的方法，死算也OK。
2．将方形的片 ABCD按右的方式折叠后平 , 使三角形 DCF 落在三角形DEF 的地点 , 点 E恰落在 AB上 . 已知∠ 1＝ 20°, 那么∠2是 ________度.分析：因翻折，∠CFD= ∠ EFD=90°-20 °=70°∠2=180°-70 °-70 °=40°3．兔同 , 共有 40个 , 兔脚的数目比脚的数目的10倍少 8只 , 那么兔有 ________只 .分析：迫近法列表枚，因为兔脚是脚的 9倍多，而兔数目同样，兔脚是脚两倍，所以兔比多，我能够假兔有 35只，上下整，得答案兔子353433兔脚140136132脚101214兔脚与脚的倍数>10倍>10 倍可列方程求解。
兔有x只，有（ 40-x ）只，依据脚的倍数关系可列方程：4x+8=10 × 2×（ 40-x ）解得 x=33。
4．第一次操作将 a左下角的正方形分四个小正方形 , b; 第二次操作再将 b左下角的小正方形分四个更小的正方形 , c; 下去 , 当达成第六次操作 , 获得的形中共有________个正方形 .⋯a b c分析：找律。
第十八届华杯赛决赛答案小中A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学中年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、简答题（每题15 分, 共60分, 要求写出简要过程）9.解答. 例如++÷=;44442÷+÷=; (444)43⨯+÷=4(44)46++÷=.+-⨯=;(444)4 5.4(44)44（说明：答案不惟一, 每个式子3分）.10.答案：1950解答.U车行驶(5020)100250÷⨯=（千米）,V车行驶(5025)100200÷⨯=（千米）,W车行驶(505)1001000÷⨯=（千米）,X 车行驶(5010)100500÷⨯=（千米）.4辆车最多可行驶的路程总计是250+200+1000+500=1950（千米）. （说明：本题共5步, 每个式子做对得3分）.11.答案：226解答. 卖出一个打包促销, 可赚 94234⨯-=元, 而1922÷34=56……余18, 说明, 钢笔有按每支9元利润单支零售的. ……（5分）即 1922345692=⨯+⨯, 即最多可卖出56包外加零售2支钢笔, 共计4562226⨯+=支钢笔. ……（10分）如果少买1包（4只）钢笔, 即少赚34元, 这时零售多4支可赚36元, 要保持1922这个定值, 零售就要不足4支（739支）, 总支数就要减少724399-=支. 当打包减少9包时, 要保持1922这个定值, 零售总支数就要减少2支.……（13分）因此, 打包销售最多为56包时, 销售出钢笔的总支数最多, 为226支.……（15分）12. 答案：28解答. 设被染色的每两个球中的小号码为k , 则k 取值1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 另一个被染色的球的号码可能是 3,4,,10.k k ++ ……（3分）采用列举法：k =1时, (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), 共7种;k =2时, (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), 共6种;k =3时, (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), 共5种;k =4时, (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), 共4种;k =5时, (5, 8), (5, 9), (5, 10), 共3种;k =6时, (6, 9), (6, 10), 共2种;k =7时, (7, 10). 共1种.不同的染法数为1+2+3+4+5+6+7 = 28 (种). ……（15分）。
第18华罗庚金杯赛决赛奥数小学中年级组B试卷和答案
总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题A(小学中年级组)(时间2013年4月20日10:00-11:30)一、填空题《每小跑10分.共80分)1.计算：(2014×20l∙H2012)-20l3×20l3.解析：(20MX20M+2Q12)-2013X2013=(2013+1)×(2013+1)*2013—1-2013×2013-2013×2013*2013^2013H∙201312013X2013=6039或用平方差公式，(2014×2014+2012)-2013×2013=201Γ-2013^2012=2012+2013÷2011=6039考试中展比接的方法,死算也。
K.2.超长方形的纸片A8C/)按右图的方式折：3后；1」'.使形。
“*在三角形。
EF的位置.JS点E恰落在边AB上.己知N1=20°,加么N2是------- 度.解析：因为翎折,∕CFD=∕EFD=9(V-22"=68°λ-------------- S iZ2=i80o-68o-68o=44°3.亮亮上学，若株分钟行∙10米，则8:00准时到校：若年分钟行50米，则7:55到校.亮亮的家与学校的距国是米.解析：行程里盈亏何虺.每分钟行4。
代刚好膨分：苦行分钟行50米,则少5X50=250米所以25。
+(50-40)=25分钟,亮亮的家与学校的距离是25X40=1000米.法二：六年级可以用.走同样路程.速度比与时间成反比,速度比为4:5,则时间比为5:4.8:007:55=5分钟,则若每分伸行40米.亮亮用时5÷(5-4)X5=25分钟，所以亮亮的家3学校的距点是25X10=1000米.1.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形.见图b;笫二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形.见图c：这样缚续卜2.当完成第八.次操作时.得到的图形中共有个正方形.解析:找规律，图a有S个正方形,以后短次悚作将•个正方形数日变成四个小正方形,鲜次Je加4个正方形。
第十八届华杯赛决赛答案_初二A
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（初二组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）解答. 例如 74444=++÷, 74444=++÷,74444=÷-+, 74444=-÷, 74444=÷-⨯.9. 答案：61解答. 设成活a 棵, 没有成活b 棵, 未完成植树c 棵. 则⎩⎨⎧=+--=+)2(27113023)1(27125 c b a b a 由（1）可知, a 是奇数, 且54≤a ; 由（2）可知, 47≥a . 下面对 53,51,49,47=a 进行试算, 求得整数解:9,18,47-===c b a ,(不合要求);5.3,13,49-===c b a ,(不合要求);;612851,2,8,51=++=++===c b a c b a 5.7,3,53===c b a ,(不合要求).可见, 植树任务数是61.10. 答案：83 解答. 作BC 边上的高AD , AD 也是A ∠的平分线. AD 交EF 于P . 于是,9030=∠=∠=∠=∠EHB APE BEH EAP设x AE =, 则x AP x EP x EB 23,21,1==-=. 因此, )1(23)1(212321x x x x S FGC EHB AEF --+⨯=∆+∆+∆ []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=-+=41)21(23)21(23)1(432222x x x x x 由此可见, 当21=x 时, 上述三角形面积和最小, 从而内接矩形EFGH 的面积最大. 此时, 1:=EB AE . 连结ED 和FD , 容易知道,S □EFGH =8323141212121=⨯⨯=⨯⨯⨯=∆AD BC S ABC . 11. 答案：1003解答. 将2013个数分成如下1009组:(2013,35), (2012,36), …, (1025,1023), (1024),(34,30), (33,31), (32), (29,3), (28,4), …, (17,15), (16), (2), (1),其中有1004组中每组都有两个数, 且这两个数之和是2的幂次, 若擦剩下的数的个数大于等于1010, 由抽屉原理知, 必然有一组中两个数都被剩下了, 那么这两数和为2的幂次, 所以擦去1003个数满足题目要求. 如果擦去1004个数, 即剩下1009个数, 我们取这1009组中每一组的较大数, 那么显然这些数的任意两个之和都不是2的幂次, 故不满足题意, 所以最多擦去1003个数．三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）12. 解答. 连接AK. 先证 AM=CK .CK ACK ACN CD ACD ABD ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积ABN AMD AM ABD ABD AB∆∆===∆∆的面积的面积的面积的面积. 因为CD=AB ，所以AM=CK . 连接OM ，OK ，ON . 则 △OMA ≌△OKC. 所以 .MOA KOC ∠=∠ 因此180,MOA AOK KOC AOK ∠+∠=∠+∠=所以M ，O ，K 共线，ON 是 △KNM 的中线，所以△ONM 的面积=△OKN 的面积.但△NMB 的面积=△ONM 的面积，△NKC 的面积=△ONK 的面积.所以△ONM 的面积=△OKC 的面积. 因此，三角形NMB 与NKC 等积.13. 87,841,833,81 解答. 若0≤x , 则0878878281][02>+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≥x x x x x , 矛盾. 所以 0>x .由带余除法,)70(,181]8[88]8[≤≤++=+<≤+=r r q x x r q x .所以818++<≤+r q x r q . 对于70≤≤i , 8188+++<+≤++i r q i x i r q . 当r i -≤7时,即 181≤++i r . 有q i x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+8.当18≥+i r 时,即 r i -≥≥87, 有18+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+q i x . 所以 ].8[8)1()8(87888781][x r q q r q r x r x r x x x =+=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++因此 878]8[2+=x x . (*) 因为 ()7}8{]8[7)8(764]8[8222++=+=+=x x x x x ,()8]8[2]8[71]8[]8[87]8[222++=++<≤+x x x x x , 所以 07]8[8]8[2≤+-x x , 08]8[6]8[2<+-x x . 由上面第一个式子得到, 0)7]8)([1]8([≤--x x , 7]8[1≤≤x ;由上面第二个式子得到, 0)3]8)([2]8([>--x x , 2]8[<x 或 4]8[>x . 因此7,6,5,1]8[=x .将]8[x 可以取的四个值分别代入 (*) 式, 解得大于0的x 分别为87,841,833,81.。
18届华杯赛小中组试题及答案详解
一、选择题1.45与40的积的数字和是（）.（A）9 （B）11 （C）13 （D）152.在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.（A）（B）（C）（D）3.小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人是（）.（A）小东（B）小西（C）小南（D）小北4.2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没有重复数字的年份。
已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013年小明哥哥的年龄是（）岁。
（A）16 （B）18 （C）20 （D）225.如右图, 一张长方形的纸片, 长20厘米, 宽16厘米. 如果从这张纸上剪下一个长10厘米,宽5厘米的小长方形, 而且至少有一条边在原长方形的边上,那么剩下纸片的周长最大是（）厘米.（A）72 （B）82 （C）92 （D）1026.张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20分钟, 而其余日期每日都跳绳20分钟. 某月他总共跑步5小时, 那么这个月的第10天是（）.（A）周日（B）周六（C）周二（D）周一二、填空题7.如右图, 一个正方形被分成了4个相同的长方形, 每个长方形的周长都是20厘米. 则这个正方形的面积是平方厘米。
8.九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形. 这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是度.9.幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果, 114块饼干, 83块巧克力. 每样都平均分发完毕后, 还剩3个苹果, 10块饼干, 5块巧克力. 这个班最多有位小朋友.10.如下图, 将长度为9的线段AB九等分, 那么图中所有线段的长度的总和是.1、【答案】A【解析】45×40=1800,1+8=9【难度】☆【知识点】两位数乘法计算2、【答案】B【解析】由观察可得：A、C、D都可通过旋转得到，而B是通过原图翻转得到。
第十八届华杯赛决赛答案_初一B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B 参考答案（初一组）一、填空（每题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分，共40 分，要求写出简要过程）9. 证明过程：.AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯=⨯ 证明1. 如图，设,AB a =,BC b =,CD c =则,,.AC a b BD b c AD a b c =+=+=++于是 ,A B C D a c ⨯=⨯ 2()BC AD b a b c a b b b c ⨯=⨯++=⨯++⨯ 所以 2.A B C D B C A D a c a bbbc⨯+⨯=⨯+⨯++⨯ 而 22()().AC BD a b b c a b b a c b c a c a b b b c ⨯=++=⨯++⨯+⨯=⨯+⨯++⨯ 所以 .AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯=⨯证法2：设,AB a =,BC b =,CD c =则,,.AC a b BD b c AD a b c =+=+=++ 两条线段的乘积可以看成以这两条线段为边的长方形的面积.有下图所示：所以 .AB CD BC AD AC BD ⨯+⨯=⨯ 注：本题实质上是一维的托勒密定理. 10. 答案：8096a -+解答：可设余式是xa y +，则有()()()21f a a h a xa y =-++，其中()h a 是多项式，将1a =±分别代入()f a ，立即得到一个二元一次方程组：()()()10301001313313n n n x y n x y n ==⎧+=-⨯-⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩∑∑，解此方程组，80, 96x y =-=.11. 答案：199．解答：设这个三位数是abc ，由题意得10010a b c a b c ab bc ca abc ++=++++++，整理得999a b abc a b ab+-=++，因为9c ≤，故999999a b ab a b ab +-≤++，即9010a ab ≤，所以9b =．所以90819109a c a +==+，此时a 可取1到9，其中最小为1，所以这样的三位数中最小的是199．12. 答案：最大值为433,最小值为6. 解答：因为5),12(22)1()1()2()1(11111121≥-+=-+=-+++++++=+++n n a nn n na n a a a a a a a n故得 5,2613)12(21≥=-+n n a n即5,671332)12(1≥⨯⨯⨯=-+n n a n要求1a 的最大值，显然就须n 取最小值，由条件 5≥n 知，（1） 当n 为奇数时，n 最小取13，于是 6732121⨯⨯=-+n a ，即 195211367321=+-⨯⨯=a（2） 当n 为偶数时，n 最小取6，于是 67131621⨯=-+a ，即得 43326662567131==-⨯=a 。
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:(2014×2014+2012)-2013×2013=________.2.将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF落在三角形DEF的位置,顶点E恰落在边AB上.已知∠1＝20°,那么∠2是________度.3.鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只.4.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形.图a图b图c5.右面的加法竖式中,相同的汉字代表1至9中的相同数字,而不同的汉字代表不同的数字.则竖式中的“数学”所表示的两位数共有________个.6.大小两个正方体积木粘在一起,构成右图所示的立体图形,其中小积木的下底面的四个顶点,恰好是大积木的上底面各边的中点．如果大积木的棱长为2,那么这个立体图形的表面积是________.7.某班学生人数大于20而小于30,其中女同学的人数是男同学的2倍.全班报名参加“华杯赛”的人数是未报名人数的3倍少1人.这个班有学生________名.8.见右图,图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积,那么阴影三角形的面积为________.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.用4个数码4和一些加、减、乘、除号和小括号,写出值分别等于2、3、4、5、6的五个算式.10.右图是U,V,W,X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量.如果每辆车都有50升油,那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?11.某商店卖出一支钢笔的利润是9元,一个小熊玩具的进价为2元.一次,商家采取“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销,共获利润1922元.问这次促销最多卖出了多少支钢笔?12.编号从1到10的10个白球排成一行,现按照如下方法涂红色:1）涂2个球;2）被涂色的2个球的编号之差大于2，求不同的涂色方法有多少种?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.解析：【知识点】运算律，平方差公式原式6039201240272012)20132014()20132014(20122013201422=+=+-⨯+=+-=2.解析：【知识点】平面几何o 201=∠=∠CDF ，DCF ∠与CDF ∠互余，则o o o 702090=-=∠DFC ，o 70=∠=∠DFC DFE ，o o o o 4070701802=--=∠。
3.解析：【知识点】鸡兔同笼设兔有x 只，则鸡有x -40只，兔脚数量为x 4，鸡脚数量为)40(2x -，根据题意，可以得到：8)40(2104--⨯=x x ，解得33=x 则兔有33只。
4.解析：【知识点】找规律每操作一次，会增加四个正方形，操作六次后，增加了24个正方形，再加上原来的5个正方形，一共是29个正方形。
5.解析：【知识点】数字谜显然，“学”不能大于3，分类讨论；“学”=1时，“习”只能为7，“数学”为51；“学”为2时，“习”只能为4，“数学”为72；“学”为3时，“习”只能为1，“数学”为93；所以，“数学”所表示的两位数共有3个。
6.解析：【知识点】几何根据勾股定理，可以求出小积木每个面的面积，如图：大积木每个面的面积为2×2=4，小积木每个面的面积为2×2÷2=2，则该立体图形的表面积为4×5+2×5+（4-2）=32.7.解析：【知识点】应用题设这个班男同学人数为x ，则女同学人数为x 2，总人数为x 3，设参加未华杯赛的人数为y ，则参加华杯赛的人数是13-y ，根据题意，可以得到：143133-=⇒-+=y x y y x 由于学生人数大于20而小于30，所以x 的可能取值只有7,8,9三种情况，并且要求y 为整数，7=x 时，5.5=y ，舍去；8=x 时，25.6=y ，舍去；9=x 时，7=y ，符合条件；所以这个班一共有27名学生。
8.解析：【知识点】如图，将图补完整，532012=，则53302=？，则阴影部分的面积为9.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.解析：【知识点】数字谜64)44(454)444(44)44(434)444(24444=÷++=÷+⨯=÷-+=÷++=÷+÷10.解析：【知识点】应用题U 型汽车，100公里耗油20升，50升油可以行使50÷20×100=250公里；V 型汽车，100公里耗油25升，50升油可以行使50÷25×100=200公里；W 型汽车，100公里耗油5升，50升油可以行使50÷5×100=1000公里；X 型汽车，100公里耗油10升，50升油可以行使50÷10×100=500公里；四辆车最多可行驶的路程总计为250+200+1000+500=1950（千米）。
11.解析：【知识点】应用题商家每“卖4支钢笔赠送一个小熊玩具”，获利为9×4-2=34（元），1922÷34=56……16，商家按照“买4支钢笔赠送一个小熊玩具”的方式，卖出56×4=224（支），获利1904元，还有16元的利润，需要在卖2支钢笔,224+2=226（支）；所以这次促销最多卖出了226支钢笔。
12.解析：【知识点】计数从这10个球中取出2个染色，总共有45210=C 种方法；编号之差等于1的情况有（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），（5,6），（6,7），（7,8），（8,9），（9,10），总共有9种情况；编号差为等于2的情况有（1,3），（2,4），（3,5），（4,6），（5,7），（6,8），（7,9），（8,10），总共有8种情况；那么满足2个球的编号之差大于2的就有45-9-8=28种。
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（B）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:(2014×2014+2012)-2013×2013=________.2.将长方形的纸片ABCD按右图的方式折叠后压平,使三角形DCF落在三角形DEF的位置,顶点E恰落在边AB上.已知∠1＝20°,那么∠2是________度.3.亮亮上学,若每分钟行40米,则8:00准时到校;若每分钟行50米,则7:55到校.亮亮的家与学校的距离是________米。
4.第一次操作将图a左下角的正方形分为四个小正方形,见图b;第二次操作再将图b左下角的小正方形分为四个更小的正方形,见图c;这样继续下去,当完成第六次操作时,得到的图形中共有________个正方形.图a图b图c5.“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”，若相同的汉字代表0~9中的相同数字，不同数字代表不同的数字，且“大”>“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是________.6.鸡兔同笼,共有40个头,兔脚的数目比鸡脚的数目的10倍少8只,那么兔有________只.7.如图所示的手串中,从挂坠的珠子开始逆时针将珠子1至22依次编号.小明玩数珠子游戏,规则是:从1号珠子开始顺时针逐个珠子连续地数自然数,但每当数到含数字7或7的倍数的数时就跳过它,直接数下一个数.例如:数到6时下一个数8,数到13时下一个数15,…….那么数到100时应落在第________号珠子上。
8.布袋中有60个彩球,每种颜色的球都有6个.蒙眼取球,要保证取出的球中有三个同色的球,至少要取出________个球.二、简答题（每小题15分,共60分,要求写出简要过程）9.一块长方形的地ABCD分成如图所示的两个长方形,分别承包给甲、乙两户.甲户的蔬菜大棚与乙户的鸡场面积相等,剩下的部分甲户比乙户的面积多96亩.已知BF=3CF,那么长方形ABCD的总面积是多少亩？10.右图是U,V,W,X四辆不同类型的汽车每百千米的耗油量.如果每辆车都有50升油,那么这四辆车最多可行驶的路程总计是多少千米?11.甲、乙、丙、丁四人分2013块糖果,甲分得的糖果比乙的2倍多10块,比丙的3倍多18块,比丁的5倍少55块.那么甲分得糖果多少块？第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（B ）卷【小中组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.解析：【知识点】运算律，平方差公式原式6039201240272012)20132014()20132014(20122013201422=+=+-⨯+=+-=2.解析：【知识点】平面几何o 201=∠=∠CDF ，DCF ∠与CDF ∠互余，则o o o 702090=-=∠DFC ，o 70=∠=∠DFC DFE ，o o o o 4070701802=--=∠。
3.解析：【知识点】行程问题设亮亮的家与学校的距离为x 米，根据题意，可以得到：55040=-x x ，解得1000=x 则亮亮的家与学校的距离为1000米。
4.解析：【知识点】找规律每操作一次，会增加四个正方形，操作六次后，增加了24个正方形，再加上原来的5个正方形，一共是29个正方形。
5.解析：【知识点】数字谜用ab 来表示“熊大”，用ac 来表示“熊二”，用ade 来表示“熊兄弟”，“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”可表示为ade ac ab =⨯，根据位值原理e d a c a b a ++=++10100)10)(10(，则e d a bc c b a a ++=+++10100)(101002，a 只能为1；若10<bc ，则e bc =，此时只有两种情况，8,2,4===e c b 或6,2,3===e c b ，对应的ade 分别是156和168；若10>bc ，此时也只有两种情况，2,3,4===e c b 或0,2,5===e c b ，对应的ade 分别是182和180；则符合条件的所有三位数的和为156+168+182+180=686.6.解析：【知识点】鸡兔同笼设兔有x 只，则鸡有x -40只，兔脚数量为x 4，鸡脚数量为)40(2x -，根据题意，可以得到：8)40(2104--⨯=x x ，解得33=x 则兔有33只。
7.解析：【知识点】周期问题所有跳过的数都是7的倍数，所以首先找到100以内的7的倍数的个数2147100⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，那么数出来的自然数的个数为8614100=-，2032286⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，也就是说把这串珠子数了3遍，再数20个，那么100就落在第20个珠子上。