201x-201X学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1 命题学案 北师大版选修1 -1

§1命__题[对应学生用书P2]命题的定义及形式观察下列语句的特点：①两个全等三角形的面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上！④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x>2 013，则x>2 014.问题1：上述哪几个语句能判断为真？提示：①②.问题2：上述哪几个语句能判断为假？提示：⑤.问题3：上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？提示：③④.因为它们都不能判断真假．问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么？提示：条件为“x>2 013”，结论为“x>2 014”．1．命题(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．(2)判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．2．命题的形式数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p是条件，q是结论.四种命题及其关系观察下列四个命题：①若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；②若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；③若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；④若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题①的条件是命题②的结论，且命题①的结论是命题②的条件；对于命题①③，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题①④，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？提示：命题①④同为真，命题②③同为假．1．四种命题(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：命题条件结论原命题p q逆命题q p否命题p的否定q的否定逆否命题q的否定p的否定2．四种命题间的关系原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性相同．1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．[对应学生用书P3]命题的概念及真假判断[例1] p，则q”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)一个正整数不是合数就是质数；(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；(5)1＋2＋3＋…＋2 014；(6)这盆花长得太好了！[思路点拨] 根据命题的概念进行判断．[精解详析] (1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．[一点通]1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.答案：A2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.答案：B3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数可被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.四种命题及其关系[例2](1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.[思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．[精解详析] (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．[一点通]1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．4．有下列四个命题，其中真命题是( )①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．A．①②B．②③C ．①③D ．③④解析：①逆命题：若x ，y 互为倒数，则xy ＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，则m <2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．答案：C5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝π2，则sin α＝cos β； (2)a ，b ，c ，d ∈R ，若a ＝c ，b ＝d ，则ab ＝cd .解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝π2； 否命题：若α＋β≠π2，则sin α≠cos β； 逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠π2. (2)逆命题：a ，b ，c ，d ∈R ，若ab ＝cd ，则a ＝c ，b ＝d ；否命题：a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c 或b ≠d ，则ab ≠cd ；逆否命题：a ，b ，c ，d ∈R ，若ab ≠cd ，则a ≠c 或b ≠d .6．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn ＜0时，方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根．解：(1)将命题写成“若p ，则q ”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(2)将命题写成“若p ，则q ”的形式为：若mn ＜0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn ＜0.否命题：若mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0. 逆否命题的应用[例3] 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x ＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．[思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．[精解详析] 法一：其逆否命题为：已知a ，x 为实数，如果a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即Δ<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真命题．法二：先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74. ∵74>1，∴a ≥1.∴原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．[一点通]由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．7．命题“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：当m >0时，Δ＝1＋4m >0，∴x 2＋x －m ＝0有实数根．∴原命题为真，故其逆否命题为真．答案：真8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．[对应课时跟踪训练一]1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤－1 B．若x≤1，则x＞－1C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1解析：原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.答案：C2．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.答案：B3．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案：C4．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”解析：逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.答案：B5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是__________________________，q 是_________________________．答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．答案：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。