同调和上同调群
同调群的定义以及计算
同调群的定义以及计算同调群是抽象代数中的一个重要概念，它在群论、拓扑学和代数几何中有广泛的应用。
本文将从定义、性质和计算等方面介绍同调群。
一、定义同调群是代数拓扑学的基本概念之一，它描述了拓扑空间的代数性质。
给定一个拓扑空间X，我们可以定义其n维同调群Hn(X)为拓扑空间X的n维同调群。
同调群是通过对拓扑空间的连续映射和边界运算进行代数化处理得到的。
二、性质1. 同调群的维度：同调群的维度表示同调群中非零元的个数。
对于一个n维同调群Hn(X)，其维度为n。
2. 同调群的加法结构：同调群Hn(X)中的元素可以进行加法运算，满足结合律、交换律和存在零元素等性质。
3. 同调群的边界算子：同调群的边界算子是同调群中的一个映射，它描述了拓扑空间X中的边界性质。
边界算子将n维同调群映射为n-1维同调群，表示了拓扑空间中的边界信息。
4. 同调群的正合列：同调群之间存在正合列的关系，即对于拓扑空间X的一组同调群Hn(X)、Hn-1(X)和Hn-2(X)，存在一组映射满足映射的复合为零。
三、计算计算同调群是拓扑学中的重要工作之一，可以通过代数拓扑学中的一些工具和技巧进行。
下面以简单的例子说明同调群的计算方法。
例：计算圆环的同调群考虑一个圆环，可以将其表示为一个二维拓扑空间。
我们希望计算圆环的同调群。
定义圆环的边界为一维同调群，记为H1。
对于圆环而言，边界是一个一维环，即一条圆环上的闭合曲线。
因此，H1即表示了圆环上的环的个数。
我们可以通过边界算子来计算圆环的同调群。
边界算子将一维同调群映射为零维同调群，即H0。
对于圆环而言，边界算子将环的个数映射为点的个数，即将圆环上的环缩成一个点。
我们可以得到圆环的同调群为H0=Z（整数环），H1=Z（整数环）。
这意味着圆环上的点的个数和环的个数都是整数个。
通过这个例子，我们可以看到同调群的计算过程并不复杂，只需要使用合适的工具和方法，就可以得到拓扑空间的同调群。
同调群是拓扑学中的一个重要概念，它描述了拓扑空间的代数性质。
Strongart数学笔记-浅论群同调及上同调
浅析群的同调与上同调群的同调与上同调可以说是同调代数与代数拓扑的一个交叉领域，其成果又可以应用到群论本身，这里我来讲一点它的初步思想，主要还是侧重于中纯代数方面。
对于想了解拓扑背景的朋友，请参阅Kenneth S.Brown 的著作Cohomology of Groups（GTM87），还有他的paper：Lectures on Cohomology of Groups（收录于ALM12）.在群的同调（或上同调）的定义中，一个关键的概念就是由群G给出的G-模，对此可以有两种理解方式。
第一种理解是群作用的，就是把G-模A中G的元素g对A的元素a的数乘ga理解为群（对Abel群）的作用，仔细的读者还会发现这样的作用并不完全，还要满足一个可加条件（g+h）a=ga+ha才行。
其中有一类作用是平凡的：ga=a，它们同调群计算特别简单。
第二种理解是表示论的，它实际上是考虑G到M的自同构群的同态σ：G→Aut（A），而把ga解释成σ（g）（a），它无疑比前者要更加优雅。
一般意义上同调都是在模正合列上定义的，特别是模的正合列，但这里群的同调中怎么会出现模的结构呢？事实上，第一种解释已经有一个雏形了，只不过它的系数还不是环，为此我们可以做一个自然的线性推广，也就是引入群代数ZG的概念，而这个群代数自带的环结构就是模的系数环。
做了上述分析之后，我们就可以引入群的同调（或上同调）的概念。
先ZG上Z的投射分解F（本文中表示链复形的字母加下划线以示区别），然后定义H_*（G，A）=H_*（F⊙A)=Tor_*(Z，A)H^*（G，B）=H^*（Hom（F，B））=Ext^*(B，Z)其中，Hom函子与通常的Hom函子略有区别：Hom（F，B）n=Hom（F-n，B）.在被定义项中，群G实际上是作为张量积与Tor函子（或Hom与Ext函子）的系数出现的，而分解则是在Abel群Z上进行的。
这样一来，群的同调就被纳入到一般链复形同调的结构当中，关于一般链复形同调的结论，比如长正合列定理，也都可以应用到群的同调理论中。
代数拓扑中上同调的计算理论
代数拓扑中上同调的计算理论代数拓扑是代数学和拓扑学的一个交叉学科，研究代数结构与拓扑空间之间的联系和相互作用。
其中一个重要的研究对象是上同调，它是一个用来描述拓扑空间性质的代数不变量。
本文将介绍代数拓扑中上同调的计算理论。
一、上同调的基本概念上同调是拓扑学中一个重要的代数不变量，用来研究拓扑空间的性质。
它通过一系列代数结构来描述空间的拓扑性质。
在代数拓扑中，上同调的计算主要依赖于复形和链复性质的理论基础。
1.1 复形复形是代数拓扑中的一种重要工具，它是由一系列交错的正整数维度的单纯形组成的，且满足一定的边界和奇异性条件。
复形的边界是指复形中各单纯形之间的边界共享关系。
1.2 链复形链复形是复形的抽象代数对象，它由链群和边界算子组成。
链群是复形中各维度的链构成的向量空间，边界算子则表示各维度之间边界的映射关系。
二、上同调的计算方法在代数拓扑中，我们可以通过计算上同调来研究拓扑空间的性质和结构。
上同调的计算方法主要包括以下几个方面：2.1 上同调群上同调群是指通过链复形的边界算子计算得到的相应维度上的代数不变量。
上同调群可以用来描述拓扑空间的连通性、同伦性等性质。
2.2 上同调序列上同调序列是一种通过上同调群之间的映射关系来计算上同调的方法。
在代数拓扑中，我们可以通过构造上同调序列来计算更高维度的上同调。
2.3 上同调的计算定理上同调的计算定理是代数拓扑中的重要理论工具，通过一系列的等式和运算关系，可以计算得到上同调群的具体表达式。
三、应用实例上同调的计算理论在代数拓扑中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：3.1 同伦不变性通过计算拓扑空间的上同调，可以判断空间是否同伦不变。
同伦不变性是指具有相同上同调的拓扑空间可以进行同伦变换。
3.2 Poincaré双纽结定理Poincaré双纽结定理是代数拓扑中的一个重要结果，通过上同调的计算理论可以证明该定理。
3.3 拓扑流形的分类上同调的计算理论在拓扑流形的分类问题中起着重要作用。
同调和上同调群
1
2
流形上的积分
2
1.2
流形上单形的同调群
现在我们可将 Rr 上定义的 r 单形 σr 推广到流形 M 上去。显然，可
以定义映射 f : σr → M ，将 r 单形映射为流形 M 上的一个子集 Sr ，这个 子集也称为 M 上的 r 单形。实际上就是同胚变换，将直角坐标系中的图形 变换到任意流形上去，如下图：
c ∂c
用内积表示为 (c, dω ) = (∂c, ω ). 可以证明，对 c ∈ Br , ω ∈ Z r , (c, ω ) = 0; c ∈ Zr , ω ∈ B r , (c, ω ) = 0. 由于群代表元的等价性，可以将内积推广为等价类的内积，对 [c] ∈ Hr , [ω ] ∈ H r : ∫ ∧([c], [ω ]) = (c, ω ) =
p+q =r
bp (M1 ) × bq (M2 )
χ(M ) = χ(M1 ) · χ(M2 ) 例如，对 torus T 2 H 0 (S 1 ) = H 1 (S 1 ) = R, H (S 1 ) = 0 H 0 (T 2 ) = H 0 (S 1 ) ⊗ H 0 (S 1 ) = R ⊗ R = R
4.2
上同调群的外积
对 m 维的流形 M，取 ω ∈ H r , η ∈ H m−r ，有：ω ∧ η ∈ Ωm . 可定义内 ∫ 积 ⟨ω, η ⟩ = M ω ∧ η ∈ R.
4
上同调群的性质
7
可以证明庞加莱对偶性：H r ∼ = H m−r . 由此得到推论：betti number br = bm−r , χ(M ) = 若 m 是偶数，则 χ(M ) = 0 ∧ 也有等价类的表示： 对 [ω ] ∈ H q , η ∈ H r , [ω ] ∧ [η ] = [ω ∧ η ] ∈ H q+r (M )
上同调观模形式
上同调观模形式一、介绍同调论是数学中一个非常重要的领域，它是代数拓扑学和代数几何学的基石。
同调论研究了拓扑空间或代数对象的性质，通过构造一系列的同调群来描述这些性质。
上同调观模形式是同调论中的一个重要概念，它在代数几何学和代数拓扑学中有着广泛的应用。
二、同调和上同调2.1 同调的基本概念同调是代数拓扑学中研究拓扑空间性质的一种代数工具。
对于一个拓扑空间，我们可以对其进行同调群的构造。
同调群可以理解为对拓扑空间进行“测量”的一种方式。
同调群的构造基于链群和边缘算符的概念，通过一系列的复杂计算可以得到拓扑空间的同调群。
2.2 上同调的引入上同调是同调论中的一个扩展概念，它在同调计算中起到了重要的作用。
上同调的引入是为了更准确地描述拓扑空间的性质。
在传统的同调理论中，我们只能获得有限维向量空间上的同调群，而很多情况下我们需要在无限维情况下进行描述。
上同调的引入就是为了解决这个问题。
三、上同调观模3.1 上同调观模的定义上同调观模是一种从一个具体范畴到Abelian范畴的函子，它将一个范畴中的对象映射到另一个范畴中的对象上。
上同调观模可以理解为一个“变换器”，它将拓扑空间的同调群映射到另一个范畴中的对象的结构上。
3.2 上同调观模的性质上同调观模具有许多重要的性质，这些性质使得它在代数几何学和代数拓扑学中得到了广泛的应用。
其中一些性质包括：函子性、正合性、长正合列等。
这些性质使得上同调观模成为一种强有力的工具，可以帮助我们更深入地研究拓扑空间的性质。
四、应用上同调观模在代数几何学和代数拓扑学中有着广泛的应用。
它可以用于解决一些经典的数学问题，如拓扑不变性猜想、Poincaré猜想等。
此外，上同调观模还可以用于研究代数曲线、代数簇等代数几何结构的性质。
它的应用领域还包括拓扑学、代数学等。
4.1 代数几何学中的应用在代数几何学中，上同调观模广泛应用于研究代数曲线、代数簇等几何结构的性质。
通过上同调观模，我们可以描述这些几何结构的拓扑性质、周期性质以及局部性质等。
代数拓扑中同调群的计算
代数拓扑中同调群的计算代数拓扑是数学中研究拓扑空间及其代数性质的一个分支。
同调是代数拓扑中的重要概念之一，它可以描述拓扑空间的“空洞”信息。
同调群是同调理论的基本对象，它可以用来研究拓扑空间的同伦不变性和拓扑不变量。
一、同调群的基本概念同调群是拓扑空间的同调理论的基本对象。
给定一个拓扑空间X，对于每一个非负整数n，我们可以定义一个同调群Hn(X)。
其中，n表示拓扑空间中“空洞”的维度，Hn(X)表示所有n维“空洞”的同调类构成的群。
二、同调群的计算方法1. 单纯同调群的计算单纯同调群是同调理论中比较容易计算的一类同调群。
给定一个拓扑空间X，我们可以通过构造其单纯复形来计算其单纯同调群。
单纯复形是由一系列单纯形组成的复形，它可以用来描述拓扑空间的拓扑结构。
具体计算单纯同调群的步骤如下：（1）选择一个合适的单纯复形，使得其同调群与拓扑空间X的同调群同构。
（2）计算复形的边缘映射和边缘核的同调群，即计算复形链群和边缘同调群。
（3）利用同调序列的长正合性质，通过边缘同调群的计算来求解单纯同调群。
2. 考查其他同调群的计算除了单纯同调群，还存在其他类型的同调群，如奇异同调群和流形同调群等。
对于不同的同调群，计算方法也会有所不同。
需要根据具体情况选择合适的计算方法。
三、同调群的应用同调群的计算在代数拓扑领域具有广泛的应用价值。
通过计算同调群可以推导拓扑空间的拓扑不变量，研究拓扑空间的同伦等价性，解决代数拓扑问题等。
同调群的应用也扩展到其他领域，如数学物理、计算机科学等。
总结：代数拓扑中同调群的计算是研究拓扑空间性质的重要工具。
通过计算同调群，可以推导拓扑不变量，研究同伦等价性，解决拓扑问题。
不同类型的同调群有不同的计算方法，需要根据具体情况选择合适的方法。
通过同调群的应用，可以扩展到其他领域，为数学物理、计算机科学等领域提供有力的工具。
上同调代数
上同调代数什么是同调代数？同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是拓扑空间的代数结构和其同调不变量之间的关系。
同调代数的研究对象可以是各种各样的代数结构，比如群、环、模等，而拓扑空间则可以是曲面、多维空间等。
同调代数的基本概念1. 同调群同调群是同调代数中的核心概念之一。
对于给定的拓扑空间X，我们可以定义一系列同调群，记作Hn(X)，其中n表示维度。
同调群描述了拓扑空间X中的代数结构，可以通过同调群来研究拓扑空间的性质。
2. 上同调代数上同调代数是同调代数中的一种重要扩展。
与普通的同调代数不同，上同调代数中的同调群是通过一种上同调操作定义的。
上同调操作是一种将代数结构映射到更高维度的操作，它可以将一个n维的代数结构映射到一个n+1维的同调群中。
3. 同调环同调环是同调代数中的另一个重要概念。
同调环是一个满足一定条件的环结构，它描述了拓扑空间中的环结构和同调群之间的关系。
同调环的研究可以帮助我们更好地理解拓扑空间的性质。
上同调代数的应用1. 拓扑学上同调代数在拓扑学中有广泛的应用。
通过研究上同调代数，我们可以得到拓扑空间的同调不变量，这些不变量可以帮助我们刻画拓扑空间的性质。
比如，同调不变量可以用来判断两个拓扑空间是否同胚，或者用来计算拓扑空间的欧拉数等。
2. 代数几何上同调代数在代数几何中也有重要的应用。
代数几何研究的是代数结构和几何结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将代数结构映射到几何结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到代数曲线、代数多面体等几何结构的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究几何结构的性质。
3. 数学物理上同调代数在数学物理中也有应用。
数学物理研究的是物理现象和数学结构之间的关系，而上同调代数可以提供一种将物理结构映射到数学结构的方法。
通过研究上同调代数，我们可以得到物理系统的代数不变量，这些不变量可以帮助我们研究物理系统的性质。
总结上同调代数是同调代数中的一种重要扩展，它通过上同调操作将代数结构映射到更高维度的同调群中。
代数拓扑中的上同调群计算理论
代数拓扑中的上同调群计算理论代数拓扑是数学中重要的分支之一，它研究的是将代数方法应用于拓扑空间的理论。
在代数拓扑中，上同调群的计算理论是一项重要的课题。
本文将介绍上同调群的基本概念和性质，以及其在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的基本概念1.1 定义在代数拓扑中，上同调群是用来描述拓扑空间性质的不变量。
上同调群由上同调群构成的一系列代数结构组成，可以通过对拓扑空间的连续映射进行操作得到。
1.2 上同调的计算方法上同调群的计算方法可以通过奇异上同调、流形上同调等不同的途径进行。
其中，奇异上同调是最常用的计算方法之一，其基本思想是通过定义奇异链复形，并通过链映射和边缘算子的操作来计算上同调群。
二、上同调群的性质2.1 同调同构定理同调同构定理是上同调群理论中的重要定理之一。
该定理表示在某些条件下，两个拓扑空间的上同调群是同构的。
具体而言，如果两个拓扑空间同胚，则它们的上同调群同构。
2.2 长正合列在代数拓扑中，长正合列是用来描述连续映射和上同调群之间关系的一种工具。
通过长正合列可以得到上同调群之间的精确序列，以及一个上同调群到另一个上同调群的自然映射。
三、上同调群的应用3.1 拓扑空间的分类问题上同调群在拓扑空间的分类问题中起着重要的作用。
通过计算上同调群，可以判断两个拓扑空间是否同胚，或者是否具有相似的拓扑结构。
3.2 镜像对称性的研究在代数拓扑中，镜像对称性的研究是一个重要的课题。
上同调群的计算可以用来描述镜像对称性的代数结构，进而研究镜像对称性在拓扑空间中的应用。
3.3 拓扑空间的外延上同调群的计算理论可以用来描述拓扑空间的外延。
通过计算上同调群，可以判断拓扑空间是否有限维、有限生成等性质，从而对拓扑空间进行分类。
四、总结与展望代数拓扑中的上同调群计算理论是一项关键的研究课题，它对于研究和理解拓扑空间的性质具有重要意义。
本文介绍了上同调群的基本概念和性质，并探讨了上同调群在代数拓扑中的应用。
未来，随着代数拓扑的发展，上同调群计算理论将在更广泛的领域中得到应用，并为数学研究提供更多的工具和方法。
微分几何中的流形同调群计算
微分几何中的流形同调群计算微分几何是研究流形及其性质和结构的数学分支。
在微分几何中，同调群是一种重要的工具，用于描述流形的拓扑性质。
同调群可以通过计算链复形的上同调来得到。
本文将介绍如何计算流形的同调群。
一、流形的定义和基本概念在微分几何中，流形是一种具有光滑结构的空间。
具体来说，一个n维流形M是一个拓扑空间，每个点都有一个光滑坐标系，使得M在每个坐标系上都与n维欧几里得空间同胚。
二、链复形和上同调群链复形是一个序列，其中每个对象都是一个向量空间，并且序列中的每个对象都与下一个对象之间都有一种映射关系。
在计算流形同调群时，通常使用单纯复形或流形本身的单纯化来构建链复形。
三、单纯复形和单纯化单纯复形是由一系列单纯形组成的空间。
一个k维单纯形是由k+1个不共线的点组成的。
而n维单纯复形则由所有可能的k维单纯形组成。
单纯化是将给定的流形分解成单纯复形的过程。
四、流形同调群的计算计算流形同调群的一种常用方法是使用边缘算子和上同调算子。
边缘算子将一个k维链映射为一个k-1维链，它衡量了该链在边界上的变化。
上同调算子通过边缘算子的核和像来定义。
五、实例分析以二维球面S^2为例，我们可以将其分解为一系列单纯复形。
通过计算边缘算子和上同调算子，我们可以得到不同维度的上同调群。
比如0维上同调群表示连通分量的个数，而二维上同调群表示孔的个数。
六、结论通过计算流形的同调群，我们可以了解到其拓扑性质和结构。
同调群提供了一种量化拓扑不变量的方式，有助于研究流形的性质和分类。
在实际应用中，同调群在拓扑数据分析、图像处理等领域中有广泛的应用。
在微分几何中，流形同调群的计算是一项重要的技术。
通过构建链复形和使用边缘算子、上同调算子，我们可以计算流形的同调群，并了解其拓扑性质。
这对于研究流形的结构和性质，以及在实际应用中应用微分几何的方法具有重要意义。
同调群的直观解释
同调群的直观解释同调群是在代数学中常见的概念，它在群论中占据着重要的地位。
同调群的概念源于拓扑学和代数学的交叉领域，通过同调群的研究，我们可以深入理解拓扑空间的性质和结构。
同调群的定义可以通过多种方式描述，但最常见的方式是通过复形和链复形的概念来定义。
在拓扑学中，一个复形是由一组顶点和连接这些顶点的边构成的有限空间。
而链复形则是对复形中的边进行线性组合得到的对象，它可以帮助我们描述拓扑空间的结构。
在同调群的概念中，我们将链复形进行一系列的操作，最终得到同调群。
同调群可以理解为链复形的商群，通过同调群的构造，我们可以研究拓扑空间的同调性质。
同调群的研究在代数拓扑学、代数几何学和代数学的其他领域都有着广泛的应用。
同调群的性质和结构对于理解拓扑空间的拓扑性质和几何性质都具有重要的意义。
同调群可以帮助我们刻画拓扑空间的空间结构、连接性质和维数等重要特征。
通过同调群的研究，我们可以将抽象的拓扑概念转化为代数的形式，从而更好地理解和分析拓扑空间的性质。
同调群的研究也在代数拓扑学中扮演着重要的角色。
同调群的计算和性质研究对于解决拓扑学中的一些经典问题具有重要的启发作用。
通过同调群的研究，我们可以将拓扑空间的性质转化为代数的形式，从而更好地理解和解决拓扑学中的一些难题。
总的来说，同调群的概念是代数学和拓扑学的重要交叉领域，它帮助我们理解拓扑空间的性质和结构，为解决拓扑学中的一些重要问题提供了重要的工具和思路。
同调群的研究不仅拓展了我们对拓扑空间的认识，也推动了代数学和拓扑学的发展和交叉。
通过深入研究同调群的性质和结构，我们可以更好地理解和探索拓扑学的奥秘，为数学的发展和进步做出贡献。
通俗的解释同调
通俗的解释同调同调（Homomorphism）是数学中一个重要的概念，尤其在代数学和拓扑学中被广泛应用。
在代数学中，同调是指保持代数结构的映射；而在拓扑学中，同调是一种度量拓扑空间之间的相似性的方法。
为了更好地理解同调，本文将以通俗易懂的方式进行解释。
同调最初出现在代数学中，用于研究群、环、域等代数结构之间的关系。
在群论中，同调是一种保持群运算的映射。
简单来说，如果存在两个群G和H，分别具有群运算"*"和"∘"，那么一个从G到H的映射f，如果满足对于任意的g1和g2，都有f(g1 * g2) = f(g1) ∘ f(g2)，那么f就被称为同态映射，而这种映射所定义的同态关系就是同调关系。
同态映射保持了群结构，因此我们可以将同态映射看作是群之间的一种“保持结构的映射”，可以通过同态映射来研究不同群结构之间的对应关系。
在拓扑学中，同调是一种研究拓扑空间之间相似性的方法。
拓扑学研究的是空间的变形、连续性等性质，同调理论通过构建一系列从拓扑空间到其他数学结构之间的映射来比较空间之间的差异。
这些映射被称为同调映射，而同调关系即通过同调映射来度量拓扑空间之间的相似程度。
在拓扑学中，同调理论的核心思想是利用同调映射诱导的函数对空间进行分类。
我们可以通过构建一系列不同维度的同调群来描述拓扑空间的性质。
由于同调群具有一定的代数结构，我们可以通过对同调群的计算和比较来研究拓扑空间的同构、同伦等性质。
同调群所描述的是拓扑空间中“空洞”的数量与形状，通过比较不同拓扑空间的同调群，我们可以得到它们的同调不变量，从而判断它们是否同构或同伦等性质。
同调理论在数学中的应用非常广泛。
从代数学的角度来看，同调在研究代数结构之间的关系上具有重要意义，可以用于解决一些代数问题，例如同态的存在性与性质等。
从拓扑学的角度来看，同调理论能够通过代数方法研究拓扑空间的性质，为拓扑学提供了一种比较直观的工具和语言。
拓扑学中的同调论与同调群
拓扑学中的同调论与同调群拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是空间的形状与结构。
同调论是拓扑学中一项重要的工具，用于描述空间的性质和特征。
同调群则是同调论的基本概念之一，是研究同调论的重要工具和结构。
一、同调论的基本概念在介绍同调群之前，我们先来了解一下同调论的基本概念。
同调论是一种通过代数工具来研究拓扑空间性质的方法。
1. 链复形和边缘算子链复形是同调论的基本概念之一。
它由一系列的链群组成，每个链群由一些形式化的“链”组成。
形式化的“链”是指拓扑空间中的各个维度的“单纯形”或“边”。
边缘算子是链复形中的映射，它把一个维度高一些的链映射为一个维度低一些的链。
边缘算子的作用类似于求导操作，它描述了链的边缘的性质。
2. 同调群的定义同调群是由链复形的核和像构成的一系列代数群。
它描述了链复形中各个链的在不同维度上的“闭性”。
同调群的定义基于边缘算子的核和像，即同调群是边缘算子的核与其像的商群。
二、同调群的性质同调群作为同调论的重要工具和结构，具有一些重要的性质和特征。
1. 同调群的结构同调群的结构可以通过链复形的结构和边缘算子的性质来描述。
同调群的结构可以帮助研究拓扑空间的性质和特征。
2. 同调群的计算同调群的计算是同调论的一个重要问题。
由于同调群的定义通常涉及到大量的链和复杂的边缘算子，直接计算同调群是十分困难的。
为了解决这个问题，同调论提供了一些计算方法和定理，如蛇引理、长正合序列等，可以简化同调群的计算过程。
三、同调群的应用同调群作为拓扑学的重要工具，被广泛应用于各个领域。
1. 空间的分类同调群可以描述拓扑空间的性质和结构，从而用于空间的分类。
通过比较不同拓扑空间的同调群，可以判断它们是否同胚或同伦等。
2. 拓扑不变量同调群可以作为拓扑不变量，即在同伦形变下保持不变的量。
通过计算拓扑空间的同调群，可以得到关于拓扑空间的一些不变性质，如欧拉数等。
3. 嵌入问题同调群可以用于研究数学中的嵌入问题。
嵌入问题研究的是一个拓扑空间是否能够嵌入到另一个拓扑空间中。
代数拓扑中的上同调群计算方法
代数拓扑中的上同调群计算方法在代数拓扑学中，上同调群是对拓扑空间进行代数化描述的重要工具之一。
它可以帮助我们研究空间的性质以及它们之间的映射和变形。
本文将介绍上同调群的概念和计算方法，并探讨在代数拓扑中的应用。
一、上同调群的概念上同调群是一种用于描述拓扑空间的代数对象。
它是通过将空间中的链与边界联系起来来构建的。
对于给定的拓扑空间X，我们可以构造一系列复形Cx，其中x表示一种维度。
这些复形由一组群和一组边界映射构成。
简单来说，上同调群就是这样一组群的集合：每个维度的群由该维度复形中的闭链模去掉边界链的模得到。
二、上同调群的计算方法计算上同调群的方法主要有两种：直接计算和利用代数结构。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 直接计算方法直接计算上同调群的方法是通过构造拓扑空间的上链复形来计算。
对于给定的拓扑空间X，我们可以选择一种合适的上链复形，并通过计算该复形的闭链和边界链来得到上同调群。
这种方法的优点是直观易懂，但对于复杂的空间来说计算量较大。
2. 利用代数结构方法利用代数结构计算上同调群的方法是通过代数工具和性质来计算。
例如，我们可以利用同调群的长正合列、Mayer-Vietoris序列等工具来计算上同调群。
这种方法通常更高效，特别适用于一些含有特殊结构或性质的拓扑空间。
三、代数拓扑中的应用上同调群在代数拓扑学中有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 同伦不变性在拓扑学中，同伦等价是空间的一个重要性质。
上同调群可以用来刻画同伦等价的空间具有相同的上同调群。
通过比较不同空间的上同调群，我们可以判断它们是否同伦等价。
2. 基本群和覆叠空间上同调群可以和基本群以及覆叠空间进行联系。
通过计算拓扑空间的上同调群，我们可以推导出基本群以及覆叠空间的一些性质。
这对于研究空间的拓扑结构和几何性质非常重要。
3. 对偶性与切向量空间上同调群的对偶性是代数拓扑学中一个重要的性质。
通过定义上同调群的对偶群，我们可以研究拓扑空间的切向量空间以及其它几何性质。
同调代数基本定理
同调代数基本定理同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构中的同调与上同调。
同调理论在数学和物理学中有广泛的应用，例如在拓扑学、代数几何、代数拓扑、莱斯提定理、场论等方面。
同调代数的基本定理是同调降纬定理和同调升维定理，它们揭示了同调群之间的关系，为其他代数结构的研究提供了有力的工具和引导。
下面将对同调降纬定理和同调升维定理进行全面而生动的介绍。
同调降纬定理是同调代数中最基本的定理之一。
它指出对于一个拓扑空间X及其子空间A，在一定条件下，我们可以通过降维的方式来计算X和A的同调群之间的关系。
具体来说，同调降纬定理告诉我们如果A是X的收缩，即存在一个连续映射r: X → A使得 r|A = id_A，则对于任意整数q，有同构映射H_q(X) ≅ H_q(A)，其中H_q(X)表示X的第q个同调群。
这个定理表明，通过适当构造收缩，我们可以将原本复杂的拓扑空间的同调群简化为一个更容易计算的子空间的同调群。
同调升维定理则是同调代数中的另一个重要定理。
它指出如果我们知道拓扑空间X的一个闭子空间A的同调群，我们可以通过构造一个另外的新空间来计算X的同调群。
具体而言，同调升维定理告诉我们，对于任意一个拓扑空间X和一个闭子空间A，存在一个拓扑空间Y和一个连续映射f: X → Y，使得对于任意整数q，有同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅ H_{q+1}(Y)，其中f_*: H_q(A) → H_q(X)是f诱导的同调映射。
此外，如果A是Y的变缩，即存在连续映射r: Y →A使得 r|A = id_A，则我们还可以得到同构映射H_q(X)/f_*H_q(A) ≅H_q(Y)。
同调升维定理的重要性在于它为我们计算复杂拓扑空间的同调群提供了一种较为简便的方法。
同调降纬定理和同调升维定理是同调代数中的两个基本定理，它们提供了同调群之间的关系和计算方法，为我们研究拓扑空间提供了有力的工具和指导。
通过这两个定理，我们可以将复杂的同调问题转化为计算相对简单的子空间的同调问题，或者通过构造新空间的方式来计算原本空间的同调群。
函数论中的同伦与同调理论
函数论中的同伦与同调理论1. 同伦理论同伦理论是拓扑学中的一个分支，它研究拓扑空间之间的连续变形。
同伦理论中的基本概念是同伦，即两个连续映射之间的连续变形。
同伦理论可以用来研究拓扑空间的基本群、同调群和上同调群等。
同伦理论最早由庞加莱和勒贝格提出，后来由霍普夫、亚历山大和斯廷罗德发展成一门完整的理论。
同伦理论在拓扑学、几何学和代数拓扑学中都有广泛的应用。
2. 同调理论同调理论是拓扑学中的另一个分支，它研究拓扑空间中的链复形和同调群。
同调理论中的基本概念是链复形，即一个由链群和边界算子组成的序列。
同调群是链复形的同伦不变量，它可以用来研究拓扑空间的拓扑性质。
同调理论最早由亚历山大提出，后来由科尔莫哥洛夫、巴纳赫和霍普夫发展成一门完整的理论。
同调理论在拓扑学、几何学和代数拓扑学中都有广泛的应用。
3. 函数论中的同伦与同调理论函数论中的同伦与同调理论是将同伦理论和同调理论应用于函数空间的研究。
函数空间是指所有从某个拓扑空间映射到另一个拓扑空间的连续映射的集合。
函数空间本身也是一个拓扑空间，因此可以应用同伦理论和同调理论来研究函数空间的拓扑性质。
函数论中的同伦与同调理论最早由弗雷歇提出，后来由豪斯多夫、巴纳赫和卡鲁宾发展成一门完整的理论。
函数论中的同伦与同调理论在函数分析、复分析和调和分析中都有广泛的应用。
4. 函数论中的同伦与同调理论的主要内容函数论中的同伦与同调理论的主要内容包括：•函数空间的拓扑结构•函数空间的同伦群和同调群•函数空间的同伦不变量和同调不变量•函数空间的分类•函数空间上的算子5. 函数论中的同伦与同调理论的应用函数论中的同伦与同调理论在函数分析、复分析和调和分析中都有广泛的应用。
例如，函数论中的同伦与同调理论可以用来研究：•函数空间的性质•线性算子的性质•复变函数的性质•调和函数的性质6. 函数论中的同伦与同调理论的发展前景函数论中的同伦与同调理论是一个正在快速发展的领域。
随着函数分析、复分析和调和分析的发展，函数论中的同伦与同调理论也将继续发展。
拓扑群同调论中的上同调理论
拓扑群同调论中的上同调理论拓扑群同调论是研究拓扑空间及其对称性的一个重要分支。
在这个领域中，上同调理论是一种基本工具，用于描述空间的拓扑性质。
本文将介绍拓扑群同调论中的上同调理论，并探讨其在数学和物理学中的应用。
一、定义与基本概念在开始介绍上同调之前，我们先回顾一下拓扑群的概念。
拓扑群是指一个拓扑空间和一个群结构同时存在，并且群运算与拓扑结构相容。
具体而言，拓扑群要满足以下几个性质：闭合性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。
上同调是拓扑群同调论中的一个重要概念。
它描述了一个拓扑空间中闭合曲线的“不可缩”。
简单来说，上同调是用来描述空间中存在的“洞”或“孔”的性质。
上同调理论具体建立在链复形和同调群的概念之上。
二、链复形与上同调群链复形是拓扑群同调论中的一个重要工具。
它由链群和边缘算子组成。
链群是一组形如C_n的群，其中n代表链的维度。
边缘算子是一种映射，将高维链映射到低维链上，用来描述链之间的边界关系。
利用链复形，我们可以定义上同调群。
上同调群是链复形的同调群，它描述了链之间的“闭合性”。
通过对链复形的边缘算子进行计算，我们可以得到一系列上同调群，分别对应着不同维度的“洞”或“孔”。
三、上同调理论的应用上同调理论在数学和物理学中具有广泛的应用。
在数学领域，上同调理论被用于研究空间的同伦不变性、拓扑分类以及奇点论等方面。
在拓扑学中，通过上同调理论可以判断两个拓扑空间是否同伦等价，从而揭示了空间的基本性质。
在物理学中，上同调理论被应用于描述场论和几何物理等问题。
特别地，上同调理论在量子力学和弦论中扮演着重要角色。
例如，通过研究空间的上同调群，可以描述量子场论中的荷耦合、规范变换以及拓扑激发等现象。
四、总结拓扑群同调论中的上同调理论是研究拓扑空间的重要工具。
通过链复形和上同调群的定义，我们可以描述空间中的“洞”或“孔”的性质。
上同调理论在数学和物理学中都具有广泛的应用，揭示了空间的拓扑性质以及丰富的物理现象。
上同调代数
上同调代数上同调代数同调代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构之间的映射和同态，特别是群或模的同态关系。
同调代数在几何学、代数学、数论和物理学等领域中都有广泛的应用。
一、同调代数的基本概念1.1群同调群同调是同调代数的最基本概念之一，它描述了群的代数结构与其拓扑性质之间的关系。
给定两个群G和H，它们的群同调是在一定条件下从G到H的同态映射的集合。
群同调可以用来研究群之间的同构、自同态和拓扑性质等。
1.2模同调类似于群同调，模同调研究的是模之间的同态关系。
给定两个模M 和N，它们的模同调是从M到N的同态映射的集合。
模同调的研究对于研究代数结构的性质和模之间的映射具有重要意义。
二、同调代数的基本性质2.1同调函子同调函子是同调代数中的重要工具，它将一个范畴上的对象映射为另一个范畴上的对象，并保持对象之间的映射关系。
同调函子可以用来构造新的代数结构，并研究它们之间的关系。
2.2长正合列在同调代数中，长正合列是一种重要的序列。
对于给定的同态映射，如果它们构成一个准同态序列，且满足一定条件，那么这个序列就是长正合列。
长正合列为研究代数结构和同态映射提供了有力的工具。
2.3上同调和下同调上同调和下同调是同调代数中的两个基本概念。
上同调是在同调函子作用下得到的同态映射的集合，而下同调是在同调函子作用下得到的模的集合。
上同调和下同调可以用来研究群或模之间的同态关系，并提供了计算同调群的方法。
三、同调代数的应用3.1几何学中的同调代数在几何学中，同调代数可以用来研究拓扑空间的性质和结构。
通过构建拓扑空间的上同调或下同调群，可以研究空间的连通性、维度、同伦不变性等问题。
同调代数在代数拓扑学、流形学和代数几何学等领域都有广泛的应用。
3.2代数学中的同调代数在代数学中，同调代数可以用来研究代数结构的同态关系和同构性质。
通过构建模的同调群，可以研究模的结构、模的分解和模的分类等问题。
同调代数在代数编码理论、代数数论和代数几何学等领域中都有重要的应用。
拓扑学基础
拓扑学基础拓扑学是数学的一个分支，它研究的是空间的性质，这些性质在物体连续变形（如拉伸和弯曲，但不包括撕裂和黏合）下保持不变。
这个领域不仅在纯数学中占有重要地位，而且在物理学、工程学以及计算科学中也有广泛的应用。
本文将简要介绍拓扑学的一些基本概念和原理。
基本概念拓扑空间在拓扑学中，一个拓扑空间是一个集合X连同一组称为“开集”的子集族，它们满足特定的公理。
这些公理确保了开集的概念与日常直观上的“开”是一致的。
例如，整个空间X和空集∅总是开集，任意多个开集的并集是开集，有限多个开集的交集也是开集。
连续映射连续映射是拓扑学中的一个核心概念，指的是在拓扑空间之间保持“邻近性”的函数。
形式上，如果函数f: X → Y在点x处的邻域经过f映射后仍然是f(x)在Y中的邻域，则称f在x处连续。
如果这样的性质对X中的所有点都成立，则称f为连续映射。
同胚同胚是一种特殊的连续双射，它在其定义域内既是一对一的也是到上的，并且其逆映射也是连续的。
如果两个拓扑空间之间存在同胚映射，那么我们说这两个空间是同胚的，或者说它们具有相同的拓扑结构。
主要分支代数拓扑代数拓扑利用抽象代数的工具来研究拓扑空间。
基本群、同调群和上同调群等都是代数拓扑中的重要不变量，它们可以区分不同空间的拓扑性质。
几何拓扑几何拓扑关注空间的几何属性，如曲面的分类问题。
它研究如何通过几何变换（如弯曲但不撕裂）来理解空间的形状和结构。
点集拓扑点集拓扑是拓扑学的最基础部分，它只依赖于集合论的概念。
它研究拓扑空间的内部结构，包括极限点、紧致性、连通性等基本概念。
应用实例拓扑学的应用遍布各个科学领域。
在物理学中，拓扑绝缘体的研究揭示了电子运动的新规律；在生物学中，DNA的拓扑结构对于了解遗传信息的复制和表达至关重要；在数据科学中，拓扑数据分析提供了一种强大的工具来分析复杂数据集的结构。
结语拓扑学以其独特的视角和强大的工具，为我们理解和探索世界提供了新的可能性。
从基础理论到实际应用，拓扑学都在不断推动科学的边界向前延伸。
代数拓扑中上同调的计算理论
代数拓扑中上同调的计算理论代数拓扑是拓扑学中的一个重要分支，研究代数结构在拓扑空间上的作用和相互关系。
而上同调是代数拓扑中的一个重要概念，用于描述拓扑空间的性质和结构。
上同调的计算理论是研究如何计算拓扑空间上的上同调群以及它们之间的关系的一门学科。
本文将介绍代数拓扑中上同调的计算理论的基本概念、方法和应用。
一、上同调的基本概念1.1 复形和链复形在代数拓扑中，复形是一种用链（chain）来描述拓扑空间的结构的方法。
对于一个给定的拓扑空间，可以通过选择一组适当的基点（base point），来构造一个复形。
链复形是复形上附加了群结构的一种特殊复形。
链复形的边界算子是链之间的映射，它描述了复形间的关系和转换。
1.2 上同调群上同调群是通过链复形和边界算子来定义的。
对于一个给定的链复形，通过边界算子将链映射到链复形的边界上。
上同调群是由边界算子的核和像按照一定的方式确定的。
上同调群反映了拓扑空间的像和核之间的关系，它提供了一种衡量拓扑空间局部或整体性质的工具。
二、上同调的计算方法2.1 单纯上同调单纯上同调是一种计算上同调群的方法。
它通过对拓扑空间的简化来进行计算。
具体而言，单纯上同调是通过将拓扑空间分解成一些简单的单纯形（simplex）来描述和计算的。
通过对单纯上同调的计算，可以得到拓扑空间的几何和代数性质的信息。
2.2 奇异上同调奇异上同调是另一种常用的计算上同调群的方法。
它通过奇异链复形和奇异边界算子来定义和计算上同调群。
奇异上同调具有一些良好的性质和计算上的便利，因此在实际计算和应用中得到了广泛的应用。
2.3 同调代数和复函子同调代数和复函子是研究上同调的另外两种方法。
同调代数通过代数结构的方式来研究上同调群的性质和计算方法。
复函子是一类函子，它与链复形和上同调群之间有特定的关系。
同调代数和复函子为上同调的计算提供了一种抽象和理论上的基础。
三、上同调的应用上同调在代数拓扑和相关领域中有广泛的应用。
同调群的定义以及计算
同调群的定义以及计算同调群是数学中一个重要的概念，它与代数学、拓扑学等领域密切相关。
在代数学中，同调群是研究拓扑空间的一个重要工具，它描述了拓扑空间中的“空洞”或“孔”的性质。
本文将介绍同调群的定义以及计算方法。
一、同调群的定义同调群的定义涉及到拓扑空间的概念，其中最基本的是单纯形。
一个n-单纯形是由n+1个顶点组成的凸包，比如一个线段是一个1-单纯形，一个三角形是一个2-单纯形。
给定一个拓扑空间X，我们可以构造一个以X中单纯形为基础的复形C，复形C是一个由单纯形组成的集合。
复形C的边缘算子d将每个单纯形映射到它的边界。
在复形C上，我们可以定义一个链群C_n，它是由n-单纯形的线性组合构成的群。
链群是一个向量空间，它的元素是形如a_1σ_1 + a_2σ_2 + ... + a_kσ_k的形式，其中a_i是实数，σ_i是n-单纯形。
链群C_n的元素称为n-链。
链群之间的映射可以通过边缘算子d来定义。
边缘算子将n-链映射到(n-1)-链，满足边缘算子的性质：d^2 = 0。
这意味着边缘算子作用两次等于零。
对于链群C_n，我们可以定义其子群B_n，称为边界群。
边界群由所有边界为零的n-链组成，即B_n = ker(d)。
同时，我们可以定义其子群Z_n，称为周期群。
周期群由所有边界为零的n-1-链的边界组成，即Z_n = im(d)。
同调群H_n(X)是链群C_n模去边界群B_n得到的商群，即H_n(X) = C_n / B_n。
同调群描述了拓扑空间X中的“空洞”或“孔”的性质。
二、同调群的计算计算同调群的一种方法是使用上面提到的边界算子d。
通过计算边界群B_n和周期群Z_n，可以得到同调群H_n(X)。
我们可以计算边界群B_n。
对于n-链a，如果边界算子d(a) = 0，则a属于边界群B_n。
计算边界群B_n可以通过构造边界算子矩阵来实现。
边界算子矩阵的每一列对应一个n-单纯形，每一行对应一个(n-1)-单纯形，矩阵中的元素表示单纯形之间的边界关系。
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积分为： ∫ ω= 对任意 c = ω (x) ≡ 1，有： ∫ ω dxdy =
φ(σ2 ) 0
∫ ω (x)dx1 · · · dxm
φ(σr )
∑
Sr
ai Sr,i ，显然有
∫
c
ω=
∑
ai
∫
Sr,i
ω
例如对一个 2 单形，实坐标表示如上图左，取体积元函数（2 单形） ∫ ∫ dx
0
1
1−y
dHale Waihona Puke =3现在定义了流形上的单形， 则可以直接将积分域选为单形： Ui = Sr ， 那 ∫ 么积分 Sr ω 可生成一个实数，从而将 r 单形和 r 形式联系起来。 坐标函数 φ(Sr ) 应当选择最简单的形式，即 σr 本来的直角坐标，相应 的 r-form ω 也使用这套坐标。为了方便计算，约定单形 σr 都是标准单形， 即顶点都在坐标轴上的单形，如下图：
3
DE RHAM COHOMOLOGY GROUP
4
由于 r 形式在几何上意义不明确，上同调群的几何意义很难讲。在代数 上，如果存在 ω ∈ Z r ，那么若存在 ψ ∈ Ωr−1 , ω ′ = ω + dψ ，有 ω ′ ∼ ω ，二 者属 H r 的同一元素。
3.2
例子
1. B 0 (M ) 中的元素是 ω = dψ, ψ ∈ Ω−1 (M ) = ∅，因此内部无任何
元素，B 0 (M ) = 0；于是 H 0 (M ) = Z 0 (M )，在连通的流形 M 上，元素 f ∈ H 0 (M ), df = 0，得到 f = const.，所以 H 0 (M ) ∼ = R. 若 M 是 n 个连通的流形，有 H 0 (M ) ∼ = ⊗n R. 2. 对流形 M = R，由于 M 是连通的，H 0 ∼ = R;
1
2
流形上的积分
2
1.2
流形上单形的同调群
现在我们可将 Rr 上定义的 r 单形 σr 推广到流形 M 上去。显然，可
以定义映射 f : σr → M ，将 r 单形映射为流形 M 上的一个子集 Sr ，这个 子集也称为 M 上的 r 单形。实际上就是同胚变换，将直角坐标系中的图形 变换到任意流形上去，如下图：
之前我们讲过，通过外微分 dr : Ωr → Ωr+1 定义了 closed r-form 形成
的 cocycle group Z r (M ) 和 exact r-form 形成的 co-boundary group B r (M )， 其中 B r ⊂ Z r ，因此可以定义上同调群 H r = Z r /B r .
计算 H 1 (R): dim R = 1 因此任何 1-form 形式为 ω = f dx， 可见 dω = 0， 有 ∀ω ∈ Ω1 (R), ω ∈ Z 1 (R)，又由于 ω = f dx = 又有 ω ∈ B 1 (R) H 1 (R) = Z 1 /B 1 = {0} 3. 对 M = S 1 = {eiθ |0 ≤ θ ≤ 2π } 由于 S 1 是连通的，H 0 (S 1 ) = R； 计算 H 1 (S 1 )：取 1-form ω = f (θ)dθ = dF ，则 F (θ) = 就是找到相应的函数 F，ω 就是 exact 的。 但是环的拓扑性质要求其上的 f ∈ F (S 1 ) 满足 F (2π ) = F (0) = 0 即： F (2π ) =
同调和上同调群
Yi-Ning You 2018 年 1 月 4 日
1
1.1 单形的同调群
同调群
首先复习同调群的概念和计算。在单形 (simplex) 的语言下，r 阶 chain group Cr (K ) 是定向的 r 单形生成的自由阿贝尔群。 在单形上定义边界算子 ∂r : Cr (K ) → Cr−1 (K )，计算规则如下： ∂0 p0 = 0 ∂1 (p0 p1 ) = p1 − p0 ∂2 (p0 p1 p2 ) = (p1 p2 ) − (p0 p2 ) + (p0 p1 ) 若 c ∈ Cr (K ), ∂r C = 0，称 c 为 r-cycle；它们的集合为 Zr (K )，称为 r-cycle group. 若 c ∈ Cr (K ), ∃d ∈ Cr+1 (K ), c = ∂r+1 d，称 c 为 r-boundary；它们的 集合为 Br (K )，称为 r-boundary group. 由 ∂ 2 = 0，可知 Br (K ) ⊂ Zr (K )，可以定义同调群 (Homology group) 为： Hr (K ) = Zr (K )/Br (K ) 几何上，同调群 Hr 的元素是无边界的 r 单形，且这个单形不是任何 r+1 单形的边界。
0 dF dx dx
= dF, F = Ω0 ，显然
∫θ
0
f (θ′ )dθ′ ，也
∫
2π
f (θ′ )dθ′ = 0
定义映射 λ : Ω1 (S 1 ) → R: ∫ λ : ω = f dθ → 若 ω ∈ B 1 ，则 ∫ 2π
用指标 i 表示不同的 r 单形，集合 {Sr,i } 是 M 上 r 单形的集合。它们 ∑ 可以生成 M 上的自由阿贝尔群：c = i ai Sr,i , ai ∈ R 相应地定义边界算子： ∂r Sr = f (∂r σr ) M 和 Rr 显然是同构的；可以将 Rr 空间中的同调群结构完全搬到流形 M 上去： Hr (M ) = Zr (M )/Br (M )
1 2
从这个例子可以看出， 能做积分的 r-form 必须和积分区域 r-simplex 维 度相同, 我们定义这样的积分叫二者的内积。可以看出内积具有双线性性： c ∈ Cr (M ), ω ∈ Ωr (M ) ∫ ω = (c, ω )
c
3
3.1
de Rham Cohomology group
上同调群
2
∫ f ω=
Ui
流形上的积分
∫ f (p) ω (p) dx1 · · · dxm
φ(Ui )
之前讨论过 r-form 在 m 维流形 M 上的积分：
取流形上的函数 f (p) ≡ 1，有： ∫ ω=
Ui φ(Ui )
∫ ω (p) dx1 · · · dxm
3
DE RHAM COHOMOLOGY GROUP