第十章 波动学基础

第十章 波动学基础

§10-1波动的基本概念

一、常见机械波现象 1、水面波。

把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。 2、绳波。

绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。 3、声波。

当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。 二、机械波产生的条件

两个条件 1、波源。如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。

2、传播介质。如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声

波的传播介质是空气。

说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。 三、横波与纵波

1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。如 绳波。

2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。

(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性

力，而是重力和表面张力。

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪

⎨⎧

(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。

四、关于波动的几个概念

1、波线：沿波传播方向带箭头的线。

2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。同一时刻，同相面有任意多个。

3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。（或：传播在最前面的那个同相面）

4、平面波与球面波

(1)平面波：波阵面为平面。

(2)球面波：波阵面为球面。

图10-1

*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。

五．波长、波的周期和频率波速

波长λ

波长λ:同一波线上位相差为π2的二质点间的距离（即一完整波的长度）。

在横波情况下，波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。如下图。

在纵波情况下，波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的

距离表示。

波的周期T

图10-2

波的周期T: 波前进一个波长距离所用的时间（或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间）

波动频率v ：单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。可有

T v 1

= （1-1）

说明：由波的形成过程可知，振源振动时，经过一个振动周期，波沿波线传出一个

完整的波形，所以，波的传播周期（或频率）=波源的振动周期（或频率）。由此可知，波在不同的介质中其传播周期（或频率）不变。

波速μ

波速μ：某一振动状态在单位时间内传播的距离（单位时间内波传播的距离）。可有

T

v λ

λμ=

= （1-2）

对弹性波而言，波的传播速度决定于介质的惯性和弹性，具体地说，就是决定于介质的质量密度和弹性模量，而与波源无关。

横波在固体中传播速度为：ρ

μN

=

纵波速度为：ρ

μB

=

（液、气、固体中）

对大多数金属，Y B ≈，∴ρ

μY

=

式中 N ：固体切变弹性模量

B ：介质的体积弹性模量 Y ：杨氏弹性模量

ρ：介质质量密度

说明：波动速度与质点振动速度是不同的物理量。

§10-2 平面简谐波波函数

一、简谐波及波动方程

1、简谐波：当波源作谐振动时，介质中各点也都作谐振动，此时形成的波称为简谐波

又叫余弦波或正弦波。

*一般地说，介质中各质点振动是很复杂的，所以由此产生的波动也是很复杂的，但是可以证明，任何复杂的波都可以看作是由若干个简谐波迭加而成的。因此，讨论简谐波就有着特别重要的意义。

2、简谐波的波动方程：设任一质点坐标为x ，t 时刻位移为y ，则()t x f y ,=关系即为

波动方程。

二、波动方程建立

如图所示，谐振动沿+x 方向传播，∵与x 轴垂直的平面均为同相面，∴任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与x 轴交点处的质点振动状态来描述，因此整个介质中质点的振动研究可简化成只研究x 轴上质点的振动就行了，设原点处的质点振动方程为

()ϕω+=t cos A y 0

式中，A 为振幅，ω为角频率，ϕ称为初相。

图10-3

设振动传播过程中振幅不变（即介质是均匀无限大，无吸收的）为了找出波动过程中任一质点任意时刻的位移，我们在ox 轴上任取一点p ，坐标为x ，显然，当振动从o

处传播到p 处时，p 处质点将重复o 处质点振动。∵振动从o 传播到p 所用时间为V

x

，

所以，p 点在t 时刻的位移与o 点在⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-V x t 时刻的位移相等，由此t 时刻p 处质点位移为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕωv x t cos A y p （10-3）

同理，当波沿-x 方向传播时，t 时刻p 处质点位移为

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕωv x t cos A y p （10-4）

利用 πνω2=

⎪⎭

⎫

⎝⎛==λνλν1v /v 或

由式（10-3）、（10-4）有