波的叠加、驻波

讨论： 合振动最强（干涉相长） 的位置?
合振动最弱（干涉相消）
3. 干涉相长和相消的条件
2k A A1 A2
2
1
2
特例： （1） 1 2
相长
I I1 I2 2 I1 I2
相 间
(2k 1) A | A1 A2 |
排 相消 列
2
I I1 I2 2
I1 I2
k 0, 1, 2,
u
u
E Ep
集 中 于 波 节 附 近 （ 形 变最 大 ）
u
u
t T , 3T :
44
各质点达平衡位置，形变为零,
u
u
Ep 0, E Ek ,
集 中 于 波 腹 附 近(速 率 最 大)
Ek、Ep在波腹、波节附近周期性转移.
(5) 驻波系统的固有频率：
两端固定的弦振动
l n n n 1,2,
练
1、是非题
习
(1) 两列不满足相干条件的波不能叠加
(2) 两列波相遇区域中P点，某时刻位移值恰好
等于两波振幅之和。这两列波为相干波.
(3) 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，
某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之
和,又不是零，则该点既不是振动最强点，
又不是振动最弱点.
(4) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动
振动方向相同 频率相同 相位差恒定 (波源初相差稳定，介质稳定）
设相干波源
o1: Ψ1 A1 cos(t 1)
o1
o2 : Ψ2 A2 cos(t 2 )
o2
r1
p
r2
在P点引起的振动
Ψ
p1
A1 cost
1
2
r1
o1
r1
p
Ψ
p2
A1 cost
2
2
r2
o2
r2
P点的合振动 p1 p2 A cost
I I1 I2 2 I1I2 cos
干涉项
由 2 1 恒定 取决于两波传至相遇点的波程差： r2 r1
对空间确定点
有确定值， I 有确定值 o1
对空间不同点
r1
p
r2
彼此不同， I 彼此不等 o2
能量在空间稳定的非均匀分布
— 干涉现象
r2 r1相同的点，振动强度相同，
其集合为双曲面
r1 r2 k
(2k 1) 2
相长
k 0, 1, 2,
相消
（2） A1 A2 I1 I2
相长处： A 2A1 I 4I1 相消处：
A0 I 0
频率相同、 振动方向平行、 相位相同或相位 差恒定的两列波 相遇时，使某些 地方振动始终加 强，而使另一些 地方振动始终减 弱的现象，称为 波的干涉现象.
u
u
其余点 0 A 2A1
2. 特征
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前 一
质点的振动。
(2) 振幅最强
A 2A1位置： 波腹
振动相消 A=0 位置： 波节
u
u
u
u
u
u
两相邻波腹（或波节）
相距 2
u
u
(3)相邻波节之间各点同相 同一波节两侧的点反相
稳定的分段振动
(4)能流密度
u
2 l 1
2 l 22
2
l 33
2
一端固定一端自由的弦振动
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1
4
l 32
4
l 53
4
两端固定的弦振动
L n n
2
n
2L n
u nu
vn n 2L
(n 1, 2, 3, ) 所有可能的振动方式：简正模式
基频 谐频
总之： “驻”波
外形象波： 具有空间、时间周期性； 波形、能量不向前传播、无滞后效应
同学们好！
几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征
（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来 的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.
在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在
时在该点所引起的振动位移的矢量和.
二、波的干涉——波叠加中最简单、重要的特例
1、相干条件 2、干涉现象
相消各点的集合的形状为双曲面族
2. 教材P.509 15.3
P.88 (13-16)
已知：
u
p
S1
u
S2
p
S1、S2为相干波源，相距 4，I1 I2 I0 ,
10
20
2
求: S1、S2连线上，S1外侧，S2外侧合成波强度
解： 1）对S1外侧P点
20
10
2
r2 r1
2
2
4
干涉相消，合成波
式中
A
A12
A22
2 A1 A2
cos [ 2
1
2
(r2
r1 )]
arc tg
A1 A1
sin(1
2r1
)
c os (1
2r1
)
A2
s in( 2
2
r2
A2
c os ( 2
2r2
) )
令
2
1
2
(r2
r1 )
得
A A2 A2 2A A cos
1
2
12
由I A2 , P点合振动强度：
2
得波腹位置：
x
k
2
4
2
1
(k 0,1,2, )
由 Amin 0
2x 2 1 (2k 1)
2
2
得波节位置：
x
(2k 1)
4
4
(2 1 )
(k 0,1,2, )
3、半波损失
波在两种不同介质界面上的反射
自由端反射 全波反射
波密 波疏界面反射
u
u
适当选择计时起点和原点，使原点处 1 2 0
右行波：
Ψ1
A1
cos
t
2
x
左行波：
Ψ2
ห้องสมุดไป่ตู้
A2
cost
2
x
驻波的形成
合成波：
1 2
2
A1
c
os
2x
c
ost
u
振幅随 x 变化
u
a、c、e、g...
u
u
始终不振动 A=0，称波节
u
u
o、b、d、f ...
振动最强 A 2A1, 称波腹
u
I
1 2
A12
2u
(
1 2
A12
2u)
u
u
0
驻波的能量在相邻的波 腹和波节间往复变化，在相 邻的波节间发生动能和势能 间的转换，动能主要集中在 波腹，势能主要集中在波节， 但无长距离的能量传播.
u
u
u
u
如何理解？
u
u
t 0, T :
2
各 质 点 最 大 位 移v 0, Ek 0,
振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线长 l
应满足 l n n
2
， n
n
u 2l
n 1,2, 由此频率
决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.
例：由合成波波函数：
2
A1cos
2x
2
1
2
cost 2
1
2
求波腹和波节的位置
解： 由Amax 2 A1
2x 2 1 k
A 0, I 0
即 S1 外侧不动
u
p
S1
u
S2
p
2）对S2外侧P点
20
10
2
r2 r1
2
2
4
0
干涉相长、合成波
即S 外侧各点振动最强。
A 2A1, I 4I0
2
思考：
S1 , S2之间如何？
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
三、驻波
1、驻波的形成 条件 : 相干波, 振幅相等, 在同一直线上反向传播。