简单复合函数解析式求解
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
复合函数
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法复合函数解析式是指在一个函数中，另一个函数作为其中的一个变量。
求解复合函数解析式的方法有多种，下面将详细介绍。
一、复合函数解析式的基本概念复合函数是指两个或多个函数通过运算符连接起来，形成一个新的函数。
例如，设函数f(x)和g(x)分别为sinx和cosx，则复合函数h(x)=f(g(x))=sin(cos(x))。
二、求解复合函数解析式的方法1.分解法分解法是将复合函数分解为若干个简单的单一函数，然后再根据各自的解析式进行求解。
例如，求h(x)=sin(cos(x))的解析式，可以分解为：h(x)=sin[cos(x)]=sin[sin(x)]。
2.替换法替换法是将复合函数中的某个变量用另一个变量替换，使得问题变得简单。
例如，求h(x)=cos(2x)的解析式，可以替换为：h(x)=cos(2x)=cos[2(x+π/2)]。
3.反函数法反函数法是将复合函数看作是原函数的反函数，然后求出原函数的解析式。
例如，求h(x)=ln(e^x)的解析式，可以看作是求e^x=ln(x)的反函数，得到h(x)=x。
4.洛必达法则洛必达法则是对复合函数求导的一种方法。
当复合函数的导数存在极限时，可以利用洛必达法则求解。
例如，求h(x)=(sinx)"的解析式，可以利用洛必达法则得到：h(x)=cosx。
三、实例分析求复合函数h(x)=sin(2x)的解析式。
解：利用分解法，可以将h(x)分解为h(x)=sin[2(x+π/4)]。
然后利用替换法，得到h(x)=sin[2(x+π/4)]=sin[2(x+π/4)]。
最后，利用反函数法，得到h(x)=2x。
四、注意事项1.在求解复合函数解析式时，要注意判断函数的连续性和可导性。
2.根据不同的函数形式，选择合适的求解方法。
3.在求解过程中，要注意单位的统一。
通过以上介绍，相信大家对复合函数解析式的求法有了更深入的了解。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的概念二、求解复合函数解析式的基本方法1.代换法2.反函数法3.隐函数法4.参数方程法三、求解复合函数解析式的应用1.实际问题中的应用2.数学理论中的应用四、结论正文：复合函数解析式是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的复合问题。
求解复合函数解析式是解决复合函数问题的关键。
本文将详细介绍求解复合函数解析式的基本方法及其应用。
首先，我们需要了解什么是复合函数解析式。
复合函数解析式是指，给定两个函数f(x) 和g(x)，求解一个新函数h(x)，使得h(x) = f(g(x))。
这里，f(x) 和g(x) 被称为内函数，h(x) 被称为外函数。
求解复合函数解析式的基本方法有以下几种：1.代换法：这是求解复合函数解析式最基本的方法。
首先，我们根据内函数g(x) 的解析式求出它的值域，然后用这个值域去替换外函数h(x) 中的自变量x，从而得到h(x) 的解析式。
2.反函数法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 互为反函数，那么我们可以直接利用反函数的性质，求出h(x) 的解析式。
3.隐函数法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 之间存在隐函数关系，那么我们可以通过求解这个隐函数关系，得到h(x) 的解析式。
4.参数方程法：如果内函数g(x) 和外函数h(x) 之间存在参数方程关系，那么我们可以通过求解这个参数方程，得到h(x) 的解析式。
在实际问题中，求解复合函数解析式可以帮助我们更好地理解复杂问题的内在关系，从而更好地解决问题。
在数学理论中，求解复合函数解析式也是解决许多数学问题的关键。
总的来说，求解复合函数解析式是数学中的一个重要问题，它涉及到函数的复合、反函数、隐函数等许多重要的数学概念。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的求法简介1.定义与概念2.求解方法二、代换法求解复合函数解析式1.代换法的原理2.具体求解步骤3.示例三、待定系数法求解复合函数解析式1.待定系数法的原理2.具体求解步骤3.示例四、常见问题与注意事项1.问题解析2.注意事项正文：复合函数解析式的求法是数学中的一个重要内容。
复合函数是指由多个函数嵌套而成的函数，解析式则是指将复合函数用公式表示出来的过程。
求解复合函数解析式的方法有多种，常见的有代换法和待定系数法。
代换法是求解复合函数解析式的一种基本方法。
其原理是根据已知函数的性质，通过变量替换将复合函数中的内部函数求解出来，再代入外部函数中求解解析式。
具体求解步骤包括：确定变量替换关系，求解内部函数，代入外部函数求解解析式。
例如，已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-2x+3，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以先令u=g(x)，即u=x^2-2x+3，然后将u代入f(u)中，得到f(g(x))=f(u)=2u+1=2(x^2-2x+3)+1=2x^2-4x+7。
待定系数法是另一种求解复合函数解析式的方法。
其原理是假设复合函数解析式为F(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n，然后通过已知条件求解待定系数，确定解析式。
具体求解步骤包括：确定解析式的一般形式，列方程求解待定系数。
例如，已知函数f(x)=x^2+2x+1，g(x)=2x-1，求解复合函数f(g(x))的解析式。
我们可以假设f(g(x))=ax^3+bx^2+cx+d，然后通过代入已知函数求解待定系数，得到解析式为f(g(x))=x^3+x^2+x-1。
在求解复合函数解析式时，需要注意一些常见问题。
例如，在代换法中，替换关系可能不唯一，需要根据题目条件选择合适的替换关系；在待定系数法中，需要根据题目条件选择合适的一般形式。
同时，求解过程中需要灵活运用代数运算和函数性质，以简化求解过程。
复合函数
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.形象的称u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数。
1、复合函数的解析式求解：已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f例2．已知 求；2、复合函数的定义域（也叫做抽象函数定义域）1).已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2).已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3).已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 例3. 函数 y=(x+1)f 定义域是[-2,3]，则=(2x-1)y f 的定义域是（ ） 例4 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 四、复合函数单调性问题：（1）．复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同增异减”.（2）、复合函数))y=的单调性判断步骤：fg(x(1、确定函数的定义域；将复合函数分解：)(xgu=。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的概念1.复合函数的定义2.复合函数解析式的求解意义二、求解复合函数解析式的方法1.代换法2.消元法3.因式分解法4.三角函数法三、实际应用案例1.案例一2.案例二3.案例三正文：复合函数解析式的求法是数学中的一个重要知识点，理解并掌握这个知识点对于解决更复杂的数学问题有着至关重要的作用。
复合函数解析式，简单来说，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例如，设f(x) 和g(x) 是两个函数，若g(x) 的输出是f(x) 的输入，则我们可以说f(x) 和g(x) 构成一个复合函数。
求解复合函数解析式，就是要求出这个复合函数的具体表达式。
在实际求解过程中，我们可以采用以下几种方法：1.代换法：假设已知函数f(x) 和g(x) 的解析式，我们可以通过代换法求解复合函数的解析式。
具体步骤是，先将g(x) 的解析式代入f(x) 中，然后解出新的解析式。
2.消元法：当复合函数的解析式中含有难以直接解出的变量时，我们可以采用消元法。
具体步骤是，将含有难以解出变量的项消去，从而简化解析式。
3.因式分解法：当复合函数的解析式中含有可以因式分解的项时，我们可以采用因式分解法。
具体步骤是，将可以因式分解的项分解出来，然后将其余部分合并，得到新的解析式。
4.三角函数法：当复合函数的解析式中含有三角函数时，我们可以采用三角函数法。
具体步骤是，利用三角函数的性质和公式，将三角函数相关的项化简，从而得到新的解析式。
在实际应用中，我们可以通过这些方法求解各种复杂的复合函数解析式。
例如，在求解某种物理现象的数学模型时，我们可能需要求解一个包含多个函数的复合函数解析式。
这时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，从而得到解析式，进一步帮助我们理解并分析该物理现象。
复合函数
复合函数的定义域一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案：[-1/2 ，0 ]例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。
答案：[-1 ，1]（2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。
例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。
答案：[ 1 ，3]（3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。
复合函数求解方法详解
复合函数求解方法详解复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个函数的组合而成。
在解决实际问题中，经常会遇到复合函数的求解问题，因此掌握复合函数的求解方法对于数学学习和实际应用都是非常重要的。
在本文中，我将详细介绍复合函数的求解方法，从简单到复杂，由浅入深地探讨这个主题，以便你能够更全面、深刻和灵活地理解这一概念。
首先，我们来回顾一下函数的基本概念。
一个函数可以理解为一种映射关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
我们通常用f(x)来表示函数f对自变量x的映射结果。
在复合函数中，我们将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而形成一个新的函数。
复合函数的求解方法可以通过以下步骤进行：1. 确定给定的函数和变量。
首先，我们需要明确给定的函数和变量。
假设我们有两个函数f(x)和g(x)，我们想要求解复合函数h(x) =f(g(x))。
2. 写出复合函数的表达式。
根据给定的函数和变量，我们可以写出复合函数的表达式。
在这个例子中，复合函数h(x)的表达式为h(x) =f(g(x))。
3. 将内层函数的结果代入外层函数。
根据复合函数的定义，我们需要先计算内层函数g(x)的值，然后将其代入外层函数f(x)中。
这样，我们就得到了复合函数h(x)的值。
4. 化简复合函数的表达式。
在进行计算时，我们可能需要化简复合函数的表达式。
这可以通过代数运算和函数性质的运用来实现。
化简后的表达式更容易理解和计算。
5. 检验复合函数的解。
最后，我们需要检验所求解的复合函数是否满足定义域和值域的要求。
我们可以通过计算一些特定输入值的结果来验证复合函数的解是否正确。
了解了复合函数的求解方法后，我们可以通过几个实例来进一步理解和应用这些方法。
例子1：求解复合函数h(x) = f(g(x))，其中f(x) = 2x，g(x) = x + 3。
首先，我们写出复合函数h(x)的表达式：h(x) = f(g(x)) = 2(g(x))。
复合函数
复合函数一、复合函数的定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y 关于x 的函数y=f[g(x)]叫做f 与g 的复合函数，u 叫中间变量，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点。
因此，根据复合函数结构，将她拆成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。
所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
二、求复合函数的定义域1、已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域由复合函数的定义可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x ∈(a,b)，求出f[g(x)]中a<g(x)<b 的解x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
例1 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x 的取值范围，确保两个函数中整体x ，2x 的取值范围相同。
解：依题意有1x 02≤≤，∴1x 1≤≤-。
∴)x (f 2的定义域为]1,1[-。
点评：如果函数)x (f 的定义域为A ，则函数)]x (g [f 的定义域是使函数A )x (g ∈的x 的取值范围。
2、已知)]x (g [f 的定义域，求)x (f 的定义域方法是：若f[g(x)]的定义域为x ∈(a,b)，则由a<x<b 确定g(x)的范围即为f(x)定义域。
例2 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。
解：∵)x 23(f -的定义域为]3,3[-，∴3x 3≤≤-，9x 233≤-≤-。
(完整版)求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。
例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法（方程组法）例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x 1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程 练习：已知定义在R 上的函数满足，求的解析式。
求函数解析式的6种方法
求函数解析式的6种方法一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数，指数函数，对数函数、幂函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 （1）已知二次函数()f x 满足(1)1f =，(1)5f -=，图象过原点，求()f x ；（2）已知二次函数()f x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()f x ．(3)已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式 (4)已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：（1）由题意设 2()f x ax bx c =++， ∵(1)1f =，(1)5f -=，且图象过原点，∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()32f x x x =-．（2）由题意设 2()(1)2f x a x =++，又∵图象经过原点，∴(0)0f =，∴20a += 得2a =-， ∴2()24f x x x =--．(3)解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0由(1)()1f x f x x +=++ 得22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得 ax 2+(2a+b)x+a+b+c=ax 2+(b+1)x+c+1得 212211120011()22a ab b a bc c b c c f x x x⎧=⎪+=+⎧⎪⎪⎪++=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩∴=+(4)解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 例2 (1)已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
复合函数求解析式解题技巧
复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。
对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。
一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。
二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。
1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。
3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。
4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。
需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。
即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。
三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法。
1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。
可以通过以下步骤进行求解。
将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。
需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。
2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。
例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。
高一数学备考专题：解析式及复合函数求法
2021年高一数学备考专题：函数解析式及复合函数定义域求法函数解析式的一般求法：直接法、配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法、赋值法。
一、直接法：范例展示一：f(x)3x1,g(x)x21,x0，求gf(x)的解析式。
2x,x0二、配凑法：〔策略：里面有什么外面就凑什么〕范例展示二：f(x 1x0)，求f(x)的解析式。
)x2x解：f(x1)(x1)22，x12x x试一试1：f(x)x22,求f(x)的解析。
三、换元法：范例展示三：f(x 1)x2x，求f(x1 )解：令tx1，那么t1，x(t1)2试一试2：①假设函数f(x)满足f(x)2x21,求f(x)的解析。
②f(x1)x，试求f(x)的解析式。
xx 2四、待定系数法：〔知道函数类型〕范例展示四：设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x)解：设f(x)axb(a0)，那么f[f(x)]af(x)ba(axb)ba2xabb试一试3：f(x)为二次函数，且f(x)2x,求fx的解析式。
五、解方程组法〔消参法〕范例展示五：设f(x)满足f(x)1),2f(x求f(x)解f(x)2f(1)x①，显然x0,将x换成1，得：f(1)2f(x)1②x x x x解①②联立的方程组，得：f(x)23x试一试4：①3f x f1x2，求f(x)的解析式；x②f(x)2f(1)3x24x5，试求f(x)；3x24x5，试求f(x)。
③f(x)2f ()六、赋值法：范例展示六：f(0) 1，对于任意实数 x、y，等式f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)。
解对于任意实数x、y，等式f(xy)f(x)y(2x y1)恒成立，不妨令x0，那么有f(y)f(0)y(y)1y(y1)y2y1再令y x得函数解析式为：f(x)x2x1试一试5：设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)，对任意的自然数a,b 都有f(a)f(b)f(ab)ab，求f(x)效果跟踪：求以下函数的解析式〔1〕f(x)是二次函数，假设f(0)0,f(x)f(x)1，求f(x)；〔2〕f(x1)x2x，求f(x)；3〕假设f(x)满足（4〕假设fx满足5〕一次函数复合函数的定义：1ax,求f(x)；f(x)2f()x，求f(x)；满足,求的解析式。
复合函数定义域解析式的求法
复合函数的定义域和函数解析式的求法一、复合函数的定义域1、复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x xg x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+2、复合函数的定义域求法例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤3325x ∴-<-≤137x -<≤ 1733x ∴-<≤所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤-⎥⎝⎦.练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤242311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1 例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a bm x a ，m a m a m +<-∴>,0mb m b +<-，又mb ma +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需mb m a -≤+，即20a b m-≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+ 3、总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：1.复合函数的定义与概念2.求解复合函数解析式的方法3.实例分析正文：1.复合函数的定义与概念复合函数是指由两个或多个函数通过一定的运算组合而成的新函数。
在复合函数中，最外层的函数称为外函数，内部函数称为内函数。
复合函数的定义可以用如下形式表示：f(g(x))，其中f(x) 和g(x) 分别为两个函数，x 为自变量。
2.求解复合函数解析式的方法求解复合函数解析式的主要方法有以下两种：(1) 直接法：通过直接求导的方式，将内函数的导数和外函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
具体步骤如下：1) 求内函数的导数：设内函数为g(x)，则g"(x) 为内函数的导数。
2) 求外函数的导数：设外函数为f(x)，则f"(x) 为外函数的导数。
3) 计算乘积：将内函数的导数和外函数的导数相乘，得到复合函数的导数，即f"(g(x)) * g"(x)。
(2) 链式法则：当复合函数的形式为f(g(x)) 时，可以使用链式法则求解复合函数的导数。
具体步骤如下：1) 将复合函数表示为外函数和内函数的组合：f(g(x))。
2) 对内函数g(x) 求导：设g"(x) 为内函数的导数。
3) 将内函数的导数带入外函数的导数公式：f"(g(x)) * g"(x)。
3.实例分析假设我们要求解复合函数f(g(x)) = (3x^2 + 2x + 1)"，其中g(x) = 3x^2 + 2x + 1。
根据链式法则，我们可以先求解内函数g(x) 的导数g"(x)，即g"(x) = 6x + 2。
然后，将g"(x) 带入外函数f(x) 的导数公式f"(x) = 6，得到f"(g(x)) = 6。
最后，将f"(g(x)) 和g"(x) 相乘，得到复合函数的导数：6 * (6x + 2) = 36x + 12。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法在数学中，复合函数是指两个或多个函数按照一定的方式进行组合形成的新函数。
求解复合函数的解析式是在数学问题中经常遇到的一个问题，本文将介绍求解复合函数解析式的方法和步骤。
什么是复合函数复合函数是由两个或多个函数按照一定的规则组合而成的新函数。
设有两个函数 f(x) 和 g(x)，则它们的复合函数可以表示为：(f o g)(x) = f(g(x))其中，(f o g)(x) 表示函数 f 和 g 的复合函数，也可以记作 f(g(x))。
复合函数的求解方法要求解复合函数的解析式，一般可以按照以下的步骤进行：步骤一：确定两个函数首先，我们需要确定两个函数f(x) 和g(x)。
这两个函数可以是任意的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
步骤二：将 g(x) 代入 f(x)接下来，我们要将 g(x) 代入 f(x) 的表达式中，即将 g(x) 替换 f(x) 中的 x。
这样可以得到一个新的函数，即复合函数 (f o g)(x)。
步骤三：化简复合函数根据具体的函数形式，我们可以对复合函数进行化简，以求得更简洁的解析式。
这包括合并同类项、化简分式、变换指数形式等。
常用的化简方法有代数运算和函数性质的运用。
步骤四：求解复合函数最后，我们得到了复合函数的解析式，可以将输入值代入复合函数中，计算出相应的输出值。
举例说明为了更好地理解复合函数的求解方法，我们举一个具体的例子来说明。
假设有两个函数 f(x) = 2x + 1 和 g(x) = x^2。
我们要求解复合函数 (f o g)(x)。
首先，将 g(x) 代入 f(x) 的表达式中，得到 (f o g)(x) = 2(g(x)) + 1。
然后，将g(x) 替换为 x^2，得到 (f o g)(x) = 2(x^2) + 1。
接下来，我们对复合函数进行化简。
根据乘法分配律，可以将复合函数化简为(f o g)(x) = 2x^2 + 1。
复合函数解析式的求法
复合函数解析式的求法摘要：一、复合函数解析式的求法简介1.复合函数的定义2.求解复合函数解析式的意义二、求解复合函数解析式的基本方法1.代换法2.链式法则3.反函数法4.隐函数法5.参数方程法三、实例解析1.代换法求解复合函数解析式2.链式法则求解复合函数解析式3.反函数法求解复合函数解析式4.隐函数法求解复合函数解析式5.参数方程法求解复合函数解析式四、总结与拓展1.复合函数解析式求解方法的优劣比较2.复合函数解析式求解在实际问题中的应用3.复合函数解析式求解的未来发展趋势正文：复合函数解析式的求法是高等数学中的一个重要内容，它涉及到函数的复合、解析式的转换等问题。
复合函数解析式的求解有助于我们更好地理解函数之间的关系，为解决实际问题提供有力的工具。
求解复合函数解析式的方法有很多，如代换法、链式法则、反函数法、隐函数法、参数方程法等。
这些方法各有优缺点，适用于不同的情况。
例如，代换法适用于较为简单的复合函数；链式法则适用于求解高阶导数；反函数法适用于求解隐函数的解析式；隐函数法则适用于求解隐函数的解析式；参数方程法适用于求解参数方程。
在实际求解过程中，我们需要根据函数的具体形式，灵活选择合适的方法。
以下通过几个实例来详细说明这些方法的求解过程：（此处省略实例解析部分，具体实例解析将按照提纲要求，详细描述各种方法的求解过程和应用）总之，复合函数解析式的求法是高等数学中的重要内容，掌握各种求解方法有助于我们更好地理解函数之间的关系，为解决实际问题提供有力的工具。
在实际求解过程中，我们需要根据函数的具体形式，灵活选择合适的方法。
复合函数解析式的几种求法
复合函数解析式的几种求法题型一已知函数y =f（x）的解析式，求函数y =f［g（x）］的解析式解法：将函数y = f（x）中的全部x都用g（x）来代换，即可得到复合函数y = f［g （x）］的解析式例1 若f（x）= 3x+ 1，g（x）= x2，则f｛f［g（x）］｝=解：f｛f［g（x）］｝= f［3g（x）+ 1］= 3［3g（x）+ 1］+ 1=9g（x）+ 4= 9x2+ 4.题型二已知函数y =f［g（x）］的解析式，求函数y =f（x）的解析式.解法：令t = g（x），由此解出x = h（t），求出以t为自变量的函数y = f（t）的解析式.因为y = f（t）和y = f（x）为同一函数，所以将函数y = f（t）中的全部t都换成x，即可得到函数y =f（x）的解析式例2 若f（3x + 1）= 6x +4，则f（x）=解：令t = 3x + 1，则x =(t- 1)/3 ，∴f（t）= 6 × (t- 1)/3 + 4=2t+ 2.∴f（x）= 2x + 2.题型三已知函数y =f［g（x）］的解析式，求函数y =f［h（x）］的解析式解法：利用题型二，由函数y = f［g（x）］的解析式，可求出函数y = f（x）的解析式，再利用题型一，由函数y = f（x）的解析式，可求出函数y = f［h（x）］的解析式.例3 若f（2x - 1）= 4x2 + 1，则f（x + 1）=解：令t = 2x - 1，则x =（t+ 1）/2，∴f（t）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1=（t+ 1）2+ 1，∴f（x）=（x + 1）2 + 1，∴f（x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1= x2 + 4x + 5.题型四利用待定系数法求函数的解析式例 4 若f（x）为一次函数，f（2x+ 3）+ f（- x）=x+ 2，则f（x）=解：令f（x）= ax+ b，则f（2x+ 3）= a（2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b，f（- x）= - ax + b.由f（2x+3）+ f（- x）= 3x+ 2知，（2ax+3a+ b）+（- ax+b）= 3x + 2，即ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然，a = 3，解得3a + 2b = 2 , b = -7/2.∴f（x）= 3x -7/2.题型五利用解方程组求函数的解析式.例5 若f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x)解析式解：f(-x)+2f(x)=x2+x (1)f( x)+2f(-x)=x2-x (2)2*(1)式-（2）式整理得：3f(x)=x2+3x所以f(x)=(x2+3x)/3例6 （2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线 ()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是( )A.21y x =-B.y x =C.32y x =-D.23y x =-+。