不等式性质的应用 (1)
《高考数学第一轮复习课件》第41讲 不等式的性质与基本不等式及应用
(4)a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１ 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
13 推论２ 推论２:a>b>0 an>bn .
n a > n b . 推论３ 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式 基本不等式 定理1:如果 、 ∈ 那么 那么a 定理 如果a、b∈R,那么 2+b2≥ 如果 且仅当a=b时取“＝”号). 时取“ 且仅当 时取
第41讲 41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组 的实际背景 的实际背景. 等关系，了解不等式 组)的实际背景 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 掌握并能运用不等式的性质， 掌握并能运用不等式的性质 握比较两个实数大小的一般步骤. 握比较两个实数大小的一般步骤 3.掌握基本不等式，会用基本不等 掌握基本不等式， 掌握基本不等式 式解决简单的最大（ 值问题. 式解决简单的最大（小）值问题
新课标高中一轮 总复习
理数
第六单元 不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系 不等关系. 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（ 的实际背景. 了解不等式（组）的实际背景 2.一元二次不等式 一元二次不等式. 一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. 模型 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. 应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 会解一元二次不等式， 会解一元二次不等式 次不等式，会设计求解的程序框图. 次不等式，会设计求解的程序框图
不等式的基本性质的应用
不等式的基本性质的应用江苏 宋文宝不等式的基本性质不仅是不等式变形的重要依据，也是解不等式（组）的基础，因此学好不等式的基本性质十分重要．下面通过几个例子一起来看看不等式的三条基本性质在解题中的应用，供同学们学习时参考．一、直接应用例1 若a ＞b ，用“＞”或“＜”填空：（1）2-a 2-b ；（2）a 2 b 2；（3）2a - 2b -． 分析：对照两边所产生的变化，正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键．解：（1）因为a ＞b ，根据不等式的性质1，不等式a ＞b 的两边都减去2，不等号的方向不变，所以2-a ＞2-b ；（2）因为a ＞b ，根据不等式的性质2，不等式a ＞b 的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以a 2＞b 2；（3）因为a ＞b ，根据不等式的性质3，不等式a ＞b 的两边都乘以21-，不等号的方向改变，所以2a -＜2b -． 点评：解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一个性质． 例2 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）2-x ＜3；（2）x 6＞15-x ；（3）x 4-＞4．分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”． 解：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以22+-x ＜23+，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去x 5，不等号的方向不变，所以x x 56-＞x x 515--，即x ＞1-；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜1-．点评：解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式的差别，从而采用适当的方法进行变形．二、逆向应用例3 如果关于x 的不等式x a )1(+＞1+a 的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞1-D ．a ＜1-分析：由不等式x a )1(+＞1+a 变形成为x ＜1，则需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数1+a ，即1+a ＜0，故可得a ＜1-．答案：D点评：逆用不等式的基本性质解题时，一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．请同学们自我评价一下，看有没有收获？1．如果x ＜y ，那么下列不等式①4-x ＜4-y ；②y x -＞0；③x 2-＞y 2-；④13-x ＞13-y 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知关于x 的不等式x a )1(-＞2的解集为x ＜a-12，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ＜1 C ．a ＞0 D ．a ＜0答案：1．B ；2．A。
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式作为数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域，它不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我将就不等式的性质和应用进行一些讨论和探究。
一、不等式的性质1.传递性：不等式是具有传递性的。
也就是说，如果a<b，b<c，那么就可以得到a<c。
例如：2<3，3<4，因此2<4。
2.加减性：不等式也有加减性质。
也就是说，如果a<b，则a+c<b+c；如果a>b，则a-c>b-c。
例如：2<4，那么2+1<4+1，即3<5。
3.乘性：不等式也有乘性质。
如果a<b且c>0，则ac<bc；如果a<b且c<0，则ac>bc。
例如：2<4，2×3<4×3，即6<12。
二、不等式的应用1.解不等式：在数学中，我们常常需要解决不等式问题，例如x+5>3。
这时我们可以先把等式左右移位，得到x>-2。
也就是说，x的取值范围是大于-2的所有实数。
2.证明不等式：在数学证明中，我们也经常需要利用不等式的性质证明某些结论。
例如，在证明柯西不等式时，我们可以利用平方和的不等式，证明其正确性。
3.优化问题：不等式还可以用于解决一些优化问题。
例如，在求一个函数的最大值或最小值时，我们可以从不等式的角度出发，利用其性质进行推导和求解。
总之，不等式在数学中起着非常重要的作用，不仅有着严密的证明方法，而且还具有许多重要的性质和应用。
因此，我们在学习数学的过程中，一定要加强对不等式的学习和理解，掌握其性质和应用。
不等式的性质1
不等式的性质1引言不等式是数学中的一种常见表达方式，用于表示两个数之间的大小关系。
在数学领域，研究和探索不等式的性质和应用具有重要的意义。
本文将介绍不等式的基本概念和性质，以及一些常见的不等式类型。
1. 不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中的一种表达方式，用于表示两个数之间的大小关系。
一个一般的不等式可以写成以下形式：a < b其中，a和b是任意的实数。
不等号可以表示大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）或小于等于（≤）的关系。
1.2 不等式的解集对于一个不等式，其解集是满足不等式关系的所有实数的集合。
例如，对于不等式x > 0，其解集为正实数集合。
2. 不等式的性质不等式具有一些特定的性质，这些性质对于理解和求解不等式问题具有重要意义。
在此介绍几个常见的不等式性质。
2.1 传递性不等式的传递性是指：如果 a < b，且 b < c，则有 a < c。
这意味着当两个不等式同时成立时，它们的传递性也成立。
例如，如果 a < b 且 b < c，我们可以得出 a < c。
这个性质在解不等式的过程中非常有用，可以帮助我们推导得出更多的不等式关系。
2.2 加法性和减法性对于不等式 a < b，我们可以通过在两边同时加上（或减去）同一个实数来保持不等式的性质。
•加法性：如果 a < b，则对于任意实数 c，有 a + c < b + c；•减法性：如果 a < b，则对于任意实数 c，有 a - c < b - c。
这意味着我们可以对不等式进行加减操作，而不改变原始不等式的性质。
2.3 乘法性和除法性对于不等式 a < b，我们可以通过在两边同时乘以（或除以）同一个正实数来保持不等式的性质。
•乘法性：如果 a < b，且 c > 0，则有 a * c < b * c；•除法性：如果 a < b，且 c > 0，则有 a / c < b / c。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的性质、解法及应用
xy 2 1 2 ＋4y －z＝0，则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值 z x y z
2
为(
) A．0 B．1 9 C. 4 D．3
【解析】选 B. 2 2 2 2 由 x －3xy＋4y －z＝0 可得 z＝x －3xy＋4y ，
xy xy 1 1 故 ＝ 2 ＝ ≤ ＝1，当且仅当 z x －3xy＋4y2 x 4y 2 4－3 ＋ －3 y x x 4y ＝ 即 x＝2y 时等号成立， 这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2. y x
因为 t>0，所以 0＜t≤ 从而 xy≤
S－ ab
2 .
，
ab＋S－2 abS
4
bx＝ay， 由 S＝2bx＋2ay＋4xy＋ab，
x＝ abS－ab， 2b 得 abS－ab y＝ . 2a
x1＋x2 4 3cos 2θ x3＋x4＝ ＋ ＝ ＝ ＝2 3cos 2θ x1 x2 x1x2 2
1 1 ＝－2sin 2θ 即 tan 2θ ＝－ 3. 又θ
π ∈ 2 ，所以
，π
2θ ∈(π ，2π )
5 5 5 从而 2θ ＝ π ， 即 θ ＝ π 满足①和②.故 θ ＝ π 3 6 6 为所求．
【解析】设方程 x2－4 3xcos 2θ ＋2＝0 的两根为
x1，x2，
方程 2x2＋4xsin 2θ ＋1＝0 的两根为 x3，x4. 1 2 cos 2θ ＞ ， 2 6 Δ 1＝48cos 2θ －8＞0， 由题意 即 2 1 Δ 2＝16sin 2θ －8＞0， 2 sin 2θ ＞ ， 2 ① 且 x1 与 x2 同号，x3 与 x4 同号 ② 由韦达定理，x1＋x2＝4 3cos 2θ ，x1x2＝2，
不等式的性质和应用
不等式的性质和应用不等式是数学中比较大小关系的一种表示形式，它在实际生活中和各个学科中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨不等式的性质以及它们在不同领域的应用。
一、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果a>b，b>c，则可以得出a>c。
这一性质在比较大小时起到了重要的作用。
2. 相加性对于任意的实数a、b、c，如果a>b，则a+c>b+c；如果a>b且c>0，则ac>bc。
这些相加性质可以方便地对不等式进行加减运算。
3. 相乘性对于任意的实数a、b、c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a>b且c<0，则ac<bc。
这些相乘性质在不等式的乘除运算中起到了重要的作用。
4. 反向不等式两边同时取反，不等号的方向也会改变。
例如，如果a>b，则-b>-a。
这一性质在求解不等式时需要注意。
二、不等式的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。
例如，用来描述消费者的预算约束条件、生产者的约束条件以及市场的供求关系等。
通过建立相应的不等式模型，可以对经济现象进行分析和预测。
2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着重要的应用。
例如，牛顿定律中的不等式关系、能量守恒定律中的不等式条件等，都可以通过不等式的运算和推导来得到。
3. 几何学中的应用在几何学中，不等式被广泛应用于证明和问题的求解中。
例如，通过不等式可以证明三角形的一些性质，如三角不等式；也可以用不等式求解最优化问题，如构造一个具有最大面积的矩形等。
4. 概率与统计学中的应用在概率与统计学中，不等式被用来描述和推导随机事件的概率关系。
例如，通过马尔可夫不等式可以得到随机变量的上界；通过切比雪夫不等式可以估计随机变量偏离其均值的程度等。
5. 计算机科学中的应用在计算机科学中，不等式在算法设计和复杂性分析中起到重要的作用。
例如，在排序算法中，通过不等式可以证明算法的正确性和效率；在算法复杂性的分析中，通过不等式可以得到问题的下界和上界等。
数学课件 人教a版必修1 第二章基本不等式的应用同步教学课件
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1
1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>
;
-
1
> ,则 a>0,b<0;
不等式的性质及应用
比较法需要熟悉常见的不等式证明技巧，例 如构造函数、放缩不等式等。
05
不等式的应用案例
最大利润问题
总结词
在生产和经营过程中，人们往往关注如何实现最大利 润。利用不等式性质，可以帮助我们制定合理的经营 策略。
详细描述
不等式的性质在这里发挥了关键作用。不等式可以描 述两个量之间的关系，帮助我们确定最大化利润的方 案。例如，不等式可以表示成本和收益之间的关系， 通过比较不同方案的成本和收益，可以确定最优方案 以实现最大利润。
对称性
总结词
不等式的对称性是指不等式两侧的符号可以互换，即如果 $a>b$，则 $b<a$。
详细描述
设 $a>b$，则 $b<a$。
02
不等式的应用
几何应用
平行线不等式
在三角形、四边形等平面图形中，平行线两侧的任意两点之间的距离相等。
三角形不等式
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
面积不等式
在同一个平面直角坐标系中，如果两个点在两个不同的直线的同一侧，那么连接这两个点的线段组成的三角形的面积比两 点连线组成的三角形的面积大。
函数最值
利用基本不等式求最值
对于形如一元二次函数或一元二次齐次函数 等可以通过配方法或换元法将其转化为一元 二次函数，然后利用判别式求出最值。
利用导数求极值
对于连续函数，可以利用导数求出极值点， 然后在极值点附近进行讨论，从而求出最值
柯西不等式的应用
在求解最值问题、优化问题、证明不 等式等问题中，可以通过柯西不等式 进行求解或证明。
04
不等式的证明方法
综合法
综合法是一种直接证明不等式的方法，通过已知条件和基本 不等式，将不等式两边进行变形，推导出待证明的不等式。
高中数学中的不等式性质
高中数学中的不等式性质不等式在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是解决数学问题的有效工具，还在其他科学领域具有广泛应用。
在学习不等式性质时，我们需要了解不等式的基本定义和性质，理解不等式的运算规则，并学习如何解决与不等式相关的问题。
下面将详细讨论高中数学中的不等式性质。
一、不等式定义不等式是数学中的一种大小关系表达式，用于描述两个数或多个数的大小关系。
常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
不等式在现实生活中有很多应用，比如描述温度、距离、价格等的大小关系。
二、不等式的性质1. 前述性质对于任意实数a、b和c，不等式具有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a是成立的。
（2）对称性：若a ≥ b，则b ≤ a；若a > b，则b < a。
（3）传递性：若a > b且b > c，则a > c。
2. 加减性在不等式中，如果两边同时加上（或减去）相同的数或同一个正数，不等式的方向不变。
举个例子：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。
3. 乘除性在不等式中，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。
举个例子：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。
需要注意的是，当乘以一个负数时，不等式的不等号方向会发生改变。
4. 平方性在不等式中，如果两边同时取平方，不等式的方向可能发生改变。
举个例子：若a > b且a > 0，则a^2 > b^2；但如果a < 0，则a^2 < b^2。
5. 初等不等式基于加减性、乘除性和平方性，我们可以通过变换不等式，将其化简为简洁的形式。
不等式除法时需要注意分母不能为零。
含有绝对值的不等式的性质及其应用
ʏ江苏省东台中学 戴向梅含有绝对值的不等式的性质||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |是处理相关的含有绝对值问题的一个重要工具,对于一些涉及绝对值的不等式的求解㊁证明及应用等都有一定的效能㊂一㊁不等式的求解例1 (2022年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(三))已知函数f (x )=|x -1|+|2x -m |(m ɪR )㊂(1)若m =-1,求f (x )ɤ2的解集;(2)若f (x )ɤ|x +1|的解集包含[1,2],求实数m 的取值范围㊂解析:(1)若m =-1,则f (x )=|x -1|+|2x +1|ɤ2㊂①当x ɤ-12时,f (x )=1-x -2x -1=-3x ɤ2,解得x ȡ-23,所以-23ɤx ɤ-12;②当-12<x ɤ1时,f (x )=1-x +2x +1=x +2ɤ2,解得x ɤ0,所以-12<x ɤ0;③当x >1时,f (x )=x -1+2x +1=3x ɤ2,解得x ɤ23,此时无解㊂综上可得,不等式f (x )ɤ2的解集为-23,0㊂(2)由题意可知,当x ɪ[1,2]时,不等式f (x )ɤ|x +1|恒成立,即x -1+|2x -m |ɤx +1恒成立,即|2x -m |ɤ2恒成立,即-2ɤ2x -m ɤ2恒成立,即2x -2ɤm ɤ2x+2恒成立,解得2ɤm ɤ4,所以实数m 的取值范围为[2,4]㊂点评:求解含有绝对值的不等式时,最常用的方法就是零点分段法或分段函数法,借助分离零点进行分类讨论,或借助分段函数表示进行数形结合,都可以达到求解含有绝对值的不等式的目的㊂涉及含有绝对值的不等式的求解,也是选修中不等式选讲部分最常考的基本题型之一㊂二㊁不等式的证明例2 (2022年河南省大联考高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x -4m |+x +1m(m ɪR )㊂(1)若m =1,求不等式f (x )>7的解集㊂(2)证明:当m >1时,f (x )+1m 2-m ȡ8㊂解析:(1)若m =1,则f (x )=|x -4|+|x +1|=-2x +3,x ɤ-1,5,-1<x <4,2x -3,x ȡ4㊂当x ɤ-1时,-2x +3>7,解得x <-2;当-1<x <4时,5>7,显然不成立;当x ȡ4时,2x -3>7,解得x >5㊂综上可得,不等式f (x )>7的解集为(-ɕ,-2)ɣ(5,+ɕ)㊂(2)由于f (x )=|x -4m |+x +1mȡ(x -4m )-x +1m=4m +1m,而m >1,可得4m +1m =4m +1m ,结合基本不等式可得f (x )+1m 2-mȡ4m +1m +1m 2-m =4m +1m +1m -1-1m =4m +1m -1=4(m -1)+1m -1+4ȡ24(m -1)ˑ1m -1+4=8,当且仅当4(m -1)=1m -1,即m =32时,71解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.等号成立,故当m >1时,f (x )+1m 2-m ȡ8成立㊂点评:证明含有绝对值的不等式,关键是借助含有绝对值的不等式的性质加以正确放缩处理,并结合不等式的性质㊁基本不等式或柯西不等式等加以综合与应用㊂证明不等式的常见方法与技巧往往渗透其中,起到引领与连接的作用㊂三㊁最值的确定例3 (2022年河南省新乡市高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x -1|+|x +2|㊂(1)求不等式f (x )ɤ5的解集;(2)若f (x )的最小值为m 2+2n 2,证明:m 2n 22m 2+n2ɤ13㊂解析:(1)由f (x )ɤ5,得|x -1|+|x +2|ɤ5㊂当x ɤ-2时,由1-x -x -2ɤ5,得x ȡ-3,所以-3ɤx ɤ-2;当-2<x <1时,由1-x +x +2ɤ5,得3ɤ5,所以-2<x <1;当x ȡ1时,由x -1+x +2ɤ5,得x ɤ2,所以1ɤx ɤ2㊂综上可得,不等式f (x )ɤ5的解集为[-3,2]㊂(2)由含有绝对值的不等式的性质可得f (x )=|x -1|+|x +2|ȡ|x -1-x -2|=3,所以f (x )的最小值m 2+2n 2=3㊂结合基本不等式可得2m 2+n 2m 2n 2=2n 2+1m 2=13㊃(m 2+2n 2)2n 2+1m 2=132m 2n 2+2n2m2+53ȡ13ˑ22m 2n 2ˑ2n 2m 2+53=43+53=3,当且仅当2m 2n 2=2n2m2,即|m |=|n |时,等号成立,所以m 2n 22m 2+n2ɤ13㊂点评:综合含有绝对值的不等式的性质,可以很好地确定一些相关不等式的最值,为问题的求解或进一步应用提供条件㊂借助含有绝对值的不等式的性质进行放缩处理,合理消参,为确定函数的最值提供方向与技巧㊂四㊁恒(能)成立问题的解决例4 (2022年广西柳州市高考数学三模试卷)已知函数f (x )=|x +a |-|x +a 2|(a ɪR )㊂(1)若a =2,求不等式f (x )<x 的解集;(2)若∃x ɪR ,∃a ɪ[0,2],使得f (2x )>m 能成立,求实数m 的取值范围㊂解析:(1)若a =2,则f (x )=|x +2|-|x +4|<x ㊂①当x <-4时,可得-x -2+x +4<x ⇒x >2,此时x ɪ⌀;②当-4ɤx <-2时,可得-x -2-x -4<x ⇒x >-2,此时x ɪ⌀;③当x ȡ-2时,可得x +2-x -4<x ⇒x >-2,此时x >-2㊂综上可得,不等式f (x )<x 的解集为(-2,+ɕ)㊂(2)依题意,f (2x )>m ⇒|2x +a |-|2x +a 2|>m ,又由于|2x +a |-|2x +a 2|ɤ|2x +a -2x -a 2|=|a -a 2|,故|a -a 2|>m ,令函数g (a )=|a -a 2|,a ɪ[0,2],画出函数g (a )的图像,如图1所示,结合函数g (a )的图像,可知g (a )m a x =g (2)=2,则有图1m <2,所以m 的取值范围为(-ɕ,2)㊂点评:综合含有绝对值的不等式的性质,对相关的函数或不等式进行必要的放缩与变形处理,为解决一些不等式的恒(能)成立问题奠定基础,实现问题的合理交汇与融合,特别是不等式与函数㊁方程等相关知识的交汇与应用等㊂结合含有绝对值的不等式的性质||a |-|b ||ɤ|a ʃb |ɤ|a |+|b |及其相关应用,在不等式的求解㊁不等式的证明及综合应用等方面,都能起到很好的作用㊂同时巧妙融入函数与方程思想㊁分类讨论思想等,通过正确的数学运算,巧妙的逻辑推理,实现综合与应用的目的㊂(责任编辑 王福华)81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数的不等式性质与应用
函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。
函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。
本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。
一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。
对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。
对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。
偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。
通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。
二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。
最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。
这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。
约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。
这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。
三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。
假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。
专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。
不等式的性质（1）同向不等式可以相加
不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。
不等式的性质 - 解析版
aa a
aa
同理②③都正确。
★☆☆练习 1.若 a b 0 ，则下列不等式中正确的是 ( )
A． 1 1 ba
B．| b || a |
C． b + a 2 ab
【答案】 C
D． ab b2
【解答】解：令 b = −1 ， a = −2 ，
则 C 正确， A ， B ， D 错误，
故选： C ．
反之若
a
b
0
，又不等式的性质，可得到
a b
1
。
故前者为后者的必要不充分条件
★☆☆练习 1． 如果 a, b 表示两个负数，且 a b ，则（ ）
A. b 1 a
B. a 1 b
C. 1 1 ab
【答案】 B
【解析】特殊值 a = −1,b = − 1 选 B ． 2
（三）特殊值法
D. ab 1
ab
a + b 0 ab ； | a || b | ， b + a 2 b a = 2 ，
a b ab ①③④正确，而②不正确；
故选：C．
★★☆7.已知 −1 x 4 , 2 y 3 .
(1)求 x − y 的取值范围．
(2)求 3x + 2 y 的取值范围．
【答案】（1） −4 x − y 2 ；（2）1 3x + 2 y 18
【答案】C
【解析】解：令 b = −1 ， a = −2 ，
则 C 正确， A ， B ， D 错误，
故选： C ．
★☆☆5．设 0 a b 1 ，则下列不等式成立的是 ( )
A． a3 b3
B． 1 1 ab
C． a2 ab
【答案】D
不等式性质的应用
集成电路设计
在集成电路设计中，利用不等式优化电路的性能参数，减小功耗 和提高电路的可靠性。
06
不等式在数学建模中的应用
线性规划
01
线性规划是应用不等式性质解决 实际问题的典型例子，通过建立 线性不等式约束和目标函数，可 以求解最优解。
不等式性质的应用
contents
目录
• 不等式的性质 • 不等式在数学中的应用 • 不等式在实际生活中的应用 • 不等式在科学实验中的应用 • 不等式在工程领域的应用 • 不等式在数学建模中的应用
01
不等式的性质
定义与性质
定义
不等式是数学中表示两个数或表达 式大小关系的式子，用“<”， “>”，“≤”或“≥”连接。
等。
多目标规划
多目标规划是不等式性质在解决多目标决策问题中的应用，它涉及到多个相互冲突 的目标和约束条件。
多目标规划问题通常需要权衡不同目标之间的利益关系，找到一个平衡点或一组满 意解。
多目标规划在环境保护、城市规划、交通管理等领域有广泛应用，例如环境影响评 价、土地利用规划、交通流量分配等。
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药物浓度与疗效关系
在药物研究中，药物的疗效与其浓度之间存在一定的关系，通过实 验可以验证这种关系，从而确定最佳的药物浓度。
生物种群数量变化
在生态学研究中，生物种群的数量变化与环境因素之间存在不等式 关系，通过实验可以验证这些关系。
物理实验
1 2 3
热力学实验
在热力学实验中，通过测量物质的热容、熵等物 理量，可以建立不等式关系，从而确定物质的热 力学性质。
电磁学实验
不等式的应用
不等式的应用不等式是数学中非常常见的一种关系表达式。
与等式不同的是，不等式中的两个数或两个算式之间不一定相等，而是通过比较大小来表示它们之间的关系。
不等式的应用十分广泛，涵盖了各个数学领域和实际生活中的许多问题。
本文将探讨不等式在数学和实际应用中的具体用途和相关概念。
一、不等式在数学中的应用1. 不等式的解集表示在数学中，我们通常使用符号 <、>、≤、≥ 来表示不等式的关系。
针对具体问题，我们需要找到不等式的解集表示，即满足该不等式关系的数的集合。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以通过移项、合并同类项等方法得到 x > 2，表示这个不等式的解集为所有大于2的实数。
2. 不等式的基本性质不等式具有许多重要的基本性质，利用这些性质可以帮助我们解决各种不等式问题。
其中一些常见的性质包括：(1) 基本性质1：若 a > b, 则有 a + c > b + c (c 为任意实数) 的性质(2) 基本性质2：若 a > b, c > 0, 则有 ac > bc 的性质(3) 基本性质3：若 a > b, c < 0, 则有 ac < bc 的性质利用这些基本性质，我们能够对复杂的不等式进行简化和推导，从而更好地理解和解决问题。
3. 不等式的解法解不等式是数学中的基本技能之一。
对于简单的不等式，我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法求解。
例如，对于不等式 2x + 3 > x + 5，我们可以将相同项合并得到 x > 2，得到该不等式的解集。
对于一些复杂的不等式，我们可能需要使用图像法、数轴法或者区间法等方法来解决。
二、不等式在实际问题中的应用1. 不等式的经济学应用不等式在经济学中有广泛的应用。
例如，需求与供给关系中的价格不等式问题，通过建立供求方程和价格不等式，可以得到市场均衡点的范围，为市场调控和决策提供依据。
不等式性质的应用
解：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元， 10000 a b a b 元 \ 片, 那么甲公司两次购芯片 的平均价格为
20000 2
20000 2 元 \ 片, 乙公司两次购芯片的平 均价格为 10000 10000 1 1 a b a b ab ab 由于 a, b不相等 , 故等号不成立 , 2
分析：设起步价内行驶里程为n千米，该城内从A地到B地的行驶距离为m千米，
分m与n情况讨论。
解： 设起步价内行驶里程为n千米，乘客租车行驶距离为m千米。
当m n时, 选起步价最低为 (c a)元比较合适 c ;
当m n时, 设m n x( x 0), x为超过起步价规定的行 , 乘客按方案一的 程 租车费用为P x 元, 乘客按方案二的租车费 用为P2 x 元, 则 1
1 1 1 1 2 2 ab 又 2 1 1 a b a b ab
a b 答：乙 公司平均成本较低。
例2、某城市出租车公司有两种计费方案可供乘客选择：第一种方案，
租用起步价a元，每千米价为b元的出租车；第二种方案，起步价为c(c<a) 元，但每千米价增加0.1元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内， 不同型号行驶的里程是相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方 案中的一种？
由于 为锐角 此时 最大, ,
即学生距墙壁 ab时看黑板的视角最大.
例5、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为 植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB 上，E在AC上。
（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
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1
不等式性质的应用
学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；
3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而
培养学生的逻辑能力.
学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：
题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.
1、已知），（），，（ππβπα2
2
0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2
的取值范围.
2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.
3、已知3286<<<<-b a ，
，求b
a
的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c
b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3)
；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2
2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33
b a
b a >> (2)；，则若2
2b a b a >>
(3) ；，则若2
20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >>
其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.
(1) ；，则若b
a b a 1
1<> (2)；，则若b a b a 110<<<
(3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1
10<>>
(5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1
1<>>>b b a b a b a
附加题：1、已知.,0,,,ad bc b
d
a c a
b R d
c b a >-<->∈证明，
且 2、证明：.0b
c b
a c a
b a
c ->->>>，则
若 不等式性质的应用
学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解；
3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而
培养学生的逻辑能力.
学习重点：不等式性质的应用. 学习任务：
题型一 利用不等式性质求变量的取值范围.
1、已知），（），，（ππ
βπα2
2
0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2
的取值范围.
2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围.
3、已知3286<<<<-b a ，
，求b
a
的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假.
1、给出下列命题：(1)；，则若c
b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3)
；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2
2
其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33
b a
b a >> (2)；，则若2
2b a b a >>
(3) ；，则若2
20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >>
其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________.
(1) ；，则若b
a b a 1
1<> (2)；，则若b a b a 110<<<
(3) ；，则若b
a b a 11
0<
>> (4) ；，则若b a b a 110<>>
(5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1
1<>>>b b a b a b a
附加题：1、已知.,0,,,ad bc b
d
a c a
b R d
c b a >-<->∈证明，
且 2、证明：
.0b
c b
a c a
b a
c ->->>>，则若。