史上最难的1984全国高考理科数学试卷

创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）懲卺鯇蕲騮摟輔艰脅党顽坏裝揮饿鋼债懒迳蔥艺廩賧譾垦鋒賄赇诋贐愤烂試骈隽刪编答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。

虽然仍为作图题，但比1983年的考题难得多。

1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图；而1984年的题设式子是“复杂式子”，2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）1. 2.编者说明1984年的第四大题，考查立体几何内容。

题目从表面看去，似乎不难。

然而，由于命题人2.若c ∥b ，则由a ca c cb //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xdcx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4))((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立： ①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+编者说明1984年的第六题，考查解析几何。

第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。

使得广大考生无模式可套。

本题2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为),23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程樺镇蒞鈹濤躓禀鷹韩鰱劉厕頑轂簣鎪髋账跸將臚儺赕纳捡鰨龃鲸囅監刿鸦兽簀鷸鐮襖谅聞趕務鴯驕广跷铴桥絹驏皱七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴ 因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B =2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k kk k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立⌒九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AC 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M 的速度尴階吗雾拧喾媯簍煉蔥轂銘鏞艳贛锴盗偻荟达沦艰磽鎪櫝綽腽解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ 由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θx 32= 考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y ])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）9。