Banach空间中κ-渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法

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Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近

Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。

不动点迭代总结

非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。

从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。

可以说成果丰富。

迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。

在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。

下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式：首先，我们先看下一算子的发展一算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。

2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。

Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理

Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理
卜香娟
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2012(028)003
【摘要】在Banach空间中,利用迭代方法,研究了满足一定条件的序压缩算子的一些性质,获得了一类序压缩映射的不动点定理,证明了相应的结果,推广和改进了原有的结论,使其应用范围更加广泛.
【总页数】9页(P333-341)
【作者】卜香娟
【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127
【正文语种】中文
【中图分类】O177.9
【相关文献】
1.Hilbert空间中一类强伪压缩映射的不动点定理与路径收敛 [J], 周冬梅;何中全
2.Banach空间中一类序压缩算子的不动点定理 [J], 彭荣
3.锥度量空间中一类压缩映射不动点定理 [J], 江秉华
4.Banach空间中α-序压缩映射的不动点定理 [J], 唐宏伟;朱传喜
5.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
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Banach空间中几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的迭代逼近

Banach空间中几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的迭代
逼近
宋云燕;陈汝栋
【期刊名称】《天津工业大学学报》
【年(卷),期】2005(024)006
【摘要】在Banach空间中引入了一类新的几乎渐进拟非扩张映像,人们熟知的非扩张映像类、渐进非扩张映像类以及渐进非扩张型映像类都是这种映像的特例.本文研究了用于逼近几乎渐进拟非扩张型映像的具混合误差的修改了的Ishikawa迭代序列收敛性问题,并给出了此迭代序列收敛到不动点的充分必要条件.本文的结果推广了Chang S S等人的最新结果.
【总页数】4页(P57-59,63)
【作者】宋云燕;陈汝栋
【作者单位】天津工业大学,理学院,天津,300160;天津工业大学,理学院,天
津,300160
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.几乎渐近拟非扩张型映象具混合误差的迭代逼近问题 [J], 冯先智;倪仁兴
2.Banach空间中的渐近拟非扩张型映象不动点的具混合误差的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.渐近拟非扩张型映象不动点具混合误差的迭代逼近 [J], 冯先智
4.Banach空间中渐近拟非扩张型映象不动点的具误差的Ishikawa迭代逼近 [J], 王绍荣
5.Banach空间中几乎渐近非扩张型映象具混合误差的迭代程序 [J], 姚永红;宋云燕;陈汝栋
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q-一致光滑Banach空间中非扩张映射和伪压缩映射混合迭代算法的强收敛定理

q-一致光滑Banach空间中非扩张映射和伪压缩映射混合迭
代算法的强收敛定理
潘灵荣;潘婵娟
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2024(37)3
【摘要】在q-一致光滑一致凸Banach空间中,研究非扩张映射和伪压缩映射的混合迭代算法,在适当参数控制条件下,证明了由这种新的算法产生的序列强收敛于以上两个映射的公共不动点,且该不动点是一类变分不等式系统的解,所得结果推广和改进了一些最近文献的相应结论.
【总页数】15页(P825-839)
【作者】潘灵荣;潘婵娟
【作者单位】浙江开放大学温岭学院;浙江水利水电学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.q-一致光滑、一致凸Banach空间中关于变分不等式问题和严格伪压缩映射的不动点问题的粘性迭代算法
2.Banach空间中关于非扩张映射的修改的Mann迭代算法的强收敛定理
3.一致光滑Banach空间中Ф-半压缩映射具误差Mann迭代收敛定理的注释
4.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射
的Ishikawa迭代过程5.q-一致光滑和严格凸的Banach空间中的无穷个严格伪压缩映射的混合迭代算法
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Banach空间中平衡问题与渐进非扩张映像的迭代

Banach空间中平衡问题与渐进非扩张映像的迭代朱寿国【摘要】在Banach空间中,引入了一种混合投影迭代算法用来构造平衡问题与渐进非扩张映像不动点问题的公共元,并利用广义投影算子证明了此迭代算法生成的序列强收敛于这两个问题的公共元.【期刊名称】《宜宾学院学报》【年(卷),期】2011(011)012【总页数】4页(P25-27,39)【关键词】平衡问题;混合投影迭代算法;广义投影;渐进非扩张映像【作者】朱寿国【作者单位】南京师范大学泰州学院,江苏泰州225300【正文语种】中文【中图分类】O177.91设C是实Banach空间X的非空闭凸子集.对于二元函数f∶C×C→R，考虑下面的平衡问题：寻找z∈C，使得f(z，y)≥0，∀y∈C.用 EP(f)表示平衡问题的解集，即称 T是非扩张映像，如果‖Tx－Ty‖≤‖x－y‖，∀x，y∈C;称T是渐进非扩张映像［1］，如果存在序列{kn}⊂［1，+∞)且=1，使得最近，Xu［2］在Banach空间中利用广义投影关于非扩张映像引入了一个迭代序列，并证明了一些强收敛定理.为寻求非扩张映像的不动点问题和广义平衡问题的公共元，Kamraksa［3］等利用度量投影引入了一个迭代算法，并在适当的条件下证明了此迭代算法生成的序列强收敛于非扩张映像不动点问题和广义平衡问题的公共元.受以上文献的启发，本文在一致凸和一致光滑的Banach空间中，利用广义投影对平衡问题和渐进非扩张映像提出了一种混合投影迭代算法，并在适当条件下证明了由该迭代算法生成的序列强收敛于平衡问题和渐进非扩张映像的公共元.在定理1中取f=0，则有如下定理：定理2 设C为一致凸、光滑Banach空间X的非空有界闭凸子集，T∶C→C是具序列{kn}的渐进非扩张映像，{xn}是由下列算法生成的序列：【相关文献】［1］ Goebel K，Kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings［J］.Proc Amer Math Soc，1972，35(1)：171 －174.［2］ Xu H K.Strong convergence of approximating fixed point sequences for nonexpansive mappings［J］.Bull Austral Math Soc，2006，74：143 －151.［3］ Kamraksa U，Wangkeeree R.Existence and iterative approximation for generalized equilibrium problem for a countable family of nonexpansive mapping in Banach spaces ［J/OL］.Fixed Point Theory and applications 2011，2011：11.doi：10.1186/1687 －1812 －2011 －11.［4］ Alber Y I.Metric and generalized projection operators in Banach spaces：properties and applications［M］.New York：Dekker，1996.［5］ Bruck R E.On the convex approximation property and the asymptotic behaviour of nonlinear contractions in Banach spaces［J］.Israel J Math，1981，38：304 －314. ［6］ Blum E，Oettli W.From optimization and variational inequalities to equilibrium problems［J］.Math Student，1994，63：123 －145.［7］ Takahashi W，Zembayashi K.Strong and weak convergence Theorems for equilibrium problems and relatively nonexpansive mapping in Banach spaces［J］.Nonlinear Anal，2009，70：45 －57.。

Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近

Lipschitzф—半压缩映象的不动点迭代逼近
周海云
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1999(20A)003
【摘要】设X为一致光滑的Banach空间，K为X的非空凸子集，T：
K→KLipschitzφ半压缩映象，设和为[0，1]中的实数列且满足一定条件，则Ishikawa迭代序列强收敛于T的唯一不动点。

【总页数】4页(P399-402)
【作者】周海云
【作者单位】石家庄军事工程学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
2.非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义;宋晓光;万美玲;李丹
3.Lipschitz ψ-半压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 张树义
4.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
5.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩非自映象不动点的迭代逼近 [J], 张芳;向长合因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近

Banach空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近何晓林【期刊名称】《泸州医学院学报》【年(卷),期】1999(022)006【摘要】目的：研究Ｂａｎａｃｈ空间中伪压缩型映象不动点的迭代逼近。

方法：运用不等式（２．５）分析带有误差项的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列在一定条件下的收敛性。

结果：得到了关于强伴伪压缩多值映象的Ｉｓｈｉｋａｗａ序列收敛于其相关点的一个定理，这一定理抗议了Ｊ．Ｃ．Ｄｕｎｎ等人的结果。

结论：设Ｘ是一致光滑的实Ｂａｎａｃｈ空间，映象Ｔ：Ｘ→２＾ｘ关于ｘ是强半伪压缩的，且Ｒ（Ｔ）＝∪ｘ∈ｘＴｘ有界，又设｛ａｎ｝，｛βｎδ＝「０，１」满足条件αｎ，βｎ→０，（ｎ→∞），∑ｎ＝１＾∞αｎ＝∞；序列｛ｕｎ｝，｛ｖｎ｝，＝Ｘ满足条件∑ｎ＝１＾∞｜｜ｕｎ｜｜〈∞，｜｜ｖａ｜｜→０（ｎ→∞），则发中下定义的Ｉｓｈｉｋａｗａ型迭代序列｛ｘａ｝。

ｘ０∈Ｘｙｎ（１－βα）ｘａ＋βｎξｎ＋ｖｎ，ξｎ∈Ｔｘｎ，ｎ≥０ｘａ＋１＝（１－ａｎ）ｘａ＋ａｎηａ【总页数】4页(P471-474)【作者】何晓林【作者单位】泸州医学院数学教研室【正文语种】中文【中图分类】O177.91【相关文献】1.迭代逼近Banach空间中有限个强伪压缩映象的公共不动点 [J], 张云艳2.迭代逼近Banach空间中强伪压缩映象的不动点 [J], 张云艳3.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒4.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩型映象不动点的迭代逼近 [J], 谷峰;韩旸;刘彩平5.Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题 [J], 吴先兵因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中φ-渐进非扩展映像不动点的迭代构造

文章编号：１０～３７（０８１０６ — ６０９１２２０）０ — ０５０
Ｂｎｃａａｈ空间中９渐进非扩展映像不动点的迭代构造一
管维荣，周海云
（械工程学院基础部，河北石家庄军０００）５０３
定义ＱｃＥ— ｃ为Ｑ－一－，称Ｑ：ｃｚｚ并。ｃ为从Ｅ到ｃ上的广义投影算子．Ｅ＝Ｈ为Ｈｉｅｔ当＝＝ｌｒｂ空间时，。为从 Ⅳ 到ｃ上的距离投影算子．Ｑ设Ｅ为实自反、严格凸、光滑Ｂｎｃａａｈ空间，ｃ为Ｅ中的非空、、闭凸子集，那么广义投影算子
中图分类号：０１７９７．１
１预备知识
１７年Ｇｅｅ和ＫｉＥ提出渐进非扩展映像以来，９２６ｂｌｒｋ引起了国内外数学家的广泛兴趣．获得并了许多重要的结论．详见Ｒｈａｅ［ＸＺｏ等著作．ｏｄｓ，ｕ引，ｈｕ但是在Ｂｎｃａａｈ空间中，当映像或定义
设Ｅ为Ｂｎｃａａｈ空间，为Ｅ中的子集，丁：Ｋ称Ｋ— Ｋ为渐进非扩展映像，如果对Ｆ（ ≠ 丁）
声，１一１ — ｏ）有（Ｔｚ，（ｏ，ｐ， ” ）（ｚ）ＶＰ ∈ Ｆ（，ｐ，，丁）３Ｋ．２∈
Ｅ × Ｅ— Ｒ定义为：
（，ｚ－）一ｌｚｌ一２－Ｊ）＋ｌ，Ｖ－Ｙ∈ ＥＩ－Ｉ＜，ｙｚＩｌｚＩＹ，

非线性算子的不动点的迭代逼近

非线性算子的不动点的迭代逼近
本文研究了Banach空间中非线性算子的不动点的迭代逼近问题.它一直是非线性逼近理论中所研究的最重要的问题之一.多年以来,有许多作者用Mann和Ishikawa迭代法去逼近非线性算子的不动点.本文一方面继续讨论了Banach空间中非扩张非自映象、渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近.另一方面,我们继续研究了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近问题.所得结果推广、改进与发展了许多作者的相应结果.全文共分为四章.第一章前言介绍了Banach空间中非线性算子不动点问题的研究简况及本文作者的主要工作.第二章讨论了渐近伪压缩映象的迭代序列强收敛的充要条件.第三章讨论了一致L-Lipschitz映象对公共不动点的迭代逼近.第四章讨论了Banach空间中非扩张非自映象不动点的粘滞迭代逼近.。

强伪压缩映射不动点的迭代逼近(英文)

强伪压缩映射不动点的迭代逼近(英文)
程莉
【期刊名称】《四川大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(38)6
【摘要】在实一致光滑的Banach空间上 ,用逼近方法证明了关于两个多值强伪压缩映射不动点的带误差的Ishikawa迭代序列的收敛性 .
【总页数】4页(P820-823)
【关键词】强增生映射;强伪压缩映射;Ishikawa迭代序列;迭代逼近;不动点
【作者】程莉
【作者单位】四川大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近[J], 张石生;谷峰
2.LP空间中的Lipschitz强伪压缩映射的不动点的迭代逼近 [J], 赵亚莉;刘继英
3.强伪压缩映射不动点的迭代逼近 [J], 程莉
4.任意Banach空间强伪压缩映射不动点的迭代逼近 [J], 薛志群
5.逼近极值强伪压缩映象唯一公共不动点的带误差迭代序列(英文) [J], 李军;丁可;梁振刚
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一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近?

一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近？王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【摘要】本文在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的强收敛性问题。

在去掉有关文献的较强条件的情况下，证明了相关结果仍然成立。

所得结果不但改进和推广了一些文献的相关结果，而且也改进了定理的证明方法；也使定理的应用范围更为广泛。

【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】7页(P852-858)【关键词】一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象;Ishikawa迭代序列;不动点【作者】王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明【作者单位】大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000;大理学院数学与计算机学院,大理 671000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言文中处处设E是一实的Banach空间，其对偶空间记为E∗,(·,·)表示E与E∗之间的配对，F(T)表示T的不动点集．映象是由下式定义的正规对偶映象定义1 设D是E的非空集．T:D−→D是一映象．1) T称为一致L-Lipschitz的，如果存在L>0，使得2) T称为渐近非扩张的，如果存在一数列使得3) T称为渐近伪压缩的，如果存在一数列使得对任意的x,y∈D，存在j(x−y)∈J(x−y)，有由定义不难看出：若T是具数列的渐近非扩张映象，则T是一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象，其中渐近非扩张映象必是渐近伪压缩映象；而渐近伪压缩映象不一定是渐近非扩张映象．定义2 设D是E的非空闭凸集，是一映象，是任一给定的点，是D中的有界序列；都是[0,1]中的数列，则：1) 由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Ishikawa迭代序列特别地，当=0,∀n≥0．由(1)式定义的序列{xn}称为T的修正的Ishikawa迭代序列;2) 当=0,∀n≥0．由下式定义的序列{xn}称为T的具误差的修正的Mann迭代序列曾六川在文献[1]中，在任意实的Banach空间中研究了用具误差的修正的Ishikawa与Mann迭代程序来逼近一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象的不动点的强收敛性问题，其结果在许多方面改进和拓展了文献[2–6]中的相应结果．本文在去掉文献[1]中定理1.1至定理1.3中的条件(iii)：和条件(iv)：以及较强且较难验证的条件“T的值域D(T)有界”的情况下，得到了相同的结果．所得结果不但改进和推广了文献[1–6]的结果，而且也改进了定理的证明方法，使定理的证明更简洁和严谨．以下引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用．引理1[7]设E是一实的Banach空间，则有其中是正规对偶映象．2 主要结果定理1 设D是E的非空闭凸集，T:D−→D是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足下列条件：(iii) 若存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中，由xn+1和q所确定的元，则{xn}有界．证明已知都有界，设由(1)式及T的一致LLipschitz性有由于当时，故存在正整数n0，对任意的n ≥ n0，有从而，对任意的n ≥ n0，由(4)式有由(3)式有从而据ϕ的单调增加性有其中下面我们用数学归纳法证明，对任意的n≥n0，有事实上，n=n0时已经成立；假设对任意的有只需证对任意的n≥也成立．用反证法，设据ϕ的单调增加性有其中由(5)式，对任意的n≥n0，有由引理1及(1)式，有现在估计(9)式右边各项，由于设其中据(8)式，右边第四项对任意的n≥n0，应有其中右边第三项，由(3)式，有对于右边第二项，对任意的n≥n0，有而由(1)式及∥xn−q∥≤ 2ϕ−1(a0),∀ n ≥ n0，有将(13)代入(12)，对任意的n≥n0，有其中将(10),(11)及(14)式代入(9)式，则对任意的n≥n0，有由上式及可得，对任意的n≥n0，应有其中由于故不妨设由(7)式有从而由(15)式，对任意的n≥n0，有因为故存在使得于是，从(16)可得故从而有与条件相矛盾．故{xn−q}有界，从而{xn}有界．定理2[8]设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．由定理2立即可得：定理3 设D是E的非空闭凸集，是具数列1的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(1)式定义的具误差的修正的Ishikawa迭代序列，且满足与定理1相同的条件(i)–(iii)，则{xn}强收敛于q．定理4 设D是E的非空闭凸集，是具数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象．设q∈F(T)是一给定的点，{xn}是由(2)式定义的具误差的修正的Mann迭代序列，且满足下列条件：(iii) 存在一单调增加的函数ϕ:[0,+∞)−→[0,+∞),ϕ(0)=0，使得其中是按渐近伪压缩映象定义中由xn+1和q所确定的元，则{xn}强收敛于q．参考文献：[1]Chang S S.Iterative approximation problem of f i xed points for asymptotically non-expansive mappings in Banach spaces[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2001,24(2):236-241[2]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2001,129(3):845-853[3]Zeng L C.On the strong convergence of iterative method for non-Lipschitzian asymptotically pseudocontractive mappings[J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2004,27(3):230-239[4]Goebel K,Kirk W A.A f i xed point theorem for asymptotically non-expansive mappings[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1972,35(1):171-174[5]Kirk W A.A f i xed point theorem for mappings which do not increase distance[J].The American Mathematical Monthly,1965,72(5):1004-1006 [6]Schu J.Iterative construction of f i xed points of asymptotically non-expansive mappings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1991,158(2):407-413[7]Chang S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysis[J].Nonlinear Analysis-Theory,Methods&Applications,1997,30(7):4197-4208[8]王绍荣，等.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的Ishikawa迭代逼近问题[J].系统科学与数学，2010,30(9):1206-1213 Wang S R,et al.The Ishikawa iterative approximation problem of f i xed points for uniformly L-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2010,30(9):1206-1213。

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用——摘要本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach 空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。

——关键词Banach空间压缩原理完备性不动点——引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。

在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。

这正是抽像的结果。

=的求解问题，是分析学的各不动点定理实际上是算子方程Tx x个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。

——正文⒈Banach空间压缩映像定理及其应用随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。

几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。

但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。

而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。

例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。

定义（压缩映像）设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T 是X上的一个压缩映像。

具误差隐格式迭代逼近严格伪压缩映像族公共不动点 (英)

271Vol.27,No.1 20072JOURNAL OF MATHEMATICAL RESEARCH AND EXPOSITION Feb.,2007 Article ID:1000-341X(2007)01-0098-09Document code:AImplicit Iteration Process with Errors for Common Fixed Points of a Finite Family of Strictly PseudocontractiveMapsSU Yong-fu1,LI Su-hong1,SONG Yi-sheng1,ZHOU Hai-yun2(1.Department of Mathematics,Tianjin Polytechnic University,Tianjin300160,China;2.Department of Mathematics,Shijiazhuang Mechanical Engineering College,Hebei050003,China)(E-mail:suyongfu@)Abstract:Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F= N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},{αn}⊂[0,1]be a real sequence,and{u n}⊂K be asequence satisfying the conditions:(i)0<a≤αn≤1;(ii) ∞n=1(1−αn)=+∞;(iii) ∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned byx n=αn x n−1+(1−αn)T n x n+u n−1,n≥1,where T n=T n mod N,then(i)lim n→∞ x n−p exists for all p∈F;(ii)lim n→∞d(x n,F)exists,where d(x n,F)=inf p∈F x n−p ;(iii)lim inf n→∞ x n−T n x n =0.Another result is that if{αn}∞n=1⊂[1−2−n,1],then{x n}is convergent.This paper generalizesand improves the results of Osilike in2004.The ideas and proof lines used in this paper arediﬀerent from those of Osilike in2004.Key words:strictly pseudocontractive mappings;implicit iteration process with error;com-monﬁxed points;convergence theorems.MSC(2000):47H05;47H10;47H15CLC number:O177.911.IntroductionLet E be a real Banach space and J denote the normalized duality mapping from E into 2E∗given by J(x)={f∈E∗: x,f = x 2= f 2},where E∗denotes the dual space of E and ·,· denotes the generalized duality pairing.A mapping T with domain D(T)and range R(T)in E is called strictly pseudocontractive in the terminology of Browder and Petryshyn[1] if there existsλ>0such thatT x−T y,j(x−y) ≤ x−y 2−λ x−y−(T x−T y) 2,(1)No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps99100Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27αn u n −(1−αn)λαnu n−1 .From condition(i),we havex n−p ≤ x n−1−p +1αu n−1 ,by Lemma OOA,we obtain conclusion(ii).It follows from conclusion(i)that,{x n}is bounded,then there exists a constant M>0, such that for any n≥1,we have x n−p ≤M.Therefore,it follows from Inequality(5)and condition(i)thatx n−p ≤ x n−1−p +1M(1−αn)λ x n−T n x n 2λan j=1u jNo.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps101M∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2≤ x0−p +1M∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2<+∞.(7)By condition(ii),we knowlim infn→∞x n−T n x n =0.This completes the proof of Theorem1.In Theorem1,let{u n}={0}and the condition(i)be substituted by the condition +∞n=1(1−αn)2<+∞,then the result of Theorem1is the theorem of Osilike-1[10].Theorem2Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F=∩N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},{αn}⊂[0,1]be a real sequence,and{u n}⊂K be a sequence satisfying the conditions:(i)0<a≤αn≤β<1;(ii) ∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned by(4).Then(i)lim n→∞ x n−p exists for all p∈F;(ii)lim n→∞d(x n,F)exists,where d(x n,F)=inf p∈F x n−p ;(iii)lim n→∞ x n−T n x n =0.Proof It follows from Condition(i)and Inequality(7)thatλM∞n=1(1−αn) x n−T n x n 2<+∞.(8)Thus from Inequality(8)we have that lim n→∞ x n−T n x n =0.The proofs of conclusions(i) and(ii)are the same as Theorem1.This completes the proof of Theorem2.Theorem3Let E be a real Banach space and K be a nonempty closed convex subset of E. Let{T i}N i=1be N strictly pseudocontractive self-maps of K such that F=∩N i=1F(T i)=∅,where F(T i)={x∈K:T i x=x},and let{αn}∞n=1be a real sequence satisfying the conditions:(i)0<α<αn<1;(ii) ∞n=1(1−αn)=+∞;(iii) +∞n=1 u n <+∞.Let x0∈K and{x n}∞n=1be deﬁned by(4).Then{x n}converges strongly to a commonﬁxed point p∈F if and only if lim inf n→∞d(x n,F)=0.Proof Suppose that{x n}converges strongly to a commonﬁxed point p∈F.In view of the fact that0≤d(x n,F)≤ x n−p ,we see thatlim infn→∞d(x n,F)=0.102Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27u n+m−2 + x n−p nα1≤No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps1031−Lβn y n−1−x n−1 +γn M104Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.271−2βn x n−1−p 2−2λβn1−2βn=[1+αn2+2βn−11−2βn[αn x n−1−T n x n +γn u n−T n x n ]2+2γn M2+γn2M2λ] x n−1−p 2−λβn x n−1−T n x n 2+2γn M2+γn2M2λ<∞and ∞i=12γn M2+γn2M2λ.Hence∞n=1βn x n−1−T n x n 2<∞.(15) From implicit iteration process(9),we obtain thatx n−x n−1 ≤βn T n x n−x n−1 +γn u n−x n−1 .x n−x n−1 2≤βn2 T n x n−x n−1 2+2βnγn T n x n−x n−1 u n−x n−1 +γn2 u n−x n−1 2.(16) Since{x n}is bounded,it follows from(16)thatx n−x n−1 2≤βn2 T n x n−x n−1 2+γn M3+γn2M3.(17)Sincex n+m−x n−1 ≤n+m−1i=n−1x i+1−x i ,it follows from Lemma OAA thatx n+m−x n−1 2≤n+m−2i=n−12i x i+1−x i 2+2n+m−1 x n+m−x n+m−1 2.(18)Combining(17)and(18),we obtain thatx n+m−x n−1 2≤n+m−2i=n−12iβi+12 x i+1−x i 2+n+m−2i=n−1(γi+1M3+γi+12M3)+2n+m−1βn+m2 T n+m x n+m−x n+m−1 2+γn+m M3+γn+m2M3.(19)No.1SU Y F,et al:Implicit iteration for commonﬁxed points of strict pseudocontractive maps105106Journal of Mathematical Research and Exposition Vol.27。

Banach空间中渐近伪压缩映象不动点在具误差的修正的Ishikawa迭代逼近问题

ＡｂｔａｔＥ．．Ｏｆｅｓｒｃ：Ｕｏｄｕ’ ｅｕｌｓＭａｎＩｅａｉｅｓｑｕｎｅａｒｘｍａｉｎｐｒｂｌｍｆｆｘｅＳｒｓｔｉｎｔｒｔｖｅｅｃｐｐｏｉｔｏｏｅｏｉｄｐｎｔｆｒＬ— ｐｃｉｚａａｙｐｏｉａｌｐｅｄｏｏｎｒｃｉｅｏｉｓｏＬｉｓｈｔｉｎｓｍｔｔｃｌｙｓｕｃｔａｔｖｍａｐｉ．ＴｈｐｕｐｓｏｔｉｐｎｇｅｒｏｅｆｈｓｓｕｄｓｔｎｖｓｉａｅｔｓｒｎｇｏｖｅｇｎｅｐｒｂｌｍｏｔｔｙｉｏｉｅｔｇｔｈｅｔｏｃｎｒｅｃｏｅｆｈｅｍｏｄｆｅｓｉｗａｉｅａｉｅｉｉｄＩｈｋａｔｒｔｖｐｏｃｓｅｔｒｏｓｆｒａｒｉｔｎｉｅｏｎｔ－ｐｓｈｚａｓｍｐｏｉａｌｓｕｄ — ｒｅｓｓｗｉｈｅｒｒｏｐｐｏｘｍａｉｇｆｘｄｐｉｓｏｆＬ＿Ｌｉｃｔｉｎａｙｔｔｃｌｙｐｅｏ— ｃｎｔａｔｖｅｍａｐｉｇｉｅｌＢａａｈｓｃｎＥ．．ｏｅＳｒｓｔＴｈｅｕｔｅｔｎＵ．ｏｒｃｉｐｎｎｒａｎｃｐａｅｉＵＯｆｄｕ’ ｅｕｌ．ｅｒｓｌｘｅｄｓＥ．０ｆｅｕ’ ｅｕｌ．ｏｄＳｒｓｔＫｅｒｓ：ｙｗｏｄｕｎｉｏｍｌＬｉｓｈｔｉｎｍａｉｇ；ｓｆｒｙＬ— ｐｃｉｚａｐｐｎａｙｍｐｔｉａｌｐｅｄｏｒｃｉｅｍａｉｏｔｃｌｙｓｕｏｃｎｔａｔｖｐｐｎｇ；ｍｏｄｆｅｓｋｗａｉｅａｉｅｓｑｎｃｔｒｏｒｉｉｄＩｈｉａｔｒｔｖｅｕｅｅｗｉｈｅｒｓ

关于Banach空间中增生和伪压缩型映象迭代序列的收敛性问题

近年来，多作者研究了强伪压缩映象的不动点及强增生映象方程（）（）许２和３的解的迭代逼近问题（，如，Ｉ２４—１，２～１］．见例［，，１１５）
其中ｋ∈ （，）是一常数；０１
３Ｔ称为伪压缩的，．如果对任意的，Ｙ∈ Ｄ（）存在Ｊ —ｙＴ．（）∈ Ｊ —Ｙ使得（）（ —Ｔ，一ｙ）≤ ｛一ｙＪＴ，（）Ｊｊ；４Ｔ称为强伪压缩的，果对任意的，．如ｙ∈ Ｄ（）存在（ — ＹＴ，）∈ Ｊ —Ｙபைடு நூலகம்使得（）
且与下面的初值问题的求解问题紧密相关：
＋Ｔ（）＝０（）＝ Ⅱ ． Ⅱｆ，ｏ０（）１
Ｂｏｄｒｒｅ。明，ｗ证如果Ｔ是局部Ｌｐｃｉ的增生映象，方程（）可解的．ｉｓｈｚｔ则１是
另外，ｅ］ｇ在［］Ｄｉｉｍｎ２中还证明，如果ＴＥ— Ｅ是连续的强伪压缩映象，Ｔ唯一的不动：则有点．如果ＴＥ— Ｅ是连续的强增主映象，Ｔ是满射的，：则即对任一，∈ Ｅ，方程
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应用数学和力学．２第３卷第４期（０２年４月）２０
ＡｐｌｄＭａｈｍａｉｓａｄＭｅｈｉｓｐｉｔｅｔｎｃａｃｅｃｎ
应用数学和力学编委舍编重庆出版杜出版
文章编号：００８７２０）５一２１０－８（０２ｔ３９ｔ０ＪＭ４

强伪压缩映像的不动点的迭代逼近

强伪压缩映像的不动点的迭代逼近
金卫雄
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(023)001
【摘要】在一般Banach空间中证明了无界区域上的Lipschitz强伪压缩映像的Ishikawa迭代序列强收敛于该映像的不动点,并给出了强增生算子方程Tx=f的迭代解.
【总页数】4页(P15-18)
【作者】金卫雄
【作者单位】连云港教育学院数学系,连云港,222006
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群
2.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯
3.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群
4.Hilbert空间中φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 张明虎;周和月
5.Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 刘丽莉;师涌江;刘桂霞
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渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近

渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近
向长合
【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(032)005
【摘要】设C是实Banach空间E的非空凸子集,T:C→C是具有不动点p的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象,{xn}是带误差的修改的Ishikawa迭代序列,在存在严格增加函数φ:[0,∞)→[0,∞),φ(0)=0,使得〈Tnxn+1-p,j(xn+1-p)〉≤kn‖xn+1-p‖2-φ(‖xn+1-p‖) (V)n≥0的条件下,对参数作了一些限制,证明了带误差的修改的Ishikawa迭代序列强收敛于T的不动点p.
【总页数】4页(P6-9)
【作者】向长合
【作者单位】重庆师范大学,数学与计算机科学学院,重庆,400047
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近? [J], 王绍荣;何彩香;杨泽恒;熊明
2.赋范线性空间中有限簇渐近一致Φ-伪压缩映象的不动点迭代逼近 [J], 阿力非日;张艳
3.有限个渐近伪压缩映象的公共不动点迭代逼近 [J], 叶晓磊;杨奎;张悦
4.非Lipschitz的渐近弱伪压缩映象不动点的迭代逼近 [J], 沈霞;孟京华;刘文军
5.赋范线性空间中渐近伪压缩映象不动点迭代逼近的充要条件 [J], 唐玉超;刘理蔚因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｔｒｔｏｎｍｅｈｏｏｉｅｏｉｓｏｆｑｕｓ— ｔｉｔｐｅ — ｏｒｃｉａｐｉｓｒｃ：ｓｄｏｈｅｉｅａｉｔｄｆｒｆｘｄｐｎｔａｉｓｒｃｓｄｏｃｎｔａｔｏｎｍｐｎｇ，ａｎ
２１拄０２
河北大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｂｉＵｎｖｒｉｙ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎｏｒａｆＨｅｅｉｅｓｔＮａｕａｉｎｅＥｄｔｏ）Ｓ
２２０１
第３２卷
第２期
Ｖｏ．Ｏ１３２Ｎ．２
（）４２ｏｘ，）ｏ（２＋ｏｚ）２ — ｚ．一．．）（一ｘ，）（，＋＜，２，，＞
定义２１设Ｘ是实自反、＿］光滑、严格凸的Ｂｎｃａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的一个非空闭凸子集，义投影算子广
Ｉｃ＋ｐＩｃ）ｏｙ，，Ｃ．Ｉｚ）（Ｉｚ， ≤ （）ｙ∈
引理２７设Ｘ是自反的严格凸且光滑的Ｂｎｃ＿］ａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的非空闭凸子集， ∈Ｃ，。ｚ∈Ｘ，。ｚ一Ｉ（当且仅当（ｏ， —Ｊ０ ≥ＯＹ∈ＣＩ）ｃｚ— Ｊ＞，．
可得，，ｙ一Ｉ２Ｉ一【。（Ｊ）１７Ｉ．。ｌｌＩＹ定义３］称Ｔ： — Ｃ为渐近ｋ一伪压缩映像，果Ｖｚ［Ｃ拟如 ∈Ｃ， ∈Ｆ（ ≠ ，１ｌ，Ｅ（，）ｐＴ）电 ≥ ，ｍｋ一１ｋＯ１ｉ
在文献［］１的基础上，引进Ｋ渐近拟伪压缩算子，修正了迭代算法，明了在自反的、＿并证严格凸、滑的光
Ｂｎｃａａｈ空间中，近拟伪压缩映像不动点迭代算法的强收敛定理．渐
１预备知识
Ｆ（一｛丁）ｚ∈Ｘ：工：ｚ）示映像的不动点集， “ ＋和 “ 丁表用二 ” — ” 别表示序列的“ 收敛 ” 强收分弱与“ 敛 ” ｘ为Ｘ的对偶空间，．正规对偶映像．：２定义为：，Ｘ一Ｊｚ：｛∈Ｘ：Ｊ：Ｉ。Ｉ。，２（）（＞ＩＩ一ｌＩ｝Ｖ．∈Ｘ．，ｌＩｚ【Ｊ７（）２
ｉｅａｉｌｏｒｔｔｒｔｏｎａｇｉｈｍｏｒｆｘｄｐｎｓｏ－ｓｍｐｔｉａｌａｉｐｅｄ — ｏｎｒｃｉｎｍａｐｎｇｉｎｃｐａｅｆｉｅｏｉｔｆｋａｙｏｔｃｌｙｑｕｓｓｕｏｃｔａｔｏｐｉｎＢａａｈｓｃｓｉｒｏｓｄ，ｔｎａｓｒｎｏｎｒｎｅｔｏｒｍｓｐｒｖｅｙｕｓｎｈｓｐｏｐｅｈｅｔｏｇｃｖｅｇｅｃｈｅｅｉｏｄｂｉｇｔｅｍｏｄｆｅｌｒｔｍ．Ｔｈｏｎｒ — ｉｉｄａｇｏｉｈｅｋｎｗｅｌｔｄｒｓｔｒｘｔｎｄｄａｅｅｕｌｓａｅｅｅｅ．
ｎ — －。。
满足：
（Ｐ，）走（，＋ｋ（ ≤ Ｐ）ｏｘ，）．（）５
当ｋ一０时，Ｔ为渐近拟非扩张映像．
性质（称空间Ｘ满足性质（，Ｋ）Ｋ）如果Ｖ｛｝ＣＸ， ∈Ｘ，ｚ－ｚ并且Ｉｌ当＿，＝Ｉｌ一
注１［在自反的、滑的Ｂｎｃ间Ｘ中，：２映像为单值的、光ａａｈ空．Ｘ一，次连续的满值映像．定义１３设Ｘ是实光滑的Ｂｎｃ间，＿］ａａｈ空Ｃ是Ｘ的非空闭凸子集．义泛函定ｏｘ，一Ｉ。（Ｊ）ｌ，Ｙ∈Ｘ．（）ＩＩ一２，ｙ＋ｌＩＺ，Ｉｚｌｙ根据的定义，以得到以下结论：可１（１ — ｌ）≤ｏｘ）（１）Ｉｌ＿Ｉ。（， ≤ ＩｌｚＹＪ＋ｌ）；ＩｌＩ。Ｙ（）３
２主要结果
定理２设Ｘ是自反的严格凸且光滑的Ｂｎｃａａｈ空间，并且空间Ｘ和ｘ满足性质（，是Ｘ中的非Ｋ）Ｃ空闭凸子集，ｃＴ： —Ｃ为闭的渐近是拟伪压缩映像，一假设Ｆ（是有界的，Ｆ（ ≠ ，Ｔ）且Ｔ）构造下列迭代算法：
・１５１・
其中是 ≥０ｌ１一，ｍｋ一，ｉ收敛于Ｐ一Ⅱ （）。Ｆ。．
Ｍｖ丁）（，），ＥＦ（，ｚ ≤ ， ∈ （，）则由式（）产生的序列｛强ｋ０１．６所ｚ）
分７步完成定理的证明．第１步：Ｆ是闭凸的．
第３卷２
定理１设Ｘ是自反的严格凸并且光滑的Ｂｎｃａａｈ空间，间Ｘ及其对偶空间Ｘ都具有性质（，空Ｋ）Ｃ是Ｘ的非空闭凸子集．ＣＴ： —Ｃ为严格拟伪压缩映像．ｚ）｛由迭代格式（）１生成，中ｋ０１，序列｛其 ∈［，）则ｚ）强收敛到某一点Ｐ＝ｎｃｚ）ｏｎ（ｏ．
第一作者：陈东青（９２一，，宁锦县人，械工程学院副教授，要从事非线性泛函分析研究１６）男辽军主
Ｅ —ｍａｌｌｌｈｎ２０＠ｓｈ．ｏｉ：ｉｉｏｇ０３ｏｕｃｍｕ
河北大学学报（自然科学版）
ｃｎｒｃｉｎｍａｉｇｉｎｃｐｃｓｏｔａｔｏｐｐｎｎＢａａｈｓａｅ
ＯＨＥＤｏｎｑｉｇ，ＨＥＢｉＬＩ — ｏｇＮｇ— ｎｎ，ＵＬｉｈｎ
（ｐｒｍｅｔｏｓｃＣｏｒｅ，ＯｒｎｎｅＥｎｉｅｒｎｌｅｅｈｊｚｕｎ５０３ＤｅａｔｎｆＢａｉｕｓｓｄａｃｇｎｅｉｇＣｏｌｇ，Ｓｉａｈａｇ０００，Ｃｈｎ）ｉｉａ
工ｉ— ＯＩ．
ｌ时，ｌｌ有Ｉ一Ｘ
注４关于性质（的更多内容，详见参考文献［］Ｋ）可６．
引理１７设Ｘ是自反的严格凸且光滑的Ｂｎｃ Ⅲ ］ａａｈ空间，Ｃ是Ｘ中的非空闭凸子集， ∈Ｘ，足ｏｙＶ满（，
ｚ ∈ Ｃ，。
ＣｌＣ， —
Ｘｌｍ．。， — （）
（）１
ｃ｛Ｃ一ｌｆ
ｚ＋一皿（ｏ，１Ｘ）
）Ｘｇ，～） ≤ 一（－￣Ｊｌｌｎ．ｚｆ，
并且证明了下面的强收敛定理．
收稿日期：０１０ —１２１ — ９０基金项目：国家自然科学基金资助项目（１７０３；械工程学院基金项目（ＪＸｌＯ３１０１５）军ＹＪＭｌ０）
首先，设序列｛ＣＦ（）且Ｐ一（Ｐ｝丁， —ｃ）由于丁是ｋ一近拟伪压缩映像， ×，３渐故
Ｏ（Ｔ＇ ≤ 志０（，＋ｋ（Ｐ，ｐ））ｏｐ，）．＞尼（，＋ｋ（Ｔ＂． ≤ ）ｏｐ，ｐ）
ｚ０Ｃ， ∈
Ｃ１Ｃ，：
ｚ： Ⅱｃ（。，：ｚ）＝
（）６
ｃ
ｚｎ＋１
ｃ（
（），ｚｏ
≤
（一ｚ～
一．，
＋
第２期
陈东青等：ａａｈ空间中一近拟伪压缩映像不动点的迭代算法Ｂｎｃ渐
再由式（）４得
Ｏｐ，４Ｏ（户）２一Ｐ，Ｐ— Ｊ（）－Ｐ，＋＜Ｊ
化简可得
，
） ≤
（户～Ｐ，Ｐ一．Ｊ，
）＋
），
上式两边同时取极限，由于Ｆ是有界的，则定义的泛函亦有界，因此（，是一有界泛函，而）从）．一ｏ由于： —Ｘ是单值的、次连续的，｛Ｔｐ｝故Ｊ＂是有界的．Ｐ一（一。）及｛由。，
Ｂｎｃ间中一ａａｈ空渐近拟伪压缩映像不动点的迭代算法
陈东青，斌，立红何刘
（械工程学院基础部，北石家庄军河０００）５０３
摘要：在严格拟伪压缩映像不动点的迭代算法基础上，出了Ｂｎｃ给ａａｈ空间中渐近忌拟伪压缩映像不一动点的迭代算法，改进了算法，并证明了一个强收敛定理，扩展了已知的相关结果．
Ｋｅｏｄ：Ｂｎｃｐｃｓ一ｓｍｐｏｉｌｕｓｐｅｄ —ｏｔａｔｎｍａｐｎ：ｇｎｒ［ｅｙｒｙｗｒｓａａｈｓａｅ；是ａｙｔｔａｌｑａｉｓｕｏｃｎｒｃｉｐｉｇｅｅａｉｄｈｂｉｃｙｏｚｄ
Ⅱ ： — Ｃ定义为：ｃｚ＝｛ ∈Ｃ：（０ｚ一ｍｉ（，）２ｃｚＩ（）０Ｉｏｘ，）ｎ２ｚ， ∈Ｃ｝．