高考易错题举例解析修订版

高考易错题举例解析修

订版

IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】

高考易错题举例解析

高考数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略.也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误.本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助,加强思维的严密性训练.

● 忽视等价性变形，导致错误

⎩⎨⎧>>00y x ?⎩⎨⎧>>+00xy y x ，但⎩⎨⎧>>21y x 与⎩⎨⎧>>+23

xy y x 不等价 【例1】已知b

x

ax x f +

=)(，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围. 错误解法 由条件得⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≤≤+≤-62230

3b

a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③

①×2－②得 3

2

338-≤≤-

b ④ ③+④得

.3

43)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b

x

ax x f +

=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.

正确解法 由题意有⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：

)1(9

5)2(91633)3(f f b a f -=+

=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得

3

37)3(316≤

≤f . 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题.

● 忽视隐含条件，导致结果错误

【例2】(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小

值是不存在)D (18

)C (8

)B (4

49

)A (-

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当.

利用一元二次方程根与系数的关系易得：，，62+==+k k αββα

有的学生一看到4

49

-

，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和,这正是思维缺乏反思性的体现,如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案.

原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ? .32≥-≤k k 或

当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；

当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18，这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确.

(2)已知14

)2(2

2

=++y x ，求22y x +的取值范围.

错误解法 由已知得1216422---=x x y ,因此3

28

)38(3121632222++-=---=+x x x y x ,

∴当38

-=x 时，22y x +有最大值283 ，即22y x +的取值范围是(－∞, 283 ).

错误分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值.

事实上，由于14)2(22

=++y x ? 4

1)2(22

y x -=+ ≤1 ? －3≤x ≤－1， 从而当x =－1时2

2

y x +有最小值1，∴ 2

2

y x +的取值范围是[1, 28

3

].

● 忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误

【例3】已知：a ＞0，b ＞0 ，1=+b a ,求22)1

()1(b

b a a +++的最小值.

错误解法 411)1()1(222222++++=+++b

a b a b b a a ≥42

2++ab ab ≥8414=+⋅ab ab , ∴22)1

()1(b

b a a +++的最小值是8.

错误分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式22b a +≥ab 2，第一次等号成立的条件

是2

1

=

=b a , 第二次等号成立的条件是ab

ab 1

=

，显然，这两个条件是不能同时成立的,因此，8不是最小值.

正确解法

由ab ≤41)2(

2=+b a 得：1－ab 2≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221

b

a ≥17，

∴原式≥

21×17+4=225 (当且仅当2

1

==b a 时，等号成立)， ∴22)1

()1(b b a a +++的最小值是252 .

● 不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求n a .

错误解法 1111222)12()12(----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a

错误分析 显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a .

因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形，即：⎩⎨⎧∈≥==),2()

1(1N n n S n S a n n .

(2)实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2

1

2=

有两个公共点. 错误解法 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 2

1

2=

联立，消去y ， 得 )0(01)2

1

2(22≥=-+--x a x a x ①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>->-=∆.

01021202a a ， 解之得817=a .

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点.

要使

圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程