随机信号分析与处理ppt检测理论

,
i=1,2,...,N
H1: zi=A+vi ,
i=1,2,...,N
其中vi是服从均值为零、方差为2的高斯白噪声序列，假定参
数A是已知的，且A>0，先验概率未知，C00=C11=0，C01=C10=1，
求极大极小准则判决式。
当C00=C11＝0、C10=C01＝1时，上式为：
( p1*) ( p1*)
统计平均代价:
11
C
Cij P(Di , H j ) min
i0 j0
代价因子Cij表示Hj为真，判决为Hi所付出的代价。
判决表达式为：
假设检验问题转化似然比检验
C
C10P(H0 ) C11P(H1)
似 然Z0 P比(H1)(Cff0((1zz||CHH1110))) f
(z
H| H1 1) H0
H1 P(H1 | z) 1 P(H0 | z)
H0
似然比
H1
门限
(z)
f (z | H1)
f (z | H0)
P(H0 ) P(H1)
0
H0
假设检验问题转化为似然比与门限进行比较的问题，称为
似然比检验
6
例1：二元假设：
H1：z=1+v
H0：z=v
其中v是均值为零、方差为1的正态随机变量；假定P(H0)=P(H1)
漏警概率(常用表示):
PM
P(D 0
/ H1)
Z0 f (z | H1)dz
8
最大后验概率准则产生的总的错误概率Pe为:
Pe P(D1, H0 ) P(D0, H1) PF P(H0 ) PM P(H1)
检测器的性能可以通过计算判决可能产生的错误概率来评估。
9
2、贝叶斯准则
已知信号的先验概率和代价因子，使统计平均代价最小。
26
信号一般可表示为:
s(t) s(t;1,2 , ,M ) s(t;θ)
1,2 , ,M 为信号s(t)附带的随机参量或未知的非随机 量. 以二元信号检测问题为例.
H0 : z(t) s0 (t;φ) n(t) H1 : z(t) s1(t;θ) n(t)
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假定已知概率密度 f (φ) , f (θ) ,若信号s0及s1的先验概率q、p及 代价因子均已知，且代价因子与 φ, θ 无关:
信号检测的统计推断模Sa型y H1
假设检验的实质是对观测空间进行划分。
3
借助假设检验进行统计判决，步骤如下: 作出合理的假设； 选择进行判决时所遵循的判决准则； 获取观测样本； 作出具体判决。
4
1、最大后验概率准则
在观测到数据z的情况下，可以计算出后验概率P(H1|z)和 P(H0|z)，对二个后验概率进行比较，如果P(H1|z)>P(H0|z)， 有理由认为，之所以得到这样的观测值z，最有可能是事件H1 发生引起的，则判决公式为：
1 ez2 / 2dz 0.1 2
21
例3：在两种假设下观测的概率密度如图所示，给定虚 警概率为0.2，求纽曼-皮尔逊准则的判决表达式。
f (z | H1)
1
f (z | H0)
1/2 1/2
-1
00
z 1
两种假设下观测的概率密度
22
1、接收机工作特性
H0: zi=vi
,
H1: zi=A+vi ,
11
3、最小总错误概率准则
在已知信号的先验概率 P(H1) 和 P(H0 ) 的条件下，使总 错误概率最小：
Pe P(D1, H0 ) P(D0, H1) PF P(H0 ) PM P(H1) min
常应用在数字通信中。相当于贝叶斯准则中
C00＝C11=0, C01=C10=1。
H1
最大后验概率判决式
判决规则为：
(z)
0
P(H0 ) P(H1 )
H 0 假设检验问题转化似然比检验12
例3：二元假设：
多次测量问题
H1：z=A+vi i=1,2,...,N
H0：z=vi i=1,2,...,N
其中A为常数，vi是均值为零、方差为 2的高斯白噪声； 先验
概率相等，作出最小总错误概率准则的判决。求总错误概率。
➢ H1 和 H0 是互不相容的，这是最简单的二元假设问题， 对两种假设进行判决称为二元假设检验问题；
➢ 更一般的问题是有M个假设，称为M元假设问题，对M 个假设进行判决称为M元假设检验问题。
2
信源s P(s);(H0,H1)
观测空间Say H0
混合
Zx
判决准则
z
P(x|s) Z1
n
Z0
P(n)
判决 (H0,H1)
为：
fA (a)
1
2 A
exp
a2
2
2 A
(2)假定参数A是未知的，但已知A的符号（A>0或者A<0），试判断 UMP检验是否存在。 (3)假定观测数据量N＝1，求广义似然比检验判决表达式。
32
1、最大后验概率准则
P(Hk | z) P(Hi | z)
Hk 成立
如果先验概率都相等
P(Hi | z)
可得贝叶斯判决规则为:
H1
(z)
(C10 C00 )q
(C01 C11 ) p
其中:
H0
(z) {θ} f (z | H1, θ) f (θ)dθ f (z | H1) {φ} f (z | H0, φ) f (φ)dφ f (z | H0 )
复合假设检验变换为简单的假设检验.
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例1 考虑一个复合假设检验问题：
f (z | Hi )P(Hi ) f (z)
1 M
f (z | Hi ) f (z)
f (z | Hk ) f (z | Hi )
Hk 成立
最大似然准则 33
2、贝叶斯准则
M 1 M 1
M 1 M 1
C
Cij P(Di , H j )
Cij P(Di | H j )P(H j )
N
f (z | H0)
i 1
1 2
exp
zi2 22
N
f (z | H1)
i 1
1 2
exp
(
zi A)2 22
z
H1 H0
1A 2
13
4、极大极小准则（Minimax Criterion）
已知代价因子，不知先验概率时，可以采用极大极小准则： 根据最不利的先验概率确定门限的一种贝叶斯判决方法。
i=1,2,...,N i=1,2,...,N
其中v是均值为零、方差为1的正态随机变量； 代价函数及
先P验F 概Q率 已N知， 作出贝叶斯准N 则Q的1(判PF决) 。
N ( A)
PD Q
PD Q Q1(PF ) N d
d A/
给定一定的信噪比，画出PD-PF曲线称为接收机工作特性（ROC）
H0 : z b v H1 : z a v
其中v~N(0,2)，a、b均为随机变量，且a~N(1,1)，b~N(-1,1)， a和b分别与v相互独立，假定两种假设为真的概率分别为 P(H0)、P(H1)，求最小错误概率准则的判决表达式。
29
假定随机参量的先验概率 f (φ) , f (θ) 未知,或二者是未知的非随
8.1 假设检验的基本概念 8.2 判决准则 8.3 检测性能及其蒙特卡罗仿真 8.4 复合假设检验 8.5 多元假设检验
1
一、假设检验
假设：对可能的判决结果的陈述； 雷达目标检测：H1 : “Target present” H0 : “Target not present”
假设检验：对几种可能的假设作出判决；
23
d=1
d=0.5
d=0.2
PD
d=0
PF
N=8
24
给定虚警概率，检测概率与信噪比之间的关系曲线称为 检测器的检测性能曲线 。
PD
102
103104
PF 105
信噪比d(dB)
检测性能曲线
习题：8.8、8.10
25
8.4 复合假设检验 1 复合假设检验 • 在假设检验问题中,对于已知信号的假设称为简 单假设； • 对于含有未知参量信号的假设称为复合假设; • 对于未知参量信号的检测是复合假设检验.
给出最大后验概率判决式，并确定判决性能。
H1
exp
z
1 2
1
H0
H1
1 z
2
H0
7
对于二元假设检验，有四种可能结果
H0为真，判H0成立 H1为真，判H1成立 H0为真，判H1成立 H1为真，判H0成立
——正确判决 ——正确检测 ——虚警（第一类错误） ——漏警（第二类错误）
发现概率或检测概率： PD P(D1 / H0 ) Z1 f (z | H1)dz 虚警概率(常用表示)：PF P(D1 / H0 ) Z1 f (z | H0 )dz
19
z
似然比
计算器
门限比 判决 较器
0
最佳检测器结构
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例2：设有两种假设，
H0: z=v H1: z=1+v 其中v~N(0,1)，试根据一次观测数据z，规定=0.1， 应用奈曼-皮尔逊准则给出最佳判决及相应检测概率。expz1 2H1 H0
z
H1 H0
ln 1 2
f (z | H0 )dz
P(H1 | z) 1 P(H0 | z)
判决H1成立
P(H1 | z) 1 P(H0 | z)
判决H
成立
0
H1 P(H1 | z) 1 P(H0 | z)