二平稳过程相关函数的性质

1 2 2 1 2 2
(E X (t ) ) ( E X (t ) X (t 0 ) )
1 2 1 2 2
(R X (0)) (E X (t ) X (t 0 ) ) 0 ( 0 )
由 0的任意性，RX ( )是连续函数.
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,
b
a

b
a
f (s) f (t ) RX (s, t )dsdt存在
f (t ) X (t )dt存在
又 E[ g (s) X (s)ds f (t ) X (t )dt ]
a a
* * lim g (sk ) f (tl )E[ X (sk ) X (tl )]sk tl 0 k 1 l 1 n n
n n k l
2 2
0
, tn T 及复数1 , 2 ,
X
, n有
R
k 1 l 1
(tl t k ) 0
证明 (1) RX (0) E[ X (t )X (t )]
E X (t )
2 2 2
D[ X (t )] mX mX 0
(2) RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X (t )X (t )] RX ( )
(3) RX ( ) E[ X (t )X (t )]
E X (t ) X (t ) (E X (t ) ) (E X (t ) )
1 2 2 1 2 2
( RX (0)) ( RX (0)) RX (0)
b
b

b
a

b
a
RX (t s) f (t ) g (s)dsdt
2. 联合平稳的平稳过程及其互相关函数 的性质
定义 设{X(t),t∈T}, {Y(t),t∈T} 是两个平稳 过 程 .若对任意的 s,t ∈ RXY (s, t ) RXY (t s) ，T,有
或对t T , R, 有RXY (t , t ) RXY ( )
RX (s, t )在(t, t )处二阶混合偏导数存在,且连续
{X (t ), t T }均方可导
(2) 若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程 {X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.且
( ) mX (t ) 0, RX ( ) RX
证明 (2) mX (t)=E[ X (t )]
RX (s, t )在(t, t )处一阶,二阶导数存在
RX ( ) RX (0) RX (0, ) RX (0, 0) lim lim 0 0
RX ( s , t ) t
s t
即 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在.
同理可证 RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.
证明 t T ,
E X (t ) X (t ) E[( X (t ) X (t ))( X (t ) X (t ))]
2
RX (t , t ) RX (t , t ) RX (t, t ) RX (t, t ) RX (0) RX ( ) RX ( ) RX (0)
二 平稳过程相关函数的性质
一般用数字特征描述随机过程比用分 布函数相对简便.
对于平稳过程,描述其统计特性的数 字特征是相关函数.
1.(自)相关函数的性质
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程,则其相关函数 有性质:
(1) RX (0) E[ X (t ) ] mX (2) RX ( ) RX ( ) (3) RX ( ) RX (0) (4) RX ( ) RX (t s)具有非负定性.即 对n 1, t1 , t2 ,
{X(t ),t T}均方连续， RX ( )在 0连续，
则对 0有 0 R X ( ) RX ( 0 ) E[ X (t )X (t )] E[ X (t )X (t 0 )]
E[ X (t ) ( X (t ) X (t 0 ))] E [ X (t ) ( X (t ) X (t 0 ))]
证明 (1) {X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程. RX ( ) RX ( ) (0) 0 R X ( ) RX ( ) RX (0) RX (0) RX
Cov( X (t ), X (t )) RXX (s, t ) st 0
= RX (t s ) s t t (0) 0 = RX ( s, t ) s t RX t
所以X(t)与X′(t)不相关.
证明 (2) 由{X(t),t∈T}是正态过程,
对t , t t T 有
正态变量
1 1 t X (t t ) X (t ) （X (t ), ) ( X (t ), X (t t )) 0 1 t t X (t t ) X (t ) （X (t ), )为正态变量. t
(E X (t ) ) ( E X (t ) X (t ) )
1 2 1 2 2
1 2 2
1 2 2
(R X (0)) (E X (t ) X (t ) ) 0 ( 0)
所以RX ( )在 0处连续.
{X(t),t∈T}均方连续
下证RX(τ)是连续函数
（充分性）由RX( )在 =0处二阶可导,连续
RX( )在 =0处一阶,二阶导数存在
RX ( s , t ) s
s t
RX (t s, t ) RX (t , t ) lim s 0 s RX (s) RX (0) lim s 0 s RX (s ) RX (0) lim s 0 s (0) RX
即 RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在.
同理可证 RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.
RX (s, t t ) RX (s, t ) 2 RX (s, t ) s s 又 lim ( t ,t ) ( t ,t ) t 0 st t RX (t t s) RX (t s) s lim s ( t ,t ) t 0 t (t t s ) RX (t s ) RX lim ( t ,t ) t 0 t (t s t ) RX (t s )） （RX lim ( t ,t ) t 0 t (t s ) (t ,t ) RX (0) RX 2 RX ( s, t ) 同理 ( t ,t ) RX (t s ) ( t ,t ) RX (0) ts
E[X (t t )] E[X (t )] lim 0 t 0 t 2 RX (s,t )= RX ( s, t ) st 2 = RX (t s ) st (t s)] = [ RX t (t s) RX ( ) = RX
2
()
充分性 若RX ( )在 0连续，即RX ( ) RX (0) （ 0）
由（）得E X (t ) X (t ) （ 0 0）
由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.
必要性 若{X(t),t∈T}均方连续.则有
0 R X ( ) RX (0) E[ X (t )X (t )] E[ X (t )X (t )] E[ X (t ) ( X (t ) X (t ))] E [ X (t ) ( X (t ) X (t ))]
（X (t ), X (t ))为正态变量.
所以X(t)与X′(t)独立.
定理 设{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,f(t)为 分段连续函数,则在任何有限区间[a,b]上, 积分

b b a a
b
a
f (t ) X (t )dt
Hale Waihona Puke 在均方意义下存在,且对任一分段连续函数g(t),有
E[ g (s) X (s)ds f (t ) X (t )dt]
(2) RXY ( ) RX (0) RY (0),
2
RYX ( ) RX (0) RY (0)
2
(3) 对复常数 , ,{X (t ) Y (t ), t T }也是平稳过程，
且其相关函数为
RX Y ( ) RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( )
则称{X(t),t∈T}, {Y(t),t∈T} 为联合平稳的 平稳过程. 此时若令Z(t)=X(t)+Y(t), 问 Z(t)是否为平稳 过程?
定理 设{X(t),t∈T}, {Y(t),t∈T} 为联合平稳的平稳过程. 则其互相关函数RXY(s,t)具有如下性质
(1) RXY ( ) RYX ( )
(2) 实平稳过程的相关函数为偶函数 即 RX ( ) RX ( )
(3) 平稳过程的协方差函数C X ( )具有 C X (0) DX (t ) 0; C X ( ) C X (0)
定理 设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方 连 续的充要条件是 RX(τ)在τ=0处连续. 此时,RX(τ)是连续函数.
X (t t ) X (t ) E[l.i.m ] t 0 t
或 mX (t) (mX ) 0
即 导数过程{X′ (t),t∈T} 仍然是平稳过程.
推论 (1) 设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程. 则对任意的t∈T, X(t)与X′(t)不相关. 特别 (2) 若{X(t),t∈T}还是正态过程, 则X(t)与X′(t)独立.
(1) {X(t),t∈T}均方可导的充分条件是 RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶 导 数存在且连续.
{X(t),t∈T}均方可导的必要条件是 RX(τ) 在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.
证明 (1)（必要性）由 {X (t ), t T }均方可导
RX (s, t )在(t , t )处广义二阶可导
k 1 l 1 n
E[ k X (tk ) l X (tl )]
k 1
n
n
E k X (tk ) 0
k 1
n
l 1 2
特别
(1) 若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即
X (t T0 ) X (t ), t T , T0是一常数（称为周期）
则其相关函数也是周期函数,且周期相同也 为T0.
b b a a

RX (t s) f (t ) g (s)dsdt
证明
因为{X(t),t∈R} 均方连续
t, s (, ), RX (s, t )连续
f ( s) f (t ) RX ( s, t )在任何有限区域 [a, b] [a, b]上分段连续
二重积分
b a
1 2
1 2
(4) 对n 1, t1, t2 ,
, tn T 及复数1, 2 ,
n n k 1 l 1 n
, n有
R
k 1 l 1 k l
n
n
X
(tl tk ) k l E[ X (tk )X (tl )] E[ k X (tk ) l X (tl )]