八年级下册初二数学《因式分解》教案

因式分解

【知识梳理】

●因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积例：111

() 333

ax bx x a b +=+

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；

(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。

【例题】判断下面哪项是因式分解：

因式分解的方法

●提公因式法：

定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

【例题】33323422

1286

a b c a b c a b c

-+的公因式是．

【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、－8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422

,,

a b c a b c a b c都含有因式32

a b c，故多项式的公因式是232

a b c．小结提公因式的步骤：

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

【基础练习】

1．ax 、ay 、－ax 的公因式是__________；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是__________．

2．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）

A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1

B ．)11(22222x

x x x +=+

C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4

D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 3．将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（ ）

A ．－3xy

B ．－3x 2y

C ．－3x 2y 2

D ．－3x 3y 3

4．多项式a n －a 3n ＋a n ＋2分解因式的结果是（ ）

A ．a n （1－a 3＋a 2）

B ．a n （－a 2n ＋a 2）

C ．a n （1－a 2n ＋a 2）

D ．a n （－a 3＋a n ）

5．把下列各式因式分解：

5x 2y ＋10xy 2－15xy 3x （m －n ）＋2（m －n ） 3（x －3）2－6（3－x ） y （x －y ）2－（y －x ）3 －2x 2n －4x n x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1

6．应用简便方法计算：

（1）2012－201 （2）×＋×－×

（3）说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．

【提高练习】

1．把下列各式因式分解：

（1）－16a 2b －8ab ＝________________________；

（2）x 3（x －y ）2－x 2（y －x ）2＝________________________．

2．在空白处填出适当的式子：

（1）x （y －1）－（ ）＝（y －1）（x ＋1）；

（2）=+c b ab 3294278（ ）（2a ＋3bc ）．

3．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ）

A ．m ＝1，n ＝2

B ．m ＝－1，n ＝2

C ．m ＝1，n ＝－2

D ．m ＝－1，n ＝－2

4．（－2）10＋（－2）11等于（ ）

A ．－210

B ．－211

C ．210

D ．－2 5．已知x ，y 满足⎩⎨⎧=-=+,13,62y x y x 求7y （x －3y ）2－2（3y －x ）3的值．

6．已知x ＋y ＝2，,2

1-=xy 求x （x ＋y ）2（1－y ）－x （y ＋x ）2的值 7．因式分解：（1）ax ＋ay ＋bx ＋by ；

（2）2ax ＋3am －10bx －15bm ．

● 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

● 平方差公式

式子： ))((22b a b a b a -+=-

语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

【例题1】在括号内写出适当的式子：

0．25m 4＝（ ）2； =n y 29

4（ ）2； 121a 2b 6＝（ ）2．

【例题2】因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）；

（3）49a 2－4＝（ ）（ ）；（4）2b 2－2＝（ ）（ ）．

【基础练习】

1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）

A ．y 2－49x 2

B ．4491x -

C ．－m 4－n 2

D ．9)(4

1

2-+q p 2．下列因式分解错误．．

的是（ ）