声学基础习题解答

pe = ρ0c0ve = ρ0c0 2 ≈ 1.4276 ×105 Pa
(12)
甚至超过了大气压，于是
SPL = 20 lg pe = 197dB (dB)
(13)
pref
4-25 试计算入射声波与反射声波幅值相等时的平面驻波声场中的平均能量密度。 解答：
(1) 采用余弦形式表示声压。 由于入射波和反射波幅值相等，设入射声波和反射声波分别为
−
ρ0
∂v ∂x
=
∂ρ ' ∂t
(5)
状态方程： p = c02 ρ '
(6)
由（4）－（6）消去 p ， ρ' ，过程如下：
将（6）代入（5）可得 − ρ0
∂v ∂x
=
1 c02
∂p ∂t
(7)
对式（1）进行关于 t 的偏导运算，对式（7）进行关于 x 的偏导运算，相加后整理得 质点速度 v 的波动方程为
质点速度 v(x, y, z, t ) = vx i + vy j + vz k ，， vx ， vy ， vz 为质点速度在三个方向上的分量。
则 x，y，z 三个方向上的平衡方程分别为
ρdxdydz dvx dt
=
−
∂p ∂x
dxdydz
+
Fx
dxdydz
(1)
ρdxdydz dvy dt
=
−
∂p ∂y
⎣vz ⎦
(23)
⎢⎣ ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2 ⎥⎦
简写为，
ℜv = 1 ∂ 2 v
(24)
c02 ∂t 2
式中，变换矩阵 ℜ 为
⎡ ∂2
∂2
∂2 ⎤
⎢ ⎢
∂x 2
∂y∂x
∂z∂x
⎥ ⎥
ℜ
=
⎢ ∂2
⎢ ⎢ ⎢
∂x∂y ∂2
∂2
∂y 2 ∂2
∂2 ⎥
∂z∂y ∂2
⎥ ⎥ ⎥
(25)
⎢⎣ ∂x∂z ∂y∂z ∂z 2 ⎥⎦
质点速度幅值为
va
=
pa ρ 0c0
= 6.8 ×10−2 m / s
(9)ຫໍສະໝຸດ Baidu
质点位移幅值为
ξa
=
va ω
= 1.0823 ×10−5 m
(10)
平均能量密度为
ε
=
pa 2 2ρ 0 c0 2
= 2.7936 ×10−3 J / m3
(11)
(3) 即要求 ve = c0 = 344m / s ，则如果仍然按照线性声学假设的话，
显然，由于 v 为矢量，其波动方程形式非常复杂，所以，通常以标量声压或速度势描述声场 波动方程。
4-2. 如果媒质中存在体积流源，单位时间内流入单位体积里的质量为 ρ0q(x, y, z, t ) ，试导
出有流源分布时得声波方程。
解答： 此时，与无流源分布情况相比，运动方程和状态方程不会发生变化，但是，连续性方程
将会发生变化，具体推导如下：
z
O x
y
如图所示，对于三维情况，选取立方体微元，共有六个表面，分别对应于 x，x+dx，y，
y+dy，z，z+dz，表面面积分别为 Sx，Sx，Sy，Sy，Sz，Sz。显然， S x = dydz ， S y = dxdz ，
Sz
=
dxdy
。以
x
方向为例，在单位时间内从该方向进入该体积元的质量应该为
(22)
∂x∂z ∂y∂z ∂z 2 c02 ∂t 2
写为矩阵形式，可得
⎡ ∂2
∂2
∂2 ⎤
⎢ ⎢
∂x 2
⎢ ∂2
⎢ ⎢ ⎢
∂x∂y ∂2
∂y∂x ∂2
∂y 2 ∂2
∂z∂x ∂2
∂z∂y ∂2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡v ⎢⎢v
x y
⎣vz
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
1 c02
∂2 ∂t 2
⎢⎢⎡vvxy
⎤ ⎥ ⎥
∂v ∂t
=
−grad
p+F
(7)
连续性方程：
∂ρ ∂t
'
+
ρ0
div(v
)
=
0
(8)
状态方程： p = c02 ρ '
(9)
将（9）代入（8）并对时间求偏导，可得
1 c02
∂2 p ∂t 2
+
ρ
0
div⎜⎛ ⎝
∂v ∂t
⎟⎞ ⎠
=0
(10)
由（7）可得
ρ
0
div⎜⎛ ⎝
∂v ∂t
⎟⎞ ⎠
=
−div(grad
波声压保持不变，媒质密度也近似为不变，求上述两种情况下声强变化的百分率及声强级差。
解答：
(1) 声速随温度变化的规律为
c0 (t°C) ≈ 331.6 + 0.6t (m/s)
(1)
则
c0 (40°C) − c0 (0°C) ≈ 0.6 * 40 = 24 (m/s)
(2)
(2) 根据声强公式可知，
∂2v = 1 ∂2v ∂x 2 c02 ∂t 2
(8)
显然，与声压及速度势具有相同形式的波动方程。
（2） 三维坐标
运动方程： ρ dv = −grad p
(9)
dt
连续性方程： − div(ρv) = ∂ρ
(10)
∂t
状态方程： dP = c2dρ
(11)
线性化后得到，
运动方程： ρ0
∂v ∂t
=
p
(4)
状态方程： p = c02 ρ '
(5)
由（3）－（5）经过简单的消元处理最终可得
∇2 p −
1 c02
∂2 p ∂t 2
=
−ρ 0
∂q ∂t
(6)
显然，此时多了一个源项，非齐次波动方程。
4-3. 如果媒质中有体力分布，设作用在单位体积媒质上的体积力为 F(x, y, z, t )，试导出有
(3) 根据声强级公式可知，
SIL = 10 lg I (dB)
(5)
I ref
于是
SIL 40
− SIL0
= 10 lg
I 40 I ref
−10 lg I0 I ref
= 10 lg I 40 I0
= 10 lg c0 (0°C) ≈ −0.3 c0 (40°C)
(dB)
(6)
即夏天声强比冬天要低 0.3dB. 4-10 在 20℃的空气里，求频率为 1000Hz、声压级为 0dB 的平面声波的质点位移幅度，质点 速度幅值，声压幅值及平均能量密度各为多少？如果声压级为 120dB，上述各量又为多少？ 为了使空气质点速度有效值达到与声速相同的数值，借用线性声学结果估计需要多大的声压
(20)
由于 ∇2φ = div[gradφ]，于是
由（19）可得
div[gradφ] = 1 ∂ 2φ
(21)
c02 ∂t 2
由（20）可得
∂2v ∂t 2
=
grad ⎜⎜⎝⎛
∂ 2φ ∂t 2
⎟⎟⎠⎞
(22)
将（20），（22）代入（21）同样可得到（18）。
注意，虽然 div[grad p] = ∇2 p ，但并不意味着 grad[div(v)]也有类似的形式，因为 div 算
级？
解答：
(1) 声压级 SPL＝0dB，可得有效声压为
pe = pref = 2 ×10−5 Pa
(1)
则声压幅值为
pa = 2 pe = 2 2 ×10−5 Pa
(2)
质点速度幅值为
va
=
pa ρ 0c0
= 6.8 ×10−8 m / s
(3)
质点位移幅值为
ξa
=
va ω
= 1.0823 ×10−11 m
)]
=
grad
⎡ ⎢ ⎣
∂vx ∂x
+
∂vy ∂y
+
∂vz ∂z
⎤ ⎥ ⎦
=
⎜⎜⎝⎛
∂ 2vx ∂x 2
i
+
∂ 2vx ∂x∂y
j
+
∂ 2vx ∂x∂z
k
⎟⎟⎠⎞
+
⎜⎛ ⎜⎝
∂ 2vy ∂y∂x
i
+
∂2vy ∂y 2
j
+
∂ 2vy ∂y∂z
k
⎟⎞ ⎟⎠
+
⎜⎜⎝⎛
∂ 2vz ∂z∂x
i
+
∂ 2vz ∂z∂y
(16)
对（15）进行 grad 运算可得
−
ρ
0
c
2 0
grad[div(v
)]
=
grad⎜⎛ ⎝
∂p ∂t
⎟⎞ ⎠
(17)
（16）与（17）相加可得
grad[div(v)] =
1 c02
∂2v ∂t 2
(18)
上式也可由速度势波动方程推导得到：
∇2φ = 1 ∂ 2φ c02 ∂t 2
(19)
v = gradφ
j
+
∂ 2vz ∂z 2
k ⎟⎟⎠⎞
(19) 因此，（18）可写为
∂2vx + ∂2vy + ∂2vz = 1 ∂2vx
(20)
∂x 2 ∂y∂x ∂z∂x c02 ∂t 2
∂2vx + ∂2vy + ∂2vz = 1 ∂2vy
(21)
∂x∂y ∂y 2 ∂z∂y c02 ∂t 2
∂2vx + ∂2vy + ∂2vz = 1 ∂2vz
( ) −
∂(ρv x
)
dxdydz
−
∂
ρv y
∂x
∂y
dxdydz
−
∂ (ρv z
∂z
)
dxdydz
+
ρ 0 qdxdydz
=
∂ρ ∂t
dxdydz
(1)
即
∂ρ ∂t
+
div(ρv )
=
ρ0q
(2)
线性化后得到
∂ρ ' ∂t
+
ρ 0 div(v )
=
ρ0q
(3)
运动方程：
ρ0
∂v ∂t
=
−grad
(4)
平均能量密度为
ε = pa 2 = 2.7936 ×10−15 J / m3
(5)
2ρ 0 c0 2
(2) 声压级 SPL＝120dB，可知
20 lg pe = 120
(6)
pref
可得有效声压为
pe = 106 pref = 20Pa
(7)
则声压幅值为
pa = 2 pe = 20 2Pa
(8)
−grad
p
(12)
连续性方程：
−
ρ 0 div(v )
=
∂ρ ' ∂t
(13)
状态方程： p = c02 ρ '
(14)
同样，将（14）代入（13）可得
− ρ0div(v) =
1 c02
∂p ∂t
(15)
对（12）进行关于 t 的偏导，可得
ρ0
∂2v ∂t 2
=
−grad⎜⎛ ⎝
∂p ∂t
⎟⎞ ⎠
∂x
( ) − ∂ ρvy dxdydz ， − ∂(ρvz ) dxdydz 。
∂y
∂z
同时，由于存在体积流源，单位时间内向单位体积里注入的媒质质量为 ρ0q(x, y, z, t ) ，
则单位时间内注入体积元的媒质质量为 ρ0qdxdydz 。
设单位时间内体积元内质量增加量为 ∂ρ dxdydz ，则由质量守恒可得 ∂t
dxdydz
+
Fy
dxdydz
(2)
ρdxdydz dvz dt
=
−
∂p ∂z
dxdydz
+
Fz dxdydz
(3)
即运动方程变为：
ρ dv = −grad p + F
(4)
dt
连续性方程： ∂ρ + div(ρv) = 0
(5)
∂t
状态方程： dP = c2dρ
(6)
线性化后，可得
运动方程： ρ0
体力分布时的声波方程。 解答：
显然，与无体力分布情况相比，此时连续性方程和状态方程保持不变，而运动方程发生 改变。外界施加给体积元的力为矢量。
同 4-2，选择立方体微元。x 方向：x 处侧面上受到的外力（面力）为 (P0 + p)dydz ，x+dx
处侧面上受到的外力（面力）为 (P0
+
p
+
dp)dydz
p)+
div(F)
(11)
由（10），（11）可得
∇2 p −
1 c02
∂2 p ∂t 2
=
div(F)
(12)
显然，如果 ρ0q(x, y, z, t) ， F(x, y, z,t)同时存在，则
∇2 p −
1 c02
∂2 p ∂t 2
=
−ρ0
∂q ∂t
+ div(F)
(13)
4-7 试问夏天（温度高达 40℃）空气中声速比冬天（设温度为 0℃）时高出多少？如果平面
子与 grad 算子并不能交换位置，前者的运算对象为矢量，后者的运算对象为标量。因此， 与一维坐标不同，三维坐标下关于质点速度的波动方程与关于声压和速度势的波动方程形式 是不同的。具体如下：
三维坐标下质点速度为三维矢量，可写为 v = vx i + vy j + vz k ，则
grad[div(v
p1 = pa0 cos(ωt − kx)
(1)
p2 = pa0 cos(ωt + kx)
(2)
则驻波场总声压为
p = p1 + p2 = 2 pa0 cos(kx)cos(ωt)
=
⎜⎛ ⎝
P0
+
p
+
∂p ∂x
dx ⎟⎞dydz ⎠
，则
x
方向面
力引起的合力为 − ∂p dxdydz 。同样地，y 方向面力引起的合力为 − ∂p dxdydz ，y 方向面
∂x
∂y
力引起的合力为 − ∂p dxdydz 。 ∂z
体积力 F(x, y, z, t ) = Fx i + Fy j + Fz k ， Fx ， Fy ， Fz 为体积力在三个方向上的分量。
4-1. 试分别在一维及三维坐标里，导得质点速度 v 的波动方程。
解答：
（1） 一维坐标
运动方程： ρ dv = − ∂p
(1)
dt ∂x
连续性方程： − ∂ (ρv) = ∂ρ
(2)
∂x
∂t
状态方程： dP = c2dρ
(3)
线性化后得到，
运动方程： ρ0
∂v ∂t
=
−
∂p ∂x
(4)
连续性方程：
I = pa2 (W/m2)
(3)
2ρ0c0
由于声压保持不变，且媒质密度也近似不变，则两种环境中声强变化的百分率为
I 40 − I0
I0
×100%
≈
c0 (0°C) ×
⎡1
⎢ ⎣
c0
(40°C)
−
c0
1 (0°C)
⎤ ⎥ ⎦
×
100%
=
−6.75%
(m/s)
(4)
即夏天声强比冬天要低 6.75%.
(ρv
x
) x
dydz
，
经由体积元流出的质量为
(ρv
x
) x
+dx
dydz
，
取其一阶泰勒展开即为
[ ] ⎢⎡(ρvx
⎣
) x
+
∂
(ρv
x
) x
∂x
⎤ dx⎥⎦dydz
。因此，单位时间内从外部流入体积元的净质量为
− ∂(ρvx ) dxdydz 。 同 理 可 得 ， 单 位 时 间 内 从 y ， z 方 向 流 入 体 积 元 的 净 质 量 为