答案圆专题分类训练必做题

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初中数学圆形专题训练50题含答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，若⊙C ＝35°，则⊙OAB 的度数是（）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70° 2．若圆锥的侧面展开图是一个半圆，该半圆的直径是4cm ，则圆锥底面的半径是（）A ．0.5cmB ．1cmC ．2cmD ．4cm 3．如图，AB 是半圆的直径，D 是弧AC 的中点，70ABC ∠=︒，则BAD ∠的度数是（）．A ．55°B ．60°C ．65°D ．70° 4．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，⊙O 的半径为2，⊙ACB =30°，则AB 的长是（）A ．2πB ．πC ．2π3 D ．1π35．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，若⊙D=65°，则⊙B=（）A ．65°B ．115°C ．125°D ．135° 6．如图，AB 、AC 是O 的两条切线，切点为B 、C ， ∠BAC =30°，则∠BAO 度数为( )A ．60B ．45C ．30D ．15 7．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊙AC 于点D ，OM ⊙AB 于点M ，OM ＝13，则sin⊙CBD 的值等于（）A B ．13 C D ．128．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，两等圆⊙A ，⊙B 外切，图中阴影部分面积为（）A ．25244π-B ．25248π-C ．252416π-D ．252432π- 9．如图，AB 为⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点D ，C 为⊙O 上一点，若42ABO ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．48°B ．24°C ．36°D ．72° 10．如图，点A ，B ，C 在O 上，//BC OA ，20A ∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．40︒D ．50︒ 11．如图，⊙O 是⊙ABC 的外接圆，已知AD 平分⊙BAC 交⊙O 于点D ，连结CD ，延长AC ，BD ，相交于点F.现给出下列结论：⊙若AD=5，BD=2，则DE=25； ⊙ACB DCF ∠=∠；⊙FDA ∆⊙FCB ∆；⊙若直径AG⊙BD 交BD 于点H ，AC=FC=4，DF=3，则cosF=4148；则正确的结论是（）A ．⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙D ．⊙⊙⊙ 12．下列说法中，正确的是（）A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．所有的正多边形既是轴对称图形也是中心对称图形D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等13．如图，ABC 中，30C ∠=，90B ∠=，8AC =，以点A 为圆心，半径为4的圆与BC 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定 14．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB 垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为（）A ．9 cmB ．cmC ．92 cmD ．cm 15．如图，正ABC 的边长为3cm ，边长为1cm 的正RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上，将RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 连续翻转（如图所示），直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动路径的长为（）A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π 16．如图，两个半径都为1的圆形纸片，固定⊙O 1，使⊙O 2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，则⊙O 2上的点P 运动的路径长为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．无法确定 17．下列五个说法：⊙近似数3.60万精确到百分位；⊙三角形的外心一定在三角形的外部；⊙内错角相等；⊙90°的角所对的弦是直径；⊙函数y =x 的取值范围是2x ≥-且1x ≠．其中正确的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 18．下列命题正确的有（）A ．在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等B ．圆的两条不是直径的相交弦，不能互相平分C ．正多边形的中心是它的对称中心D ．各边相等的圆外切多边形是正多边形 19．若扇形的面积是56cm 2，周长是30cm ，则它的半径是( )A ．7cmB ．8cmC ．7cm 或8cmD ．15cm 20．如图，在ABC 中，3AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．3πB 2π-C πD 32π二、填空题21．在圆O 中，弦AB 的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA ＝___． 22．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m ．23．用一个圆心角为90°半径为32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为___cm ．24．如图，一块三角形透明胶片刚好在量角器上的位置，点A 、B 的读数分别是80︒、30︒，则ACB =∠________．25．如图，点I 为ABC 的三个内角的角平分线的交点，4AB =，3AC =，2BC =，将ACB ∠平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为______．26．已知⊙O 1和⊙O 2的半径长分别为3和4，若⊙O 1和⊙O 2内切，那么圆心距O 1O 2的长等于_____．27．已知一个圆锥的底面半径为5cm ，则这个圆锥的表面积为___________28．如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知⊙BAD=60°，则⊙ACD=______度．29．正十二边形的中心角是_____度．30．如图，A 、D 是半圆O 上的两点，BC 是直径，若⊙D ＝35°，则⊙AOB ＝_____°．31．如图，四边形ABCD 内接于O ，1079，，BD CD AB AC ====，则AD 的长为 ___________．32．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线22=-上运动，当⊙P与x轴相切y x时，圆心P的坐标是___________________．33．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____34．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=_______________．35．如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为________．36．一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上．木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点B 的距离及相关数据（单位：cm ）后，从点N 沿折线NF FM NF BC FM AB -（∥，∥）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠、无缝隙、不计损耗），则CN AM ，的长分别是_______．37．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，OA 长为半径作OE 、OF 交AD 于点E 、BC 于点F ．若6AC =，50∠=°ACB ，则阴影部分图形的面积为__________．（结果保留π）38．如图，在直角坐标系中，点A 坐标为（2，0），点B 的坐标为（6，0），以B 点为圆心，2长为半径的圆交x 轴于C 、D 两点，若P 是⊙B 上一动点，连接P A ，以P A 为一直角边作Rt ⊙P AQ ，使得1tan 2APQ ∠=，连接DQ ，则DQ 的最小值为_____39．如图，点O 为以AB 为直径的半圆的圆心，点M ，N 在直径AB 上，点P ，Q 在AB 上，四边形MNPQ 为正方形，点C 在QP 上运动（点C 与点P ，Q 不重合），连接BC 并延长交MQ 的延长P 线于点D ，连接AC 交MQ 于点E ，连接OQ ，则sin⊙AOQ ＝__________，若圆半径为R ，则DM ·EM ＝_______．40．已知Rt △ABC 中，⊙A =90°，M 是BC 的中点．如图，(1)以M 为圆心，MB 为半径，作半圆M ；(2)分别B ，C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧交于D 点；(3)连接AM ，AD ，CD ；(4)作线段CD 的中垂线，分别交线段CD 于点F ，半圆M 于点G ，连接GC ；(5)以点．．G 为圆心．．．，线段GC 为半径，作弧．CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：⊙点A 在半圆M 上；⊙AC =CD ；⊙弧AC =弧CD ；⊙△ABM ⊙△ACD ；⊙BC =GC ；⊙⊙BAM =⊙CGF ．一定正确的是_______．三、解答题41．如图，⊙O 的半径OA 、OB 分别交弦CD 于点E 、F ，且CE ＝DF ．求证：⊙OEF 是等腰三角形．42．如图，Rt ABC 中90BAC ∠=︒，2AE AD AC =⋅，点D 在AC 边上，以CD 为直径画O 与AB 交于点E ．(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若1==，求BE的长度．AD DO43．如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线．点E在直径AC上，连接ED交⊙O于点B，连接AB，且AB＝BD．(1)求证：AB＝BE；(2)若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段AE的长．44．把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4 cm,求球的半径长.45．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB＝AC，P为⊙O上一动点（P，A分别在直线BC的两侧），连接PC．（1）求证：⊙P＝2⊙ABC；（2）若⊙O的半径为2，BC＝3，求四边形ABPC面积的最大值．46．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD//CO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD．（1）求证：CA＝CD；（2）填空：⊙当⊙ACO的度数为时，四边形EOBD是菱形．⊙若BD＝m，则当AC＝（用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．47．如图，已知△ABC为直角三角形，⊙C=90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB 经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．(1)求证：AD平分⊙BAC；(2)若AC=8，tan⊙DAC=34，求⊙O的半径．48．已知A，B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（⊙）如图⊙，求⊙ADC的大小；（⊙）如图⊙，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与AB交于点F，连接AF，求⊙F AB的大小．49．（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若P是圆内接正三角形ABC的外接圆的BC上任一点，则60APB∠=︒，在PA上截取PM PC=，连接MC，可证明MCP∆是_______（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到=PC MC，再进一步证明PBC≅_______，得到=PB MA，可证得：．（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的BC上任一点，则APB APD∠=∠=°，分别过点,B D作BM AP⊥于M、⊥DN AP于N．（3）写出,PB PD与PA之间的数量关系，并说明理由．50．某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知⊙CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF＝24cm，设⊙O1的半径为xcm，（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？参考答案：1．B【分析】根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出⊙AOB 的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可.【详解】⊙⊙AOB 与⊙C 是同弧所对的圆心角与圆周角，⊙⊙AOB ＝2⊙C ＝2×35°＝70°，⊙OA ＝OB ，⊙⊙OAB ＝⊙OBA ＝180AOB 2︒-∠＝180702︒︒-＝55°．故选：B ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键. 2．B【分析】根据圆锥侧面展开图的半圆的周长等于圆锥底面的周长，从而求出底面半径；【详解】解：由题意，底面圆的周长为：1422ππ⨯⨯=， ⊙底面圆的半径为：212ππ=（cm ），故选：B【点睛】此题考查立体图形的侧面展开；圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面周长．3．A【分析】连接BD ，由于点D 是AC 的中点，即CD AD =，根据圆周角定理得ABD CBD ∠=∠，则35ABD ∠=︒，再根据直径所对的圆周角为直角得到90ADB ∠=︒，然后利用三角形内角和定理可计算出BAD ∠的度数．【详解】解：连接BD ，如图，⊙点D 是AC 的中点，即CD AD =，⊙ABD CBD ∠=∠，而70ABC ∠=︒，⊙170352ABD ∠=⨯︒=︒， ⊙AB 是半圆的直径，⊙90ADB ∠=︒，⊙903555BAD ∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．4．C【详解】⊙点A 、B 、C 都在⊙O 上，⊙ACB =30°，⊙⊙AOB =60°，⊙OA =2，⊙AB =6022=1801803n r πππ⨯=︒ 故选：C ．5．B【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得答案．【详解】⊙⊙B +⊙D =180°，⊙⊙B =180°﹣65°=115°．故选B ．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 6．D【分析】根据切线长定理即可求解.【详解】⊙AB 、AC 是O 的两条切线，切点为B 、C ，⊙AO 平分⊙BAC ，⊙∠BAO =12⊙BAC=15°，故选D.【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知切线长定理的性质.7．B【分析】根据锐角⊙ABC 内接于⊙O ，BD ⊙AC 于点D ，OM ⊙AB 于点M ，得出sin ⊙CBD =sin ⊙OBM 即可得出答案．【详解】连接AO ，⊙OM⊙AB于点M，AO＝BO，⊙⊙AOM＝⊙BOM，⊙⊙AOB＝2⊙C⊙⊙MOB＝⊙C，⊙⊙O的半径为1，锐角⊙ABC内接于⊙O，BD⊙AC于点D，OM＝13，⊙sin⊙CBD＝sin⊙OBM＝13113 MOOB==则sin⊙CBD的值等于13．故选B．【点睛】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数值和圆周角定理等知识，根据题意得出sin⊙CBD=sin⊙OBM是解决问题的关键．8．A【分析】设等圆⊙A，⊙B外切于O点，如图，利用两圆相切的性质得到O点在AB上，再利用勾股定理计算出AB，则OA=OB=5，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△ABC一2S扇形进行计算，即可求解．【详解】解：设两等圆⊙A，⊙B外切于点O，则点O在AB上，⊙⊙C＝90°，AC＝8，BC＝6，⊙10AB，⊙A+⊙B=90°，⊙OA =OB =5，⊙S 阴影=S △ABC －2S 扇形2190525682423604ππ⨯⨯=⨯⨯-=-．故选：A ．【点睛】本题考查了相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．也考查了勾股定理和扇形面积的计算．9．B【分析】连结OA ，由切线定理和直角三角形性质可得⊙AOB=48°，再由圆周角定理可得⊙ACD=24°．【详解】解：如图，连结OA ，则由切线定义可得：⊙OAB=90°，⊙⊙AOB=90°-⊙ABO=90°-42° =48°，⊙根据圆周角定理可得：⊙ACD=12⊙AOB=24°，故选B ．【点睛】本题考查圆的应用，综合运用圆周角定理、切线的性质定理和直角三角形的性质求解是解题关键．10．C【分析】由//BC OA 得20C A ∠=∠=︒，由圆心角和圆周角的关系得40O ∠=︒，再利用平行线的性质可得结论．【详解】解：如图，⊙//BC OA ，20A ∠=︒⊙20C A ∠=∠=︒⊙240O C ∠=∠=︒//,BC OA⊙40B O ∠=∠=︒故选：C【点睛】此题考查了圆周角定理与平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．C【详解】试题分析：此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会证明三角形相似并解决相关问题，能灵活运用垂径定理和三角函数是解题的关键．⊙只需证明⊙BDE⊙⊙ADB ，运用对应线段成比例求解即可； ⊙连接CD ，假设⊙ACB=⊙DCF ，推出与题意不符即可判断； ⊙由公共角和同弧所对的圆周角相等即可判断； ⊙先证明⊙FCD⊙⊙FBA ，求出BD 的长度，根据垂径定理求出DH ，结合三角函数即可求解．⊙如图1，⊙AD 平分⊙BAC ，⊙⊙BAD=⊙CAD ，⊙⊙CAD=⊙CBD ，⊙⊙BAD=⊙CBD ，⊙⊙BDE=⊙BDE ，⊙⊙BDE⊙⊙ADB ， ⊙BD DE AD BD＝，由AD=5，BD=2，可求DE=45， ⊙不正确；⊙如图2，连接CD ，⊙FCD+⊙ACD=180°，⊙ACD+⊙ABD=180°，⊙⊙FCD=⊙ABD ，若⊙ACB=⊙DCF ，因为⊙ACB=⊙ADB ，则有：⊙ABD=⊙ADB ，与已知不符，故⊙不正确；⊙如图3，⊙⊙F=⊙F，⊙FAD=⊙FBC，⊙⊙FDA⊙⊙FCB；故⊙正确；⊙如图4，连接CD，由⊙知：⊙FCD=⊙ABD，又⊙⊙F=⊙F，⊙⊙FCD⊙⊙FBA，⊙FC FD FB FA＝，由AC=FC=4，DF=3，可求：AF=8，FB=323，⊙BD=BF-DF=233，⊙直径AG⊙BD，⊙DH=233，⊙FG=416，⊙cosF=FGAF=4148，故⊙正确.故选C．考点：圆的综合题.12．B【分析】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，所以A不正确；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，所以B是对的；一个图形绕中心旋转180度能与自身重合则称此图形为中心对称图形，正五边形不是，所以C不正确；三角形的内心是三个内角平分线的交点，根据角平分线上的点的特点，D是错误的．【详解】解：A．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故A错误；B．三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个，故B正确；C．一个图形绕中心旋转180度能与自身重合则称此图形为中心对称图形，正五边形不是，故C错误；D．三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，故D错误．故选B．【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．13．C【分析】由已知条件易求AB的长，和圆的半径4比较大小即可得知与BC的位置关系．【详解】⊙⊙C =30°，⊙B =90°，AC =8，⊙AB =12AC =4． ⊙以点A 为圆心，半径为4画圆，⊙d =r ，即以点A 为圆心，半径为4的圆与BC 的位置关系是相切．故选C ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．14．B【分析】弦AB 垂直平分OC 于点D ，得OD=3，由勾股定理得AD ，由垂径定理得AB=2AD ，可得答案．【详解】⊙⊙O 的半径长6cm ，弦AB 垂直平分OC ，⊙OD=3，由勾股定理得：，⊙OC 过O ，OC⊙AB ，⊙AB=2AD=，故选B ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，利用弦AB 垂直平分OC 得OD 是解答此题的关键．15．B【分析】从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，同理在AC 和BC 上也是相同的情况，由此求解即可．【详解】解：从图中可以看出在AB 边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=1201180⨯π，第二次是以点P 为圆心，所以没有路程，在BC 边上，第一次1201180⨯π，第二次同样没有路程，AC 边上也是如此，点P 运动路径的长为1201180⨯π×3=2π．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P 点的运动轨迹．16．B【分析】由⊙O 2上的点P 运动的路径长＝点O 2运动的路径长可求解．【详解】解：⊙⊙O 2沿着其边缘滚动回到原来位置后运动终止，⊙⊙O 2上的点P 运动的路径长＝点O 2运动的路径长，⊙⊙O 2上的点P 运动的路径长＝2π（1+1）＝4π故选：B ．【点睛】本题考查了轨迹问题，掌握⊙O 2上的点P 运动的路径长=点O 2运动的路径长是本题的关键．17．B【分析】根据近似数3.60万精确到百位可判断⊙，根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外可判断⊙，根据两直线平行，内错角相等可判断⊙； 90°的圆周角性质可判断⊙，函数y =0，可判断⊙即可得出答案．【详解】解：⊙近似数3.60万精确到百位，故⊙近似数3.60万精确到百分位错误； ⊙三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边中垂线的交点，锐角三角形在形内，直角三角形在斜边中点上，钝角三角形在形外，故⊙三角形的外心一定在三角形的外部错误；⊙两直线平行，内错角相等；故⊙内错角相等错误；⊙90°的圆周角性质是90°的圆周角所对的弦是直径，故⊙90°的角所对的弦是直径不正确；；⊙函数y = 2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥-且1x ≠，⊙函数y =x 的取值范围是2x ≥-且1x ≠正确．正确的个数有一个⊙．故选择：B ．【点睛】本题考查基本技能，精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围，熟练掌握精确度，三角形外心，内错角，90°圆周角的性质，函数的自变量取值范围是解题关键．18．B【分析】根据垂径定理和正多边形的相关知识判断.【详解】解：A 、错误.因为一条弦对应着两条弧;B 、正确.只有垂直于弦的直径才能平分弦;C 、错误.正多边形的中心是它的外接圆的圆心;D 、错误.各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形,因为角不一定相等.故选：B.【点睛】本题比较复杂,涉及到垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,正多边形和圆的关系,是中学阶段的难点.19．C【分析】设扇形的半径为Rcm ，求出扇形的弧长为（30-2R ）cm ，根据扇形的面积是56cm 2得出12R （30-2R ）=56，求出即可．【详解】解：设扇形的半径为R ，⊙扇形周长是30cm ，⊙扇形的弧长为（30-2R ）cm ，⊙扇形的面积是56cm 2， ⊙12R （30-2R ）=56，解得：R=7或8，故答案为C ．【点睛】本题考查了扇形的面积的有关应用，注意：扇形的面积等于弧和半径积的一半． 20．D【分析】连接AD ，根据等边三角形的性质得到3AD AB ==，60ADB ∠=︒，根据勾股定理得到AC =【详解】解：连接AD ，3AB BD ==，60ABC ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，3AD AB ∴==，60ADB ∠=︒，6BC =，3CD ∴=，AD CD ∴=，C CAD ∴∠=∠，60C CAD ADB ∠+∠=∠=︒，30C ∴∠=︒，90BAC ∴∠=︒，AC ∴=∴图中阴影部分的面积2160313332360222AB AC πππ⋅⨯=⋅-=⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出ABD △是等边三角形是解题的关键．21．5【详解】如图，OC 是弦AB 的弦心距，⊙AC =116322AB =⨯=,⊙5OA =.22．2【分析】过O 点作半径OD⊙AB 于E ，如图，由垂径定理得到AE ＝BE ＝4，再利用勾股定理计算出OE ，然后即可计算出DE 的长．【详解】解：过O 点作半径OD⊙AB 于E ，如图，⊙AE ＝BE ＝12AB ＝12×8＝4，在Rt⊙AEO 中，OE 3，⊙ED ＝OD ﹣OE ＝5﹣3＝2（m ），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m ．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．23．8【详解】试题分析：⊙扇形的圆心角为90°半径为32cm ，⊙根据扇形的弧长公式，扇形的弧长为()9032=16cm 180ππ⋅⋅． ⊙圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，⊙根据圆的周长公式，得2r=16ππ，解得()r=8cm ．24．25°【分析】首先设半圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，由A 点的读数为80°，B 点的读数为30°，即可求得圆心角⊙AOB 的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得⊙ACB 的大小．【详解】解：设半圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，⊙A 点的读数为80°，B 点的读数为30°，⊙⊙AOB=80°-30°=50°， ⊙⊙ACB=12⊙AOB=25°．故答案为：25°．【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，正确的作出辅助线是解题的关键．25．4【分析】连接AI，BI，由点I为⊙ABC的内心，得到AI平分⊙CAB，根据角平分线的定义得到⊙CAI=⊙BAI．根据平移的性质得到AC⊙DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案．【详解】解：连接AI，BI，⊙点I为⊙ABC的内心，⊙AI平分⊙CAB，⊙⊙CAI=⊙BAI．由平移得：AC⊙DI，⊙⊙CAI=⊙AID．⊙⊙BAI=⊙AID，⊙AD=DI．同理可得：BE=EI，⊙⊙DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB，因为4AB ，即图中阴影部分的周长为4．故答案为：4．【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边．26．1【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【详解】解：⊙⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，⊙圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，掌握圆与圆之间的位置关系是解题的关键．27．255cmπ【分析】首先求得底面的周长、面积，利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式即可求得圆锥的侧面积，加上底面面积就是表面积．【详解】解：底面周长是2×5π＝10πcm，底面积是：5²π＝25πcm²．（cm），则圆锥的侧面积是：12×10π×6＝30π（cm²），则圆锥的表面积为25π＋30π＝55π（cm²）．故答案为：255cmπ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2的应用．28．30【分析】由在⊙O中，AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得⊙ADB＝90°，又由圆周角定理，可求得⊙ACD=⊙B＝90°-⊙BAD，继而求得答案．【详解】⊙在⊙O中，AB为直径，⊙⊙ADB＝90°，⊙⊙ACD=⊙B＝90°-⊙BAD=30°，故答案为：30．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．29．30【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式30．70【分析】根据圆周角定理即可求出.【详解】⊙⊙D =35°，⊙⊙AOB =2⊙D =70°，故答案为70【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.31【分析】过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，过点A 作AE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ，根据已知易证ADB ADE ∠=∠，从而证明证明AFD AED △≌△，可得,DF DE AF AE ==，然后再证明Rt Rt BAF CAE ≌，可得BF CE =，最后进行计算即可求出DF ，从而求出，，BF AF AD ，即可解答．【详解】解：过点A 作.AF BD ⊥，垂足为F ，过点A 作AE CD ⊥，交CD 的延长线于点E ，⊙AB AC =，⊙ABC ACB ∠=，⊙四边形ABCD 是圆内接四边形，⊙180ABC ADC ∠+∠=︒，⊙180ADC ADE ∠+∠=︒，⊙ABC ADE ∠=∠，⊙ADB ACB ∠=∠，⊙ADB ADE ∠=∠，⊙90,AFD AED AD AD ∠=∠=︒=，⊙(AAS)AFD AED ≌，⊙.,DF DE AF AE ==，⊙90AFB AEC ∠=∠=︒，⊙Rt Rt (HL)BAF CAE ≌，⊙.BF CE =，⊙BD DF CD DE -=+，⊙107DF DE -=+， ⊙32DF DE ==， ⊙3171022BF BD DF =-=-=，⊙AF ===⊙AD = ⊙AD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．32．或(或(1,-1)或(1,-1)-【分析】根据圆与直线的位置关系可知，当⊙P 与x 轴相切时，P 点的纵坐标为1或-1，把1或-1代入到抛物线的解析式中求出横坐标即可．【详解】⊙⊙P 的半径为1，⊙当⊙P 与x 轴相切时，P 点的纵坐标为1或-1．当1y =时，221y x =-=，解得x =，⊙此时P 的坐标为或(；当1y =-时，221y x =-=-，解得1x =± ，⊙此时P 的坐标为(1,1)-或(1,1)--；故答案为：或(或(1,-1)或(1,-1)-．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系和已知函数值求自变量，根据圆与x 轴相切找到点P的纵坐标的值是解题的关键．33．（﹣2，﹣1）【分析】根据外心的定义作图即可．【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．⊙点A的坐标为（﹣3，2），⊙点O的坐标为（﹣2，﹣1）．【点睛】本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键．34．8【详解】连接OC,因为AE=8,BE=2,所以AB=10,则OB=12AB=5,所以OE=OB－BE=5－2=3,在Rt⊙OEC中,由勾股定理可得:CE4=,则CD=8,故答案为:8.35．【详解】解：设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊙AB于E，OF⊙AC于F．根据题意知，⊙OF⊙AC，⊙AF=12AC=3，⊙⊙CAD=⊙BAD，⊙CD BD=，⊙点D是弧BC的中点．⊙⊙DOB=⊙OAC=2⊙BAD，在⊙AOF和⊙OED中，⊙⊙OFA=⊙OED，⊙FAO=⊙EDO，AO=DO，⊙⊙AOF⊙⊙OED（AAS），⊙OE=AF=3，⊙DO=5，⊙DE=4，=故答案为【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）；勾股定理．36．18cm ， 31cm ．【分析】如图，延长OK 交线段MF 于点1M ，延长PQ 交BC 于点G ，交FN 于点2N ，设圆孔半径为r ．根据勾股定理，得222BH KH BK +=．从而得16r =．根据题意知，12111122ON KN AB OM KM r CB ===+=，．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN =QH －QN 2=44－26=18， AM =BC －PD －KM 1=130－50－49=31 ( cm)．【详解】解：作辅助线如图所示，设圆孔半径为r ，根据勾股定理，得222BH KH BK +=．⊙()()2221305044100r -++=， 16r ∴=．按题意要求，切割后，以圆O 为中心，到两对边的距离相等，即：12111122ON KN AB OM KM r CB ===+=，． ⊙21422KN AB ==， ⊙ QN 2+r =42，即QN 2=42－16=26．⊙CN =QH －QN 2=44－26=18．又⊙112KM r CB +=，即 11161302KM +=⨯， ⊙ KM 1=49．⊙AM =BC －PD －KM 1=130－50－49=31．⊙CN =18cm ，AM =31cm ．故答案为：18cm ，31cm【点睛】本题考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，将实际问题转化为数学问题经验，利用图形变换思想是解题的关键，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值． 37．52π 【分析】每个扇形的圆心角是50°，半径为3，根据扇形面积计算公式计算即可．【详解】⊙菱形ABCD，⊙AD∥BC，OA=OC=12AC=3，⊙⊙ACB=⊙EAO=50°，⊙阴影部分的面积为50952=3602ππ⨯⨯⨯，故答案为：52π．【点睛】本题考查了菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握菱形的性质，灵活运用扇形面积公式是解题的关键．38．1##1-+【分析】由题意根据“瓜豆原理-主从联动”可得Q的点轨迹也是一个圆，找到此圆即可解决问题．【详解】解：如图，取点M（2，-2），连接AM，MQ、PB，⊙⊙MAB=⊙QAP=90°，⊙⊙MAQ=⊙BAP，⊙12 AM AQAB AP==，⊙⊙MAQ⊙⊙BAP，⊙MQ=12PB=1，⊙Q点在以M为圆心，以1为半径的圆上，由图象可得：DQ的最小值为：DM-MQ，AD=OD-OA=6+2-2=6，由勾股定理可得：DM =⊙DQ 的最小值等于：故答案为：．【点睛】本题考查轨迹圆问题，熟悉掌握利用相似三角形的性质解决动点的轨迹是快速解题的关键．39． 245R 【分析】利用全等三角形的性质证明OM =ON ，设OM =ON =m ，则MQ =2m ，求出OQ ，可得结论．再证明⊙AME ⊙⊙DMB ，可得AM EM DM BM，由此构建关系式，可得结论．【详解】解：如图，连接OP ．⊙四边形MNPQ 是正方形，⊙⊙OMQ =⊙ONP =90°，MQ =PN ，⊙OQ =OP ，⊙Rt ⊙OMQ ⊙Rt ⊙ONP （HL ），⊙OM =ON ，设OM =ON =m ，则MQ =2m ，225OQOM MQ m ， ⊙sin⊙AOQ =22555MQ m OQ m ． ⊙AB =2R ，⊙OA =OB =OQ =R ，⊙QM =2MO ， ⊙525sin ,55R R OM OQ AOQ MQ ，55555,,555RAM R R BM R⊙AB 是直径，⊙⊙ACB =⊙DCE =90°，⊙⊙CED =⊙AEM ，⊙⊙A =⊙D ，⊙⊙AME =⊙DMB =90°，⊙⊙AME ⊙⊙DMB ，⊙ AM EM DM BM， 255554.555R DM EMR R245R 【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．40．⊙⊙【分析】根据圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系定理，相似三角形的判定方法，以及其他与圆有关的性质及定理即可判断．【详解】⊙由作图可知，以M 为圆心，BC 为直径的半圆是Rt⊙ABC 的外接圆， ⊙⊙BAC=90°，⊙⊙BAC 是直径所对的圆周角，⊙点A 在半圆M 上，故⊙正确；⊙由分别以B ，C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧交于点D 可知，CA 、CD 是以圆C 的半径，⊙AC=CD ，故⊙正确； ⊙⊙AC 在以M 为圆心、BM 为半径的圆中，CD 在以G 为圆心，以CG 为半径的圆中， ⊙AC CD ，故⊙错误；。

中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含答案

中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含答案一、圆的综合1．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心为 O ．（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）π2 【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论；（2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =CG CD =12，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°．连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴¶3031802AE ππ⋅⨯==．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．2．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .（1）求证：OE ∥BD ；（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5DBA ∠=时，求EF 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212【解析】试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣23B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可；第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan ∠EBA =AE BE =313，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°． ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠FBD =12∠FBA =11202⨯︒=60°． ∵BC 是⊙M 的切线，∴MF ⊥BC ．∵F 是BC 的中点，∴BF =MF =1，∴△BFM 是等腰直角三角形，∴∠MBF =45°，∴∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）连接BM ，过M 作MN ⊥BD ，垂足为N ，作ME ⊥BC 于E ，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠CBD =60°，∴∠NBE =60°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =30°．∵ME =1，∴EB =3，∴3t +3=2t +6，t =6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =120°，∴∠DBC =60°，∴∠NBE =120°．∵点M 与BD 所在的直线的距离为1，∴MN =1，∴BD 为⊙M 的切线．∵BC 是⊙M 的切线，∴∠MBE =60°．∵ME =MN =1，∴Rt △BEM 中，tan60°=ME BE ，EB =160tan ︒=3， ∴3t =2t +6+33，t =6+33；综上所述：当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，t =6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t 的值．4．如图1O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当»»DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O e 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD V 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==o ，求出答案即可；②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案．详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥Q ，，90POB ∴∠=o ，O Q e 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB V 中，30ABC o ∠=，3tan306233OP OB ∴=⋅=⨯=o 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，»»DC AC =Q ，30DBC ABC ∴∠=∠=o ，60ABD o ∴∠=，OB OD =Q ，OBD ∴V 是等边三角形，OD FB ∴⊥， 12BE AB =Q ， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB o ∴∠=∠=，DE ∴是O e 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯=o ，在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=-．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．5．(8分)已知AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB ，弦DC 与OB 交于点F ，在直线AB 上有一点E ，连接ED ，且有ED ＝EF.(1)如图①，求证：ED 为⊙O 的切线；(2)如图②，直线ED 与切线AG 相交于G ，且OF ＝2，⊙O 的半径为6，求AG 的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA=，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．6．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．（1）当BC=233时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222.【解析】试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．试题解析：（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．证明：如图，作以AB为直径的⊙O；∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，∴△ADB≌△ACB，∴∠ADB=∠ACB=90°．∵O为AB的中点，连接DO，∴OD=OB=AB，∴点D在⊙O上．在Rt△ACB中，BC=，AC=2；∴tan∠CAB==，∴∠CAB=∠BAD=30°，∴∠ABC=∠ABD=60°，∴△BOD是等边三角形．∴∠BOD=60°．∴∠ABC=∠BOD，∴FC∥DO．∵DF⊥CG，∴∠ODF=∠BFD=90°，∴OD⊥FD，∴FD为⊙O的切线．（2）延长AD交CG于点E，同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；∴四边形ADBC是圆内接四边形．∴∠FBD=∠1+∠2．同理∠FDB=∠2+∠3．∵∠1=∠2=∠3，∴∠FBD=∠FDB，又∠DFB=90°．∴EC=AC=2．设BC=x，则BD=BC=x，∵∠EDB=90°，∴EB=x．∵EB+BC=EC，∴x+x=2，解得x=2﹣2，∴BC=2﹣2．7．问题发现．(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为______．(2)如图②，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、点N 分别在BD 、BC 上，求CM+MN 的最小值．(3)如图③，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】(1) 125CD =;(2) CM MN +的最小值为9625.(3) 152【解析】试题分析：（1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，求C N '的长即可;(3) 连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，则点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，由AEM ACB V V ∽求得GM 的值，再由ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形求解即可.试题解析：（1）从C 到AB 距离最小即为过C 作AB 的垂线，垂足为D ，22ABC CD AB AC BC S ⋅⋅==V ， ∴341255AC BC CD AB ⋅⨯===，（2）作C 关于BD 的对称点C '，过C '作BC 的垂线，垂足为N ，且与BD 交于M ，则CM MN +的最小值为C N '的长，设CC '与BD 交于H ，则CH BD ⊥，∴BMC BCD V V ∽，且125CH =， ∴C CB BDC ∠=∠'，245CC '=， ∴C NC BCD 'V V ∽， ∴244965525CC BC C N BD ⨯⋅===''，即CM MN +的最小值为9625．（3）连接AC ，则ADC ACG AGCD S S S =+V V 四，321GB EB AB AE ==-=-=，∴点G 的轨迹为以E 为圆心，1为半径的一段弧．过E 作AC 的垂线，与⊙E 交于点G ，垂足为M ，∵AEM ACB V V ∽，∴EM AE BC AC=， ∴24855AE BC EM AC ⋅⨯===， ∴83155GM EM EG =-=-=， ∴ACD ACG AGCD S S S =+V V 四边形，113345225=⨯⨯+⨯⨯， 152=．【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝OB ，点D 是»AC 上一动点，点E 是CD 中点，连接BD 分别交OC ，OE 于点F ，G ．（1）求∠DGE 的度数；（2）若CF OF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若CFOF＝k，求12SS的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)72；(3)12SS=211k kk+++.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得BFGF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出12SS的值．【详解】解：(1)∵BC＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠CDB＝12∠COB＝30°，∵OC＝OD，点E为CD中点，∴OE⊥CD，∴∠GED＝90°，∴∠DGE＝60°；(2)过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3∵∠COB＝60°∴OH＝12OF＝1，∴HF33HB＝OB﹣OH＝2，在Rt△BHF中，BF22HB HF7=+=由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12， ∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中， BF=由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OF CB BF=，即1GO k =+， ∴GO =过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ， ∴PC ＝DE ，∵DE ⊥OE ， ∴12S S =BF GO=1k +=211k k k +++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．9．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA ＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．10．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=45，求⊙O的半径．【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AE AB ，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．11．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为»AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA DBDC+＝；（2）①当点D在»AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当9220PDAC=时，求DEOA的值．【答案】（12；（2）①DA+DB2DC，②S＝12t2﹣14m2；（3）24235DEOA=.【解析】【分析】（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【详解】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为»AB的中点，∴»»AC BC=，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC ＝AB ，在等腰直角三角形DAB 中，DA ＝DB＝22AB ， ∴DA+DB＝2AB ＝2CD ，∴DA DB DC+＝2；（2）①如图2，过点A 作AM ⊥DC 于M ，过点B 作BN ⊥CD 于N ，连接AC ，BC ，由（1）知»»AC BC=， ∴AC ＝BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠BNC ＝∠CMA ＝90°，∴∠NBC+∠BCN ＝90°，∠BCN+∠MCA ＝90°，∴∠NBC ＝∠MCA ，在△NBC 和△MCA 中，BNC CMA NBC MCA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBC ≌△MCA （AAS ），∴CN ＝AM ，由（1）知∠DAE ＝∠DBE ＝45°，AM ＝2DA ，DN ＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝2DB+2DA ＝2（DB+DA ），即DA+DB ＝2DC ；②在Rt △DAB 中，DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，且由①知DA+DB DC t ，∴t ）2＝m 2+2DA•DB ，∴DA•DB ＝t 2﹣12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14m 2；（3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ，则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形，由（1）知»»AC BC =， ∴AC ＝BC ，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴ABAC ，∵20PD AC =，设PD ＝，则AC ＝20，AB ＝，∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，∴△ABD ∽△PBA ， ∴AB BD AD PB AB PA ==，∴=， ∴DB ＝， ∴AD＝，设NE ＝ME ＝x ，∵S △ABD ＝12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴12＝12•x+12•x ，∴x ， ∴DEHE x ＝967，又∵AO ＝12AB ＝102， ∴96242735102DE OA =⨯=．【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．12．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为.（1）问题发现如图1，当时，线段的长等于_________，线段的长等于_________. （2）探究证明如图2，当时，求证：，且. （3）问题解决求点到所在直线的距离的最大值.（直接写出结果）【答案】（1）；；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD 1的长和CE 1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D 1AB=∠E 1AC=135°，进而求出△D 1AB ≌△E 1AC （SAS ），即可得出答案；（3）首先作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，则D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，进而求出PG 的长．【详解】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1=；故答案为：；；（2）证明：由题意可知，，，∵是由绕点逆时针旋转得到，∴，，在和中，，∴，∴，.∵，∴，∴，∴，且.（3）点的运动轨迹是在的上半圆周，点的运动轨迹是在的弧段.即当与相切时，有最大值.点到所在直线的距离的最大值为.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．13．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF ：EF=2：1，求tan ∠CAF 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠OBD=∠OCD=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，根据平行线分线段成比例定理得到AC ：EG=2：1，EG=12AC ，根据三角形的中位线的性质得到OG=12AC 于是得到AC=OE ，求得∠ABC=30°，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵OC=OB ，OD ⊥BC ，∴∠COD=∠BOD ，在△COD 与△BOD 中， OC OB COD BOD OD OD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△COD ≌△BOD ，∴∠OBD=∠OCD=90°，∴BD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，AC ⊥BC ，∵OD ⊥CB ，∴AC ∥DE ，设OD 与BC 交于G ，∵OE ∥AC ，AF ：EF=2：1，∴AC ：EG=2：1，即EG=12AC ， ∵OG ∥AC ，OA=OB ，∴OG=12AC ， ∵OG+GE=12AC+12AC=AC ， ∴AC=OE ， ∴AC=12AB ， ∴∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∵¼¼CE BE=， ∴∠CAF=∠EAB=12∠CAB=30°， ∴tan ∠CAF=tan30°=3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．14．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长；（2）若AF BF =，求O e 的半径；（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.【答案】(1)42CE =；(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r =610，解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC=，即12108GE =，解得即可．【详解】(1)如图，连结OE .∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∵8AC =，O e 半径为2，∴6OC =，2OE =.∴2242CE OC OE =-=；(2)设O e 半径为r .在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，∴226BC AB AC -=. ∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∴OEC ACB ∠=∠，∴OEC BCA ∆~∆.∴OE OC BC BA=，∴8610r r -=，解得3r =.∴O e 的半径为3；(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB CG =.又CE CB =，∴CE CG =.∴EGC GEC ∠=∠.∵CE 切O e 于E ，∴90GEC OEG ∠+∠=︒.又90EGC GMC ∠+∠=︒，∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠，∴OEG OME ∠=∠.∴OE OM =.∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.连结AE 、BE ，∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒.又CE CB CG ==，∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒，∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴GBE ABC ∆~∆.∴GB GE AB AC =，即12108GE =. ∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.15．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是¼AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．【答案】（1）见解析；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，见解析；（3）AH313．【解析】【分析】（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：（1）如图2，在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，∵点F 是¼AFB 的中点，FA ＝FB ，在△FAG 和△FBC 中，,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC （SAS ），∴FG ＝FC ，∵FE ⊥AC ，∴EG ＝EC ，∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，理由：如图3，在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，∵点F 是¼AFB 的中点，∴FA ＝FB ，¶¶ FAFB =, ∴∠FCG ＝∠FCB ，在△FCG 和△FCB 中，,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB （SAS ），∴FG ＝FB ，∴FA ＝FG ，∵FE ⊥AC ，∴AE ＝GE ，∴CE ＝CG+GE ＝BC+AE ；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝2OA ＝4，∠BAC ＝30°， ∴12232BC AB AC ===，，当点P 在弦AB 上方时，如图4，在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ，∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB （SAS ），∴PG ＝PB ，∴PA ＝PG ，∵PH ⊥AC ，∴AH ＝GH ，∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ，∴2322AH =+，∴31AH =，当点P 在弦AB 下方时，如图5，在AC 上截取AG ＝BC ，连接PA ，PB ，PC ，PG∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，在△PAG 和△PBC 中，,AG BC PAG PBC PA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG ≌△PBC （SAS ），∴PG ＝PC ，∵PH ⊥AC ，∴CH ＝GH ，∴AC ＝AG+GH+CH ＝BC+2CH ， ∴2322CH ，=+∴31CH =-，∴()233131AH AC CH =-=--=+，即：当∠PAB ＝45°时，AH 的长为31- 或3 1.+【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.。

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。

初中数学圆形专题训练50题含(参考答案)

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且⊙ACB =35°，则⊙AOB 的度数是（）A ．35°B ．65°C ．70°D ．90°【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得．【详解】解：由圆周角定理得：223570AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．2．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，⊙然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（）A ．RB ．（12）RC ．（12）n －1RD ．n R3．如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分⊙BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：⊙AD平分⊙BAC，⊙BAD CAD∠=∠，故C正确；在⊙ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．4．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若⊙D＝40°，则⊙A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出⊙DOC =50°是解题关键．5．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，65∠=︒ABO ，则ACB ∠的度数是（）A ．50︒B ．25︒C ．35︒D ．20︒6．如图4，在Rt ABC △中，90C =∠，3AC =．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )AB ．3πC ．3πD ．3π 【答案】C 【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC 的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．【详解】解：圆环的面积为πAB 2-πBC 2，=π（AB 2-BC 2），=πAC 2，=32π，=9π．故选C．7．已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2，如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面O中阴影部分的弧长为（）A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，点A，B，C都在圆O上，若⊙C=34°，则⊙AOB为（）A．34⊙B．56⊙C．60⊙D．68⊙【答案】D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解．【详解】解：⊙⊙C=34°，⊙⊙AOB=2⊙C=68°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．下列命题中，真命题的个数是（）⊙同位角相等⊙经过一点有且只有一条直线与这条直线平行⊙长度相等的弧是等弧⊙顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】解：两直线平行，同位角相等，⊙错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，⊙错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，⊙错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，⊙正确．故选A．【点睛】本题考查命题与定理．10．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD AB∥，若PB＝AB＝10，则CD的长为（）A ．6B C ．D ．3 OCF CPE ，四边形12BE OF OF ==，【详解】解：过点⊙OCF CPE ， OF OC CE PC ＝， PB 、PC 分别切⊙O PB PC =，10PB AB ==，11．如图，AB 是O 的直径，ACD 是O 的内接三角形，若6AB =，105ADC ∠=︒，则BC 的长为（）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】C【分析】连接OC 、BC ，根据四边形ABCD 是圆的内接四边形和⊙D 的度数，即可求出303602π=，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识，根据圆12．将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B ，与直角三角板相切于点C ，且3AB =，则光盘的直径是（）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D13．如图，正五边形ABCDE，则⊙DAC的度数为()A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【分析】根据正五边形和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】⊙在正五边形ABCDE中，AE＝DE＝AB＝BC，⊙E＝⊙B＝⊙EAB＝108°，⊙⊙EAD＝⊙BAC＝36°，⊙⊙DAC＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：B.【点睛】此题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，然后根据等面积法得出斜边的高相等，这样问题就容易解决了.【详解】如图：⊙菱形对角线互相垂直平分，⊙AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA.⊙⊙ABO⊙⊙BCO⊙⊙CDO⊙⊙DAO.⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又⊙AB=BC=CD=DA，⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.⊙O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是画出图形进行分析.15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG ，CD ，则下列结论不一定成立的是（）A ．CE =DEB ．⊙ADG =⊙GABC ．⊙AGD =⊙ADC D ．⊙GDC =⊙BAD 【答案】D 【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙CE =DE ，A 成立；⊙G 是AB 的中点，⊙AG BG =，⊙⊙ADG =⊙GAB ，B 成立；⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙AC AD =，⊙⊙AGD =⊙ADC ，C 成立；⊙GDC =⊙BAD 不成立，D 不成立，故选D ．16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（）A ．24.25m πB ．23.25m πC ．23m πD ．22.25m π【答案】D 【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可．17．下列命题为真命题的是（）A ．同旁内角互补B ．三角形的外心是三条内角平分线的交点C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．若甲、乙两组数据中，20.8S =甲，2 1.4S =乙，则乙组数据较稳定【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差一一判断即可．【详解】解：A 、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；B 、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；D 、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S 甲2=0.8，S 乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差解答．18．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D ，E 两点，且⊙ACD=45°，DF⊙AB 于点F ，EG⊙AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )A．B．C．D．19．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE 的中点，连接DF.给出以下四个结论：⊙BD＝DC；⊙AD＝2DF；⊙BD DE；⊙DF是⊙O的切线.其中正确结论的个数是：（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【详解】连接AD，OD，⊙AB是直径，⊙⊙ADB=⊙AEB=90°，又⊙AB=AC，⊙BD=DC，故⊙正确；⊙F是CE中点，BD=CD，⊙BE//DF，BE=2DF，但没有办法证明AD与BE相等，故⊙错误；⊙AB=AC，BD=CD，⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙BD=DE，⊙BD=DE，故⊙正确；⊙⊙AEB=90°，⊙⊙BEC=180°-⊙AEB=90°，⊙BE//DF，⊙⊙DFC=⊙BEC=90°，⊙O为AB的中点，D为BC的中点，⊙OD//AC，⊙⊙ODF=⊙DFC=90°，⊙OD是半径，⊙DF是⊙O的切线，故⊙正确，所以正确的结论有3个，故选B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的中位线等，能根据具体的图形选择和灵活运用相关性质解题是关键.二、填空题20．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则⊙BAC＝_____．【答案】132°##132度【详解】解：⊙正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，⊙⊙BAC=360°－108°－120°=132°．故答案为132°．21．已知直角⊙ABC中，⊙C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.【答案】1【分析】O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：⊙ODC=⊙OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.【详解】解：如图所示，O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF⊙⊙ODC=⊙OEC=90°22．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，则BC ＝_______．【答案】10【分析】从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，据此分析解答．【详解】⊙AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，⊙BF ＝BE ＝4，CF ＝CG ＝6，⊙BC ＝BF ＋FC ＝10，故填：10．【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．23．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为26cm π，则这个扇形的弧长为__________ cm（结果保留π）24．如图，在O 中，弦AC =B 是圆上一点，且=45ABC ∠︒,则O 的半径R =_____．25．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，⊙A =45°，则⊙C 的度数 _____________ ．【答案】135°【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得结论．【详解】∵⊙O的内接四边形ABCD中，⊙A＝45°，⊙⊙C＝135°．故答案为135°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的度数是________°．【答案】105【详解】⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙DAB+⊙DCB=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DCB+⊙DCE=180°，⊙⊙DCE=⊙DAB=105°．故答案为10527．如图，圆O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是____cm．【答案】3【分析】由当OP⊙AB时，OP最短，根据垂径定理，可求得AP的长，然后由勾股定28．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB 沿着AP 翻折到⊙PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得⊙B CD 为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 __．为直径作O ，当点为直角三角形且唯一，在Rt ADO 中，根据22OD OA ，可得，计算可得答案．为直径作O ，当点到O 的最小距离等于得B CD '为直角三角形且唯一，Rt ADO 中，2AD OD +22211())22b a a +=+，整理得22b =，a>，∴=2b29．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：⊙将半径2的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；⊙分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；⊙连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案是_________2222OA，(23)222.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理解直角三30．半径为O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若⊙OBD是直角三角形，则弦BC的长为_______________．31．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上异于A、B的一点，若⊙P＝40°，则⊙ACB的度数为_________________.【答案】110°【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出⊙AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出⊙ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出⊙ACB的度数．【详解】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示：⊙PA、PB是⊙O的切线，⊙OA⊙AP，OB⊙BP，⊙⊙OAP=⊙OBP=90°，又⊙⊙P=40°，⊙⊙AOB=360°-（⊙OAP+⊙OBP+⊙P）=140°，32．如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =．将矩形沿EF 折叠，使点A 落在CD 边中点M 处，点B 落在N 处．连接EM ，以矩形对称中心O 为圆心的圆与EM 相切于点P ，则圆的半径为________．33．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．34．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，⊙ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则⊙ABD=_________ 度．【答案】45.【详解】试题解析：⊙CD 平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD=45°⊙⊙ABD=⊙ACD=45°．考点：圆周角定理．35．如图，在平面直接坐标系xOy 中，()40A ，，()03B ，，()43C ，，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点'I 的坐标为________．【答案】（-2，3）【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【详解】解：过点作IF⊙AC于点F，IE⊙OA于点E，⊙A（4，0），B（0，3），C（4，3），⊙BC=4，AC=3，则AB=5，⊙I是⊙ABC的内心，⊙I到⊙ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，⊙IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），⊙⊙ABC绕原点逆时针旋转90°，⊙I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故答案为：（-2，3）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．36．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2．S=ABC⊙内接正六边形的面积是故答案是：37．圆心角为40°，半径为2的扇形面积为________．38．如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为_____【答案】【详解】连接OC，过O点作BC垂线，设垂足为F，根据垂径定理、勾股定理可以得到OC=5，CF=4，OF=3，在等腰三角形CDE中，高=OF=3，底边长DE=10-8=2，根据勾股定理即可求出CE．解：连接OC，过O点作OF⊙BC，垂足为F，交半圆与点H，⊙OC=5，BC=8，⊙根据垂径定理CF=4，点H为弧BC的中点，且为半圆AE的中点，⊙由勾股定理得OF=3，且弧AB=弧CE⊙AB=CE，又⊙ABCD为平行四边形，⊙AB=CD，⊙CE=CD，⊙⊙CDE为等腰三角形，在等腰三角形CDE中，DE边上的高CM=OF=3，⊙DE=10-8=2，⊙由勾股定理得，CE2=OF2+（DE）2，⊙CE=，故答案为．本题考查了勾股定理和垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．39．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则⊙BAC的度数是_____．三、解答题40．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，交⊙O于点E.（1）求证：AC平分⊙DAB；（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.41．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使⊙ACD＝⊙B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．42．如图，已知、是⊙的切线，、为切点．直径的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号与）．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）连接，根据是⊙的切线，由切线长定理得到AP=BP,OP平分⊙APB，根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊙AB，再根据AC是⊙O的直径，得到⊙ABC=90°，即AB⊙BC，BC⊙OB，得到内错角相等，由等量代换得到结果.（2）根据切线长定理和三角形全等，S△OPA=S△OPB，通过解直角三角形得到OB,PB,再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论.试题解析：(1)证明：连接. 1分⊙是⊙的切线,⊙平分. 2分.⊙是⊙的直径,⊙, 即：. 3分⊙.⊙. 4分,⊙. 5分(2) 连接.⊙，⊙⊙、是⊙的切线，⊙，，又⊙⊙⊙⊙.⊙. 6分在中，,. 7分在中，,⊙. 8分⊙.⊙,.⊙. 9分⊙所求的阴影面积：. 10分考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.43．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知AB为O的直径，O过AC 的中点D．DE为O的切线．(1)求证：DE BC ⊥(2)王老师说：如果添加条件“1DE =，1tan 2C =”，则能求出O 的直径．请你写出求解过程．DE 为O 的切线，OD DE ∴⊥，即∠AB 为O 的直径，OA OB ∴=，即点点D 为AC 的中点，OD BC ∴∥，CED ODE ∴∠=∠=BC ．DE BC ⊥1tan DE CE ∴=O∴的直径为【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．44．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，⊙B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．45．如图，在O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD BC ，，25ADC ∠=︒．(1)求证：AD BC =；(2)求证：AE CE =；(3)若弦BD 经过点O ，求BEC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)65︒【分析】（1）由AB CD =，推出AB CD =，推出BC AD =；（2）证明AED CEB ≌可得结论；（3）先求出90BCD ︒∠=，再求出25CBE，即可得答案．【详解】（1）解：AB CD =，C ABD ∴=， AB AC CD AC ∴-=-，BC AD ∴=；（2）BC AD ，BC AD ∴=，ADE ∠和CBE ∠都是AC 的圆周角，ADE CBE ∴∠=∠，AED CEB ，AED CEB ∴≌，AE CE ∴=；（3）25ADC ，25CBE ，弦BD 经过点O ，BD ∴是O 的直径，90BCD ︒∴∠=，⊙在CEB 中，18065BEC BCD CBE ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是90︒，三角形的内角和，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．如图，在ABC 中，90ABC ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 交于点D ，连接DE 、DE 、OC ，且//DE OC ．()1求证：AC 是O 的切线；()2若8DE OC ⋅=，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）先由OD=OE ，利用等边对等角可得⊙2=⊙3，再利用DE⊙OC ；进而利用平行线的性质，可得⊙3=⊙4，⊙1=⊙2，等量代换可得⊙1=⊙4；再结合OB=OD ，OC=OC ，利用SAS 可证△DOC⊙⊙BOC ，那么⊙CDO=⊙CBO ，而⊙ABC=90°，于是⊙CDO=90°，即CD 是 O 的切线；（2）由（1）可知⊙2=⊙4，而⊙CDO=⊙BDE=90°，易证△CDO⊙⊙BDE ，可得比例线段，OD ：DE=OC ：BE ，又BE=2OD ，可求OD ．【详解】()1证明：连接OD ，⊙OE OD =，⊙23∠=∠，又⊙//DE OC ，⊙12∠=∠，34∠=∠，⊙14∠=∠；在DOC 和BOC 中，OD OB =，14∠=∠，OC OC =，⊙DOC BOC ≅，⊙CDO CBO ∠=∠；⊙90ABC ∠=，⊙90CDO ∠=，⊙CD 是O 的切线；()2⊙BE 是直径，⊙90BDE ∠=，在COD 和BED 中，24∠=∠，90EDB ODC ∠=∠=，⊙COD BED ∽，⊙::OD DE OC BE =；又⊙2BE OD =，⊙22OD DE OC =⋅，⊙2OD =．【点睛】考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质.综合性比较强，难度较大. 47．已知：对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ，O 的半径为4，交x 轴于点A ，B ，对于点P 给出如下定义：过点C 的直线与O 交于点M ，N ，点P 为线段MN 的中点，我们把这样的点P 叫做关于MN 的“折弦点”．(1)若()2,0C -⊙点()10,0P ，()21,1P -，()32,2P中是关于MN 的“折弦点”的是______；⊙若直线y kx =0k ≠）上只存在一个关于MN 的“折弦点”，求k 的值；(2)点C 在线段AB 上，直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”，直接写出b 的取值范围．与D相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出【详解】（1））与D相切，与D相交或相切，=+垂直直线y xy轴交于点重合时，b有最大值，此时48．如图1，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接CB ，过C 作CD AB ⊥于点D ，过点C 作BCE ∠，使BCE BCD ∠=∠，其中CE 交AB 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)如图2，点F 在O 上，且满足2FCE ABC ∠=∠，连接AF 并延长交EC 的延长线于点G ．若4CD =，3BD =，求线段FG 的长．CD OB ⊥DCB ∴∠+∠BCE ∠=∠OC OB=OCB∴∠=OCB∴∠+即：OC⊥CE∴是O的切线．（2）过点O作OHFCE∠=FCE∴∠=FCE∠=FCO∴∠OC CE⊥DCO∴∠+DCO∴∠=DCO∴∠=CDO∠=OCH∴∆≅CH CD∴=8CF∴=设OB OC=2OC OD=2(x x∴=解得：256 x．256OB OC∴==．CDB中，OC CG ⊥GCF ∴∠GCF ∴∠AFCB 是圆的内接四边形，GFC ∴∠GFC∴∆∽∴GF CF BC OC=GF =49．问题探究：（1）如图⊙，已知在⊙ABC 中，BC ＝4，⊙BAC ＝45°，则AB 的最大值是．（2）如图⊙，已知在Rt ⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为⊙ABC 内一点，且AD＝BD ＝2．，CD ＝6，请求出⊙ADB 的度数．问题解决：（3）如图⊙，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区⊙ABC ，且AB ＝A C ．⊙BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是⊙ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即⊙APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值．的外接圆O，连接）如图⊙，作⊙的外接圆O，连接BAC＝90°，OB是等腰直角三角形的外接圆O，连接AKC＝⊙APB 是等边三角形。

与圆有关的分类讨论题含答案

与圆有关的分类讨论题(含答案)与圆有关的分类讨论题一．选择题1．如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）A．B．1 C．1或3 D．2．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）A． B．C．或D．a+b或a﹣b3．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（）A．3 B．C．或D．3或二．填空题4．如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______．5．已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm．6．⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x 2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为______．7．已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______．8.若Rt△ABC的内一个内角为30°，它的外接圆○O的半径为2，OD⊥AC交AC于D，则OD=________9、已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为23cm，则弦的中点到这条弦所对弧的中点的距离为_______________cm。

10、已知：⊙O半径OA=1，弦AB、AC长分别为2、1则∠BAC=________________。

11、如图，直线AB、CD相交于点D，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么____________秒钟后⊙P与直线CD相切。

12、已知等腰⊿ABC内接于半径为5的⊙O 中，如果底边BC的长为8，则BC边上的高为____________________。

13.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。

备战中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案

备战中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案一、圆的综合1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD ，∵OD=OA ，∴∠ODA=∠A ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC ∥AB ，∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，∴∠EOC=∠DOC ，在△EOC 和△DOC 中，OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC （SAS ），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，∴△CDO 为直角三角形，∵S △CDO =12CD•OD ，又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=12×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．2．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是⊙A的切线；（3）若OD=10，求⊙A的半径．【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 .【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．∵四边形OBCD是平行四边形，∴∠B=∠ODC∵四边形OHCD是圆内接四边形∴∠OHB=∠ODC∴∠OHB=∠B∴OH=OB=2∴在Rt△OMH中，∵∠BOH=30°，∴MH=12OH=1，OM=3MH=3，∴点H的坐标为（1，﹣3），（2）连接AC．∵OA=AD，∴∠DOF=∠ADO∴∠DAE=2∠DOF∵∠PCD=2∠DOF，∴∠PCD=∠DAE∵OB与⊙O相切于点A∴OB⊥OF∵OB∥CD∴CD⊥AF∴∠DAE=∠CAE∴∠PCD=∠CAE∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；（3）解：⊙O的半径为r．在Rt△OED中，DE=12CD=12OB=1，OD=10，∴OE═3∵OA=AD=r，AE=3﹣r．在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1解得r=53．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．3．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如答图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴»».∴∠AGF=∠ABG.AC AD∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =，即51045=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.4．如图，在直角坐标系中，已知点A (－8，0)，B (0，6)，点M 在线段AB 上。

中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA．（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）433π-.【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3BH=3，OB=2OH=23，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6， ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴OA=OB=OC=23 ∵∠AOC=120°， ∴=AOBAOB S S S -阴影扇=21202313()23602π-⨯⨯=4339π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.2．如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作圆O ，与斜边交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）连接OE ，AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AOED 是平行四边形？并在此条件下求sin ∠CAE 的值．【答案】(1)见解析;(2)1010. 【解析】分析：（1）要证DE 是⊙O 的切线，必须证ED ⊥OD ，即∠EDB+∠ODB=90°（2）要证AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又BD ⊥AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．详解：（1）证明：连接O 、D 与B 、D 两点， ∵△BDC 是Rt △，且E 为BC 中点， ∴∠EDB=∠EBD ．（2分）又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°， ∴∠EDB+∠ODB=90°． ∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，若要四边形AOED 是平行四边形，则DE ∥AB ，D 为AC 中点，又∵BD ⊥AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形． ∴∠C AB=45°．过E 作EH ⊥AC 于H ，设BC=2k ，则EH=22k ，AE=5k ， ∴sin ∠CAE=1010EH AE．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．3．如图，已知AB 为⊙O 直径，D 是BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线交AD 的延长线于F ．（1）求证：直线DE 与⊙O 相切；（2）已知DG ⊥AB 且DE =4，⊙O 的半径为5，求tan ∠F 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC 、OD ，由D 是弧BC 的中点，可知：OD ⊥BC ；由OB 为⊙O 的直径，可得：BC ⊥AC ，根据DE ⊥AC ，可证OD ⊥DE ，从而可证DE 是⊙O 的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO 的长，再利用锐角三角函数关系得出tan ∠F 的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD ，BC ，∵D 是弧BC 的中点，∴OD 垂直平分BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AC ⊥BC ，∴OD ∥AE ．∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：∵D 是弧BC 的中点，∴DC DB =，∴∠EAD =∠BAD ，∵DE ⊥AC ，DG ⊥AB 且DE =4，∴DE =DG =4，∵DO =5，∴GO =3，∴AG =8，∴tan ∠ADG =84=2，∵BF 是⊙O 的切线，∴∠ABF =90°，∴DG ∥BF ，∴tan ∠F =tan ∠ADG =2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG ，DG 的长是解题关键．4．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;(3)若3(22)OG DE =-，求⊙O 的面积.【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π 【解析】试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DEAD DB=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=-（）．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．5．（1）问题背景如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AB=AC ，P 为BmC 上一动点（不与B ，C 重2PA=PB+PC ．小明同学观察到图中自点A 出发有三条线段AB ，AP ，AC ，且AB=AC ，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴2AP=QB+BP=PC+PB，∴2．（2）如图②中，连接OA ，将△OAC 绕点A 顺时针旋转90°至△QAB ，连接OB ，OQ ，∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ，即OC 最小值是32﹣3；（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=43OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC =43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2， ∴OC 的最小值为34×2=32，故答案为32．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6．在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，），点O （0，0）．△AOB 绕着O 顺时针旋转，得△A'OB'，点A 、B 旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．【解析】【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,∴△OAA'是等边三角形,∴α＝∠AOA'＝60°,∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,∴B'C ＝OB’＝,∴OC＝3,∴B'（3,）,（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,即AA'⊥BB';（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,∵∠APB＝90°,∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P 的轨迹为以点M 为圆心,以MP 为半径的圆．7．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC 于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=322）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】（1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（2c ）（2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ．【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42． ∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ，又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯，解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ，在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14．（3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90°∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点，设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴，∴NF=b -，CK=a -，又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a b (a b 2222=+++-），化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ），将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴m=c 222==，即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．8．如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）1010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH 中点O ，连接OD∵FH ∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB 与圆相切于点F ，∴FH 为圆的直径，即O 为圆心∵FH ∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10 ∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan∠ADB=ABBD=tan∠MOD=3∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910−310＝610设CE=CD=x，则BC=310+x，AC=610+x∵AB2+BC2=AC2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC各边长AB=910，AC=1510，BC=1210【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．9．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）6；（2）①证明见解析；33．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=1722AE=1322【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴AE=BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．（2）如图2中．作EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ．∵CE 平分∠ACB ，EH ⊥BC 于H ，EF ⊥CA 于F ，∴EH =EF ，∠EFA =∠EHB =90°．∵AE =BE ，∴AE =BE ，∴Rt △AEF ≌Rt △BEH ，∴AF =BH ，设AF =BH =x ．∵∠F =∠FCH =∠CHE =90°，∴四边形CFEH 是矩形．∵EH =EF ，∴四边形CFEH 是正方形，∴CF =CH ，∴5+x =12﹣x ，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC 2CF =22，AE 22EF AF +2217722（）（）+1322．点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

(专题精选)初中数学圆的分类汇编及答案

（专题精选）初中数学圆的分类汇编及答案一、选择题1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；点A 到BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确;勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DE DE ππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.【点睛】主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯= ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．3．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（）A ．13πB ．1324π+C ．1324π-D ．524π+【答案】C【解析】【分析】先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解．【详解】解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==⨯⨯，S 扇形EAD 24036094ππ==⨯⨯，S 矩形ABCD 6424=⨯=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ）＝9π﹣（24﹣4π）＝9π﹣24+4π＝13π﹣24故选：C ．【点睛】本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键．4．已知下列命题：①若a ＞b ，则ac ＞bc ；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a ＞b ，则ac ＞bc 是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A ．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A．34B．13C．12D．14【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.6．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C()A．54°B．27°C．36°D．46°【答案】C【解析】【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.【详解】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝54°，∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，∴∠ACB＝12∠AOB＝36°．故答案为C．【点睛】本题考查了三角形内角和和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.7．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN ，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B 选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°， ∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN ∥CD ，故C 选项正确；∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．8．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．【详解】解：∵AB CD =，∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ， ∴BE ＝DF ，又∵OB ＝OD ， ∴由勾股定理可知OE ＝OF ，即A 、B 、C 正确，D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC=3，AC=4，则sin ∠ABD 的值是（）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC ，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin ∠ABD 的值．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧AC=弧AD ，∴∠ABD=∠ABC ．根据勾股定理求得AB=5，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45．故选D ．此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B3C．23D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由3【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝3，∴⊙O3，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．13B．12C．34D．1【答案】B【解析】【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．圆锥的底面周长是：π；设圆锥的底面半径是r ，则2πr=π．解得：r=12．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 31③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13．下列命题中哪一个是假命题（）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，且AB AC =，56ABC ∠=︒，O 的直径CD 交AB 于点E ，则AED ∠的度数为（）A ．99︒B ．100︒C ．101D ．102︒ 【答案】D【解析】【分析】连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠A ，从而根据圆周角定理得出∠BOC ，再根据OB=OC 得出∠OBC ，即可得到∠OBE ，再结合外角性质和对顶角即可得到∠AED 的度数.【详解】解：连接OB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=56°，∴∠A=180°-56°-56°=68°=12∠BOC ， ∴∠BOC=68°×2=136°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°-136°）÷2=22°，∴∠OBE=∠EBC-∠OBC=56°-22°=34°，∴∠AED=∠BEC=∠BOC-∠OBE=136°-34°=102°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是作出辅助线OB ，得到∠BOC 的度数.15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则BC 的长为( )A ．3πB ．23πC 3πD 23π 【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==，BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，∴3CE DE ==，BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =， ∴BC 的长=BD 的长=60221803ππ⨯=，故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.16．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A ．考点：正多边形和圆．17．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD 的度数是（）A ．86°B ．94°C ．107°D ．137° 【答案】D【解析】【分析】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中， OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．20．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 中点，且4AB =，CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，则OD 的最小值为（）．A ．1B 2C 21D ．222【答案】D【分析】根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO 最小时，DO 为三角形ABC 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解： CD ，AD 分别平分ACB ∠和CAB ∠，交于D 点，D ∴为ABC ∆的内心，OD ∴最小时，OD 为ABC ∆的内切圆的半径，,DO AB ∴⊥过D 作,,DE AC DF BC ⊥⊥ 垂足分别为,,E F,DE DF DO ∴==∴ 四边形DFCE 为正方形， O 为AB 的中点，4,AB =2,AO BO ∴==由切线长定理得：2,2,,AO AE BO BF CE CF r ======sin 4522,AC BC AB ∴==•︒=222,CE AC AE ∴=-=-四边形DFCE 为正方形，,CE DE ∴=222,OD CE ∴==-故选D ．【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．。

初中数学圆形专题训练50题答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．函数233y x =--自变量x 的取值范围是（）． A ．0x ≠ B ．1x ≠ C ．1x > D ．1x <2．反比例函数y=ｋｘ的图象经过点(-1,2)，k 的值是( ) A ．－1 B ． 1 C ．－2 D ．2 3．如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，若66B ︒∠=，则OAC ∠的度数为（）A ．24︒B ．29︒C ．33︒D ．132︒ 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b ab =+≠的图象与反比例函数(0)ab y ab x=≠的图象大致可以是（） A ． B ．C ．D ．5．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为150°，AB 的长为30cm，BD的长为15cm，则DE的长为（）A．254cmπB．252cmπC．25cmπD．50cmπ6．已知点A（3a+1，﹣4a﹣2）在第二、四象限角平分线上，则a2009+a2010的值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s（米）与行进时间t（分钟）的函数图象的示意图.你认为正确的是（）A．B．C．D．8．如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（）A．2y x B．4yx=C．3yx=-D．12y x=9．如图，点P为反比例函数myx=上的一点，PA x⊥轴于点A，C为y轴上一点．如果PCA 的面积为2，则二次函数()221y m x mx =--+的顶点在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 10．对于圆的周长公式C =2πR ，下列说法错误的是（）A ．π是变量B ．R、C 是变量 C ．R 是自变量D ．C 是因变量 11．已知圆O 的半径是3，A ，B ，C 三点在圆O 上，∠ACB=60°，则弧AB 的长是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．12π 12．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为60cm ，如果再注入一些油后，油面AB 上升10cm ，油面宽变为80cm ，则该圆柱形油槽直径MN 为( )A ．55cmB ．60cmC ．80cmD ．100cm 13．下列一次函数中，y 随x 增大而减小的是( )A ．3y x =B ．32y x =-C ．32y x x =+D ．32y x =-- 14．一次函数y =mx +n 的图象经过一、二、四象限，点A （1，y 1），B （3，y 2）在该函数图象上，则（）A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 215．已知抛物线()2210y ax ax a =-+<，当12x -≤≤时，y 的最大值为2，则当12x -≤≤时，y 的最小值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．2- 16．如图，O 的半径为6，将劣弧沿弦AB 翻折，恰好经过圆心O ，点C 为优弧AB 上的一个动点，则ABC 面积的最大值是（）A．B．C．D．18+17．关于二次函数223y x x=-++，下列说法中不正确．．．的是（）A．图象开口向下B．图象的对称轴是1x=C．当1x>时，y随x的增大而增大D．函数的最大值为418．若点B（a，0）在以点A（1,0）为圆心，以3为半径的圆内，则a的取值范围是（）A．-2＜a＜4B．a＜4C．a＞-2D．a＞4或a＜-219．二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝cx与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．20．给出下列函数：∠y=31(1)31(1)x xx x-≥⎧⎨--<⎩；∠y=3x；∠y=3x2．从中任取一个函数，取出的函数符合条件“当x＞1时，函数值y随x增大而减小”的概率是（）A ．1B ．23 C ．13 D ．0二、填空题21．若点P （a ，a ﹣4）在第四象限，则点N （﹣a ，4﹣a ）在第 _____象限． 22．已知一次函数32y x =-+，那么y 的值随x 的增大而________.23．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ，B ，若对称轴为直线=1x -，点A 的坐标为（-3，0），则不等式20ax bx c ++>的解集为______．24．若点A （2，n ）在x 轴上，则点B （n+2，n-5）位于第______象限．25．抛物线244y x x =-+与坐标轴有_______个交点．26．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为26cm π，则这个扇形的弧长为__________ cm（结果保留π）27．已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于A ，B 两点，若点A 坐标为（﹣1，0），则点B 的坐标为_____．28．点()1,23A m m --在第一、三象限夹角的角平分线上，则m 的值为_________．29．把函数22y x x =-化为2()y a x h k =-+的形式为________．30．已知点(32,4)N a a --到x 轴的距离等于到y 轴的距离的2倍，则a 的值为__________．31．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示，则抛物线的对称轴是____．32．如图，这是一个铅皮做成的无盖半圆锥状容器，它是由半个圆锥侧面和一个等腰三角形围成的．若不考虑容器厚度、接缝以及余料等因素，则根据图中给出的尺寸，制造这样一个容器需要铅皮____cm 2．33．若抛物线 ()22y a x =- 的开口向上，则 a 的取值范围是________．34．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为__________．35．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5.则△ABC 的内切圆半径r ＝____．36．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为________． 37．我们规定:平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R ＝D －d ．在平面直角坐标系xOy 中，图形G 为以原点O 为圆心，2为半径的圆，则点A(1，－1)到图形G 的距离跨度是_______． 38．如图，点、、A B C 在半径为8的O 上，过点B 作//BD AC ，交OA 延长线于点D ．连接BC ，且30BCA OAC ︒∠=∠=，则图中阴影部分的面积为__________．39．一圆锥的侧面展开图的圆心角为90︒，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为_______．40．在平面直角坐标系中，已知点()4,0A -，点()0,4B ，点()4,4C -，动点D 从A 点出发，以每秒1个单位的速度水平向右运动，动点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度竖直向上运动，过点A 作AG CE ∥交CD 于点G ，当线段OG 的值最小时，则运动时间t 的值为 _____．三、解答题41．如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．(1)求证：AE 是O 的切线；(2)若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．42．如图，∠ABC 内接于∠O ，AB 是∠O 的直径，I 是∠ABC 内一点，AI 的延长线交BC 于点D ，交∠0于点E ，连接BE ，BI ，若IB 平分∠ABC ，EB =EI ．(1)求证：AE 平分∠BAC ；(2)若BD OI ∠AD 于点I ，求BE 的长．43．如图，O 是ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接,BD CD ，过点D 作DP BC ∥，与AC 的延长线交于点P ．(1)求证：DP 是O 的切线；(2)当3cm,4cm AB AC ==时，求线段PC 的长．44．如图，一条直线11y k x b =+与反比例函数22k y x=的图象交于A （1，5）、B （5，n ）两点，与x 轴交于C 点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求C 点坐标(3)请直接写出当12y y ＜时，x 的取值范围；45．如图，已知AB 是O 直径，且8AB =，C ，D 是O 上的点，OC BD ∥，交AD于点E，连接BC，30CBD∠=︒．(1)求COA∠的度数；(2)求图中弧BD与弦BD围成的阴影部分的面积（结果保留π）．46．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合；矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为300元2/米，种植花卉的面积为S()2米，草坪均价为200元2/米，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值．（2）若矩形MFNC满足:1:2MF FN=．∠求MF，FN的长．∠若甲、乙、丙三种花卉单价分别为180元2/米，90元2/米，180元2/米，且边BN的长不小于边ME长的54倍．求图中I、II、III三个区域栽种花卉总价W的最大值．47．如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（＋1，＋4），从B到A的爬行路线为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），B→D（，），C→ （＋1，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），最终到达甲虫P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置．48．如图，O是ABC∆的外接圆，AB是O的直径，点D在O上，AC平分BAD∠，过点C的切线交直径AB的延长线于点E，连接AD、BC．（1）求证：BCE=∠∠CAD．（2）若O的半径长为r，AD m=，写出求线段CE长的思路（不用求出结果）．49．如图，点P是∠O直径AB上的一点，过P作直线CD∠AB，分别交∠O于C、D两点，连接AC，并将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接ED，分别交∠O和A、B于F、G，连接FC，（1）求证：∠ACF＝∠AED；（2）若点P在直径AB上运动（不与点A，B重合）其他条件不变，请问EGAP是否为定值？若是，请求出其值，若不是，请说明理由．50．已知△ABC内接于∠O，CD为直径，CD交AB边于点E，且CE=AC．（1）如图1，求证∠ACD=2∠BCD；（2）如图2，过点O作OF∠AC，过点B作BH∠CD，求证：AC=2OH；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作AB的垂线交BC于点K，连接EF，AD，若AD+AC=14，且∠AFE+∠CEF=90°，求CK的长．参考答案：1．B【分析】根据分式的分母不为零进行求解即可.【详解】根据题意，330x -≠，解得1x ≠，故选：B.【点睛】本题主要考查了反比例函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的性质是解决本题的关键.2．C【详解】∠反比例函数y=ｋｘ经过（-1，2），∠k=-1×2=-2.故选C. 3．A【分析】根据圆周角定理得到2132AOC B ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可．【详解】解：66B ∠=︒，2132AOC B ∴∠=∠=︒，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，11(180)(180132)2422OAC AOC ∴∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．4．C【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a ，b 的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出a ，b 的符号，至此找出一次函数和反比例函数a ，b 的符号一致的选项即可．【详解】解：A.由一次函数图象知a ，b 异号，由反比例函数图象知a ，b 同号，故该选项错误，不符合题意；B.由一次函数图象知a ，b 同号，由反比例函数图象知a ，b 异号，故该选项错误，不符合题意；C.由一次函数图象知a ，b 异号，由反比例函数图象知a ，b 异号，故该选项正确，符合题意；D.由一次函数图象知a ，b 异号，由反比例函数图象知a ，b 同号，故该选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出a ，b 的符号，明确系数与函数图象的关系．5．B【分析】根据AB ＝30cm ，BD ＝15cm ，可以得到AD 的长，然后根据AB ，AC 夹角为150°和弧长计算公式可以得到DE 的长．【详解】∠AB ＝30cm ，BD ＝15cm ，AB ，AC 夹角为150°，∠AD ＝AB ﹣BD ＝15cm ，∠DE 的长为：15015180π⨯⨯＝252π（cm ），故选：B ．【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握计算公式是解题关键．6．B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，以及第二、四象限点的横坐标与纵坐标的符号相反列出方程求解即可．【详解】解：∠点A （3a +1，﹣4a ﹣2）在第二、四象限的角平分线上，∠3a +1＝﹣（﹣4a ﹣2），解得a ＝﹣1，∠a 2009+a 2010＝﹣1+1＝0．故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质和平面直角坐标系各象限的点的坐标特征，熟知两个知识点是解题关键．7．C【详解】试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD 两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，排除A ，故选C.考点：函数的图象．8．B【分析】此题考查反比例函数图象的性质；【详解】反比例函数(0)k y k x=≠，当0k >时，图像分布在第一、三象限；当0k <时，图像分布在第二、四象限；所以选B9．D【分析】先根据反比例函数比例系数的几何意义求出m 的值，然后求出二次函数的顶点坐标即可得到答案．【详解】解：∠点P 为反比例函数m y x=上的一点，PA x ⊥轴于点A ，C 为y 轴上一点，PCA 的面积为2， ∠24PCA m S ==△，又∠反比例函数图象经过第一象限，∠4m =，∠二次函数解析式为()22241211y x x x =-+=--， ∠二次函数的顶点坐标为()11-，， ∠二次函数()221y m x mx =--+的顶点在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，二次函数图象的性质，判断点所在的象限，正确求出m 的值是解题的关键．10．A【详解】解：A ．π是一个常数，是常量，故选项符合题意；B ．R 、C 是变量，故选项不符合题意；C ．R 是自变量，故选项不符合题意；D ．C 是因变量，故选项不符合题意．故选：A ．11．A【详解】分析：先根据同弧所对的圆心角是其所对圆周角的2倍求出∠AOB 的度数，再根据扇形的弧长公式计算.详解：如图，∠∠AOB 与∠ACB 对的弧相同，∠ACB =60°，∠∠AOB =2∠ACB =120°， ∠12032180180n R l πππ⨯⨯===．故选A ．点睛：本题考查了圆周角定理和弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是n º，扇形的半径是R ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n R l π=. 12．D【分析】若油面AB 上升后到达油面CD ，过圆心O 作圆的半径OE 垂直于AB ，设垂足为H ，交CD 于点G ，连接OA 、OC ，设出OG 的长度，在两直角三角形中利用勾股定理分别可得OA 、OC 的长度，利用圆的半径相等，即OA=OC 可求得OG ，进而可求MN 的长度【详解】解：如图：若油面AB 上升后到达油面CD ，过圆心O 作圆的半径OE 垂直于AB ，设垂足为H ，交CD 于点G ，连接OA 、OC ，由垂径定理可得：CG=40，AH=30设OG=x ，则OH=x+10在直角三角形OGC 中：22240OC x =+在直角三角形OHA 中：()2221030OA x =++OC OA =()2222401030x x ∴+=++ 解得x=30代入22240OC x =+可得22500OC =0OC >50OC ∴=2100MN OC ∴==故选：D【点睛】本题考查垂径定理的应用及勾股定理，根据垂径定理构造直角三角形是解决本题的关键13．D【详解】∠A ，B ，C 中，自变量的系数大于0，∠y 随x 增大而增大；∠D 中，自变量的系数小于0，∠y 随x 增大而减小；故选D.14．A【分析】先根据图象在平面坐标系内的位置确定m 、n 的取值范围，进而确定函数的增减性，最后根据函数的增减性解答即可.【详解】解：∠一次函数y =mx +n 的图象经过第一、二、四象限，∠m <0，n >0∠y 随x 增大而减小，∠1<3，∠y 1＞y 2.故选：A.【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系、一次函数的增减性等知识点，图象在坐标平面内的位置确定m 、n 的取值范围成为解答本题的关键. 15．D【分析】根据抛物线的解析式可得其对称轴为直线x =1，从而当x =1时，y 有最大值2，此时可求得a 的值，再根据抛物线的增减的性质求得y 在所给范围内的最小值．【详解】∠212a x a-=-=，即抛物线的对称轴为直线x =1 ∠当x =1时，y 有最大值，且1在12x -≤≤范围内∠a -2a +1=2解得：a =-1即2+21y x x =-+当1<1x ≤-时，函数值y 随x 的增大而增大，此时函数在x =-1处取得最小值，且最小值为1212y =--+=-当12x <≤时，函数值y 随x 的增大而减小，此时函数在x =2处取得最小值，且最小值为42211y =--⨯+=∠-2<1∠当12x -≤≤时，y 的最小值为−2故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的增减性质、求函数解析式，关键是确定抛物线的对称轴，根据对称轴的位置便可确定函数的增减的范围，解答函数在某个自变量的范围的最值问题时，最好借助图象，利用数形结合的思想能帮助解决问题．16．A【分析】如图，过点C 作CT ∠AB 于点T ，过点O 作OH ∠AB 于点H ，交∠O 于点K ，连接AO ，AK ．解直角三角形求出AB ，求出CT 的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C 作CT ∠AB 于点T ，过点O 作OH ∠AB 于点H ，交∠O 于点K ，连接AO ，AK ．由题意AB 垂直平分线段OK ，∠AO ＝AK ，∠OA ＝OK ，∠OA ＝OK ＝AK ，∠∠OAK ＝∠AOK ＝60°．∠AH ＝OA •sin60°＝∠OH ∠AB ，∠AH ＝BH ，∠AB ＝2AH ＝∠OC ＋OH ≥CT ，∠CT ≤6＋3＝9，∠CT 的最大值为9，∠∠ABC 的面积的最大值为192⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT 的最大值，属于中考常考题型．17．C【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：二次函数()222314y x x x =-++=--+，∴该函数的图象开口向下，故选项A 的说法正确，不符合题意；对称轴是直线()2121x =-=⨯-，故选项B 中的说法正确，不符合题意；当1x >时，y 随x 的增大而增小，故选项C 中的说法错误，符合题意；函数图象的顶点坐标为()1,4，则函数的最大值为4，故选项D 中的说法正确，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18．A【详解】试题解析：∠点B （a ，0）在以点A （1，0）为圆心，以3为半径的圆内， ∠|a-1|＜3，∠-2＜a ＜4．故选A ．点睛：点与圆的位置关系：设∠O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．19．D【分析】先根据二次函数的图象可得,b c 的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得．【详解】解：抛物线的开口向上，与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，0,0a c ∴>>，抛物线的对称轴位于y 轴的右侧，02b x a∴=->， 0b ∴<，由0c >可知，反比例函数c y x=的图象位于第一、三象限，由0b <可知，正比例函数y bx =的图象经过原点，且经过第二、四象限，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．20．C【分析】分别求各函数在X 大于1时的单调性以得到在X 大于1时递减的函数的个数，再求其概率.【详解】∠X 大于1时，系数3大于0，函数递增．∠K=3时，反比例函数在第一象限递减.∠二次函数系数3大于0，在第一象限递增.综上所述，三个函数中，只有第二个函数满足条件，所以概率为13.即答案选C. 【点睛】熟练掌握各种函数的图像单调性是本题解答的关键.21．二【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：∠点P （a ，a ﹣4）在第四象限，∠a ＞0，a -4＜0，∠0＜a ＜4，∠-a ＜0，4-a ＞0，∠点N （﹣a ，4﹣a ）在第二象限，故答案为：二．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．22．减小【分析】根据一次函数图象与系数的关系可判断.【详解】解：∠一次函数的0k <，∠y 的值随x 的增大而减小，故答案为减小.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数y ＝kx ＋b ：当k ＞0，y 的值随x 的增大而增大；k ＜0，y 的值随x 的增大而减小.23．31x -<<【分析】函数的对称轴为直线=1x -，与x 轴交点(3,0)A -，则另一个交点(1,0)B ，进而求解．【详解】解：函数的对称轴为直线=1x -，与x 轴交点(3,0)A -，则另一个交点(1,0)B ，观察函数图象知，不等式20ax bx c ++>的解集为：31x -<<，故答案为：31x -<<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．24．四【分析】直接利用x 轴上点的坐标特点得出n 的值，进而得出答案．【详解】∠点A （2，n ）在x 轴上，∠n =0，则点B （n +2，n ﹣5）的坐标为：（2，﹣5）位于第四象限．故答案为四．【点睛】本题考查了点的坐标，正确得出n 的值是解题的关键．25．2【分析】根据二次函数的图像与系数的关系直接进行求解即可．【详解】解：由抛物线244y x x =-+可得与y 轴的交点坐标为()0,4，与x 轴只有一个交点其坐标为()2,0，所以与坐标轴的交点有2个；故答案为2．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键．26．3π 【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．【详解】设扇形的半径为rcm 则2603606πr π= 解得1()r cm =或1()r cm =-（不符题意，舍去）则这个扇形的弧长为601()1803ππcm ⨯= 故答案为：3π．【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．27．（3，0）．【分析】根据二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为（﹣1，0），可以求得m 的值，从而可以得到该函数的解析式，进而求得点B 的坐标．【详解】∠二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为（﹣1，0）， ∠0＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m ，解得，m ＝﹣3，∠y ＝x 2﹣2x ﹣3，当y ＝0时，0＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣3）（x +1），解得，x 1＝3，x 2＝﹣1，∠点B 的坐标为（3，0），故答案为（3，0）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．28．2【分析】根据第一、三象限角平分线上点的坐标特点列式计算即可．【详解】解：∠点A （m －1，2m −3）在第一、三象限夹角的平分线上，∠m －1＝2m −3，解得m ＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等．29．2(1)1y x =--【分析】由于二次项系数为1，利用配方法直接加上一次项系数的一半的平方配成完全平方式，可把一般式转化为顶点式．【详解】y =x 2﹣2x =x 2﹣2x +1﹣1=（x ﹣1）2﹣1．故答案为y =（x ﹣1）2﹣1．【点睛】本题主要考查了利用配方法将一般式转化为顶点式的方法．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：y =a （x ﹣h ）2+k ；（3）交点式（与x 轴）：y =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．30．87或0 【详解】解：由题可知： ∠4232a a -=-，∠当42(32)a a -=-时，得：87a =； ∠当42(23)a a -=-时，得0a =，故答案为：87a =或0． 31．x =12 【分析】利用y 值相等的x 值，根据抛物线对称性即可求解．【详解】解：∠x =0，x =1时，y=6，∠对称轴为x =0+11=22．故答案为x =12．【点睛】本题考查表格信息获取问题，抛物线对称轴，掌握表格信息获取方法，抛物线对称性求对称轴方法是解题关键．32．(240+130π)【详解】由题意得圆锥的侧面展开图面积为S=11202626022LR ππ=⨯⨯=但是图中的是圆锥的一半所以为了130π，而三角形的面积为240．故为(240+130π)．33．a ＞2【分析】利用二次函数图像的性质直接求解.【详解】解:∠抛物线()22y a x =-的开口向上， ∠a-2>0，∠a ＞2，故答案为a ＞2.【点睛】本题考查二次函数图像的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键. 34．48【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S=πrl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可．【详解】根据圆锥侧面积公式：S=πrl ，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π=π×10×r ，解得：r=6．由勾股定理可得圆锥的高∠圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∠它的面积=1128=482⨯⨯，故答案为：48【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．35．1【分析】设AB 、BC 、AC 与∠O 的切点分别为D 、E 、F ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【详解】如图，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理，四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∠四边形OECF是正方形，由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF，∠CE=CF=1（AC+BC-AB），2（3+4-5）=1．即：r=12故答案为1【点睛】此题考查了三角形内切圆的性质．注意切线长定理，还要注意直角三角形的内切圆中，如果连接过切点的半径，可以得到一个正方形，借助于方程即可求得半径．36．3cm．【详解】解：由题意知：底面周长=6πcm，∠底面半径=6π÷2π=3cm．故答案为：3cm．【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．37．【分析】先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；【详解】解：如图，过点A作圆O的直径EF，则EF=4，d=AF，D=EA∠A(1，－1)，=，∠R＝D －d=故答案为：【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，由已知点的坐标计算距离跨度是解本题的关键．38．323π 【分析】连接OB ，证明∠OBD=90°，再由//BD AC 得到∠D=∠OAC=30°，求出BD ，分别求出∠BOD 的面积和扇形AOB 的面积，再相减即可得出答案．【详解】解：证明：连接OB ，交CA 于E ，∠∠C=30°，∠C=12∠BOA ， ∠∠BOA=60°，又//BD AC ，∠∠D=∠OAC=30°∠∠DBO=180°-∠D-∠BOA=180°-30°-60°=90°，∠∠D=30°，∠BD∠2211132==882360263阴影扇形πππ∆-⨯⨯-⨯=⨯-⨯=BOD BOA n S S S BD OB OB ．故答案为323π．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．39．36π【分析】由题意知圆锥展开扇形的弧长为9023180r ππ⨯⨯=⨯⨯，求出r 的值，然后根据圆锥的侧面积为290360r π⨯⨯计算求解即可．【详解】解：由题意知圆锥展开扇形的弧长为9023180r ππ⨯⨯=⨯⨯ 解得12r =∠圆锥的侧面积为2901236360ππ⨯⨯= 故答案为：36π．【点睛】本题考查了扇形的面积与弧长．解题的关键在于求出圆锥展开图的半径．40．2##2-+【分析】如图，连接CA ，CB ，取AC 的中点Q ，连接QG ，QO ，证明四边形ACBO 为正方形，可得90ACB ∠=︒，证明CAD CBE ≌，可得90AGC DCE ∠=∠=︒，则G 在以AC 为直径的圆上运动，可得当Q ，G ，O 三点共线时，OG 最短，OG 最短时，2OG =，再证明OGD OAG ∽，从而可得答案．【详解】解：如图，连接CA ，CB ，取AC 的中点Q ，连接QG ，QO ，∠点()4,0A -，点()0,4B ，点()4,4C -，∠4OA OB AC BC ====，CB OE ⊥，CA OA ⊥，∠90CBE CAD ∠==∠︒，∠四边形ACBO 为正方形，∠90ACB ∠=︒，∠动点D 从A 点出发，以每秒1个单位的速度水平向右运动，动点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度竖直向上运动，∠AD BE =，∠CAD CBE ≌，∠ACD BCE ∠=∠，∠90DCE DCB BCE DCB ACD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∠AG CE ∥，∠90AGC DCE ∠=∠=︒，∠G 在以AC 为直径的圆上运动，当Q ，G ，O 三点共线时，OG 最短，∠4AC =，则2AQ =，∠OQ =∠OG 最短时，2OG =，∠QC QG =，∠QCG QGC ∠=∠，而DGO QGC ∠=∠，∠QCG DGO ∠=∠，∠90QCG CAG CAG OAG ∠+∠=︒=∠+∠，∠QCG OAG ∠=∠，∠OAG DGO ∠=∠，∠GOD GOA ∠=∠，∠OGD OAG ∽， ∠OG OD OA OG=，∠()22264OG OD OA ===-，∠462AD =-+，∠2t ==．故答案为：2．【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，证明G 在以AC 为直径的圆上运动是解本题的关键． 41．(1)见解析(2)5，【分析】（1）连接OA ，根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题；（2）取CD 中点F ，连接OF ，根据垂径定理可得OF CD ⊥，所以四边形AEFO 是矩形，利用勾股定理即可求出结果．【详解】（1）证明：如下图，连接OA ，∠AE CD ⊥，∠90DAE ADE ∠+∠=︒．∠DA 平分BDE ∠，∠ADE ADO ∠=∠．又∠OA OD =，∠OAD ADO ∠=∠，∠90DAE OAD ∠+∠=︒，∠OA AE ⊥，∠OA 是半径，∠AE 是O 切线；（2）解：如上图，取CD 中点F ，连接OF ，∠OF CD ⊥于点F ，∠四边形AEFO 是矩形．∠6CD =，∠3DF FC ==．在Rt ∠OFD 中，4OF AE ==，∠5OD =，在Rt ∠AED 中，4AE =，532ED EF DF OA DF OD DF =-=-=-=-=，∠AD =，∠AD 的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．42．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠ABI ＝∠CBI ，由等腰三角形的性质得到∠EBI ＝∠EIB ，通过三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；（2）由AB 是∠O 的直径，得到AE ∠BE ，推出OI ∠BE ，根据三角形的中位线的性质得到AI ＝IE ＝BE ，推出AE ＝2BE ，根据相似三角形的性质得到12DE BE BE AE ==，求得BE ＝2，DE ＝1，AE ＝4，AD ＝3，由于∠ACD ∠∠BDE ，得到EC CD A BE D =即可求得BE 的长．（1）证明：∠IB 平分∠ABC ，∠∠ABI ＝∠CBI ，∠EB ＝EI ，∠∠EBI ＝∠EIB ，∠∠EIB ＝∠BAI ＋∠IBA ，∠EBI ＝∠IBC ＋∠CBE ，∠∠BAE ＝∠CBE ，∠∠CBE ＝∠EAC ，∠∠BAE ＝∠CAE ，∠AE 平分∠BAC ；（2）如图，∠AB 是∠O 的直径，∠AE ∠BE ，∠OI ∠AE ，∠OI ∠BE ，∠AO ＝BO ，∠AI ＝IE ＝BE ，∠AE ＝2BE ，∠∠EBC ＝∠BAE ，∠∠BDE ∠∠ABE ， ∠12DE BE BE AE ==，∠BD∠BE ＝2，DE ＝1，∠∠E ＝∠C ，∠EBC =∠DAC∠∠ACD ∠∠BDE ， ∠EC CD A BE D =＝2， ∠22BE DE ==【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能正确作出辅助线并求出AE ＝2BE 是解此题的关键．43．(1)证明见解析 (2)25cm 6PC =【分析】（1）连接OD ．根据角平分线的定义，圆周角定理的推论确定BD CD =，根据垂。

人教版九年级数学上册第二十四章圆分类训练(含答案)

第二十四章圆类型一确定圆的条件1．下列说法中，正确的是( ) A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形2．如图1，O 为锐角三角形ABC 的外心，四边形OCDE 为正方形，其中点E 在△ABC 的外部，则O 也是下列哪个三角形的外心( )A ．△AED 的外心B ．△AEB 的外心C ．△ACD 的外心 D ．△BCD 的外心图1类型二弧、弦、圆心角与圆周角的关系3．如图2，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°图2 图34．如图3，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC ︵上的点，若∠BOC ＝40°，则∠D 的度数为( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°5．同圆中，已知弧AB 所对的圆心角是100°，则弧AB 所对的圆周角是________． 6．如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40°，∠C ＝20°，则∠B ＝________°.图47．如图5，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD . (1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径．图5类型三利用垂径定理进行计算 8．图6是某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为( ) A ．13 m B ．15 m C ．20 m D ．26 m图69．如图7，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( )A ．215B ．．213图710．如图8，A ，B 是⊙O 上两点，AB ＝12，P 是⊙O 上的动点(点P 与点A ，B 不重合)，连接AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF ＝________．图811．如图9，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为F ，AO ⊥BC ，垂足为E ，CE ＝2.(1)求AB 的长； (2)求⊙O 的半径．图9类型四弧长及扇形面积的计算12．2018·黄石如图10，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为( )A.23πB.43π C ．2π D.83π图10 图1113．如图11，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－814．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm ，则此扇形的面积是________ cm 2. 15．如图12，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，图形的相关数据如下：半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为________ cm(结果保留π)．图1216．用半径为10 cm ，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________ cm.17．如图13①，AE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，连接AC 并延长AC 至点D ，使CD ＝CA ，连接ED 交⊙O 于点B .(1)求证：C 是AB ︵的中点；(2)如图②，连接EC ，若AE ＝2AC ＝6，求阴影部分的面积．图13类型五数学活动18．图14是小明制作的一副弓箭，A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝60 cm.沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图②，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝30 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°.(1)图②中，弓臂两端B 1，C 1的距离为______ cm.(2)如图③，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为__________ cm.图14答案1．B 2.B 3．C 4．B 5．50° 6．607．解：(1)证明：∵∠BCD ＝∠P ，∠1＝∠BCD ， ∴∠1＝∠P ，∴CB ∥PD .(2)如图，连接AC . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵CD ⊥AB ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠P ＝∠CAB ，∴sin ∠CAB ＝sin P ＝35，即BC AB ＝35.又∵BC ＝3，∴AB ＝5，∴⊙O 的直径为5.8．A [解析] 如图，设桥拱所在圆的圆心为E ，作EF ⊥AB ，垂足为F ，延长EF 交圆于点H ，连接AE .由垂径定理，知F 是AB 的中点．由题意，知FH ＝10－2＝8，AE ＝EH ，EF ＝EH －HF .由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －HF )2，解得AE ＝13 m.9．D [解析] 如图，∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB ，∴AC ＝12AB ＝4.设⊙O 的半径为r ，则OC＝r －2.在Rt △AOC 中，OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，OC ＝3. 连接BE ，则BE ＝2OC ＝6.在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.10．6 [解析] ∵P 是⊙O 上的动点(点P 与点A ，B 不重合)，OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，∴根据垂径定理，知AE ＝EP ，BF ＝PF ，即E 为AP 的中点，F 为PB 的中点， ∴EF 为△APB 的中位线．又∵AB ＝6，∴EF ＝12AB ＝12×12＝6.11．解：(1)∵CD ⊥AB ，AO ⊥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO ＝90°. 在△AOF 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFO ＝∠CEO ，∠AOF ＝∠COE ，AO ＝CO ，∴△AOF ≌△COE ， ∴CE ＝AF . ∵CE ＝2， ∴AF ＝2.∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AF ＝BF ＝12AB ，即AB ＝4.(2)∵AO 是⊙O 的半径，AO ⊥BC ， ∴CE ＝BE ＝2. ∵AB ＝4，∴BE ＝12AB .∵∠AEB ＝90°，∴∠A ＝30°. 又∵∠AFO ＝90°， ∴cos A ＝AF AO ＝2AO ＝32，∴AO ＝43 3，即⊙O 的半径是43 3.12．D [解析] 连接OD .∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝60°，∴∠BOD ＝120°，∴BD ︵的长＝120π×4180为8π3.13．A [解析] 利用对称性可知阴影部分的面积＝扇形AEF 的面积－△ABD 的面积＝90×π×42360－12×4×2＝4π－4.14．6π [解析] 设扇形的半径为R cm.∵扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm ，∴135π×R 180＝3π，解得R ＝4，所以此扇形的面积为135π×42360＝6π(cm 2)．15.8π3 [解析] 由图①得AO ︵的长＋OB ︵的长＝AB ︵的长．∵半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为2×120π×2180＝8π3.16.103 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，依题意，得2πr ＝120π×10180，解得r ＝103 cm.17．解：(1)证明：如图①，连接CE .∵AE 是⊙O 的直径，∴CE ⊥AD . ∵AC ＝CD ，∴AE ＝ED ， ∴∠AEC ＝∠DEC ，∴BC ︵＝AC ︵，即C 是AB ︵的中点．(2)如图②，连接BC ，OB ，OC .∵AE ＝2AC ＝6，∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝30°，⊙O 的半径为3，∴∠AOC ＝60°. ∵BC ︵＝AC ︵，∴∠BOC ＝60°，∴∠EOB ＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°，则AE ∥BC ，∴S △OBC ＝S △EBC ， ∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×32360＝32π.18．(1)30 3 (2)(10 5－10)[解析] (1)在图①中，连接B 1C 1交DD 1于点H . ∵D 1A ＝D 1B 1＝30 cm ，∴D 1∵AD 1⊥B 1C 1，∠B 1D 1H ＝12∠B 1D 1C 1＝60°，∴B 1H ＝C 1H ＝30×sin60°＝15 3(cm)， ∴B 1C 1＝30 3 cm ，即弓臂两端B 1，C 1的距离为30 3 cm.(2)在图②中，连接B 1C 1交DD 1于点H ，连接B 2C 2交DD 2于点G . 设半圆的半径为r cm ，则πr ＝120×π×30180，∴r ＝20，∴AG ＝GB 2＝20 cm ，GD 1＝30－20＝10 (cm)，在Rt △GB 2D 2中，GD 2＝302－202＝10 5(cm)，∴D 1D 2＝(10 5－10)cm. 故答案为30 3，(10 5－10)．。

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案

中考数学复习《圆》专题训练-带有参考答案一、选择题1．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是（）A ．3cmB ．6cmC ．1.5cmD ．√3cm2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 在⊙O 上∠CAB =20°，则∠ADC 等于（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．160°3．如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线AC ，连接BC ，与⊙O 交于点D ，E 是⊙O 上一点，连接AE ，DE ．若∠C =48°，则∠AED 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．32°D ．38°4．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ．若AC ＝BD ＝2√3，∠A ＝30°，则CD⌢的长度为（）A ．πB ．23πC ．√23πD ．2π5．如图，⊙O 的半径为9，PA 、PB 分别切⊙O 于点A ，B 若P =60∘，则AB⌢的长为（）A ．133πB ．136πC ．6πD ．52π⌢的中点，点E是BC⌢上的一点，若∠ADC=110°，则∠DEC 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是AC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，正六边形ABCDEF内接于00，若0 O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A．√3B．3 C．2√3D．√68．如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．2√2C．2π−4D．2π−2√2二、填空题9．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．10．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5√2cm，则⊙O的半径R为11．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面(CD)0.5m．一名小朋友荡秋千时，秋千在最高处时踩板离地面(BE)2m(左右对称)，则该秋千从B荡到A经过的圆弧长为m．12．如图，已知⊙O上三点A，B，C，切线PA交OC延长线于点P，若OP＝2OC，则∠ABC＝．13．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为.三、解答题14．如图.为的直径，连接，点E在上，AB=BE.求证：（1）平分；（2）.15．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC=2∠PAC；（2）连接OB，若AC//OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于点D，交BC于F，与过点B的直线交于点E，且BE=EF．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为10，OD=6求BE的长．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F．（1）求证：∠F=∠BAC；（2）若DF∥AC，若AB=8，CF=2求AC的长．18．如图，在中，AB=AC以为直径的分别与、相交于点D、E，连接过点作，垂足为点（1）求证：是的切线；（2）若的半径为4，求图中阴影部分的面积．参考答案1．B2．B3．A4．B5．C6．A7．B8．C9．4010．511．2π12．30°13．9√3−3π14．（1）证明：∵∴∴∴平分（2）证明：∵∠BAD=∠DAC∴∴由（1）知∴∴∠ABC=∠ECB∴AB∥CE.15．（1）证明：过O作OH⊥AC于H∴∠OHA=90°∴∠AOH+∠OAC=90°∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OAC+∠PAC=90°∴∠AOH=PAC∵OA=OC∴∠AOC=2∠AOH∴∠AOC=2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E∵PA，PB是⊙O的切线∴OB⊥PB，PA=PB∵AC//OB∴AC⊥PB∴四边形OBEH是矩形∴OH=BE，HE=OB=5∵OH⊥AC，OA=OC∴AH=CH=12AC=3∴OH=√OC2−CH2=4∴BE=OH=4，AE=AH+HE=8∵PA2=AE2+PE2∴PA2=82+(PA−4)2∴PA=10．16．（1）证明：∵BE=EF∴∠EBF=∠EFB∵∠CFD=∠EFB∴∠EBF=∠CFD∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵AE⊥OC∴∠OCB+∠CFD=90°∴∠OBC+∠EBF=90°=∠ABE∴AB⊥BE∵AB是⊙O的直径∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为10∴OA=OB=OC=10∴AB=20∵AE⊥OC∴∠ADO=90°∴在Rt△ADO中AD=√AO2−DO2∵OD=6∴AD=√AO2−DO2=√102−62=8∵结合（1），可知∠ABE=∠ADO=90°，∠BAE=∠DAO ∴△ADO∽△ABE∴BEAB =DOAD，即BE=DOAD×AB∵AD=8，AB=20，DO=6∴BE=DOAD ×AB=68×20=15即所求的值为15．17．（1）证明：∵DF是⊙O的切线∴OD⊥DF∴∠ODF=90°∴∠F+∠DBC=90°∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°∴∠BAC+∠DAC=90°∵∠DBC=∠DAC∴∠F=∠BAC；（2）解：连接CD∵DF∥AC，∠ODF=90°∴∠BEC=∠ODF=90°∴直径BD⊥AC于E∴AE=CE=12AC∴AB=BC=8∵BD是⊙O的直径∴∠BCD=90°∴∠DBC+∠BDC=90°∵∠DBC+∠F=90°∴∠BDC=∠F∵∠BCD=∠FCD=90°∴△BCD∽△DCF∴BCDC =DCCF，即8DC=DC2∴DC=4∴BD=√BC2+CD2=√82+42=4√5∵在△BCD中SΔBCD=12BC⋅CD=12BD⋅CE∴12×8×4=12×4√5⋅CE∴CE=85√5∴AC=2CE=165√5．18．（1）证明：连接．是的直径．又AB＝AC∴D是BC的中点．连接；由中位线定理，知又．是的切线；（2）解：连接的半径为。

人教中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C 点，连接AC、BC．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．33【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∠APB=30°，∴∠APO=12∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=1AOP=30°，2同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴AP=3OA=3，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=12×1×3，∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S△ACP=33，∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3，求FC的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE3∠==设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC＝22-=.OF OC83点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．3．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE ⊥AB ；（2）连接BE ，由（1）知DE ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴，∴∠BED=∠BME ；∵四边形BMDE 内接于⊙O ，∴∠HMD=∠BED ，∴∠HMD=∠BME ；∵∠BME 是△HEM 的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH ，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH ．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．4．已知，ABC ∆内接于O ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB ；（1）如图1，若AC BC =，求证：AB PC ⊥；（2）如图2，若PA 平分CPM ∠，求证：AB AC =；（3）在（2）的条件下，若24sin 25BPC ∠=，8AC =，求AP 的值．【答案】(1)见解析;(2)见解析5【解析】【分析】(1)由点P 是弧AB 的中点，可得出AP=BP , 通过证明APC BPC ∆≅∆ ,ACE BCE ∆≅∆可得出AEC BEC ∠=∠进而证明AB ⊥ PC.(2)由PA 是∠CPM 的角平分线，得到∠MPA=∠APC, 等量代换得到∠ABC=∠ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.(3)过A 点作AD ⊥BC,有三线合一可知AD 平分BC,点O 在AD 上，连结OB ，则∠BOD ＝∠BAC ，根据圆周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC ，由∠BOD=∠BPC 可得sin sin BD BOD BPC OB∠=∠=,设OB=25x ，根据勾股定理可算出OB 、BD 、OD 、AD 的长，再次利用勾股定理即可求得AP 的值.【详解】解：（1）∵点P 是弧AB 的中点，如图1，∴AP ＝BP ，在△APC 和△BPC 中 AP BP AC BC PC PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APC ≌△BPC （SSS ），∴∠ACP ＝∠BCP ，在△ACE 和△BCE 中AC BC ACP BCP CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCE （SAS ），∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEC +∠BEC ＝180°，∴∠AEC ＝90°，∴AB ⊥PC ；（2）∵PA 平分∠CPM ，∴∠MPA ＝∠APC ，∵∠APC +∠BPC +∠ACB ＝180°，∠MPA +∠APC +∠BPC ＝180°，∴∠ACB ＝∠MPA ＝∠APC ，∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ；（3）过A 点作AD ⊥BC 交BC 于D ，连结OP 交AB 于E ，如图2，由（2）得出AB ＝AC ，∴AD 平分BC ，∴点O 在AD 上，连结OB ，则∠BOD ＝∠BAC ，∵∠BPC ＝∠BAC ，∴sin sin BOD BPC ∠=∠=2425BD OB =，设OB ＝25x ，则BD ＝24x ，∴OD 22OB BD -7x ，在Rt ABD 中，AD ＝25x +7x ＝32x ，BD ＝24x ，∴AB 22AD BD +40x ，∵AC ＝8，∴AB ＝40x ＝8，解得：x ＝0.2，∴OB ＝5，BD ＝4.8，OD ＝1.4，AD ＝6.4，∵点P 是AB 的中点，∴OP 垂直平分AB ，∴AE ＝12AB ＝4，∠AEP ＝∠AEO ＝90°，在Rt AEO ∆中，OE 223AO AE -=，∴PE ＝OP ﹣OE ＝5﹣3＝2，在Rt APE ∆中，AP 22222425PE AE +=+=【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.5．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm =，点O 到AC 的距离为4cm ．（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，△APC是等腰三角形．【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或145s时，△APC是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O作OD⊥AC于D，根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；（2）分AC=PC、AP=AC、AP=CP三种情况求t值即可.【详解】（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD==3，∴AC=2AD=6；（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP=10﹣t①如图2，若AC=PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A=∠A，∠AHC=∠ODA=90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH=OA：AD，即AC： =5：3，解得t=s，∴经过s后△APC是等腰三角形；②如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．6．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．⑴若OC＝2，则AC的长为；⑵试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；⑶连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴222；⑵见解析；⑶y=2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ；（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴2，∴AC=AO-OC=222.⑵ 连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F .∵OP ⊥AB ,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD ，∵△DOC 为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO ，∴DC=DF ，∴Rt △DAC ≌Rt △DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB ，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=12PE ∴PE =2AC（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x == ∴ AB =2OD=22x∵AB 是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE ≌△DBA∴ GE =AB =22x∵ PE =2AC∴ PE =2(2)x x -∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x -即：y =2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠D ＝60°且AB ＝6，过O 点作OE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求OE 的长；（2）若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF 、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积．（结果保留π）【答案】（1）OE的长为32；（2）阴影部分的面积为3 2π【解析】（1）OE=32（2）S=32π8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE，BC 于点F，D. 过点F 作FG∥AB 交边BC 于点G，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝3．∴ OA3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.9．阅读下列材料：如图1，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，AB 是⊙O 1和⊙O 2外公切线，A 、B 为切点，求证：AC ⊥BC证明：过点C 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交AB 于D ，∵DA 、DC 是⊙O 1的切线∴DA=DC ．∴∠DAC=∠DCA ．同理∠DCB=∠DBC ．又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°，∴∠DCA+∠DCB=90°．即AC ⊥BC ．根据上述材料，解答下列问题：（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；（2）以AB 所在直线为x 轴，过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系（如图2），已知A 、B 两点的坐标为（﹣4，0），（1，0），求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式；（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）213222y x x =+- ；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180°，可知用了三角形内角和定理；（2）先根据勾股定理求出C 点坐标，再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式；（3）过C 作两圆的公切线，交AB 于点D ，由切线长定理可求出D 点坐标，根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．试题解析：(1)DA 、DC 是1O 的切线，∴DA =DC .应用的是切线长定理；180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=，应用的是三角形内角和定理.(2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+，即()()222224141y y --=-+++，即225172y =+,解得y =2(舍去)或y =−2.故C 点坐标为(0,−2)，设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2y ax bx c ，=++ 则164002,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 解得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，故所求二次函数的解析式为213 2.22y x x =+- (3)过C 作两圆的公切线CD 交AB 于D ,则AD =BD =CD ,由A (−4,0),B (1,0)可知3(,0)2D -，设过CD 两点的直线为y =kx +b ,则 3022k b b ⎧-+=⎪⎨⎪=-⎩，解得432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故此一次函数的解析式为423y x =--， ∵过12,O O 的直线必过C 点且与直线423y x =--垂直，故过12,O O 的直线的解析式为324y x =-，由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为325(,)28--，代入直线解析式得33252,428⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭ 故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12O O 上.10．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ．(1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）215. 【解析】【分析】 ()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OH OC==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影定理得到212AF 916==，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】()1BD 为O 的直径， 90BAD ∴∠=， 90D ABD ∴∠+∠=， FB 是O 的切线，90FBD ∴∠=，90FBA ABD ∴∠+∠=，FBA D ∴∠=∠，AB AC =，C ABC ∴∠=∠，C D ∠=∠，ABF ABC ∴∠=∠；()2如图2，连接OC ，90OHC HCA ∠=∠=，//AC OH ∴，ACO COH ∴∠=∠，OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠，即ABD ACO ∠=∠，ABC COH ∴∠=∠，90H BAD ∠=∠=，ABD ∴∽HOC ，2AD BD CH OC∴==， 12CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ， 2AB BD OH OC∴==， 6OH =，O 的半径为10，212AB OH ∴==，20BD =，2216AD BD AB ∴=-=，在ABF 与ABE 中，90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ABF ∴≌ABE ，BF BE ∴=，AF AE =，90FBD BAD ∠=∠=，2AB AF AD ∴=⋅，212916AF ∴==， 9AE AF ∴==，7DE ∴=，15BE ==， AD ，BC 交于E ，AE DE BE CE ∴⋅=⋅，9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．。

初中数学圆形专题训练50题含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等【答案】C【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．2．已知O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（）A．在O外B．在O上C．在O内D．不能确定【答案】C【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．OP=<【详解】解：45∴点P在O内，故选：C．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．3．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？()A．B．C ．D ．【答案】B【详解】试题分析：根据直径所对的圆周角为直角可得：B 为正确答案．4．已知⊙O 的半径是一元二次方程2340x x --=的一个根，点A 与圆心O 的距离为6，则下列说法正确在是（）A ．点A 在⊙O 外B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 内D ．无法判断【答案】A【分析】先求方程的根，可得r 的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．【详解】解：⊙2340x x --=，⊙1x ＝﹣1，2x ＝4，⊙⊙O 的半径为一元二次方程2340x x --=的根，⊙r ＝4，⊙6＞4，⊙点A 在⊙O 外，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d 与圆半径大小关系完成判定．5．如图，AB 是半圆O 的直径，28BAC ∠=︒，则D ∠的度数是（）A ．62︒B ．118︒C ．152︒D ．138︒【答案】B 【分析】连接BC ，则直径所对的圆周角是直角可求得B ∠的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得结果的度数．【详解】连接BC ，如图所示，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒， 90902862B BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，180********D B ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒；故选：B ．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质等知识，掌握这两条性质是关键．6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦．若=21BAD ∠︒，则ACD ∠的大小为（）A ．21°B ．59°C ．69°D ．79°【答案】C 【分析】先求出ABD ∠的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可．【详解】解：⊙AB 是O 的直径⊙=90BDA ∠︒，⊙=21BAD ∠︒，⊙=1809021=69ABD ∠--︒︒︒︒，又⊙=AD AD ，⊙==69ACD ABD ∠∠︒，故答案为：C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角等于90°．7．如图，圆与圆的位置关系没有（）A ．相交B ．相切C ．内含D ．外离【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系,寻找交点个数即可解题.【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交,故选A.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.8．已知在Rt ABC 中， 9034ACB AC BC ∠=︒==，，，则Rt ABC 的外接圆的半径为（） A ．4B ．2.4C ．5D ．2.5 Rt ABC 中，根据勾股定理得，223BC =直角三角形的外心为斜边中点，Rt ABC 的外接圆的半径为故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．9．如图，12∠=∠，则AB CD =的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解．【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有C 选项符合题意；⊙12∠=∠，⊙AB CD =．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键．10．ABC ∆中，10AB AC cm ==，12BC cm =，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（）cm ．A ．5B ．6C ．152D ．254 AB AC =BD DC ∴=连接OB ，在Rt⊙ABD 设圆形纸片的半径为【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形外接圆的性质及勾股定理是解题的关键． 11．如图所示，MN 是半圆O 的直径，MP 与半圆0相切于点M ，R 是半圆上一动点，RE MP ⊥于E ，连接MR .设MR x =，MR RE y -=，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（）A ．B ．C ．D ．，可得~EMR RNM ，设半圆2)r ，根据函数的解析式即可判断函数图象⊙~EMR RNM ， ER MR MR MN=，设半圆O 的半径为值2(02x y x x r=-+<<可得到y 是x 的二次函数，开口方向向下，对称轴12．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y=k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为4-⊙ABC ，则k 的值为（）.A B ．2 C ．4 D ．=4，⊙DN×NO=4，即：xy=k=4．故选C ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；三角形的内切圆与内心． 13．若5cm AB =，作半径为4cm 的圆，使它经过A 、B 两点，这样的圆能作（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】先作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以4cm 为半径作圆即可；【详解】解：这样的圆能画2个．如图：作AB 的垂直平分线l ，再以点A 为圆心，4cm 为半径作圆交l 于O 1和O 2，然后分别以O 1和O 2为圆心，以4cm 为半径作圆，则⊙O 1和⊙O 2为所求【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，则有点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆内⇔d ＜r ． 14．如图，在ABC 中，3AB =，6BC =，60ABC ∠=︒，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．3πB 2π-C πD 32πAB BD =ABD ∴是等边三角形，AD AB ∴=6BC =，3CD ∴=，AD CD ∴=C CAD ∴∠=∠C CAD ∠+∠30C ∴∠=BAC ∴∠=AC ∴=∴图中阴影部分的面积15．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，且30BCD ∠=︒，CD = ）A ．24π-B ．83π-C ．43π-D ．348π-故选：B ．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．16．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π17．如图，四边形ABCD 内接于O ，:2:1,2ABC ADC AB ∠∠== ，点C 为BD 的中点，延长AB 、DC 交于点E ，且60E ∠=，则O 的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为BD 的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出⊙ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A⊙:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°⊙60E ∠=⊙⊙CBE 为等边三角形⊙∠BCE ＝∠A=60°，⊙点C 为BD 的中点，⊙∠CDB ＝∠DBC=30°⊙⊙ABD =90°，⊙ADB =30°⊙AD 为直径⊙AB =2⊙AD =2AB =4 ⊙O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．18．一个圆锥的侧面展开图是半径为8，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为（）A cmB ．163 cmC cmD ．83cm19．⊙O 的半径为10cm, A 是⊙O 上一点, B 是OA 中点, C 点和B 点的距离等于5cm, 则C 点和⊙O 的位置关系是（）A ．C 在⊙O 内B ．C 在⊙O 上 C ．C 在⊙O 外D ．C 在⊙O 上或C 在⊙O 内【答案】D【详解】试题解析：因为⊙O 的半径是10cm ，A 是圆上一点，所以OA=10cm ，又B 是OA 的中点，所以BA=5cm ．而BC=5cm ，所以点C 应在以B 为圆心，5cm 为半径的⊙B 上．⊙B 上的点除点A 在⊙O 上外，其它的点都在⊙O 内．故选D ．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒．AC BC =，4cm AB =．CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（）．A ．2B ．πC ．2πD ．π2【答案】D 【详解】试题解析：如图，,90CA CB ACB AD DB =∠==，，⊙CD ⊙AB ，⊙⊙ADE =⊙CDF =90，CD =AD =DB ，在⊙ADE 和⊙CDF 中，AD CD ADE CDF DE DF ，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙⊙ADE ⊙⊙CDF (SAS)，⊙⊙DAE =⊙DCF ，⊙⊙AED =⊙CEG ，90，四点共圆，的运动轨迹为弧CD90，的运动轨迹的长为二、填空题21．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC、BD交于点BD=，则AC=________．E，若1AD=，722．如图，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则S =扇形________2cm ．23．如图，ABC ∆中，90,6,4,ACB BC AC D ∠=︒==是AC 边上的一个动点，过点C 作,CE BD ⊥垂足为,E 则AE 长的最小值为_______________________．【答案】2【分析】取BC 中点F ，连接AE 、EF ．易得点E 在以BC 长为直径的圆周上上运动，24．如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则⊙FBC＝__________．【分析】连接OA，OB，OF，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心角，结合图形计算即可．【详解】解：连接OA，OB，OF，OC．25．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，劣弧AB长为π2，则⊙AOB＝____．26．如图，Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，⊙A＝30°，BC＝6，D，E分别是AB，AC边的中点，将⊙ABC绕点B顺时针旋转60°到⊙A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为_____．【详解】27．四边形ABCD 是O 的内接四边形，2C A ∠=∠，则C ∠的度数为___．【答案】120°##120度【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可．【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180C A∴∠+∠=︒2C A∠=∠，120C∴∠=︒．故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．28．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，AB=13，AC=5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是_______．【答案】6013##8413来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理．29．如图，在⊙O中，点C在优弧ACB上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O AB＝4，则BC的长是_____．30．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为,2D AB BC ==，则AOB ∠=_________．31．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点()()()0,4,4,4,6,2A B C --．（1）若该圆弧所在圆的圆心为D ，则AD 的长为__________．（2）该圆弧的长为___________．90255180π=【详解】解：（1）如图，易知点2425+=即D 的半径为AD CD ==2AD DC +ACD ∆为直角三角形，根据题意得90255180π=即该圆弧的长为5π．【点睛】本题主要考查圆，扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出的坐标是解题的关键．OD BC，OD与32．如图，已知AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且//∠=______．AC交于点E，若E是OD中点，，则CAD【答案】30°【分析】先判定AC垂直平分OD，进而可判定⊙OAD是等边三角形，再由三线合一即可求出⊙CAD的度数．【详解】⊙AB是半圆O的直径，⊙⊙ACB=90°．OD BC，⊙//⊙⊙AED=90°．⊙E是OD中点，⊙AC垂直平分OD，⊙AD=OA，⊙OA=OD，⊙⊙OAD是等边三角形，⊙⊙OAD=60°，⊙⊙CAD=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键．33．如图，在半径为2cm的扇形纸片AOB中，⊙AOB=90°，将其折叠使点B落在点O 处，折痕为DE，则图中阴影部分的面积为________cm2334．若点O 是等腰ABC 的外心，且60,BOC ∠=︒底边4,BC =则ABC 的边BC 上的高为 ____________________．E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan⊙FBC的值为．关系；解直角三角形．【答案】【详解】试题分析:连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，⊙A=⊙D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．解：连接CE交BF于H，连接BE，⊙四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，⊙AB=CD=3，AD=BC=5=BE，⊙A=⊙D=90°，由勾股定理得：AE==4，DE=5﹣4=1，由勾股定理得：CE==，由垂径定理得：CH=EH=CE=，在Rt⊙BFC中，由勾股定理得：BH==，所以tan⊙FBC===．故答案为．36．O是ABC的外心，且140∠=________；若I是ABC的内心，∠=，则ABOC且140∠=________．BIC∠=，则A70100是ABC的外心，且140，如图所示：是ABC的内心，且140，如图所示：⊙I 是⊙ABC 的内心，⊙⊙A=180°-(⊙ABC+⊙ACB)= 180°-2(⊙IBC+⊙ICB)=180°-2（180°-140°）=100°．故答案为70°；100°．【点睛】本题考查了三角形内外心的性质，熟知三角形内外心的性质是解题的关键. 37．冬天的雪是我们的乐园，一次下雪后，小伙伴们堆了一大雪人，准备给雪人制作一个底面半径为9cm ，母线长为30cm 的圆锥形礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为____________cm 2 ．（结果保留π）【答案】270π．【详解】试题分析：S=πrl=9×30π=270π(2cm ).考点：圆锥的侧面积计算.38．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．39．如图，I 是直角ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若10AF ，3BE =，则ABC 的面积为_____．的值，再利用三角形的面积公式求得ABC 的面积即可．【详解】解：I 是直角ABC 的内切圆，且10AF ，BE =3，10AF AD ==，CE 13=，x ，则3BC x ，AC 中，222AC BC AB +=，即)22313x +=，（不符题意，舍去）ABC ∴的面积为故答案为：【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键．40．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1cm的⊙O，则图中阴影部分的面积为_____cm2（结果保留π）．三、解答题41．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F．（1）求证：CF 与⊙O 相切；（2）求△BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比．【答案】（1）证明见详解；（2）6：7．【分析】（1）连接OE 、DE ，根据等腰三角形性质推出⊙ODE ＝⊙OED ，⊙CDE ＝⊙CED ，推出⊙OED ＋⊙CED ＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）过F 作FM⊙DC 于M ，得出四边形ADMF 是矩形，推出AD ＝FM ＝4，AF ＝DM ，求出AF ＝EF ，设AF ＝EF ＝x ，DM ＝x ，在Rt △FMC 中，由勾股定理得出方程()()222444x x +-=+，求出x 的值，即可求出△BCF 的周长和直角梯形ADCF 的周长．【详解】（1）证明：连接OE ，DE ，⊙OD ＝OE ，CE ＝CD ，⊙⊙ODE ＝⊙OED ，⊙CDE ＝⊙CED ，⊙四边形ABCD 是正方形，⊙⊙ADC ＝90°，⊙⊙ADC ＝⊙ODE ＋⊙CDE ＝90°，⊙⊙OED ＋⊙CED ＝90°，即OE⊙CF ，⊙OE 为半径，⊙CF 与⊙O 相切．（2）解：如图：过F 作FM⊙DC 于M ，⊙四边形ABCD 是正方形，⊙AD ＝DC ＝BC ＝AB ＝CE ＝4，⊙FAD ＝⊙ADM ＝⊙FMD ＝⊙FMC ＝90°，⊙四边形ADMF 是矩形，⊙AD ＝FM ＝4，AF ＝DM⊙⊙OAF ＝90°，OA 为半径，⊙AF 切⊙O 于A ，CF 切⊙O 于E ，⊙AF ＝EF ，设AF ＝EF ＝x ，DM ＝x ，在Rt △FMC 中，由勾股定理得：222FM MC CF +=，()()222444x x +-=+，解得：x ＝1，⊙AF ＝EF ＝DM ＝1，⊙CF ＝4＋1＝5，⊙⊙BCF 的周长是BC ＋CF ＋BF ＝4＋5＋4−1＝12，直角梯形ADCF 的周长是AD ＋DC ＋CF ＋AF ＝4＋4＋5＋1＝14，⊙⊙BCF 和直角梯形ADCF 的周长之比是12：14＝6：7．【点睛】本题考查了正方形性质，切线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．42．已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图⊙，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图⊙，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图⊙，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．43．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，BE平分⊙ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊙BE．（1）判断直线AC与⊙DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=6，BC的长．【答案】（1）直线AC与⊙DBE外接圆相切．（2）BC=4．【分析】（1）取BD的中点O，连接OE，证明⊙OEB=⊙CBE后可得OE⊙AC；（2）设OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再证明△AOE⊙⊙ABC，利用线段比求解．【详解】（1）直线AC与⊙DBE外接圆相切．理由：⊙DE⊙BE⊙BD为⊙DBE外接圆的直径取BD的中点O（即⊙DBE外接圆的圆心），连接OE⊙OE=OB⊙⊙OEB=⊙OBE⊙BE平分⊙ABC⊙⊙OBE=⊙CBE⊙⊙OEB=⊙CBE⊙⊙CBE+⊙CEB=90°⊙⊙OEB+⊙CEB=90°，即OE⊙AC44．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交⊙ABE边AE于点D，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．现有3个选项：⊙AB=BE，⊙PC⊙BE，⊙PD是⊙O的切线．(1)请从3个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明；你选择的两个条件是，结论是（只要填写序号）；(2)在（1）的条件下，连接OC，如果P A=2，sin⊙ABC=45，求OC的长．=AB BE∴∠=BAE∴∥OD BE∴∠=ODP∴PD是⊙4CP =2,PA OD∴=OD OA45．如图，BD是⊙O的直径，过点D的切线交⊙O的弦BC的延长线于点E，弦AC⊙DE交BD于点G（1）求证：BD平分弦AC；（2）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.46．如图，⊙ABC 为⊙O 的内接三角形，其中AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线P A ．（1）求证：⊙P AC ＝⊙ABC ；（2）若⊙P AC ＝30°，AC ＝3，求劣弧AC 的长．603180π＝π.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.47．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连结BD，（1）求证：DE BE=；（2）当AB=10，BD=8，求CD和BE的长．48．在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：⊙画线段AB；⊙分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；⊙在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；⊙过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接B D．（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝⊙BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．1149．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点D，连接AC．作CE⊙AB于点E．（1）求证：⊙BCE=⊙BCD；（2）若AD＝8，12BCAC=，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）CD=4【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到⊙ACB=90°，利用切线的性质得到⊙DCO=90°，则根据等角的余角相等得到⊙ACO=⊙BCD，同样方法证明⊙A=⊙BCE，从而得到⊙BCE=⊙BCD；（2）证明⊙ACD⊙⊙CBD，然后利用相似比求CD的长．【详解】（1）证明：连接OC，如图，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙CD与⊙O的相切于点C，⊙⊙DCO=90°，即⊙BCD+⊙OCB=90°，⊙⊙ACO=⊙BCD，⊙OC=OA，⊙⊙A=⊙ACO，50．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发，以每秒12个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，到点B 停止．同时点Q 从点A 出发，沿AC CB -的线路向点B 运动，在边AC BC 上的速度为每秒2个单位长度，到B 停止，以PQ 为边向右或右下方构造等边PQR ，设P 的运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）填空：BC =__________，AC =__________．（2）当Q 在AC 上，R 落在BC 边上时，求t 的值．（3）连结BR ．⊙当Q 在边AC 上，BR 与ABC 的一边垂直时，求PQR 的边长．⊙当Q 在边BC 上且R 不与点B 重合时，判断BR 的方向是否变化，若不变化，说明理由．理由见解析⊙ABC中，90，30∠，ABA=，3作QD⊙AB59⊙⊙QPR是等边三角形，⊙⊙QRP=60°，⊙⊙ABC=90°-⊙A=60°，⊙⊙QBP=⊙QRP=60°，⊙Q、P、B、R四点共圆，⊙⊙QBR=⊙QPR=60°，⊙BR的方向不变．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，四点共圆等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含详细答案

中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含详细答案一、圆的综合1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD +∠PAC =90°，即∠PAD =90°， ∴PA ⊥AD ， ∴PA 是⊙O 的切线；（2）∵CF ⊥AD ，∴∠ACF +∠CAF =90°，∠CAD +∠D =90°， ∴∠ACF =∠D ， ∴∠ACF =∠B ，而∠CAG =∠BAC ， ∴△ACG ∽△ABC ， ∴AC ：AB =AG ：AC ， ∴AC 2=AG •AB =12， ∴AC =23．3．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为32∴a1.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1.∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h ＝2a 2，∴1＝2－1)2＋14a 22，解得a 2 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h a n ，∴1＝14a n 2＋212n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解得a n4．如图，在RtΔABC 中，∠ABC=90°，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.（1）求证：AE=BF ；（2）连接EF ，求证：∠FEB=∠GDA ；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD 的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=12AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD．∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，A FBDAD BDEDA FDB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；（2）连接EF，BG．∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25．∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DEEF． ∵EF =25，∴DE =25×22=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EBED，即GE •ED =AE •EB ，∴10•GE =8，即GE =4105，则GD =GE +ED =9105． ∴1191011092252S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．5．如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF =EF ：（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG =BF ，且⊙O 的半径长为32，求BD 的长度.【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）2 【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC ∽△DGC 且△FEC ∽△GAC ，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度．详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，∴BFDG=EFAG，∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF；(2)连接AO，AB.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB，又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，∴∠FBA+∠ABO=90°，∴∠FAB+∠BAO=90°，即∠FAO=90°，∴PA⊥OA，∴PA是圆O的切线；（3）过点F作FH⊥AD于点H，∵BD ⊥AD ，FH ⊥AD ， ∴FH ∥BC ，由(2)，知∠FBA =∠BAF ， ∴BF =AF . ∵BF =FG ， ∴AF =FG ，∴△AFG 是等腰三角形. ∵FH ⊥AD ， ∴AH =GH ， ∵DG =AG ， ∴DG =2HG . 即12HG DG =， ∵FH ∥BD ，BF ∥AD ，∠FBD =90°， ∴四边形BDHF 是矩形， ∴BD =FH ， ∵FH ∥BC ∴△HFG ∽△DCG ， ∴12FH HG CD DG ==，即12BD CD =， ∴232.15≈， ∵O 的半径长为2， ∴BC 2， ∴BD =13BC ＝2. 点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC交AC 于点E ，交PC 于点F ，连结AF ． (1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)若AC ＝24，AF ＝15，求sin B ．【答案】(1) AF 与⊙O 相切理由见解析；（2）35【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证∠OCF =90°，再证明△OAF ≌△OCF ，得出∠OAF =∠OCF =90°即可；（2）先求出AE 、EF ，再证明△OAE ∽△AFE ，得出比例式OA AEAF EF=，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．试题解析：解：（1）AF 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ．如图所示．∵PC 是⊙O 的切线，∴OC ⊥PC ，∴∠OCF =90°．∵OF ∥BC ，∴∠B =∠AOF ，∠OCB =∠COF ．∵OB =OC ，∴∠B =∠OCB ，∴∠AOF =∠COF ．在△OAF 和△OCF 中，∵OA =OC ，∠AOF =∠COF ，OF =OF ，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF =∠OCF =90°，∴AF 与⊙O 相切；（2）∵△OAF ≌△OCF ，∴∠OAE =∠COE ，∴OE ⊥AC ，AE =12AC =12，∴EF =2215129-=．∵∠OAF =90°，∴△OAE ∽△AFE ，∴OA AE AF EF =，即12159OA =，∴OA =20，∴AB =40，sin B =243405AC AB ==．点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．7．如图1，延长⊙O 的直径AB 至点C ，使得BC=12AB ，点P 是⊙O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP ．（1）∠C 的最大度数为；（2）当⊙O 的半径为3时，△OPC 的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC =24=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC 切⊙O 于点P ，即CP 是⊙O 的切线．8．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（12；（2）AD ﹣2BD ；（3）2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ，∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =．∵DE AD AE AD CD =-=-，∴2-=．AD DC BD（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD的面积最大．此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证2==，CH AH∴21==+．BD AD【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.9．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是_____；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵30330,3tan601(1)221︒--===---，3333tan6031︒-==-，∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．（2）根据题意得：303|1|m-=-，解得：m1＝0，m2＝2，经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：3k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3kb⎧=⎪⎨=⎪⎩或323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．∵∠BOE＝60°，∴sin60°＝3BEOB=，∴OB＝2，∴m＝﹣2或m＝2；当⊙B与直线y33B作BF⊥直线y33F，如图3所示．同理，可求出m＝0或m＝4．综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．10．如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】（1）30°；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．【详解】（1）解：在△AOC中，AC＝4，∵AO＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°；（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．∴∠EAB＝∠AEC．∴CE∥OB，又∵CO∥EB∴四边形OBEC为平行四边形．又∵OB＝OC＝4．∴四边形OBEC是菱形．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．11．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6 4【解析】【分析】（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程2223)6)x x-=，解此方程即可求得⊙O的半径．【详解】解：（1）直线CE与⊙O相切．…理由：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，∴∠DCE +∠DEC ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ，又∠DCE ＝∠ACB ，∴∠DEC +∠DAC ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠DAC ，∴∠DEC +∠OEA ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴OE ⊥EC ，∵OE 为圆O 半径，∴直线CE 与⊙O 相切；…（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ，∴△CDE ∽△CBA ，∴ BC AB DC DE =，又CD ＝AB ＝2，BC ＝2，∴DE ＝1根据勾股定理得EC ＝3，又226AC AB BC =+=，…设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，解得6x =， ∴⊙O 的半径为64．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．12．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．（1）求证：CM 2=MN.MA ；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）CM=22. 【解析】【分析】（1）由··CMDM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122OA PO PC CO ==+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．【详解】（1）O Q e 中，M 点是半圆CD 的中点， ∴ ··CMDM =， CAM DCM ∴∠=∠，又CMA NMC ∠=∠Q ，AMC CMN ∽∴∆∆，∴ CM AM MN CM=，即2·CM MN MA =；（2）连接OA 、DM ，PA Q 是O e 的切线，90PAO ∴∠=︒，又30P ∠=︒Q ，()1122OA PO PC CO ∴==+，设O e 的半径为r ，2PC =Q ，()122r r ∴=+，解得：2r =，又CD Q 是直径，90CMD ∴∠=︒，CM DM =Q ，CMD ∴∆是等腰直角三角形，∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()222216CM r ==，则28CM =， 22CM ∴=．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点13．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．【详解】（1）证明：∵AB 为直径，∴ACB 90∠=︒，∵CD AB ⊥于D ，∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒， ∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立，证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，∵OC OB =， ∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒， ∵CFE DFA ∠∠=，∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=， ∴CH CF =，∴EH EF =，同理DF DK =，∵DE 3=，∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==， BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，则NAK 90CMK ∠∠=︒=，∴CM //AN ，∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形，∴AG CN 6==，作OT CK ⊥于T ，则T 为CK 的中点，∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==，设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=， ∴13a a 283++=，解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=，∴2614CF CK 2DK 855=-=-=．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 与⊙O 相切；（2）若AE ＝6，sin ∠CFD ＝35，求EB 的长．【答案】(1)见解析（2）32【解析】【分析】 ()1如图，欲证明EF 与O e 相切，只需证得OD EF ⊥．()2通过解直角AEF V 可以求得AF 10.=设O e 的半径为r ，由已知可得△FOD ∽△FAE ，继而得到OF OD AF AE =，即10r r 106-=，则易求15AB AC 2r 2===，所以153EB AB AE 622=-=-=．【详解】（1）如图，连接OD ，OC OD =Q ，OCD ODC ∠∠∴=．AB AC =Q ，ACB B ∠∠∴=，ODC B ∠∠∴=，OD //AB ∴，ODF AEF ∠∠∴=，EF AB ⊥Q ，ODF AEF 90∠∠∴==o ，OD EF ∴⊥，OD Q 是O e 的半径，EF ∴与O e 相切；()2由()1知，OD//AB ，OD EF ⊥．在Rt AEF V 中，AE 3sin CFD AF 5∠==，AE 6=，则AF 10=， OD //AB Q ，∴△FOD ∽△FAE ，OF OD AF AE∴=，设O e 的半径为r ，10r r 106-∴=，解得，15r 4=， 15AB AC 2r 2∴===， 153EB AB AE 622∴=-=-=．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，过点C 作⊙O 的切线CP 交BA 的延长线于点P ，连接AE ．（1）求证：PC=PD ；（2）若AC=5cm ，BC=12cm ，求线段AE ，CE 的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=172AE=132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴¶AE=¶BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵¶AE=¶BE，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC CF =2，AE 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

中考专题复习圆形(含答案)

中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。

以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。

2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。

3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。

4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。

答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。

5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。

6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。

答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。

2020-2021中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案

2020-2021中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案一、圆的综合1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606180π⨯=2π．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB=OA，∴A′C与半圆O相切；（2）当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°，（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．3．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；（3）若AC=4，23CDFCOESS∆∆=，求CF的长．【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（343【解析】【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；（3）易证12COECAESS=VV，由于23CDFCOESS=VV，所以CDFCAESSVV=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G．∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．（3）∵O是AC中点，∴12COECAESS=VV．23CDFCOESS=VVQ，∴CDFCAESSVV=13．∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CFCA=3，∴CF=3CA=43．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．4．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．(1)如图(1),求证:AD∥BC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分∠3∠3,求⊙O的半径。

初中圆专题试题及答案

初中圆专题试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是圆的直径？A. 圆的最长弦B. 圆的最短弦C. 圆的半径的两倍D. 圆的周长答案：C2. 圆的周长公式是？A. C = 2πrB. C = πr²C. C = 2rD. C = 4r答案：A3. 圆心角为90°的扇形面积是圆面积的几分之几？A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1/8答案：A4. 圆内接四边形的对角互补，那么这个四边形是？A. 矩形B. 菱形C. 梯形D. 不规则四边形答案：A5. 圆的半径增加一倍，其面积增加多少倍？A. 2倍B. 4倍C. 8倍D. 16倍答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 圆的周长是其直径的________倍。

答案：π2. 半径为3cm的圆的面积是________cm²。

答案：28.263. 一个圆的半径是5cm，那么它的直径是________cm。

答案：104. 圆的面积公式是________。

答案：πr²5. 圆心角为60°的扇形面积是圆面积的________。

答案：1/6三、解答题（每题5分，共10分）1. 已知圆的半径为4cm，求圆的周长和面积。

答案：周长为25.12cm，面积为50.24cm²。

2. 一个圆的面积是78.5cm²，求圆的半径。

答案：半径为4.9cm。

四、综合题（每题10分，共20分）1. 圆心角为120°的扇形，半径为6cm，求扇形的弧长和面积。

答案：弧长为6πcm，面积为18πcm²。

2. 一个圆的直径是10cm，求圆的周长和面积，并计算周长和面积的比值。

答案：周长为31.4cm，面积为78.5cm²，周长和面积的比值为0.4。

五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：等弧所对的圆周角相等。

答案：略。

2. 证明：圆内接四边形的对角互补。

答案：略。

初中数学圆形专题训练50题-含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若:5:7A C ∠∠=，则C ∠=（）A ．210︒B ．150︒C ．105︒D ．75︒2．如图，P 是∠O 外一点，P A 是∠O 的切线，A 为切点，PO 与∠O 相交于B 点，已知∠BCA ＝34°，C 为∠O 上一点，连接CA ，CB ，则∠P 的度数为（）A ．34°B ．56°C ．22°D ．28° 【答案】C 【分析】根据切线的性质可得：90,OAP ∠=︒ 利用圆周角定理可得：2,O ACB ∠=∠ 从而可求出结果．【详解】解：∠P A 是∠O 的切线，A 为切点，∠∠OAP ＝90°，又∠∠BCA ＝34°，∠∠O ＝2∠ACB ＝68°，∠∠P ＝90°﹣∠AOB ＝90°﹣68°＝22°．故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理，掌握利用圆周角定理与切线的性质定理求解角的大小是解题的关键．3．如图，AB为∠O直径，CD为弦，AB∠CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（）∠CE＝OE；∠∠C＝40°；∠ACD＝ADC；∠AD＝2OEA．∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】B【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．【详解】解：∠AB为∠O直径，CD为弦，AB∠CD于E，∠CE=DE，BC BD=，ACB ADB=，∠∠BOC=2∠A=40°，ACB BC ADB BC+=+，即ADC ADC=，故∠正确；∠∠OEC=90°，∠BOC=40°，∠∠C=50°，故∠正确；∠∠C≠∠BOC，∠CE≠OE，故∠错误；作OP∠CD，交AD于P，∠AB∠CD，∠AE＜AD，∠AOP=90°，∠OA＜PA，OE＜PD，∠PA+PD＞OA+OE∠OE＜OA，∠AD＞2OE，故∠错误；故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．下列命题正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧是等弧B．等圆周角对等弧C．任何一个三角形只有一个外接圆D．过任意三点可以确定一个圆【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系可判断出各选项，注意在等圆中这个条件．【详解】A、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故本选项错误；B、缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等；故本选项错误；C、任何一个三角形只有一个外接圆，故本选项正确；D、缺少条件，过任意不共线的三点才可以确定一个圆，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查命题与定理的知识，属于基础题，掌握相关的性质定理是解题的关键．5．如图，四边形ABCD为∠O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．125°∠四边形ABCD为∠O的内接四边形，∠∠BCD=180°−∠A=125°，故选D【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质. 6．如图，点A，B，C均在圆O上，当∠BOC=120°时，∠BAC的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°7．如图，在O中，AB所对的圆周角∠ACB＝50°，D为AB上的点．若∠AOD＝35°，则∠BOD的大小为（）A．35°B．50°C．55°D．65°【答案】D【分析】在同圆中，由同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解答．【详解】解：∠ACB＝50°，AOB∴∠=⨯︒=︒250100BOD AOB AOD∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1003565故选：D．【点睛】本题考查圆周角与圆心角的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8．如图，四边形ABCD内接于∠O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为()A．40°B．60°C．80°D．90°【答案】D【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．【详解】连接OD、OB，∠四边形ABCD内接于∠O，∠∠DCB＝180°﹣∠DAB＝40°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，∠40°≤∠BPD≤80°，∠∠BPD不可能为90°，故选D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．如图，已知四边形ABCD 内接于∠O，AB是∠O的直径，EC与∠O 相切于点C，∠ECB=35°，则∠D 的度数是（）A．145°B．125°C．90°D．80°【答案】BOC【详解】解：连接.∠EC 与O 相切,35ECB ∠=，55OCB ∴∠=，,OB OC =55OBC OCB ∴∠=∠=，180********.D OBC ∴∠=-∠=-=故选：B.10．如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果65AO cm =，15CO cm =，当刮雨刷AC 绕点O 旋转90时，则刮雨刷AC 扫过的面积为（）A ．225cm πB ．21000cm πC ．225cmD ．21000cm11．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A．0.5B．1C．2D．412．如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）A．πB．πC．D．【答案】B【详解】试题分析：根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥的底面周长．解：设底面圆的半径为r，则：2πr==π．∠r=， ∠圆锥的底面周长为，故选B ．考点：圆锥的计算．13．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且弧AC 为半圆的，设扇形AOC ，∠COB ，弓形BmC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列结论正确的是（）A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 1＜S 2＜S 3【答案】B 【详解】试题分析：首先根据∠AOC 的面积=∠BOC 的面积，得S 2＜S 1．再根据题意，知S 1占半圆面积的．所以S 3大于半圆面积的．解：根据∠AOC 的面积=∠BOC 的面积，得S 2＜S 1，再根据题意，知S 1占半圆面积的，所以S 3大于半圆面积的．因此S 2＜S 1＜S 3．故选B ．考点：扇形面积的计算．14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =B 为圆心，BA 长为半径画弧，交CD 于点E ，连接BE ，则扇形BAE 的面积为（）A ．3πB ．35πC ．23πD ．34π 【答案】C【分析】解直角三角形求出30CBE ∠=︒，推出60ABE ∠=︒，再利用扇形的面积公式【详解】解：四边形=BA BE∴∠cos CBE∴∠=CBE∴∠ABE∴S15．下列事件中，是随机事件的是（）A．∠O的半径为5，OP＝3，点P在∠O外B．相似三角形的对应角相等C．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似D．直径所对的圆周角为直角【答案】C【分析】根据随机事件的定义进行分析解答即可.【详解】解：（1）点P一定在∠O内，A是不可能事件，故错误.(2) 相似三角形的对应角一定相等，是必然事件，B错误.(3) 任意画两个直角三角形，这两个三角形不一定相似，C正确.(4) 直径所对的圆周角一定为直角，D为为为为为为为错误.综上选C.【点睛】本题考查随机事件的定义，熟悉掌握是解题关键.16．如图，AC是∠O的直径，弦BD∠AO于E，连接BC，过点O作OF∠BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B cm C．2.5cm D cm17．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：∠勒洛三角形是中心对称图形；∠在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；∠在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；∠使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．连接BD，BE，CE，若∠CBD＝33°，则∠BEC＝（）A．66°B．114°C．123°D．132°【答案】C【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=33°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【详解】在∠O中，∠∠CBD＝33°，∠∠CAD＝33°，∠点E是△ABC的内心，∠∠BAC＝66°，∠∠EBC+∠ECB＝（180°﹣66°）÷2＝57°，∠∠BEC＝180°﹣57°＝123°．故选C．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．19．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，∠DCE为Rt∠，∠CED=90°，OE=CE DE=5，则正方形的面积为()A．5B．6C．7D．8∠CE DE=5故选：B【点睛】本题考查了四点共圆的判定及圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，正方形的判定及性质定理，全等三角形的判定及性质．20．如图，AB 是∠O 的直径，弦CD∠AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足13CF FD ，连接AF 并延长交∠O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF ＝2，AF ＝3．给出下列结论：∠∠ADF∠∠AED ；∠FG ＝2；∠tan∠E ；∠S △DEF ＝结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4AFD ADE S S ＝ADE S ＝△DEF ＝AFD ，∠所以正确的结论是∠∠∠.二、填空题21．如图，有4个圆|A ，B ，C ，D ，且圆A 与圆B 的半径之和等于圆C 的半径，圆B 与圆C 的半径之和等于圆D 的半径，现将圆A ，B ，C 摆放如图甲，圆B ，C ，D 摆放如图乙.若图甲和图乙的阴影部分面积分别为4π和12π.则圆D 面积为__________．【答案】28π【分析】根据题意得到圆A 的半径为2，设圆B 的半径为b ，则圆C 的半径为b+2，故圆D 的半径为2b+2，根据乙图得到方程求出b 的关系，再根据圆D 的面积与b 的关系即可求解.【详解】∠图甲阴影部分面积分别为4π，即圆A 的面积为4π，∠圆A 的半径为2，设圆B 的半径为b ，则圆C 的半径为b+2，故圆D 的半径为2b+2，根据乙图可得222(22)12(2)b b b ππππ+=+++化简得226b b +=，∠圆D 的面积为2(22)b π+=4π()22b b ++4π=28π，故填：28π.【点睛】此题主要考查圆的面积求解，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列方程求解.22．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a ）在一个平面内线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做__．线段OA 叫做__．（b ）圆是所有点到定点O 的距离__定长r 的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的__叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫__（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够__的弧叫等弧．（5）等圆：能够__的两个圆叫等圆，半径__的两个圆也叫等圆．【答案】圆心半径等于线段弧完全重合完全重合相等【分析】根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答．【详解】（1）圆两种定义方式：（a ）在一个平面内线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心．线段OA 叫做半径．（b ）圆是所有点到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．（5）等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆．故答案为：圆心，半径；等于；线段；弧；完全重合；完全重合；相等．【点睛】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键． 23．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，则r 的取值范围是 _____．90，Rt ABD 中，由勾股定理得：2AD AB +A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，且CD BD <<10r <<，24．如图ABC 内接于O ，半径为6，2sin 3A =∠，则BC 的长为___________．【详解】解：作O的直径，∠90D=sin D CD．25．如图，PA、PB分别切∠O于A、B，并与∠O的另一条切线分别相交于D、C两点，已知PA＝6，则∠PCD的周长=_______．【答案】12【详解】试题分析：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角.设DC与∠O的切点为E∠PA、PB分别是∠O的切线，且切点为A、B∠PA=PB=6同理可得DE=DA，CE=CB则∠PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=12.考点：切线长定理26．如图，若BC是∠O的弦，OD∠BC于D，且∠BOD=50 o，点A在∠O上（不与B、C重合），则∠BAC=________．27．若圆锥的底面积为16π cm2，母线长为12 cm，则它的侧面展开图的圆心角为__________．【答案】120°【分析】根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径,求出圆锥底面圆的周长,也即是展开图扇形的弧长,然后根据弧长公式可求出圆心角的度数.【详解】由题意得,圆锥的底面积为16πcm²,28．如图，在等腰直角三角形ABC 中，4AB BC ==，点M 是AB 的中点，将ABC 绕点M 旋转至A B C '''的位置，使AB A C ''⊥，其中点C 的运动路径为弧CC '，连接CM ，则图中阴影部分的面积为_______．29．如图，ABC内接于O，若OAB30∠=，则C∠=______．【详解】OA OB=30OAB=∠=，1803030120=--=，由圆周角定理得，1602C AOB∠=∠=，故答案为60．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．30．如图，BC为∠O的直径，弦AD∠BC于点E，直线l切∠O于点C，延长OD交l 于点F，若AE=2，为ABC=22.5°，则CF的长度为31．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_______cm．【答案】4【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出.【详解】∠正六边形的边长是4cm，∠正六边形的半径是4cm，∠这个圆形纸片的最小半径是4cm，故答案为4cm.【点睛】此题主要考查了正多边形与圆的知识，注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要谨记的内容.32．如图，AB与∠O相切于点A，BO与∠O相交于点C，点D是∠O上一点，∠B＝38°．则∠D的度数是_____．33．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD ＝12cm，则球的半径为______cm．【答案】7.5【分析】首先找到EF的中点M，作MN∠AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM是(12﹣x) cm，MF＝6 cm，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】解：EF 的中点M ，作MN∠AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∠四边形ABCD 是矩形，∠∠C ＝∠D ＝90°，∠四边形CDMN 是矩形，∠MN ＝CD ＝12 cm设OF ＝x cm ，则ON ＝OF ，∠OM ＝MN ﹣ON ＝ (12﹣x) cm ，MF ＝6 cm ，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2＝OF 2，即：（12﹣x ）2+62＝x 2，解得：x ＝7.5，故答案为：7.5．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．34．已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，以C 为圆心，4.8cm 长度为半径画圆，则直线AB 与O 的位置关系是__________．与O 的位置关系是相切．2268=+与O 的位置关系是相切．故答案为：相切．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定，掌握勾股定理，直角三角形面积，圆的切判定是解题关键．35．如图,一次函数y=x轴、y轴交于A、B两点,P为一次函数=的图像上一点,以P为圆心能够画出圆与直线AB和y轴同时相切,则y x∠BPO=_________.∠∠OBP=15°又∠BOP=45°∠∠BPO=180°-45°-15°=120°相交时，点P即为圆心．（2）当∠ABO的外角平分线与y x如图，同理可求∠OBP=30°+75°=105°∠∠BPO=180°-45°-105°=30°故答案为：30°或120°【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质及三角形的内角和的应用，正确的对点P的位置进行分类是解题的关键．36．如图，四边形ABCD内接于∠O，点E在AB的延长线上，BF∠AC，AB＝BC，∠ADC=130°，则∠FBE=_______°.【答案】65【详解】连接BD，如图所示：∠∠ADB和∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠BDC和∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，又∠∠BDC+∠ADB＝∠ADC，∠ADC=130°，∠∠BAC+∠ACB＝130°，又∠AB＝BC，∠∠BAC＝∠ACB＝65°，又∠BF∠AC，∠∠FBE=∠BAC＝65°；故答案是：65．37．如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧AB，使点B在O右下方，且4tan3AOB∠=．在优弧AB上任取一点P，且能过P作直线l OB∥交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧AB上一段AP的长为13π，则AOP∠的度数为__________，x的值为__________；（2）x的最小值为__________，此时直线l与弧AB所在圆的位置关系为__________26nπ⨯38．如图，在Rt ABC △中，903cm 4cm C AC BC ∠=︒==，，，以BC 边所在的直线为轴，将ABC 旋转一周得到的圆锥侧面积是___；此圆锥展开的侧面扇形的圆心角为____．边所在的直线为轴，将ABC 旋转一周得到的圆锥侧面积是此圆锥展开的侧面扇形的扇形弧长是底面圆周长，此圆锥展开的侧面扇形的圆心角度数为【点睛】本题考查了勾股定理，圆锥的计算；得到几何体的组成是解决本题的突破39．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＋4的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 点，点C 在线段OA 上，点D 在直线AB 上，且CD ＝2，∠DEC 是直角三角形（∠EDC ＝90°），DE ，连接AE ，则AE 的最大值为_________．∠+∠=______度，阴影四边形的面积为______．【答案】 105︒##105度 1##1-+∠90ABD ，AB BD =90ABC BAC ∠+∠=︒=BAC DBE ∠=∠，(AAS BAC DBE ≌△△AC BE =，BC DE =三、解答题41．如图，在∠O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ．(1)求证：AEC DEB △∽△；(2)连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求∠O 的半径．【答案】(1)证明见解析(2)∠O 的半径为3Rt ADB 中，26AD ==，132AB ==的半径为【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含42．如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦．过BC 延长线上一点G ，作GD AO ⊥于点D ，交AC 于点E ，交O 于点F ，M 是GE 的中点，连接CF ，CM ．（1）判断CM 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ECF 2A ∠∠=，CM 6=，CF 4=，求MF 的长．与O 相切；理由见解析；3343．已知：如图，线段BC 与经过点C 的直线l ．求作：在直线l 上求作点D ，使150CDB ∠=︒．作法：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于BC 上方的点A ，连接AB ，AC ；∠以点A 为圆心，以AB 长为半径画圆交直线l 于点D （不同于点C ），连接BD ．则点D 即为所求．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半烃画弧，两弧交于BC 上方的点A ． ∠AB BC CA ==∠ABC 为等边三角形．∠60BAC ∠=︒．在A 中，在优弧BC 上任取点E ，连接BE ，CE ．∠30CEB ∠=︒．（_________________________）（填推理依据）∠点B ，D ，C ，E 在A 上．∠180CDB CEB ∠+∠=︒．（_________________________）（填推理依据）即150CDB ∠=︒．【答案】(1)见解析(2)圆周角定理；圆内接四边形对角互补【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；（2）根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】（1）解；如图所示，（2）证明：∠分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半烃画弧，两弧交于BC 上方的点A ． ∠AB BC CA ==∠ABC 为等边三角形．∠=60?BAC ∠．在A 中，在优弧BC 上任取点E ，连接BE ，CE ．∠=30?CEB ∠（圆周角定理）∠点B ，D ，C ，E 在A 上．∠+=180CDB CEB ∠∠︒．（圆内接四边形对角互补）即150CDB ∠=︒．故答案为：圆周角定理；圆内接四边形对角互补．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．44．某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A 、B 、C 的距离相等．（1）若三所公寓A 、B 、C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P 表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠BAC =56°，则∠BPC =【答案】（1）见解析；（2）112°【分析】（1）连接AB 、BC 、AC ，作线段AB 和AC 的垂直平分线，交点P 即为所求；（2）利用三角形外心的性质结合圆周角定理得出答案．【详解】解：（1）如图所示：P 点即为所求；（2）连接PB 、PC ，∠点P 是三角形ABC 的外心，∠∠BPC ＝2∠BAC ＝112°．【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，掌握线段垂直平分线的性质，得出P 点是三角形ABC 的外心是解题关键．45．如图ABC 内接于O ，60B ∠=，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP AC =．()1求证：P A 是O 的切线；()2若PD =O 的直径．）O 的直径为30，继而根据等腰三角形的性质可得出30，继而由P ，可得出30的直角三角形的性质求出PD OD =，可得出O 的直径．连接OA ，如图，B 60∠=，AOC 2B 120∠∠∴=，又OA OC =，OAC 30∠∠∴=，又AP AC =P ACP 30∠∠=，90，是O的切线．Rt OAP中，P30∠=，=+，2OA OD PD=，又OA OD=，PD OA=，PD5∴=2OA2PD∴的直径为O【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含掌握切线的判定定理、圆周角定理及含46．如图，已知等边∠ABC，AB＝2，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF∠AC，垂足为F，过点F作FG∠AB，垂足为G，连结GD．(1)求证：DF是∠O的切线；(2)求FG的长．22447．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是∠O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求∠O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．【答案】（1）见解析；（2）∠O的半径R为7．【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∠∠DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理；（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．【详解】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，∠O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP=CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∠∠C=∠B，∠A=∠D，∠∠APC∠∠DPB，∠AP：DP=CP：BP，∠AP•BP=CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∠AB=10，PA=4，OP=5，∠PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5，由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD，∠4×6=（R﹣5）×（R+5），解得R=7（R=﹣7舍去）．所以∠O的半径R=7．【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握相交弦定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.48．如图，点C在以AB为直径的∠O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD 交∠O于点E，过B作BF∠AE交∠O于点F，连接CF．（1）求证：∠B＝2∠F；（2）已知AE＝8，DE＝2，过B作BF∠AE交∠O于F，连接CF，求CF的长．49．如图，已知∠O的直径AB=8，过A、B两点作∠O的切线AD、BC．（1）当AD=2，BC=8时，连接OC、OD、CD．∠求∠COD的面积．∠试判断直线CD与∠O的位置关系，并说明理由．（2）若直线CD与∠O相切于点E，设AD=x（x＞0），试用含x的式子表示四边形ABCD的面积S，并探索S是否存在最小值，写出探索过程．50．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN 及点P 、Q ，若60MPN ∠=︒且线段MN 关于点P 的中心对称线段M N ''恰好经过点Q ，则称点Q 是点P 的线段60MN -︒对经点．(1)设点()0,2A ．∠()1Q ，()24,0Q ，312Q ⎫-⎪⎪⎝⎭，其中为某点P 的线段60OA -︒对经点的是______．∠已知()0,1B ，设∠B 的半径为r ，若∠B 上存在某点P 的线段60OA -︒对经点，求r 的取值范围．(2)若点()4,0Q 同时是相异两点1P 、2P 的线段60OD -︒对经点，直接写出线段OD 长的取值范围．为边的等边三角形的外接圆C 上优弧上的横纵坐标的最值，根据定义以及中点坐标公的方法作出图形，作M 的切线关于P 中心对N 为圆心，矩形对角线长度为半径两圆组成的图两直线之间的部分，除公共部分以外的图形，即图中阴影部分，包括边轴上的部分，根据图形求得）作辅助线，设,M N 在OD 同时是相异两点1P 、2P 的线段33DM x =，OM 长，解一元一次不等式组求解即可．Q 为边的等边三角形的外接圆C 上优弧上的一点，()0,2A2OA ∴=C 为AOP 的外心，则过点C 分别作CG 2OC33GC =3GC ∴=33C x ∴=∴P 的横坐标最大值为Qx交M于点S作M的是C的直径)AA交M于点F1根据对称性，同理可得过N的r的最值也为M N在OD）作辅助线，设,T 为,M N 的交点，2MT NT OM ∴===11=22TH MN OD ∴==在Rt NTH 中， NH OH ON NH =+OR ON NR =+()4,0D236+∴解得433即433≤。

人教中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时N A′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE =2123．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC=6cm,AC=8cm,∠BAD=45°．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2) 25-504π. 【解析】分析：（1）根据圆周角定理及推论证得∠BAE=90°，即可得到AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD ，用扇形ODA 的面积减去△AOD 的面积即可.详解：证明：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即∠BAC+∠ABC=90°，∵∠EAC=∠ADC ，∠ADC=∠ABC ，∴∠EAC=∠ABC∴∠BAC+∠EAC =90°，即∠BAE= 90°∴直线AE 是⊙O 的切线；（2）连接OD∵ BC=6 AC=8∴ 226810AB =+=∴ OA = 5又∵ OD = OA∴∠ADO =∠BAD = 45°∴∠AOD = 90°∴AOD ODA S S S ∆-阴影扇形＝=90155553602π⨯⨯-⨯⨯ 25504π-= （2cm ）点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用.4．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧．（1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：①t 的值；②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=636+33．【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可；第二种情况：如图6，同理可得t 的值．详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan ∠EBA =AE BE =33，∴∠EBA =60°，如图4，∴∠FBA =120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=33，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+3．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．5．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．解决问题：()1如图①，半径为4的O外有一点P，且7PO=，点A在O上，则PA的最大值和最小值分别是______和______．()2如图②，扇形AOB的半径为4，45∠=，P为弧AB上一点，分别在OA边找AOB点E，在OB边上找一点F，使得PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出PEF周长的最小值；拓展应用()3如图③，正方形ABCD的边长为42；E是CD上一点(不与D、C重合)，=，M、N分别是AB、AC上动点，求PMN周长CF BE⊥于F，P在BE上，且PF CF的最小值．【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF周长最小值为423）41042．【解析】【分析】()1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；()2作点P关于直线OA的对称点1P，作点P关于直线OB的对称点2P，连接1P、2P，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时PEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；()3类似()2题作对称点，PMN周长最小12PP=，然后由三角形相似和勾股定理求解．【详解】解：()1如图①，圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，故答案为11和3；()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求．连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，12454590POP ∠=+=，12POP ∴为等腰直角三角形，121PP ∴==PEF 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．故答案为；()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ，连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③由对称知识可知，1PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，此时，PMN 周长最小12PP =．由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12APAP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==12454590P AP ∠=+=，12P AP ∴为等腰直角三角形，PMN ∴周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小．连接DF ．CF BE ⊥，且PF CF =，45PCF ∠∴=，PC CF =45ACD ∠=，PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，又2AC CD =， ∴在APC 与DFC 中，AC PC CD CF =，PCA FCD ∠∠= C AP ∴∽DFC ，2AP AC DF CD∴==， ∴2AP DF =90BFC ∠=，取AB 中点O ．∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短． 2222(22)(42)2221022DF DO FO OC CD OC =-=+-=+-=-， AP ∴最小值为2AP DF =∴此时，PMN 周长最小值()12222222102241042PP AP DF ==⋅=⋅-=-．【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．7．如图，⊙O 的直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若∠APD ＝∠BPC ，则称∠CPD 为直径AB 的“回旋角”．(1)若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；(2)若CD 的长为134π，求“回旋角”∠CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为3AP 的长．【答案】(1)∠CPD 是直径AB 的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD 的度数为45°；(3)满足条件的AP 的长为3或23．【解析】【分析】（1）由∠CPD 、∠BPC 得到∠APD ，得到∠BPC ＝∠APD ，所以∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；（2）利用CD 弧长公式求出∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，利用∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，得到∠APD ＝∠BPC ，∠OPE ＝∠APD ，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC ＝180°，即点D ，P ，E 三点共线，∠CED ＝12∠COD ＝22.5°，得到∠OPE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD ＝∠BPC ＝67.5°，所以∠CPD ＝45°；（3）分出情况P 在OA 上或者OB 上的情况，在OA 上时，同理（2）的方法得到点D ，P ，F 在同一条直线上，得到△PCF 是等边三角形，连接OC ，OD ，过点O 作OG ⊥CD 于G ，利用sin ∠DOG ，求得CD ，利用周长求得DF ，过O 作OH ⊥DF 于H ，利用勾股定理求得OP ，进而得到AP ；在OB 上时，同理OA 计算方法即可【详解】∠CPD 是直径AB 的“回旋角”，理由：∵∠CPD ＝∠BPC ＝60°，∴∠APD ＝180°﹣∠CPD ﹣∠BPC ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BPC ＝∠APD ，∴∠CPD 是直径AB 的“回旋角”；(2)如图1，∵AB ＝26，∴OC ＝OD ＝OA ＝13，设∠COD ＝n°，∵CD 的长为134π， ∴13131804n ππ= ∴n ＝45，∴∠COD ＝45°，作CE ⊥AB 交⊙O 于E ，连接PE ，∴∠BPC ＝∠OPE ，∵∠CPD 为直径AB 的“回旋角”，∴∠APD ＝∠BPC ，∴∠OPE ＝∠APD ，∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，∠COD＝22.5°，∴∠CED＝12∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，∴∠CPD＝45°，即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，∵直径AB的“回旋角”为120°，∴∠APD＝∠BPC＝30°，∴∠CPF＝60°，∴△PCF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，连接OC，OD，∴∠COD＝120°，过点O作OG⊥CD于G，∠COD＝60°，∴CD＝2DG，∠DOG＝12√∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝1332∴CD＝133√，∵△PCD的周长为24+133√，∴PD+PC＝24，∵PC＝PF，∴PD+PF＝DF＝24，过O作OH⊥DF于H，∴DH＝1DF＝12，2在Rt△OHD中，OH5=在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，∴OP＝10，∴AP＝OA﹣OP＝3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP＝3，∴AP ＝AB ﹣BP ＝23，即：满足条件的AP 的长为3或23．【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P 点的分类讨论8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×32=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235．【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE -=△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．10．已知Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，AD ＝AC ，BC ＝3A ，D 两点作⊙O ，交AB 于点E ，（1）求弦AD 的长；（2）如图1，当圆心O 在AB 上且点M 是⊙O 上一动点，连接DM 交AB 于点N ，求当ON 等于多少时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O 不在AB 上且动圆⊙O 与DB 相交于点Q 时，过D 作DH ⊥AB （垂足为H ）并交⊙O 于点P ，问：当⊙O 变动时DP ﹣DQ 的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1233；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到33；（3）连AP、AQ，DP⊥AB，得AC∥DP，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB，∠AQC=∠P，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD，易证得△AQC≌△APD，得到DP=CQ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD，而△ADC为等边三角形，3DP-DQ的值．【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，点D是BC中点，BC＝3∴AD＝12BC＝3（2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE，当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，∴OE⊥DM，又∵AD＝AC，∴△ADC为等边三角形，∴∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，∴∠DON＝60°，在Rt△ADN中，DN＝12AD3，在Rt△ODN中，ON＝33DN＝1，∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MD＝ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE，∵AD＝23，∠DAE＝30°，∴DH＝3，∠DEA＝60°，DE＝2，∴△ODE为等边三角形，∴OE＝DE＝2，OH＝1，∵∠M＝∠DAE＝30°，而MD＝ME，∴∠MDE＝75°，∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO＝45°，∴△NDH为等腰直角三角形，∴NH＝DH＝3，∴ON＝3﹣1；综上所述，当ON等于1或3﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。

【答案】圆专题分类训练必做20题

专题二十【圆的有关概念、性质及定理】1．（2015•株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°【答案】A．2．（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【答案】B．3．（2015•湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．4．（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）A．4 B．2C．8 D．4【答案】C．5．（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．D．【答案】D．6．（2015•丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度．【答案】20．7．（2015•宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=．【答案】28．（2015•天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．【答案】（1）∠ADC= 90°；（2）∠FAB= 15°．9．（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E 为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．【答案】（1）AC=10；（2）略10．（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB 于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．【证明】（1）略（2）AC=9．专题二十一【与圆有关的计算和证明】1．（2015•义乌市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B = 135°，则的长（）A．2 πB．π C．D．【解答】B．2．（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】D．3．（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB = 30°，CD = 4，则阴影部分的面积为（）A．π B．4 πC．πD．π【解答】D．4．（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（）A．（π﹣4）cm2B．（π﹣8）cm2C．（π﹣4）cm2D．（π﹣2）cm2【解答】A．5．（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为（结果保留π）．【解答】π．6．（2015•哈尔滨）一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为度．【解答】40．7．（2015•湖北）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA = ，∠P = 60°，则图中阴影部分的面积为．【解答】﹣π．8．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB = 90°，点C为OA的中点，CE ⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA = 2，则阴影部分的面积为．【解答】+．9．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB = AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC = 8，AC = 12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．【解答】（1）证明：略（2）3；（3）BG = 2．10．（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且= ．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC = 12，求sin ∠ABD的值．【解答】解：（1）等腰三角形；（2）．。

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专题二十【圆的有关概念、性质及定理】
1．（201５•株洲）如图,圆O是△ＡBC的外接圆,∠A=６8°，则∠ＯBC的大小是（)
Ａ.22° B.２６°ﻩ C.32°D．68°
【答案】Ａ．
2.（2015•兰州）如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、Ｂ两点，点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=()
A．80°B．90° C.10０°ﻩ Ｄ.无法确定
【答案】B.
3.（2015•湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（) A．40°B．100°ﻩ C.４０°或１4０°ﻩD.4０°或100°
【答案】Ｃ．
４.(２０1５•湖州)如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦ＡＢ切小圆于点C,OA交小圆于点D,若ＯＤ＝2，tan∠OＡB=，则AB的长是()
A．4 B.２ﻩ C．8ﻩ Ｄ.4
【答案】C．
5.(2015•衢州）如图,已知△AＢＣ，ＡB＝BC，以AB为直径的圆交AＣ于点Ｄ,过点D的⊙Ｏ的切线交BＣ于点Ｅ.若ＣD=5,CE=4,则⊙Ｏ的半径是（)
A．3ﻩ B．4Ｃ.ﻩD．
【答案】D．
6.（２０１５•丽水)如图，圆心角∠AＯB=2０°，将旋转ｎ°得到，则的度数是度.
【答案】２0.
7．（2015•宜宾）如图，AＢ为⊙Ｏ的直径，延长AＢ至点Ｄ,使ＢＤ=ＯB,DC切⊙O于点C,点B是的中点,弦ＣF交AＢ于点E.若⊙O的半径为２，则CF= ．
【答案】２
８.（2０15•天津）已知A、B、C是⊙Ｏ上的三个点．四边形OABＣ是平行四边形,过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小．
(Ⅰ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E，与交于点F，连接AF,求∠FＡB 的大小．
【答案】(1）∠ADC= 9０°；
(2）∠ＦAB= 15°．
9．（201５•湖州）如图，已知BC是⊙Ｏ的直径,AC切⊙Ｏ于点C,AＢ交⊙O于点Ｄ，Ｅ为AC的中点,连结DE.
(1）若ＡＤ=DB,OC＝５,求切线AＣ的长;
(2）求证:ED是⊙O的切线．
【答案】(1）AC＝１０;
（２)略
10.(2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AＣ为直径的⊙O交ＢC于点D,交AＢ于点Ｅ,过点D作ＤＦ⊥AB,垂足为Ｆ，连接DE.
（1)求证:直线DF与⊙O相切；
(２）若AE=7,BＣ＝6,求AＣ的长.
【证明】(1）略
（2）AC=９.
专题二十一【与圆有关的计算和证明】
1.（2015•义乌市）如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ⊙O的半径为2，∠B = １３5°，则的长（)
A．2 π B. π C.ﻩＤ.
【解答】Ｂ．
2．（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AＢ为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAＢ的面积为(）
A.6ﻩB．7ﻩC．8D．9
【解答】D．
３．（2０15•恩施州)如图，AＢ是⊙O的直径,弦CD交ＡＢ于点E，且E为OB的中点,∠ＣＤB = 30°,CD= 4，则阴影部分的面积为（）
Ａ. πﻩＢ.４πﻩC．πﻩD.π
【解答】D.
４.（201５•潍坊)将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上,水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是8cm，水的最大深度是2c ｍ，则杯底有水部分的面积是( ）
A．（π﹣4）ｃｍ２B．（π﹣8)cm2ﻩ
Ｃ.（π﹣４）cｍ2ﻩD．（π﹣２）ｃm２
【解答】A．
5.(20１5•长沙)圆心角是６0°且半径为2的扇形面积为（结果保留π).
【解答】π.
6．（2０15•哈尔滨)一个扇形的半径为3cｍ,面积为πｃm2,则此扇形的圆心角为
度.
【解答】40.
７.(2０15•湖北）如图,P为⊙O外一点，PA，ＰB是⊙O的切线,Ａ，B为切点,ＰＡ= ，∠P= ６０°,则图中阴影部分的面积为.
【解答】﹣π．
8．(２０15•河南）如图,在扇形AＯB中，∠AOB = ９0°，点Ｃ为OA的中点,CＥ⊥OＡ交于点E,以点Ｏ为圆心,ＯC的长为半径作交ＯＢ于点D.若OA ＝２,则阴影部分的面积为.
【解答】+．
9.（2015•鄂州）如图,在ⅠＡＢC中,AＢ= AC,ＡＥ是∠BＡC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M,点O在AB上，以点O为圆心，ＯB的长为半径的圆经过点M，交BC于点Ｇ,交AB于点F．
（１）求证:AE为⊙Ｏ的切线.
（2)当ＢC = ８,AC＝12时，求⊙O的半径．
(3）在（2）的条件下,求线段BG的长．
【解答】（1)证明：略
（2)3；
（3)BＧ= 2．
10．(２０1５•烟台)如图，以ⅠABC的一边ＡB为直径的半圆与其它两边AC，BＣ的交点分别为Ｄ、E，且=.
（１）试判断ⅠＡBＣ的形状，并说明理由．
（2)已知半圆的半径为5,ＢC = 12，求siｎ∠ABD的值.
【解答】解：（1)等腰三角形；
（２).。