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《离散数学（专）》阶段练习三

（第五章、第六章）

一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“⨯”）

1、对任何无向图，奇其点的个数必然为奇数. （ ）

2、对于简单无向图G 而言，其所有顶点的度数和等于其两倍的边数. （ ）

3、自补图对应的完全图的边数必为偶数. （ ）

4、简单通路就是边不重复的一个点边交替序列.

（

）

5、若图G 是连通的，则其补图G 必然是不连通的.

（ ）

6、若)(G A 是图G 的邻接矩阵，则矩阵幂次2

))((G A 中的对角线上元素)

2(ii a 等于它对应的

顶点i v 的度)deg(i v .

（ ） 7、所有顶点的度都为偶数的无向图一定是欧拉图. （ ）

8、含有汉密尔顿路的图就是汉密尔顿图. （ ）

9、对连通平面图G 而言，其边数e 、点数v 、面数r 必然满足2=+-r e v . （ ）

10、不存在点数、边数奇偶性不同的欧拉图. （

）

11、完全图5K 不是欧拉图.

（ ）

12、若图G 是哈密尔顿图，则对G 中任意不相邻的顶点对u,v ，均满足度数之和d (u )+d (v ) ≥ n . （ ）

13、不含奇圈（长度为奇数的圈）的无向图一定是二部图. （ ）

14、完美匹配一定不是最大匹配. （ ）

15、边子集M 是图G 的最大匹配，当且仅当G 中不含M 可扩路. （ ）

16、边子集M 是图G 的一个匹配，所谓M 交错路，就是一条通路，满足路上相邻两条边一条在M 中，另一条不在M 中. （ ）

二、简单作图题

1、画出一个自补图；

2、画出一个既有欧拉回路、又有汉密尔顿圈的无向图；

3、画出一个有欧拉回路、但没有汉密尔顿圈的无向图；

4、画出一个无欧拉回路、但却有汉密尔顿圈的无向图；

5、画出一个自对偶图.

6、画出含有4个顶点的含圈的所有非同构的连通图.

三、填空题

1、完全二部图,m n K 中的边数为 .

2、对无向图G 而言，若M 是G 的一个匹配，G 中的一条通路P ，满足相邻的两条边交替属于M 和不属于M 这个条件的话，称通路P 为 .

3、对无向图G 而言，若M 是G 的一个匹配，则满足条件 称为M 可扩路.

4、点不重复的回路（即起、终点重合的通路）叫做 .

5、不连通图G 的几个不相连通的子图叫做 .

6、删除图G 中某个顶点关联的所有边之后，所剩的图 （选填“连通”或“不连通”）.

7、无向图的关联矩阵中，第i 行的元素和等于 .

8、有向图的关联矩阵中，第i 行里“1”的个数等于 .

9、有向图D 的邻接矩阵A 的k 次幂k

A 中，元素()

k ij a 表示图中从点i v 到j v 的 有向路的条数.

10、如果只关心有向图D 中点i v 到j v 是否存在有向路可达，而不关心路的长度那么我们可以考虑 （选填“关联矩阵”，“邻接矩阵”或“可达矩阵”）.

11、对无向图图G 而言，若M 是G 的一个匹配，则M 是图G 的最大匹配当且仅当 . 12、n 个点的图G 的边数若为m ，则它的补图G 的边数为 .

四、若无向图G 中恰有两个奇点，试证明这两点之间必有一条路相连.

五、试证明完全二部图3,3K 不是平面图.

六、选择题

1、下列选项中唯一不正确的是（ ）.

（A ）无向图的所有顶点的度的和，等于图中边数的2倍.

（B ）简单无向图G 是欧拉图，当且仅当它是每一个顶点的度都是偶数的连通图. （C ）点、边、面数分别为v e r 、、的简单连通平面图的欧拉公式是+2v e r -=. （D ）不存在6个顶点的自补图.

2、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，围成每个面的边数必为( ). （A ）3；

（B ） 2；

（C ） 4；

（D ）5.

3、下列关于无向平面图的对偶图的描述，正确论断的个数是（ ）. （1）任一简单平面图G 的对偶图的对偶图一定是G . （2）两个同构的简单连通平面图，它们的对偶图也是同构的. （3）任一平面图的对偶图一定是连通的. （4）简单平面图的对偶图一定也是简单平面图. （5）平面图G 的对偶图一定是平面图.

（6）平面图G的面色数一定等于其对偶图的点色数.

（A）2；（B）3；（C）4；（D）5.

4、下列关于图的描述的选项中，唯一不正确的是（）.

（A）子图中的点数小于等于图中的点数

（B）补图与原图的点数相等，但边数就不一定相等了

（C）同构的两个图的点数对应相等，边数对应相等，但反之未必

（D）彼得森（Peterson）图是哈密尔顿图

七、求证：若简单无向图G不连通，则其补图G必然连通.

八、我们称与其补图同构的简单无向图为自补图。证明：每个自补图的阶或者能被4整除，或者被4除余1.

九、给出一个如下图的有向连通图G.

1、写出它的邻接矩阵A；

2、图中长度为3的回路（注意起点的不同）一共有多少条？

3、求图的可达矩阵P.

《离散数学（专）》阶段练习三 （第五章、第六章）答案

一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“⨯”）

二、简单作图题

解：画图如下

6、

三、填空题

1、mn .

2、M 交错路.

3、起终点均为非M 饱和点的M 交错路.

4、初级回路，或者圈

5、连通分图，或连通分支.

6、不连通.

7、第i 个点的度 8、第i 个点的出度. 9、长度为k 的. 10、可达矩阵.

11、G 中不含M 可扩路. 12、

(1)

2

n n m --.

四、证明：（反证法）不妨设着两个奇点为w u 、，且它俩在图G 中没有路相连，那么它俩必存在于两个连通分支中，即存在于图G 的两个不连通的子图u G 、w G 当中，而作为每个