导数应用1

类型二 利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )上单调递减．

[例] (2012年高考山东卷改编)已知函数f (x )＝ln x x k e

(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．

[解析] (1)由f (x )＝ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x

，x ∈(0，＋∞)． 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，

所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.

(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．

令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，

当x ∈(0，1)时，h (x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.

又e x >0，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

跟踪训练

1．函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递增，则实数a 的最大值为____．

解析：法一：f ′(x )＝1－a 2x ，由已知，得1－a

2x ≥0， 即a ≤2x 在区间[1,4]上恒成立．

∴a ≤(2x )min ＝2，∴a max ＝2.

2．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，求实数a 的取值

范围．

解析：由题知f′(x)＝1

x

－ax－2＝－

ax2＋2x－1

x

，

因为函数f(x)存在单调递减区间，

所以f′(x)＝－ax2＋2x－1

x≤0有解．

又因为函数的定义域为(0，＋∞)，

则应有ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解．

(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；

(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解，

则Δ＝44a

>0，此时－1

(3)当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．