二重积分对称性
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其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
D D
f ( x , y )d 0. D
D1
D2
的两部分区域记为D1和D2 .
这种情况常称为积分区域D具有关于积分变量的对称性 或称为二重积分的轮换对称性(即若积分区域或被积函 数的表达式中，将其变量x, y互换，其表达式不变）。
利用对称性简化计算
在利用对称性计算重积 分时，不仅积分区域要
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
பைடு நூலகம்
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
1
1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
（4）若D对称于y轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（5）若D对称于原点，且 ( x , y ) f ( x , y )则 f
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
1
其中D1是D位于y轴右侧(或左侧）的部分。
（6）若D对称于原点，且 ( x , y ) f ( x , y )则 f
（7）若D对称于直线y x, 则 f ( x, y )d f ( y, x )d .
(或 f ( x , y )d f ( y, x )d ). 对称于直线y x