二重积分对称性
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
二重积分计算技巧总结
二重积分计算技巧总结二重积分是微积分中的一个重要概念，是对二元函数在特定区域上的面积进行求解，也可以理解为一个函数在一个平面区域上的平均值。
在实际计算中，可以通过一些技巧来简化计算过程，提高计算效率。
本文将总结一些常用的二重积分计算技巧，帮助读者更加灵活地应用二重积分。
1.利用对称性在计算二重积分时，如果被积函数具有对称性，可以通过利用对称性简化计算过程。
常见的对称性有x轴对称、y轴对称、原点对称等。
对称性可以减少计算量，提高计算效率。
2.变量替换变量替换是处理二重积分的常用方法。
通过合适的变量替换，可以将原来的二重积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括极坐标变换、矩形坐标变换等。
极坐标变换是将矩形坐标转化为极坐标的过程，从而转化为极坐标上的二重积分。
极坐标变换的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ其中，r是极径，θ是极角。
矩形坐标变换则是将原来的矩形区域映射为一个更简单的区域，从而简化计算过程。
常见的矩形坐标变换包括矩形到正方形的变换、矩形到单位圆的变换等。
3.积分次序交换对于一些特定的被积函数，可以通过交换积分次序来简化计算过程。
一般来说，交换积分次序需要满足一些条件，比如被积函数在给定的积分区域上连续可微。
需要注意的是，交换积分次序可能会改变积分的范围，因此在交换积分次序时需要注意积分区域的变化。
4.多次积分的简化二重积分常常需要进行多次积分，这时可以使用多次积分的简化方式来提高计算效率。
常见的多次积分简化方式包括积分区域分割、积分区域的对称性利用、积分范围的变量替换等。
通过适当地选择简化方式，可以大大减少计算量，提高计算效率。
5.划分区域的选择在计算二重积分时，划分区域的选择对于计算结果具有一定的影响。
对于一些特定的区域，可以选择合适的划分方式来简化计算过程。
常见的划分区域的选择方式包括将区域分为两个相互重叠的子区域、将区域分为若干个均匀分布的子区域等。
通过合适的划分方式，可以简化计算过程，提高计算效率。
二重积分的对称性-二重积分对称性
偶函数的定义
偶函数是满足条件f(x) = f(-x)的函数。偶函数具有关于y轴对称的特点，图形 在y轴上是对称的。
偶函数的性质
偶函数具有一些特殊的性质，比如在定义域内关于y轴对称、在定义域内积分结果为偶数等。
奇函数的定义
奇函数是满足条件f(x) = -f(-x)的函数。奇函数具有关于坐标原点对称的特点， 图形在原点对称。
图形的面积计算
图形的面积计算是一个重要的数学问题。通过利用对称性，我们可以简化面 积计算，并减少计算错误的可能性。
区域的对称性
区域的对称性主要体现在区域的形状和面积上。通过利用区域的对称性，我 们可以计算出相等大小的对称区域的面积。
矩形区域的对称性
矩形区域是最基本的平面图形之一。矩形具有上下对称、左右对称和中心对称的特点，面积相等。
三角形区域的对称性
三角形是常见的平面图形之一。三角形具有一些特殊的对称性，比如高线对 称、中位线对称等。
大小相等的对称区域的面积相等
如果两个对称区域的大小相等，则它们的面积也相等。这是对称积分的一个重要性质。
对称积分的定义
对称积分是指在具有对称性的图形上进行的积分计算。通过利用对称性，我 们可以简化对称函数的积分计算。
对称积分的计算方法
对称积分的计算方法包括变量代换、分部积分和对称性的性质等。这些方法可以帮助我们简化计算过程，提高 效率。
对称函数的性质
对称函数具有一些特殊的性质，比如偶函数和奇函数。这些性质对于理解对 称积分和解析图形具有重要的作用。
矩形对称性的例子
1 上下对称
矩形图形关于x轴对称， 面积相等。
2 左右对称
矩形图形关于y轴对称， 面积相等。
，面积相等。
线性对称性的例子
对称性在定积分及二重积分计算中的应用
定积分和二重积分是高等数学中常用的积分计算方法，它们都可以用来计算曲线、曲面或曲面的某些区域的积分。
它们的计算方法是基于定积分和二重积分的对称性的，而对称性是它们的重要特性之一。
对称性在定积分和二重积分计算中可以用来提高计算效率。
在定积分计算中，我们可以用对称性来减少计算量，只需要计算一半的区域，就可以得出积分值。
在二重积分计算中，我们可以利用对称性来减少计算量，只需要计算一半的单元格，就可以得出积分值。
此外，对称性在定积分和二重积分计算中还可以用来检查计算结果的准确度。
在定积分计算中，如果积分结果不是对称的，则可能存在计算错误；在二重积分计算中，如果积分结果不是对称的，则可能存在计算错误。
总之，对称性在定积分和二重积分计算中具有重要的意义，可以提高计算效率，也可以检查计算结果的准确性。
利用对称性_奇偶性计算二重积分
利用对称性_奇偶性计算二重积分对称性和奇偶性在计算二重积分中是非常有用的工具。
它们可以帮助我们简化计算过程，减少工作量。
首先，让我们回顾一下对称性的概念。
在二维平面上，对称性指的是一个函数在平面上的镜像对称或旋转对称性。
对称性的存在可以帮助我们缩小计算的范围，从而简化问题。
现在我们考虑奇偶性。
在数学中，一个函数的奇偶性是指函数在自身的镜像中是否保持不变。
具体来说，如果对于函数f(x)，我们有f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶函数。
如果我们有f(-x)=-f(x)，那么这个函数就是奇函数。
现在让我们进入实际的例子来说明如何使用对称性和奇偶性来计算二重积分。
假设我们要计算函数f(x,y)=x^2+y^2在特定区域D上的二重积分。
首先，我们可以观察到这个函数是一个关于x和y的二次多项式，它具有x和y的奇偶性。
因为平方项不受符号变换的影响，所以这个函数是一个偶函数。
这意味着如果我们把这个函数在x轴和y轴上镜像，结果是不变的。
当我们考虑计算二重积分时，我们通常可以通过对称性来简化问题。
在这个例子中，我们可以观察到函数f(x,y)在关于x轴和y轴的镜像平面上是对称的。
因此，我们可以将原始区域D沿着x轴或y轴折叠，得到两个对称的区域D1和D2、这样，我们只需要计算其中一个区域的积分，然后将结果乘以2即可。
假设我们选择将区域D沿着y轴折叠。
这样就得到了两个对称的区域D1和D2，其中D1的x坐标范围是[0,a]，y坐标范围是[c,d]，D2的x坐标范围是[0,a]，y坐标范围是[-d,-c]。
现在我们可以编写二重积分的表达式。
根据对称性，我们可以将f(x,y)视为偶函数，并将y的范围限制在非负值上。
因此，我们可以将二重积分写为：∬D(x^2+y^2)dA=2∬D1(x^2+y^2)dA= 2∫[0,a] ∫[c,d] (x^2 + y^2) dy dx接下来，我们可以使用极坐标变换来进一步简化计算。
在极坐标下，一个点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r是点到原点的距离，θ是点与x 轴的夹角。
二重积分的对称性
二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
二重积分的对称性
在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发 现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们 经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我 们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算 量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心 对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化 计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计 算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利 用对称性将复杂图形划分为简单 部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分计算中奇偶性、对称性的应用
二重积分计算中奇偶性、对称性的应用
计算二重积分是一个重要的任务，也是很多人必须学习的课程，其实在不同的概念中，计算二重积分的奇偶性和对称性都可以有用的应用。
一般来说，计算二重积分的奇偶性主要指在“扰动”求和后，整体系统会像奇数时刻上的神社，在“正常”求和后，整体系统会像偶数时刻上的神社一样互不影响。
因此，通过对比计算“完全”求和后结果，可以有效节约时间，实现“快速计算”。
而计算二重积分的对称性则表示，使用求和后结果需要满足系统某些规律，比如解变量的对称性或者周期性。
因此，根据实际的计算要求，以满足以上条件的方式求和，可以更有效的进行计算，同时也减少了计算误差。
可以看出，计算二重积分的奇偶性和对称性确实是一种好的解决方案，能有效的提高计算效率，特别是在计算大量复杂数据时，是一种良好的技术手段。
它不仅可以加快计算速度，还可以提高计算误差，是学习一种计算数据的有效方法。
1、二重积分在直角坐标系下的计算
一、二重积分计算公式 二、典型例题
一、二重积分的对称性：
y
1.D关于y轴对称.
(1) f (− x, y) = − f ( x, y),
ox
即f ( x, y)关于x是奇函数时, I = 0.
(2) f (− x, y) = f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是偶函数,
(1 1 ） 8
y
y= x
1
O 12x
例4、计算∫∫ xydσ ,其中D是由直线=y 1= , x 2及
D
y = x所围成的闭区域 .
解法2： D是Y − 型的,
(1 1 ） 8
y
y= x
1
O 12x
例5：求 ∫∫ ( x2 + y)dxdy, 其中 D 是由抛物线 y = x2
D
和 x = y2 所围平面闭区域 .
X −区域 D :
D
a ≤ x ≤ b,ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x),
y = ϕ1(x)
Oa
bx
2、Y − 型区域
特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线 与D的边界相交不多于两点.
Y −区域 D :
c ≤ y ≤ d ,ψ 1( y) ≤ x ≤ ψ 2( y),
y d
x =ψ 2( y)
∫0 dx∫0
f ( x, y)dy + ∫1 dx∫0 f ( x, y)dy 的次序.
解：
1
2− y
∫ ∫ 原式 =
dy
0
1−
1− y2 f ( x, y)dx.
练习
2a
2ax
∫ ∫ 1、改变积分 dx 0
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。
而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。
本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。
二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。
在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。
当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。
2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。
•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分
【实用版】
目录
1.积分区域关于原点对称的二重积分的定义
2.积分区域关于原点对称的二重积分的性质
3.积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
4.积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
正文
一、积分区域关于原点对称的二重积分的定义
在数学中，二重积分是一种对空间内数值函数进行积分的方法。
当积分区域关于原点对称时，我们可以称之为积分区域关于原点对称的二重积分。
在这种情况下，我们可以利用对称性进行简化计算。
二、积分区域关于原点对称的二重积分的性质
积分区域关于原点对称的二重积分具有以下性质：
1.对称性：若 f(x,y) 关于原点对称，即 f(x,y)=f(-x,-y)，则其二重积分也关于原点对称。
2.线性性：若 f(x,y) 和 g(x,y) 分别关于原点对称，则
f(x,y)+g(x,y) 和 f(x,y)-g(x,y) 的二重积分也关于原点对称。
三、积分区域关于原点对称的二重积分的计算方法
对于积分区域关于原点对称的二重积分，我们可以采用以下方法进行计算：
1.变量代换：利用极坐标系或球坐标系进行变量代换，将二重积分转化为单重积分。
2.对称性利用：根据函数的对称性，将积分区间分为两部分，并对其
中一部分进行简化。
3.分部积分：利用分部积分公式，将二重积分转化为两个单重积分的和。
四、积分区域关于原点对称的二重积分的应用实例
积分区域关于原点对称的二重积分在物理、工程等领域具有广泛的应用，例如求解质心、转动惯量等问题。
通过运用对称性和合适的计算方法，可以简化计算过程，提高计算效率。
二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性
据了解，双重积分的轮换对称性是指在一个双重积分的系统中，通过对其中一个值进行轮
换而使另一个值的积分值保持不变的特性。
双重积分的轮换对称性在数学理论中有着很重要的作用。
举个例子，如果我们有一个具有
双重积分的函数f(x,y)，当我们轮换x和y时，积分f(x,y)dy dx = f(x,y)dx dy。
这表
明在对参数进行轮换时，积分值是不变的。
双重积分的轮换对称性在物理的应用中也很重要，比如在等离子体物理研究中，我们可以
将电场和磁场轮换，这时候就可以发现，由于熵的双重积分，这两者产生了储能效应。
双重积分的轮换对称性也在化学领域有着重要作用。
例如，对于一些特定的复杂分子，可
以分解出两个活化子，通过对这两个题者轮换，可以维持系统内全部体系的总熵保持不变。
总之，双重积分的轮换对称性可以帮助我们在不同的领域建立有用的数学模型来分析一些
复杂的问题，也可以帮助我们更好地理解物理实验中的特性。
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
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其中D1是D位于y轴右侧的部分。
（4）若D对称于y轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（5）若D对称于原点，且 ( x , y ) f ( x , y )则 f
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
D D
f ( x , y )d 0. D
D1
D2
的两部分区域记为D1和D2 .
这种情况常称为积分区域D具有关于积分变量的对称性 或称为二重积分的轮换对称性(即若积分区域或被积函 数的表达式中，将其变量x, y互换，其表达式不变）。
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
利用对称性简化计算
在利用对称性计算重积 分时，不仅积分区域要
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d . D D
1
1
其中D1是D位于y轴右侧(或左侧）的部分。
（6）若D对称于原点，且 ( x , y ) f ( x , y )则 f
（7）若D对称于直线y x, 则 f ( x, )d f ( y, x )d .
(或 f ( x , y )d f ( y, x )d ). 对称于直线y x