二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域D 关于坐标轴对称

定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰ .

2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰ .

其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D

I xy y dxdy =

+⎰⎰，其中D 为由2

2y x =与2x =围成的区域。 解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且

3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-

即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有

3()0D

f xy y dxdy +=⎰⎰

.

类似地，有：

定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则

2

2(,),(,)(,).

(,)0,(,)(,).D D

f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩

⎰⎰⎰⎰

当当

其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。

例 6 计算2,D

I x ydxdy =

⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。

解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且

2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴

的偶函数，由对称性定理结论有：

1

122

22

20

22215

x D

D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰

.

（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有

1

(,)4(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰

其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分()D

I x y dxdy =+

⎰⎰，其中D ：1x y +≤ .

解：如图所示，D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积分函数关于x 和y 是偶函数，即有

(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，由定理2，得

1

()4()D

D I x

y dxdy x y dxdy =

+=+⎰⎰⎰⎰

其中1D 是D 的第一象限部分，由对称性知,

1

1

D D x dxdy y dxdy =

⎰⎰

⎰⎰

，

故1

4

()D I x y dxdy =+⎰⎰1

4()D x x dxdy =+⎰⎰1

8D x dxdy =⎰⎰4

3

=

. 情形二、积分区域D 关于原点对称

定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰

2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有

(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰.

例8 计算二重积分

33()D

x y dxdy +⎰⎰,D 为3

y x =与y x =所围区域. 解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数

33(,)f x y x y =+,有

3333(,)()()()(,)

f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得

33

()0D

x y dxdy +=⎰⎰. 情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称

定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 1)

(,)(,)D

D f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;

1

2

(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.

2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D

f x y dxdy =⎰⎰.

3)当(,)(,)f y x f x y =时,有

1

(,)2(,)D

D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰

⎰⎰.

例9 求2222()D

x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222

x y R +≤所围.

解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得

2222

2222()()D D

x y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰, 故 2222()D x y I dxdy a b =+⎰⎰2222

22221[()()]2D D

x y y x dxdy dxdy a b a b =+++⎰⎰⎰⎰

2222111()()2D x y dxdy a b =

++⎰⎰222200111()2R d r rdr a b

π

θ=+⎰⎰

422

11

(

)4

R a b π

=

+. 类似地，可得：