对称性求解积分
对称性方法在积分计算中的应用
积分计算是数学中一个重要的分支，它是用来计算定积分或不定积分的。
对称性方法是积分计算中常用的一种方法，它可以将一个复杂的积分问题转换为一个更简单的积分问题。
它的基本思想是，如果一个函数具有对称性，那么它的积分值也具有对称性，我们可以利用这种对称性来简化积分计算。
比如，我们要计算函数f(x)的定积分，可以先将函数f(x)变换为具有对称性的函数g(x)，然后用对称性方法来计算积分。
这样，我们就可以将原来一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题，从而减少计算量，提高计算效率。
此外，对称性方法还可以用来计算不定积分。
例如，计算不定积分∫f(x)dx，我们可以先将函数f(x)变换为具有对称性的函数g(x)，然后用对称性方法来计算不定积分，从而获得积分结果。
总之，对称性方法是积分计算中常用的一种方法，它可以将复杂的积分问题转换为简单的积分问题，从而有效地减少计算量，提高计算效率。
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。
曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。
积分的对称性
L
( 2) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时
L f ( x, y)ds 2L
f ( x , y )ds
3
其中 L3 是 L 的对称的部分弧段
L3 ( x , y ) | ( x , y ) L , x 0 y 0
D3
①、②、③简单地说就是 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于 对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍， 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质
三重积分的对称性
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
D1 ( x, y ) ( x, y ) D, x 0 D
1
③若D关于原点对称
(1) 当f( x, y) f( x, y) 时I 0 (2)当f ( x, y ) f ( x , y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D3 ( x, y ) D, x 0, y 0
(2)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 2 f ( x , y )dxdy
D2 ( x , y ) D, y 0
D2
②若D关于 y 轴对称
(1)当f ( x, y ) f ( x, y )时 I 0
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
对称性在积分中的应用
华北水利水电学院数学实践报告华北水利水电学院对称性在积分中的应用学院：环境与市政工程学院专业：建筑环境与设备工程班级：2010108成员：王永辉 201010804朱虹光 201010810余维召 201010811对称性在积分中的应用积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x -),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称） 1、 二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域12D D D =,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Dif x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)2注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f y x f d y x f !),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x（ii ）若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则⎰⎰⎰⎰=DD d y x f d y x f 3),(4),(σσ其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)xy y x 2)(222=+解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数则有⎰⎰Dxydxdy 0=（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于x ,y 的偶函数则有⎰⎰Dxydxdy =2⎰⎰1D xydxdy由极坐标知θθsin ,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 212>θr则20πθ≤≤于是⎰⎰Dxydxdy 61cos 2sin 220sin 03=⎰⎰dr r d θθθπθ定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()()()2Daf x bf y dxdy a b f x f y +=++⎰⎰，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=证明：∵积分区域D 关于x y =对称∴(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰设()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰由函数关于两个变量()()()()Daf x bf y I dxdy f x f y +=+⎰⎰，以上两式相,得2()DI a b dxdy a b =+=+⎰⎰，从而1()2I a b =+一般地，有以下定理：定理5：设有界闭区域12D D D =，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)Df x y d σ⎰⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)Df x y d σ=⎰⎰2(,)Dif x y d σ⎰⎰1(=i ，)22、三重积分的对称性定理定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数),,(z y x f 在Ω上连续，那么：（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=0（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰=2⎰⎰⎰Ω1),,(dv z y x f同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标222x y z a b c++，c z =解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为203zcc abcM ab dz d rdr ππθ==⎰⎰⎰设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而o z =22033..44z cc abc cdz d rdr abc ππθπ=⎰⎰⎰于是，重心为点（0,0,34c ） ※曲线积分的对称性1、第一型曲线积分的对称性定理定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ⎰=2(,)if x y ds ⎰1(i =,)2注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则10,(,)(,)(,),(,)LL f x y f x y ds f x y ds f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量x 为奇函数2如果关于变量为偶函数其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)ip x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2例4：求曲线积分[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰，其中c 是单位圆周221x y +=，方向为逆时针方向解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数22()cos(2)xy e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正∴22()cos(2)xy e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反故22()cos(2)xy ce xy dx -+⎰0=类似可知22()sin(2)xy ce xy dy -+⎰0=因此[]22()cos(2)sin(2)xy ce xy dx xy dy -++⎰0=定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)Lf x y ds ⎰0=（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)Lf x y ds ⎰=21(,)L f x y ds ⎰})|),{((1a x L y x L ≤∈=例5：计算3(2)LI y y x ds =+-⎰，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称∴3(2)(2)2LLLI y y ds x ds ds =+--+⎰⎰⎰设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -设 ),(y x g =2-x则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即200I ++=lds ⎰=8π2、第二类曲线积分的对称性定理定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于2π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ⎰而言，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)tttp x y z dz p y z x dy p z x y dx ==⎰⎰⎰=13 (,,)(,,)(,,)tp x y z dz p y z x dy p z x y dx ++⎰ 定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)Lx y dy θ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ⎰=2(,)Lx y dy θ⎰定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰0=（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)Lp x y dx ⎰=21(,)L p x y dx ⎰例：计算I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到)1,3(B 的一段弧解：I =|2|(2)(1)LLx x y dx -+--⎰⎰=12I I +因为关于2=x 对称θ),4(y x =|2|-x θ),(y x由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -所以2I =0，即12I I I =+0=※曲面积分的对称性定义1：若∀)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈⊂∈⋅⋅⋅⋅⋅有),,(1211111-+⋯⋯i x x x x x x p n)2,1(n i D n ⋯=∈成立，则称n D 关于),,(321n x x x x p ⋅⋅⋅⋅⋅具有轮换对称性.定义2：若函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅≡)2,1(n i X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，则称函数),,(321n x x x x F ⋅⋅⋅⋅⋅关于函数n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z(或x ,或y )的奇函数}（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=2(,,)sf x y z ds ⎰⎰，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则（ⅰ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数（ⅱ）(,,)sf x y z ds ⎰⎰=81(,,)s f x y z ds ⎰⎰,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分解： 利用对称性知xds yds ∑∑=⎰⎰⎰⎰0=设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑++⎰⎰=zds ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-例2:计算曲面积分x ∑⎰⎰,其中2222:x y z a ∑++=解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤ds ==∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x 为关于),,(z y x 的偶函数由推论1.1x ∑⎰⎰=8x ∑⎰⎰=a881D x dsdy ⎰⎰⎰⎰=189cos 8D d r a θθdr r d a a⎰⎰=209cos 8πθθ=a810117!!7.108!!264a a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰1(,,)(,,)(,,)3f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑∑∑=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例3：计算曲面积分2z ds ∑⎰⎰，其中s 是球面2222x y z a ++=解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴222x ds y ds z ds ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴2z ds ∑⎰⎰=2221()3x y z ds ∑++⎰⎰ =21133a ds ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 22214.433a a a ππ== 2、第二类曲面积分的对称性定理利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分(,,)sf x y z ds ⎰⎰为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.一般地，有如下定理：定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有（ⅰ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号（ⅱ）1(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰=21(,,)s f x y z dxdy ⎰⎰，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积分1(,,)s f x y z dydz ⎰⎰，1(,,)s f x y z dzdx ⎰⎰也有类似的结论定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 例3：计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧则有：1S w Dyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰ 对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S w xdydz =⎰⎰Dy σ=323R π 因此S xdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3S Sxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰ 334343R R ππ=⋅= ※小结应用对称性计算积分时应注意以下几点：1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.。
对称性解决积分问题方法
利用对称性、奇偶性求积分
有关对称性的结论
（1 ）对于对称区间上的积分，有
（a ）当在区间上为奇函数[ 即] 时
（b ）当在区间上为偶函数[ 即] 时
（2 ）对于平面区域D 上的二重积分，有
1 ）设D 关于y 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半部分：
2) 设D 关于x 轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的上半部分：
3) 设D 关于原点对称，则
（a ）当时，得
（b ）当时，得
其中，。
4 ）设D 关于x 轴和y 轴均对称，且关于变量和均为偶函数，则
其中是在第一象限的部分：
5 ）设D 关于直线对称，则
（3 ）积分区域上的三重积分有类似于二重积分的性质。
例如，
设关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
如果积分区域关于坐标面（或）对称，而被积函数
是（或）的奇函数或偶函数时，有类似的结论。
（4 ）第一型曲线积分和曲面积分也有类似的结论。
例如
1 ）设平面分段段线关于轴对称，则
（a ）当为的奇函数[ 即] 时，得
（b ）当为的偶函数[ 即] 时，得
其中是的右半段：
2 ）设分片光滑曲面关于坐标面对称，则
（a ）当是关于变量为奇函数[ 即] 时，得
（b ）当是关于变量为偶函数[ 即] 时，得
其中是的前半部分：
说明：以上结论不适用于第二型曲线积分和第二型曲面积分。
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.本文总结了对称性在定积分、重积分、曲线积分以及曲面积分计算中的应用.对于积分区域不具有对称性的情形，文中总结了几种方法来创造对称性，如平移变换、伸缩变换、区域划分等.关键词：对称性；奇偶性；积分计算；轮换对称引言数学是一个充满了美的世界，对称性不仅是数学美的重要特征，也是一个非常重要的艺术要素，因此很有必要去探讨一下对称性在解题这门艺术中的应用.在学习的过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，就能简化计算.很多文献讨论了对称性在积分计算中的应用这个问题.如文献[3]和文献[4]主要讨论了二重积分的对称性定理及其应用，得出了当积分区域关于x轴（或y轴、或原点）对称且被积函数关于变量x（或y）为奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[5]讨论了轮换对称性在各类积分计算中的应用.文献[6]讨论了对称性在三重积分计算中的应用，得出了当积分区域关于某个坐标面对称且被积函数是关于某变量的奇函数或偶函数时的对称性定理.文献[7]给出了积分区域关于变量x,y,z的轮换对称性定义.文献[13]将定积分、重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分的对称性定理写成统一的形式.当积分区域不具有对称性时，不能直接利用对称性来简化计算，但有时可以通过适当的变换化积分区域为对称区域.本文总结了几种创造对称性的方法，如伸缩变换、平移变换、区域划分等，有时候可以将两种变换结合起来使用.1.对称性在定积分计算中的应用在定积分的计算中，根据积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可以简化计算.定理1.1[1] 设f(x)在[?a,a]上连续，则当f(x)是奇函数时，?当f(x)是偶函数时，?a?aa?af(x)dx?0；f(x)dx?2?f(x)dx.a1周口师范本科毕业论文（设计）证明?a?af(x)dx??af(x)dx?0?a?0?af(x)dx.令x??t，有dx??dt.则?当f(x)为偶函数时，当f(x)为奇函数时，f(x)dx???f(?t)dt?a0f(?t)dt.a?a0f(?t)dt??a0f(t)dt，则?aa?aaf(x)dx?2?f(x)dx.?af(?t)dt???f(t)dt，则??af(x)dx?0.下面我们来看一个例题.例1?x3sin2x2?计算定积分I???6?x2?x???dx.2?2?x?3x?5? 2解3I??2?2xsinxx?3x?56232??2?2x(2?x)dx.2由于xsinxx?3x?5622是变量x的奇函数，由定理1.1知?2?2xsinxx?3x?56232由于x(2?x2)是变量x的偶函数，由定理1.1知?则I?0?16?16.2?2x(2?x)dx?2?x(2?x)dx?16，2202在定积分的计算中，当积分区间关于原点对称时，我们容易想到用对称性，而当积分区间为任意有限区间?a,b?时，我们往往想不到去利用对称性.实际上，积分区间?a,b?一定关于直线x?12bbaa(a?b)对称，由此我们可以得出如下定理.定理1.2[2]设f(x)在?a,b?上连续，则?f(x)dx??f(a?b?x)dx.只需令x?a?b?t即可证明此定理.这一公式对于积分的计算并没有多少的帮助，但从该公式易得如下推论.推论1设f(x)在?a,b?上连续，则? baf(x)dx??ba12[f(x)?f(a?b?x)]dx.对于有些计算起来非常困难甚至无法计算的积分，我们只需将被积函数换成[f(x)?f(a?b?x)]就能简化运算.21例2计算定积分?4ln(9?x)ln(9?x)?ln(3?x).22周口师范本科毕业论文（设计）解记f(x)?442，则f(6?x)?，由推论1知?f(x)dx??212f(x)?f(6?x)]dx?4212dx?1.我们已经总结了对称性在定积分计算中的应用，从上面的讨论中我们可以看出根据对称性确实可以简化计算，下面来讨论对称性在重积分计算中的应用.2.对称性在重积分计算中的应用2.1对称性在二重积分计算中的应用我们已经讨论了对称性在定积分计算中的应用，得出了相应的结论.对于二重积分，我们主要讨论积分区域关于x轴（或y轴）对称、关于原点对称以及轮换对称性.定理2.1.1[3]x设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数，即f(x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,?y)?f(x,y)，D(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d?.DD1其中D1是D在x轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.证明根据二重积分的性质得??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D2f(x,y)d?，其中D1??(x,y)?D|y?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.作变量替换x?x,y??t，(x,t)?D1.则J??(x,y)?(x,t)?100?1??1.若f(x,y)为关于y的奇函数，则??D2f(x,y)d????D1f(x,?t)J?????f(x,t)d?????f(x,y)d?D1D1，3周口师范本科毕业论文（设计）??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1D1f(x,y)d??0，若f(x,y)为关于y的偶函数，则??D2f(x,y)d????f(x,?t)Jd??D1??D1f(x,t)d????D1f(x,y)d?，??Df(x,y)d????f(x,y)d??D1??D1f(x,y)d??2??f(x,y)d?D1.综合以上可知结论成立.例3计算二重积分??y3sin2xd?，其中D是由x?y?1，x?y?1和x?0围D成的平面闭区域.解由于区域D关于x轴对称，且f(x,y)?y3sin2x是关于变量y的奇函数，则由定理2.1.1知??y3sin2xd??0.D由定理2.1.1可得如下推论.推论2设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，则⑴若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则??f(x,y)d??4??f(x,y)d?.DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1??(x,y)?D|x?0,y?0?.⑵若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则??f(x,y)d??0.D当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理2.1.2?4?设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f(?x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则??Df(x,y)d??0；如果f(?x,?y)?f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d??2??f(x,y)d?，DD1D2其中D1??(x,y)?D|x?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.定义2.1.1设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(x,y)?D，存在(y,x)?D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于x,y具4周口师范本科毕业论文（设计）有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3[5]x,y设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于具有轮换对称性，则??f(x,y)d??D??Df(y,x)d?.上面所列推论及定理的证明方法均与定理2.1.1类似，此处不再赘述，下面给出相应的例题.例4解计算二重积分I?I???(xD2?5x?3y?2)d?，其中D:x2?y2?1.??(5x?3y)d??D??Dxd??2由于D关于原点对称，且5x?3y是??2d?，D(x,y)的奇函数，则由定理2.1.2知??(5x?3y)d??0.故D2?01I???Dxd??2??2d???Dd??(rcos?)rdr?2??2094?.例5计算二重积分I???其中f(x)是区间??1,1?上的?，正值连续函数，D??(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0?.解由于积极分区域D关于x,y具有轮换对称性，则由定理2.1.3得I?所以I???2D1??D?????D?，a?bd??2??d??D?2(a?b).2.2对称性在三重积分计算中的应用经过分析，我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似，根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.定理2.2.1[6]设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于坐标平面x?0对称，则(1)若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则?1是?的前半部分，?1??(x,y,z)??|x?0?.同理可写出?关于坐标平面y?0（或z?0）对称时的情形.证明由三重积分的性质得????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????2f(x,y,z)dV，其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|x?0?.作变量替换x??t,y?y,z?z，(t,y,z)??1，则?(x,y,z)?(t,y,z)?1?0001000??1.1J?(1)当f(x,y,z)为关于变量x的奇函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV?????f(t,y,z)dV?????f(x,y,z)dV?1?1?1????f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV?0.(2)当f(x,y,z)为关于变量x的偶函数时，有????2f(x,y,z)dV????f(?t,y,z)JdV??1????1?1f(t,y,z)dV?????1f(x,y,z)dV，????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV.综合(1)和(2)可知结论成立.例6z?计算三重积分I?????(x?z)dV，其中?是由曲面z?与.解I?????xdV?????zdV，由于?关于坐标面x?0对称，且x为关于变量x的奇函数，则由定理2.2.1知???xdV?0.则?I?????zdV??2?0?40d??d??rcos?rsin?dr?201?8.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.6周口师范本科毕业论文（设计）定理2.2.2设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于原点对称，则(1)若f(?x,?y,?z)??f(x,y,z)，(x,y,z)??，则???f(x,y,z)dV?0；?(2)若f(?x,?y,?z)?f(x,y,z)，(x,y,z)??，则????f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?1?2?3.其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|y?0?，?3??(x,y,z)??|z?0?为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义.定义2.2.1[7]设?是一有界可度量的集几何体（?可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)??，都存在(y,z,x)??，存在(z,x,y)??，则称?关于x,y,z具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于x,y,z具有轮换对称性，则???f(x,y,z)dV????f(y,z,x)dV???????f(z,x,y)dV.例7解计算三重积分???xyzdV，其中?:x2?y2?z2?4.?由于?关于原点对称，且xyz是关于(x,y,z)奇函数，由定理2.2.2知???xyzdV??0.例8[8]解计算???(x?y?z)2d?.其中?为正方体0?x?1，0?y?1,0?z?1.<B< body>。
二重积分的对称性计算
利用对区域
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重 ，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人 。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
高等数学同济大学版补充：利用对称性和奇偶性简化积分的运算
引入：当 f ( x)在[a,a]上连续, 则
(1)当 f ( x)为偶函数, 有
a
a
f ( x)dx 2 f ( x)dx;
a
0
(2)当 f ( x)为奇函数, 有
a
f ( x)dx 0.
a
1
例 计算 (| x | sin x)x2dx. 1
解 因为积分区间对称于原点, 且 | x | x2 为偶函数, sin x x2
利用对称性化简三重积分的计算时，应注意： 1. 积分区域关于坐标面的对称性； 2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标分量的奇偶性.
一般地，对三重积分 f ( x, y, z)dv, 若积分区域 关于 xOy平面对称，且被积函数是关于变量
z的奇函数，即 f (x, y, z) f (x, y, z)时，
f (x, y) f (x, y)
D
f ( x, y)dxdy
2
f ( x, y)dxdy, f ( x, y)
D3
f (x, y),
其中D3是 D被过原点的直线切割的一半.
(4) 如果 D 关于y x 对称, 则
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy.
D
D
完
例 1 计算 I ( xy 1)dxdy, 其中 D : 4x2 y2 4.
则有
f ( x, y, z)dv 0.
若积分区域 关于 xOy平面对称，且被积函数是关于变量
z 的偶函数， 即 f (x, y, z) f (x, y, z) 时，
则有 f (x, y, z)dv 2 f (x, y, z)dv.
1
其中1 是区域 在 xOy 面上方的半个区域.
二重积分的对称性
二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用对称性是数学中重要的概念之一，它的应用涉及到各个数学领域中。
在积分计算中，对称性也是一个非常重要的工具和思想，能够帮助我们简化、优化和解决复杂的积分问题。
本文将介绍对称性在积分计算中的应用，以及如何利用对称性求解各类复杂积分。
一、对称性概述对称性是指物体或者数学对象的部分或整体运动具有某种规则性的现象。
常见的对称性包括轴对称、中心对称、对角线、对边对称、等等。
对称性是自然界现象和数学理论中广泛存在的一种现象，也是数学中强有力的工具和思想。
二、对称性在积分计算中的基本应用对称性在积分计算中的使用具有以下优点：1.减少计算量：使用对称性可以将积分的计算范围缩小为对称区间内的一半，从而大大减少了计算量，简化了计算过程。
2.避免重复计算：利用对称性可以避免重复计算某些部分，减少了计算量和出错的概率。
3.提高准确度和精度：对称性具有非常清晰的数学定义和可操作性，使用对称性可以提高准确度和精度，更好地描述数学对象的性质和特征。
下面分别对轴对称、中心对称、对角线对称、对边对称等对称性进行介绍，并说明其在积分计算中的具体应用。
1.轴对称轴对称是指数学对象在某个轴线旋转180度以后不改变其形状和大小。
在数学中，轴对称包括平面上的x轴、y轴和45度斜线轴等。
轴对称在积分计算中的应用非常广泛，常见的应用包括：（1）基本函数关于坐标轴对称的性质：例如正弦函数和余弦函数关于y轴对称，正切函数和余切函数关于x轴对称。
利用这些对称性质可以简化复杂函数的积分。
（2）轮换对称性：对于一类具有一定规则性的函数，可以通过对其进行轮换得到新的函数，这样可以将原函数分成几个对称的部分，从而提高计算效率。
例如，对于函数f(x,y) = x + y的积分计算，因为其具有xy的轮换对称性，可以将其分解成两部分f1(x,y) = x和f2(x,y) = y，从而使积分计算简化。
（3）利用轴对称性质求偶函数和奇函数的积分：如果f(x)是关于y轴对称的偶函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于2∫f(x)dx从0到x之间的积分，即∫-xf(x)dx = 2∫0f(x)dx如果f(x)是关于y轴对称的奇函数，则∫f(x)dx从-x到x之间的积分等于0。
对称性在多元函数积分中的应用
对称性在多元函数积分中的应用1.引言多元函数积分计算是微积分中的一个重点和难点，很多初学者对此是望而却步。
但被积函数和积分区域的某些特殊结构特征常常会对问题的求解带来便捷，对于被积函数存在奇偶性、积分区域具有对称性的重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的计算问题，巧妙利用对称性，能使复杂的计算变得简单易行。
2.主要结论定理1：（1）如果积分区域D关于y轴对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有其中.（2）如果积分区域D关于x轴对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有，其中.证明：（1）如果积分区域D关于y轴对称，按y型积分区域顺序计算二重积分有，其中为D在y轴上的投影，为任意平行于x轴的且穿越区域内部的直线与区域边界交点的横坐标。
由于积分区域D关于y轴对称，故在平行于x轴的直线上关于点对称，由定积分对称性结论[1]，[3]可得：当时，，所以；当时，，所以，其中同理可证结论（2）。
以上结论可进一步推广到积分区域关于原点和关于直线对称的情况。
推论1（1）如果积分区域D关于原点对称，则：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有，其中D1为D的右半平面.（2）如果积分区域D关于对称，则，其中，分别为在的上方与下方部分。
将二重积分积分区域定义的平面直角坐标系推广到空间直角坐标系，将平面直角坐标系中关于坐标轴的对称推广到空间直角坐标系中关于坐标面的对称即可得到三重积分的相关结论。
定理2：设在有界闭区域连续，若关于平面对称，则：（1），若关于为奇函数；（2），若关于为偶函数，其中.类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
另外，由二重积分的结论可直接推广得到第一类曲线积分的结论，由三重积分的结论可直接推广得到第一类曲面积分的结论。
定理3：设在分段光滑的曲线L上连续.若L关于x轴（或y轴）对称，则：（1），若关于y（或x）为奇函数；（2），若关于y（或x）为偶函数，其中L1为L的右半平面或上半平面。
定理4：设在分块光滑曲面S上连续，若S关于平面对称，则：（1），若关于x为奇函数；（2），若关于x为偶函数，其中.类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
对称性在积分中的应用
第20卷第4期2000年10月 数学理论与应用MA THEMA TICAL THEOR Y AND APPL ICA TIONSVol.20No.4Oct.2000对称性在积分中的应用Ξ陈云新(中南工学院基础部,衡阳市421001)摘 要 本文讨论了在各类积分中利用对称性解题的技巧和使用方法.关键词 积分,对称在积分中的计算中,经常遇到积分区域具备对称性的题型.如果能利用其对称性的性质,则可以简化其计算过程,特别是有些题不用计算可以直接判断出其结果.本文讨论了利用积分区域的对称性配合被积函数的奇,偶性简化定积分,重积分,第一类曲线,曲面积分计算过程的使用方法.(以下都在积分存在的前提下予以讨论)一、定积分的对称性若积分区间为[-a,a],则(1)当f(-X)=f(X)时∫a-a f(x)dx=2∫a0f(x)dx(2)当f(-X)=-f(X)时,∫a-a f(x)dx=0二、二重积分的对称性在二重积分κDf(x,y)dσ的计算过程中;11若积分区域D关于X轴对称,记位于X轴上半部分区域为D1,则(1)当f(x,-y)=f(x,y)时,κD f(x,y)dσ=2κD1f(x,y)dσ(2)当f(x,-y)=-f(x,y)时,κDf(x,y)dσ=021若积分区域D关于Y轴对称,记位于Y轴右半部分区域为D1,则;(1)当f(-x,y)=f(x,y)时κD f(x,y)dσ=2κD1f(x,y)dσ(2)当f(-x,y)=-f(x,y)时,κDf(x,y)dσ=0三、三重积分的对称性在三重积分µΩf(x,y,z)dv的计算过程中;Ξ收稿日期:2000年4月11若积分区域Ω关于XO Y面对称,记Ω位于XO Y面上半部分为Ω1,则:(1)当f(x,y,-z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,y,-z)=-f(x,y,z)时µΩf(x,y,z)dv=021若积分区域#W关于YOZ面对称,记Ω位于YOZ面前冲击2部分为Ω1,则(1)当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,-y,z)=-f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=031若积分区域Ω关于ZO Y面对称,记Ω位于ZOX面右半部分为Ω1,则:(1)当f(x,-y,z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,-y,z)=-f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=0四、第一类曲线积分的对称性A1平面曲线积分∫L f(x,y)ds的计算过程11若曲线L关于X轴对称,记L位于X轴上半部分为L1:则:(1):当f(x,-y)=f(x,y)时∫L f(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds(2):当f(x,-y)=-f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=021若曲线L关于Y轴对称,记L位于Y轴右半部分为L1:则:(1):当f(-x,y)=f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds(2):当f(-x,y)=-f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=0B:空间曲线积分∫ΓF(x,y,z)ds的计算过程11若积分曲线Γ关于XO Y面对称,记Γ位于XO Y面上半部分为Γ1,则:(1)当F(x,y,-z)=f(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2):当F(x,y,-z)=-F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=021若积分曲线Γ关于YOZ面对称,记Γ位于YOZ面前半部分为Γ1,则:(1)当F(-x,y,z)=F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2)当F(-x,y,z)=-F(x,y,)时,∫ΓF(x,y,z)ds=031若积分曲线Γ关于ZOX面对称,记Γ位于ZOX面右半部分为Γ1,则:(1)当F(x,-y,z)=F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2):当F(x,-y,z)=-F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)=014第4期陈云新:对称性在积分中的应用五、第一类曲面积分的对称性在第一类曲面积分κ∑F(x,y,z)ds的计算过程中.11若积分曲面∑关于XO Y面对称,记∑位于XO Y面上半部分为∑1;则:(1):当F(x,y,-z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(x,y,-z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=021若积分曲面∑关于YOZ面对称,记∑位于YOZ面前半部分为∑1;则:(1)当F(-x,y,z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(-x,y,z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=031若积分曲面∑关于ZOX面对称,记∑位于ZOX面右半部分为∑1;则:(1)当F(x,-y,z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(x,-y,z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=0六、应用举例例1:求µΩzln(x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1dv,其中Ω:x2+y2+z2Φ1.解:∵积分区域Ω关于XO Y面对称而被积函数f(x,y,z)=zln (x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1满足:f(x,y,-z)=-f(x,y,z)∴µΩzln(x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1dv=0例2:求∮L x2+y2ds,其中L为圆周x2+y2=ax.解:因为曲线L关于X轴对称,记位于X轴上方部分为L1而被积函数f(x,y)=x2+y2满足:f(x,-y)=f(x,y)所以∮L x2+y2ds=2∮L1x2+y2ds=2a2例3:计算λ∑xyzds,其中∑是球面x2+y2+z2=1.解:此题中积分区域∑具有多重对称性,任选其中一种都可以得出本题的结果.所以24数学理论与应用第20卷λ∑xyzds =0参考文献[1] 同济大学编《高等数学》第四版下期,高等教育出版社,1996,12(上接39页)而求得所求积分值为π24.从以上的分析讨论可以看到,分解变形这一技巧在积分运算中是一种用途广泛的方法,应用得恰当,不但可以将复杂问题简单化,而且有时还可以起到提示解题思路的作用.附:主要参考资料[1]同济大学数学教研室编.高等数学1高教出版社[2]西安交通大学高等数学教研室编.复变函数论1高等教育出版社出版34第4期陈云新:对称性在积分中的应用。
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
对称性在积分计算中的应用
对称摘 要 对称性是解决数学问题的重要方法之一.在积分学中充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,使得数学积分的计算过程得到简化.本文通过总结定理和性质并借助实例说明对称性在定积分、重积分、曲线积分、曲面积分计算中的应用.关键词 对称性 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分1. 前言在许多人眼里,数学是抽象和复杂的,但在此背后,也有着它和谐的旋律.如果我们能够更多的理解和掌握数学中的很多规律,就会对数学有更深的认识和感受.目前人们普遍认识到的数学美的基本内容有：统一美、对称美、简洁美、奇异美.它们各有内涵,各有吸引人之处,而对称美是指数学内容中的部分与部分、部分与整体之间和谐一致,以及各种数学概念和理论之间所存在的“对等美”.关于对称性在积分计算中的应用,首先明确以下问题：(1)关于对称性的了解,以简单点为例：点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -；点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -；点),(y x 关于原点对称的对称点为),(y x --；点),(y x 关于x y =对称的对称点为),(x y .(2)函数的奇偶性判断,以及两个函数和差积运算后的奇偶性.(3)本文所涉及内容都是R —可积函数.（],[b a 上的连续函数在],[b a 上必可积；只有有限个第一类不连续点的函数是可积的,即分段函数是可积的；单调有界函数必定可积.）(4)清楚的区分各种积分的表达式.(5)用极坐标将二、三重积分化为累次积分时应该注意的地方.(6)数学分析就是用极限的思想来研究函数的一门学科,需对研究内容的产生和如何解决的方式有一定的了解.(7)基本积分公式、倍角公式的熟悉应用.2. 对称性在定积分计算中的应用定理1[4] 设函数)(x f 在],[a a -上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaax f x f x x f x f x f x x f 0)()(,d )(2)()(,0d )( 2.1 计算.d 11lnI 442⎰-+-=ππx xxx分析：定积分在研究区间]4,4[ππ-是关于原点对称的, 又因为2x 为偶函数,xx+-11ln是奇函数,故由定理1可知,0=I . 2.2 计算.d cos21)arctan 1(I 22⎰-++=ππx x x分析：定积分在研究区间是关于原点对称的,又因为⎰-++=22d cos21)arctan 1(I ππx x x⎰-+++=22d )2cos 1arctan 2cos 1(ππx x x x因为x 2cos 1+为偶函数,x x2cos 1arctan +为奇函数,故由定理1知 ,0d 2cos 1220++=⎰πx x⎰=202d cos 22πx x⎰=20d cos 22πx x22 =2.3［8］ 计算.d 4cos I 224⎰-=ππx x 分析：定积分研究区间]4,4[ππ-是关于原点对称的, 因为x 4cos 4为偶函数,故由定理1知,23d cos 8d cos 42I 204204πππ===⎰⎰x x x x （进行积分计算时,有x x x x n nn d cos d sin 2020⎰⎰==I ππ,且有递推公式21-I -=I n n nn 成立.） 2.4 计算.d 1)(arcsin I 232322x xx ⎰--=分析：先用凑分法,再做代换,最后利用对称性,则有 x xx d 1)(arcsin I 232322⎰--=x x darcsin )(arcsin 23232⎰-=⎰=33-2d ππt t27d 330-2ππ==⎰t t2.5 计算.d )1ln(I 22⎰-+=x e x x分析：显然积分区间关于原点对称,但)1ln(x e +既不是奇函数也不是偶函数,我们可以利用2)()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+=,其中2)()(x f x f -+为偶函数, 2)()(x f x f --为奇函数,把它分解成为一个奇函数和一个偶函数的和. 令)1ln()(xe xf +=,则)2ln(212)()(x x e e x f x f -++=-+,22)()(x x f x f =--所以有, ⎰-+=22d )1ln(I xe x x⎰--+++=22d )]2ln([21xe e x x x x 然而)2ln(xxe e x -++是关于x 的奇函数,2x 是关于x 的偶函数,由定理1知,⎰⎰-==202222d d 21x x x x 38= 2.6 计算.d 1I 112⎰-=x x分析：定积分在研究区间]1,1[-是关于原点对称的,又因为21x 是偶函数,由定理1知, ⎰-=112d 1I x x⎰=102d 12x x2-=然而这个答案是不正确的,事实上,由于被积函数012>x ,所以当积分存在时,其值必大于零,原因在于在区间]1,1[-上有第二类间断点0=x ,因而不能用对称性或者莱布尼茨公式计算. 小结 在定积分对称性的应用中,我们看到,这里所指的对称性是区间是否关于原点对称,而与被积函数的图像是否关于对称轴或者原点对称无关,但是与被积函数的奇偶性密切相关；另外经过奇偶函数的和差积得到的新函数的奇偶性,倍角公式,特殊公式的熟练掌握和应用也是非常重要的；最重要的是无论用公式还是用对称性来解题都要首先确定被积函数是R —可积函数.3. 对称性在二重积分计算中的应用定理2 [5][7][9] 设函数),(y x f 在D 上连续,且⎰⎰=I Dy x y x f d d ),(存在,记}0,),(|),{(1≥∈=x D y x y x D }0,),(|),{(2≥∈=y D y x y x D}0,0,),(|),{(3≥≥∈=y x D y x y x D }0,),(|),{(4≥∈=y D y x y x D（1）设D 关于轴x 对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰2),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（2）设D 关于y 轴对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰1),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（3）设D 关于原点对称,D y x ∈∀),(,()⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=⎰⎰⎰⎰3),(),(,d d ,2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（4）设D 关于直线x y =对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎰⎰⎰⎰4),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f x y f y x y x f y x f x y f y x y x f（5）设D 关于x 轴和y 轴均对称,D y x ∈∀),(⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=-=⎰⎰⎰⎰3),(),(),(),(,d d ),(4),(),(),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x f y x f y x y x f y x f y x f y x f y x f y x y x f 或者或者(6)(变量可轮换性)若积分区域关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++===DDDDy x x z f z y f y x f yx x z f y x z y f y x y x f d d ),(),(),(31d d ),(d d ),(d d ),(3.1 计算⎰⎰=I Dy x y x d d sin 其中D 由双纽线)()(222222y x a y x -=+围成. 分析：已知D 关于y 轴对称,且是关于x 的奇函数,所以0=I . 3.2[8] 计算⎰⎰++-=I Dy x zy x x y d d 22222,其中}1|),{(≤+=y x y x D分析：由于D 关于直线y x =对称,且被积函数具有性质),(),(y x f z y f -=,所以0=I . 3.3[5] 计算()⎰⎰+=I Dy x y x d d 22,其中D :122≤+y x 分析：()⎰⎰+=I Dy x y x d d 22⎰⎰++=Dy x xy y x d d 4422积分区域D 关于x 轴对称,且被积函数xy 4为y 的奇函数,所以,0d d 4=⎰⎰Dy x xy又因为在积分区域D 中y x ,的地位相同,则有⎰⎰⎰⎰=DDy x y y x x d d d d 22,所以, ⎰⎰=I Dy x y d d 52⎰⎰+=Dy x y x d )d (2522 ⎰⎰=10320d d 25r r πθ45π=3.4 计算⎰⎰+=I Dy x y x d )d (,其中D :1y x22≤+.分析：积分区域D :1y x 22≤+关于x 轴,y 轴均对称,而且被积函数关于y 和x 是偶函数, 固有 ⎰⎰+=I 3d )d (4D y x y x⎰⎰+=120d )d sin cos (4r r r r πθθθ⎰⎰+=12220)d sin cos (d 4r r r θθθπ38=3.5[5] 设D 是()()()1-1-1,1-1,1，、、为顶点的三角形区域,1D 为D 在第一象限的部分,则) (d d )sin (22=+⎰⎰--Dy x y x ye xy分析：如图4321D D D D D =,由对称性可知0d d 21=⎰⎰D D y x xy ,0d d 43=⎰⎰D D y x xy 所以0d d =⎰⎰Dy x xy .在43D D 上,22--sinye y x 是关于y 的奇函数,故有,0d d esin 4322-=⎰⎰D D -y xy x y在21D D 上 是关于x 的偶函数,所以,⎰⎰⎰⎰=+12222d d sinye 2d )d sinye (--D -y xD-y xy x y x xy3.6 计算⎰⎰++=I Dy x y x yf x d d ])(1[22,其中D 由1,1,3-===x y x y 围成. 分析：如图所示，做辅助线3x y -=的左半部分,则积分区域被分为21D D 和,其中21D 表示1D 位于x 轴上方的部分，1D 关于x 对称，2D 关于y 轴对称，由于被积函数是关于x 的奇函数,故有,0d d ])(1[222=++=I ⎰⎰D y x y x yf x 又由于)(22y x xyf +是关于y 的奇函数,故有,⎰⎰++=I 1d d ])(1[22D y x y xyf x0d d 21+=⎰⎰D y x x⎰⎰-=2001d d 2x y x x⎰--=014d 2x x52-= 小结 )(x,y f 关于x,y 的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起来考虑,即若区域关于x 轴对称,就要考虑)(x,y f 关于y 的奇偶性，若区域关于y 轴对称,就要考虑)(x,y f 关于x 的奇偶性,且容易看出对称性应用过程中被积函数一般比较复杂和抽象.4.对称性在三重积计算分中的应用定理3 设函数)(x,y,z f 在空间区域Ω上连续,且⎰⎰⎰Ω=I z y x x,y,z f d d d )(存在,记}0,)(|){(1≥Ω∈=Ωz x,y,z x,y,z }0,)(|){(2≥Ω∈=Ωx x,y,z x,y,z{}0)(|)(3≥Ω∈=Ωy x,y,z x,y,z ，（1）设Ω关于xoy 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ1)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f（2）设Ω关于yoz 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ2)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f （3）设Ω关于xoz 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ，⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ3)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f （4）（变量可轮换性）若积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===z y x z,x,y f y,z,x f x,y,z f zy x z,x,y f z y x y,z,x f z y x x,y,z f d d d )()()(31d d d )(d d d )(d d d )(4.1 计算z y x z y x z y x z d d d 1)1ln(222222⎰⎰⎰Ω++++++=I ,其中Ω是球体1222≤++z y x . 分析：被积函数是z 的奇函数,而积分区域Ω关于平面xoy 对称,故有,0d d d 1)1ln(222222=++++++=I ⎰⎰⎰Ωz y x z y x z y x z 4.2 计算z y x e xd d d ⎰⎰⎰Ω=I ,其中Ω是球体1222≤++z y x . 分析：被积函数是x 的偶函数,而积分区域Ω关于平面yoz 对称, 故z y x e z y x e xxd d d 2d d d 1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==I ,其中1Ω是半球体：0,1222≥≤++x z y x . 从而 , z y x e z y x e xx d d d 2d d d 1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==I⎰⎰⎰=xD 1d de d 2z y x x⎰=102d )z -1(e2x xππ2=4.3 计算z y x z y x d d d )(⎰⎰⎰Ω++=I ,其中Ω是球体)0,0,0(2222≥≥≥≤++z y x R z y x . 分析：由变量的轮换性可知,z y x z z y x y z y x x d d d d d d d d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==,设)0,0(:2222≥≥-≤+y x z R y x D Z .则有,z y x z d d d 3⎰⎰⎰Ω=I⎰⎰⎰=RD Zy x z z 0d d d 3 ( 4.3.1 )z z R Rd )(3022⎰-=π443R π= 此题容易在(4.3.1)式中将z 判断为奇函数,则积分为零,但是在条件0,0,0≥≥≥z y x 下,区域不是关于平面0=z 对称的,故有以上做法,这也充分说明了,区域的对称性和被积函数的奇偶性必须同时满足才能进行积分计算.4.4 计算z y x z y x d d d )532(222⎰⎰⎰Ω++=I ,其中Ω是球体)0(2222≥≤++R R z y x . 分析：由变量的轮换性可得,z y x z z y x y z y x x d d d d d d d d d 222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==,设)0,0(:2222≥≥-≤+y x z R y x D Z .则有,z y x z z y x y z y x x d d d 5d d d 3d d d 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ++=Iz y x z d d d 102⎰⎰⎰Ω= ⎰⎰⎰=RD Zy x z z 02d d d 20⎰-=Rz z z 0222d )R (20π385R π=4.5 计算z y x z x d d d )(2⎰⎰⎰Ω+=I ,其中Ω是球体)0(,1222≥≤++z z y x . 分析：z y x xz z x d d d )2(22⎰⎰⎰Ω++=I （xz 2关于yoz 平面对称,又是关于x 的奇函数） z y x z x d d d )(22⎰⎰⎰Ω+=(根据Ω具有轮换性,z y x z z y x x d d d d d d 22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=) z y x z d d d 22⎰⎰⎰Ω=（由于条件0≥z ,2z 关于xoy 面不对称,所以不能用其偶函数的性质） =⎰⎰⎰102d d d 2ZD y x zz⎰-=1022)d (12z z zπ154π=小结 4.3和4.5充分说明当且仅当积分区域的对称性与被积函数),,(z y x f 奇偶性同时具备才能使用定理3.5.对称性在第一类曲线积分计算中的应用第一型曲线积分的奇偶性与二重积分类似. 定理4 函数),(y x f 在曲线L 上连续,s y x f Ld ),(⎰=I 存在,记}{0,),(|),(1≥∈=y L y x y x L }{0,),(|),(2≥∈=x L y x y x L}{0,0,),(|),(3≥≥∈=y x L y x y x L }{y x L y x y x L ≥∈=,),(|),(4(1)设积分曲线L 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(2)设积分曲线L 关于y 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(2y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(3)设积分曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(3y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(4)设积分曲线L 关于x y =对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(4y x f x y f s y x f y x f x y f s y x f L L(5)设积分曲线L 关于x 轴, y 轴均对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=-=⎰⎰),(),(),().(,d ),(4),(),(),(),(,0d ),(3y x f y x f y x f y x f s y x f y x f y x f y x f y x f s y x f L L或者或者5.1[4] 计算s x Ld ⎰=I ,其中L 是双纽线:)()(22222y x y x -=+.分析： 被积函数x 为偶函数,双纽线关于x 轴、y 轴均对称, 故s x s x L Ld 4d 1⎰⎰==I ,其中1L 是L 在第一象限的部分,将双纽线化为极坐标表示：θ2cos 2=r ,则1L ：40,2cos πθθ≤≤=r ,θθθd 2cos 1d 'd 22=+=r r s则 22d 2cos 1cos 2cos 4d 4401===I ⎰⎰πθθθθs x L5.2 计算⎰++=I s y x xy )d 23(22,设L 为椭圆13222=+y x ,其周长为a . 分析：由于L 关于x 轴(或y 轴)对称, 且xy 是关于y (或x )的奇函数, 故有, 0xyd =⎰s ,那么 , ⎰+=I s y x )d 23(22a s 66d ==⎰5.3 计算s z y x Ld )573(⎰++=I ,已知积分曲线L ：⎩⎨⎧=+=++1122y x z y x ,其周长为a . 分析：已知积分曲线L 中y x ,的位置对称,可得⎰⎰=LLs s x yd d ,所以, s z y x Ld )573(⎰++=Is z y x Ld )(5⎰++=a s L5d 5==⎰5.4 计算s x Ld 2⎰=I ,其中L 为圆周2222a z y x =++,0=++z y x .分析：由对称性知,s z s y s x LLLd d d 222⎰⎰⎰==.于是,s z y x s x LLd )(31d 2222⎰⎰++= ⎰=Ls a d 32 332a π= 5.5 计算s xy Ld ⎰=I ,其中L ：2y x =上从)1,1(A -到)1,1(B 的一段弧.分析：由于L 关于x 轴对称,被积函数xy 是关于y 的奇函数,所以, 0d ==I ⎰s xy L6.[10]对称性在第二类曲线积分计算中的应用定理15[10] 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为)(),(b x a x y y ≤≤±=.记21,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分和下半部分,21,L L 分别在x 轴上的投影方向相反,函数()y x f ,在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f x y x f y x f y x f x y x f L L同理:设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于y 轴的左半部分和右半部分,21,L L 分别在y 轴上的投影方向相反,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f y y x f y x f y x f y y x f L L应用口诀：“反对偶零,反对奇倍”,其中“反”指21,L L 在x （或y ）轴上的投影方向相反；“对”指L 关于x （或y ）轴对称；“偶”指被积函数在L 上关于y （或x ）为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零.反对奇倍的含义类似解释.定理25[10] 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于x 轴的上半部分和下半部分,21,L L 分别在y 轴上的投影方向相同,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f x y x f y x f y x f x y x f L L同理:设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于y 轴的右半部分和左半部分,21,L L 分别在x 轴上的投影方向相同,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f y y x f y x f y x f y y x f L L应用口诀：“同对奇零 ,同对偶倍”,其中“同”指21,L L 在x 轴上的投影方向相同；“对”指L 关于y 轴对称；“奇”指被积函数在L 上关于x 为奇函数；“零”指曲线积分的结果等于零.同对偶倍的含义类似解释.6.1 计算x xy Ld ⎰=I ,其中L ：2y x =上从A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.分析：满足“反对奇倍”,故有 , x xy Ld ⎰=Idx 21⎰=L xy⎰=1d 2x x x54=其中,x 从点0变化到点1.小结 6.1和 5.5很相似,它们唯一的区别在于积分式子x xy Ld ⎰=I ,s xy Ld ⎰=I 的不同,其根本原因是第二类曲线积分具有方向性.6.2 计算x y x Ld ⎰=I 其中L ：2y x =上从A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.分析：满足“反对偶零”.故有0d ==I ⎰x xy L6.3 计算y y y x x y x Ld )sin (d )(222+-+=I ⎰,其中L ：)0(222>=+a a y x 按逆时针方向从)0,A(a ,)0,(B a -的上半圆周.分析：y y y x x xy x y x LL Ld )sin (d 2d )(222⎰⎰⎰+-++=I（三个积分分别适合“同对偶倍”、“同对奇零”、“反对偶零”） ⎰+=I 1d )(22L x y x⎰+=02d )(2a x y x32a -= 其中, x 从点a 变化到点0.6.4[4] 计算⎰++=I ABCDAy x yx d d ,其中ABCDA 是以A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)、D(0,-1)为顶点的正方形正向边界线.分析：⎰++=I ABCDA y x y x d d ⎰⎰+++=ABCDAABCDA y x yy x x d d 对于第一个积分,因为曲线关于x 轴对称,且在x 轴上的投影方向相反,被积函数yx +1是y 的偶函数,所以积分为零.对于第二个积分,因为曲线关于y 轴对称,且方y 轴上的投影方向相反,被积函数yx +1是x 的偶函数,所以积分为零.7.对称性在第一类曲面积分计算中的应用第一类曲面积分的奇偶性与三重积分相似. 定理6 设函数),,(z y x f 在曲面S 中连续,⎰⎰=I Ss z y x f d ),,(存在,记{}0,),,(|),,(1≥∈=z S z y x z y x S{}0,),,(|),,(2≥∈=x S z y x z y x S{}0,),,(|),,(3≥∈=y S z y x z y x S(1)设积分曲面关于xoy 面对称,S z y x ∈∀),,(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(1z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(2)设积分曲面关于yoz 面对称,S z y x ∈∀),,(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(2z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(3)设积分曲面关于xoz 面对称, S z y x ∈∀),,( ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(3z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(4)(变量可轮换性)若积分曲面关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-===-SSSSs y x z f x z y f z y fx sy x fz s x z y f s z y fx d ),,(),,(,,31d ,,d ),,(d ,,7.1 计算⎰⎰=I Ss z d 2,其中S :2222R z y x=++.分析：由S 的轮换对称性知,⎰⎰⎰⎰⎰⎰==SSSs z s y s x d d d 222,故有,⎰⎰=I Ss z d 2⎰⎰++=Ss z y x )d (31222 ⎰⎰=Ss R d 312 434R π=7.2 计算⎰⎰++=I Ss z y x )d (,其中S 为球面2222a z y x =++上满足)0(a h h z <<≥的部分.分析：由S 的对称性知,0d d ==⎰⎰⎰⎰SSs y s x ,那么,⎰⎰++=I Ss z y x )d (⎰⎰=Ss z d⎰⎰++--=xyD y x s z z y x a d ''1222⎰⎰=xyD s a d)(22h a a -=π7.3 计算⎰⎰+=I Ss z y x )d 2(224,其中S 是闭曲面：2222=++z y x . 分析：由S 的轮换对称性知, ⎰⎰+=I Ss z y x )d 2(224 ⎰⎰+++++=Ss y x z z x y z y x]d )2()2()2([224224224⎰⎰++=Ss z y x d )(312222 ⎰⎰=Ss 4d 31ο332=7.4 计算⎰⎰=I Ss x d 2,其中S 为圆柱面：222a y x =+,介于平面0=z 和h z =之间的部分.分析：由于在S 中,x 与y 的地位是等价的,所以, ⎰⎰⎰⎰==I SSs y s x d d 22,于是, ⎰⎰⎰⎰+==I SSs y x s x )d (21d 222 ⎰⎰=Ss a d 212h a a ⋅⋅=π2212h a 3π=8. 对称性在第二类曲面积分计算中的应用定理7[10] 设∑为关于xoy 面对称的有向光滑曲面,其方程是一双值函数,设为xy D y x y x z z ∈±=),(),,(（其中xy D 为∑在xoy 平面上的投影）,记21,∑∑分别为位于xoy 平面的上半部分和下半部分,21,∑∑的侧关于xoy 平面相反,函数),,(z y x f 在∑上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f y x z y x f z y x f z y x f ds z y x f同理有：(1)设积分曲面关于xoz 面对称,∑∈∀),,(z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f z x z y x f z y x f z y x f ds z y x f(2)设积分曲面关于yoz 面对称,∑∈∀),,(z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f z y z y x f z y x f z y x f ds z y x f8.1 计算()⎰⎰∑++++=I 23222d d d d d d z y xyx z z x y z y x ,其中∑是球面：2222a z y x =++的外侧.分析：由∑的轮换对称性知,⎰⎰∑++=I y x z z x y z y x a d d d d d d 13⎰⎰∑=z y x a d d 33]d )d y -x -a (d d y -x -a [32222223⎰⎰⎰⎰--=xy xyD D y x y x a ⎰⎰=xyD y x a d d y -x -a 6222333326a a π⋅=π4=8.2 计算⎰⎰∑=I y x xyz d d ,其中∑是球面:1222=++z y x的外侧,位于0,0≥≥y x 的部分.分析：∑关于xoy 面对称,而xyz 是关于z 的奇函数,满足“反对奇倍”, 故有, ⎰⎰∑=I 1d d 2y x xyz⎰⎰=xyD y x xy d d y -x -1222 ⎰⎰=13320d r -1d sin r r πθθ152=其中1∑: 22y -x -1=z , }0,0,1|),{(),(22≥≥=+=∈y x y x y x D y x xy8.3[10] 计算y x z z x z y yz x d d 2d d )xz -y (d )d (22++-=I ⎰⎰∑,其中∑是锥面：221y x z +-=被平面0=z 所截得的部分,取上侧.分析：y x z z x z y yz xd d 2d d )xz -y (d )d (22++-=I ⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++-=y x z z x z y yz x d d 2d xz)d -(y d )d (22 ⎰⎰∑++=y x z d d 200⎰⎰+-=xyD y x y x d d )1(222 ⎰⎰-=120d )1(d 2r r r πθπ32=其中}1|),{(22≤+=y x y x D xy8.4[10] 计算⎰⎰∑++=I y x r z z x r y z y r x d d d d d d 333,其中222z y x r ++=, ∑是球面：)0(2222>=++a a z y x 的外侧.分析：根据∑的轮换对称性,可知, ⎰⎰∑=I z y zd d r33⎰⎰∑=1d d r63z y z(反对奇倍) ⎰⎰--=xyD y x a y x a d d 63222π4=8.5 设∑是球面：2222R z y x =++,在下面四组积分中,同一组的两个积分均为0的是：（C ）A . ⎰⎰∑=I s x d 2, ⎰⎰∑=I z y x d d 2B . ⎰⎰∑=I s x d , ⎰⎰∑=I z y x d dC . ⎰⎰∑=I s x d , ⎰⎰∑=I z y x d d 2D . ⎰⎰∑=I s xy d , ⎰⎰∑=I z y y d d分析：由于曲面∑关于yoz 平面对称,被积函数 xy x ,关于x 为奇函数,被积函数2x 关于x 为偶函数.故有, 第一型曲面积分 0d ==I ⎰⎰∑s x , 0d ==I ⎰⎰∑s xy ,⎰⎰⎰⎰∑∑++==I s z y x s x )d (31d 22224234d 31R s R π==⎰⎰∑第二型曲面积分 0d d 2==I ⎰⎰∑z y x0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R z y z y z y R z y x0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R x y z x z x R z y y8.6 [6] 设∑是球面：1222=++z y x 的上半部分,则下列错误的是：（B ）A . 0d d 2==I ⎰⎰∑z y x B . 0d d ==I ⎰⎰∑z y xC . 0d d 2==I ⎰⎰∑z y y D . 0d d ==I ⎰⎰∑z y y分析：由于曲面∑关于yoz 面对称,被积函数x 关于x 为奇函数,被积函数22,,y y x 关于x 为偶函数.0d d 2==I ⎰⎰∑z y x ,0d d ==I ⎰⎰∑z y y ,0d d 2==I ⎰⎰∑z y y0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R z y z y z y R z y x9.总结（1）对称的对象：积分区间对称,积分区域对称.（2）关于对称性,除关于原点和x y =对称外,都遵循关于谁对称谁不变的原则. （3）变量的轮换性是指对称的对象∑由0),,(≤z y x f 表示,若将z y x ,,的位置变换后,0),,(≤z y x f 仍然表示∑.在其他书籍和相关资料中提及的y x ,具有相同的地位,y x ,具有循环性都是这里所指的轮换性.（4）当且仅当积分区域对称性与被积函数),(y x f 奇偶性同时具备才能使用本文中提及的定理.（5）),(y x f 关于y x ,的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起来考虑.若关于x 轴对称,就要考虑关于y 的奇偶性,若关于y 轴对称,就要考虑关于x 的奇偶性. 若关于xoy 面对称,就要考虑被积函数关于z 的奇偶性依次类推.（6）第二类曲线积分和第二类曲面积分如果关于对称对象方向相反,那么它们的积分结论刚好与第一类曲线积分和第一类曲面积分结论相反.根据以上总结,对称性的问题便能很好的被应用,使数学积分的计算过程得到简化.参考文献：[1] 明清河著.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社,2004.7（2006.9重印） [2] 殷锡鸣等编著.高等数学（下册）[M].上海：华东理工大学出版社,2005.2(2007.6重印)[3] 吴良森等编著.数学分析学习指导书（下册）[M].北京：高等教育出版社,2004.8[4] 费定辉,周学圣编演.吉米多维奇数学分析习题集题解（第三版）[M].济南：山东科学技术出版社,2005.1（2005.3重印）[5] 顾庆凤.关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用[J].中国教育研究论丛,2006[6] 苏海军.对称性在定积分中的应用[J].四川文理学院学报（自然科学）,2007.9,17(5)[7] 赵云梅,李薇. 对称性在积分中的妙用[J].红河学院学报,2005.6,3(3)[8] 常浩.对称性在积分学中的应用[J].高等数学研究,2011.3,14(2)[9] 于宁丽,王静.利用对称性计算两类区面积分时的差异问题[J].专题研究,2009.7[10] 刘福贵,鲁凯生.利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报,2006,30（6）：1069-1072[11] 西北工业大学高等数学教研室编.高等数学学习辅导：问题、解法、常见错误剖析[M].北京：科学出版社,2007[12] 魏平等编著.高等数学复习指导[M].西安：西安交通大学出版社,1999.11[13] 华罗庚著.高等数学引论[M].沈阳：科学出版社.2003[14] 朱学炎等编著.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2007.4[15] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,2006.4[16]邹本腾等编著.高等数学辅导[M].北京：科学技术文献出版社，1999.6数学系数学与应用数学2009级本科毕业论文Application of symmetry in the integral calculation Abstract The s ymmetry is one of the important methods to solve mathematical problems. In integral calculus, it can make the integral calculation process simplified to make full use of symmetry of integral region and the parity of integrand. This paper illustrates the application of symmetry in definite integral, multiple integrals, curve integrals, and surface integrals in the calculation through summary theorem and its nature and with the aid of examples.Key words definite integral multiple integrals curve integrals surface integrals第21页共22页。
对称性在积分计算中的应用
引言对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合理的解题途径和方法。
解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题往往需要较强的技巧，因此高等数学又从对称性的角度找到了便利，它是讨论积分问题的有力武器。
对称性的作用在许多工程，经济等方面也非同小可。
因此无论从考试角度及能力方面都需要对对称性进行系统的总结。
1 对称性在积分计算中的应用1.1 对称性在计算区间[],a a -上的定积分的应用性质1 对于对称区间[],a a -上的定积分，有：0()()2()()aaaf x x f x dx f x dx f x x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数证明：①设()f x 为奇函数，则()f x =()f x --，故：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰在第二个式子中令x t =-，则(1)dx dt =-，所以：原式0()(1)()aaf t dt f x dx -=--+⎰⎰()()a af t dt f x dx =-+⎰⎰0=②如果()f x 为偶函数，证明方法类似于①。
例1.1 已知()f x =36x x +为定义于闭区间[]1,1-上的函数。
求：11()f x dx -⎰。
解：因为3()6f x x x =+为定义于定义域上的奇函数，故由上面的性质可得：11()0f x dx -=⎰例1.2 设2242sin cos 1x x M dx xππ-=+⎰，2234(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰，22234(sin cos )P x x x dx ππ-=-⎰。
则有______()A N P M << ()B M P N << ()C N M P << ()D P M N <<解：在M 中，因为被积分函数42sin cos 1x x x +是奇函数且积分区域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因此 0M =。
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(x y z)2dV
x2dV y2dV z2dV xydV yzdV xzdV
3
z2dV 3
2
d
sin d
R r4 cos2 dr 6
sin cos2 d
R r4dr
0
0
0
0
0
4 R5.
5
D
解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f(x,-y)=-(xy+y3 )=-f(xy)
即f (x, y)是关于y的奇函数，由定理知， (xy y3)dxdy=0. D
计算 （x+y+z）2dV ,其中是x2 y2 z2 R2的球体.
解由对称性知
xydV yzdV xzdV, x2dV y2dV z2dV,
D
答案：1. ln 2 2.- 2 3. a b
2Hale Waihona Puke 52利用对称性简化二重积分计算
1、I=
z ln(x2 1 x2
y2 y2
zz22)dxdydz,
其中为x2
y2
z2
1.
解：由被积函数可以看出，此函数是关于z的奇函数，因为关于坐标轴 、坐标原点都对称，则：I=0
2、计算I = (xy y3)dxdy,其中D为由y2 2x与x 2围成的区域
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D1
D2
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
对称性的应用
例1：设区域D={（x,y)|x2 y2 1, x 0},计算二重积分I = 1 xy dxdy
D 1 x2 y2
例2：计算 x[1 yf (x2 y2 )]dxdy，其中D是由y=x3, y 1, x 1围成的区域，f
性质1：（对称性，偶倍奇零）
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续
（1）如果D关于x轴对称，记其x轴上方区域
为 D，1 则有
0
当f (x, y) f (x, y)[即关于y的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f(x, y) f(x, y)[即关于y的偶函数]
（2）如果D关于y轴对称，记其y轴右 侧区域为 D，1 则有
D
是D上的连续函数
例3：设区域D={(x,y)|x2 y2 4, x 0, y 0}，f (x)为D上的正值连续函数，
a,b为常数，求 a
D
f (x) b f (y) dxdy
f (x) f (y)
例4：证明：1 (sin x2 cos y2 )dxdy 2,其中D为：0 x 1,0 y 1
0
当f ( x, y) f (x, y)[即关于x的奇函数]
D
f
(x,
y)dxdy
2
D1
f
(x,
y)dxdy
当f( x, y) f(x, y)[即关于x的偶函数]
性质2：（轮换对称性） 设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关 于直线y=x对称，直线y=x下方部分记作 直D1线 y=x上方记作D2,则有