曲线积分曲面积分的对称性
积分的轮换对称性
(4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分 域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区 间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
.
例 计算 x 2 ds， 其中L是球面x2+y2+z2=R2与平
面x+y+z=0的L 交线。
解 由对称性可知 x2ds y2ds z2ds
坐标的轮换对称性：简单的说就是将坐标轴重新命名， 如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同 样作变化后，积分值保持不变。
特点及规律:
(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0， 如果将函数 u(x,y,z)=0中的 x,y,z 换成y,z,x后， u(y,z,x)仍等于0,即,也就是积分曲面的方程没有变， 那么在这个曲面上的积分
∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f (y,z,x)dS； 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z 换成y,x,z 后，u(y,z,x)=0 那么在这个曲面上的积分
∫∫f(x,y,z) dS=∫∫ f(y,x,z)dS； 如果将函数u(x,y,z)=0 中的x,y,z 换成z,x,y后，u(z,x,y)=0， 那么在这个曲面上的积分
32a2ds
01-积分的奇偶对称性
积分的奇偶对称性----定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分.)(2)()()2(;0)()()1(],,[0⎰⎰⎰==-∈--aa a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数，则若为奇函数，则若设01 定积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f y D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性.),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-=-=-+=D D Ddxdy y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f x D D D D D D y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设;),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(12121⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()2(;0),(),,(),(),()1(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f x y x f ds y x f y x f y x f x y x f y L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设04 第一类曲线积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰==-=-=-+=1),(2),(),,(),(),()4(;0),(),,(),(),()3(,,,),(2121L L Lds y x f ds y x f y x f y x f y y x f ds y x f y x f y x f y y x f x L L L L L L y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若轴对称，关于上连续在平面曲线设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f dS z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()4(;0),,(),,,(),,(),,()3(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f dS z y x f z y x f z y x f x z y x f yoz z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设05 第一类曲面积分的奇偶对称性.⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==-=-=-∑∑∑+∑=∑∑1),,(2),,(),,,(),,(),,()6(;0),,(),,,(),,(),,()5(,,,),,(2121dS z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f dS z y x f z y x f z y x f y z y x f zox z y x f 则为偶函数，即关于若则为奇函数，即关于若面对称，关于上连续在曲面设。
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。
曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
第一类曲线曲面积分中对称性的探讨
y, z)
f (x,
y,
z)
,
Γ1
为
Γ
0, f (x, y, z) f (x, y, z)
的上半部
分。
注： Γ1 关于 yoz 面及 zox 面对称有类似的结论。
eg
4、 L
xyds,
L
:
x y
2 cos 2 sin
3t 3t
,由点（2,
0）经（0，2）到（-2,
0）。
eg1、1 ( sin x
f ( y, z, x) f (z, x, y)ds。
三 重 积 分、第一 类曲线 积 分、第一 类曲面 积 分，若区域 关于某一 变 量
eg3、 x 12ds, L : x2 y2 1 L
L x2 2x 1 ds L x2ds 2L xds L ds L y2ds 0 2
其中 L1 为 L 在 y=x 左上方部分。
x4 y4 z4 dS
2x2 y2 2 y2 z2 2z2 x2 dS 94 R2
T h 8:设 函数 （f x, y, z）在 空间曲线 Γ 上 连 续， Γ 关于 x, y, z 具
x2 y2 z2 2 dS 36 R2 R4 ds 36 R2
2
L1
f
( x,
y)ds,
f
(x, y)
f (x,
y) ,
L
0, f (x, y) f (x, y)
5 轮换对称性在第一类曲线积分中的应用 T h7:设函数 （f x, y）在平面曲线 L 上连续， L 关于 x, y 具有 轮换
（下转224页)
① 基 金项目：2 014 年度辽宁省普通高等 教育本 科 教学改革 研究 项目（项目编号：U P R P 2 014 0 5 81）。
积分中的对称性
积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。
【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。
这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。
设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。
在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。
对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。
下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。
1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。
结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。
其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。
结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。
结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
积分对称性
定积分对称性
a
f
(
x
)dx
2
a
f ( x)dx
0
f (x) f (x)
a
0
f (x) f (x)
二重积分对称性
D关于ox轴对称
f
(x,
y)d
2
D1
f
( x,
y)d
D
0
D关于oy轴对称
f (x,y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f
(x,
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于x为偶函数 若Q( x, y)关于x为奇函数
第一型曲面积分对称性 S关于xoy对称
0,
若f ( x, y, z)关于z为奇函数
S
f
(x,
y, z)dS
2
S1
f
( x,
y, z)dS,若f
(x,
y, z)关于z为偶函数
若P( x, y)关于y为偶函数 若P( x, y)关于y为奇函数
Q( x,
L
y)dy
2
0 Q( x,
L1
y)dy
若Q( x, y)关于y为奇函数 若Q( x, y)关于y为偶函数
第二型曲线积分对称性
L关于oy轴对称
P(x,
L
y)dx
2
L1
0 P( x,
y)dx
若P( x, y)关于x为奇函数 若P( x, y)关于x为偶函数
(
x,
y,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
)关于x为奇函数
S关于zox对称
有关曲线积分、曲面积分的对称性研究
北方民族大学学士学位论文论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究院(部)名 称: 数学与信息科学学院学 生 姓 名: 陈敏 专 业: 数学与应用数学 学 号: 20110536 指导教师姓名: 杨莉 论文提交时间: 2015.5.18 论文答辩时间: 2015.5.24学位授予时间:北方民族大学教务处制11有关曲线积分、曲面积分的对称性研究摘要积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果.本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性.关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性The study of symmetry related surface integral、curve integralAbstractIntegral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect.This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral.Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity目录第一章绪论 (1)1.1研究背景 (1)1.2 研究意义 (1)1.3 研究思路及结构安排 (1)第二章曲线积分与曲面积分的概念 (3)2.1 对弧长的曲线积分 (3)2.2 对面积的曲面积分 (4)2.3 对坐标的曲线积分 (5)2.4 对坐标的曲面积分 (6)2.4.1 双侧曲面与有向曲面 (6)第三章曲线积分与曲面积分的对称性 (9)3.1 曲线积分 (9)3.1.1 第一类曲线积分的对称问题 (9)3.2.1 第一类曲面积分的对称问题 (13)第四章对称性解题总结 (17)4.1 对称性解题的优势 (17)4.2 对称性解题应注意的事项 (17)结束语 (18)致谢 (19)参考文献 (20)第一章绪论1.1研究背景我们都知道，对称在客观物质世界中是普遍存在的，能给人以美的享受.对称性作为人类了解客观物质世界的结晶，与人类的文明同样悠远.对称性几乎涉及到我们生活的方方面面，生活中的好多东西都是按照对称性来构造的.我们的祖先从认识自然界的形象对称开始到现在对称性的实体研究，无不应用到对称性.然而，所谓的对称性便是在某种变换下的不变性或组元的构形在其本身同构变换群下所拥有的不变特性.实际上，对称的概念在众多学科中的应用是很广泛的.高中数学经常涉及到对称问题，既有几何中的轴对称、中心对称，还有代数中的方程和不等式的对称；不仅有物理上的镜面对称，而且有数学上的正弦曲线；不但有化学中的结构对称，还有数学中的方程对称.对称是数学美一种外在表现形式，更为重要的是对称也是一种思想方法，它不光是思考问题的出发点，还是探索解题策略的良好器具.灵活地运用对称性来解决相关数学类问题是当代大学生必须具备的数学素养.以后我们应多注重对称性在数学解题中的应用，在很多时候可以起到事半功倍的效果.1.2 研究意义数学是一个奇幻的科学世界，对称性是数学美的一个重要特征，同时也为数学研究提供了一种很独特的思想方法，还是一个非常重要的艺术要素.在日常生活和科学研究中常会碰到的一类很特别的数学问题，即：对称性问题.它不仅存在于中学函数中，还存在于大学的微积分中，其应用十分广泛.我们都知道，微积分是大学数学中相当重要的内容，而积分计算在其中既是重点又是难点，在此过程中，尤其是有关曲线积分、曲面积分的计算，稍不注意就会出错.不过，在很多时候，我们经常会遇见积分区域或者被积函数具备某种对称性的题目.而要解决此类问题，就必须仔细审题，看是否具有对称性.假如我们能在审题中察觉或者留意到问题的对称性，并灵活地应用到积分的计算过程当中去，不时能够简化计算过程，获得出乎意料的成效.所以，很有必要探究对称性在积分计算中的应用，特别是在曲线积分、曲面积分中的应用.1.3 研究思路及结构安排本文首先指出所要研究的方向，指出其研究意义.其次概括了曲线、曲面积分的背景、定义以及一些简单的性质，而后给出计算曲线、曲面积分的诸多结论，利用这些结论来简化计算曲线积分和曲面积分.最后对本文内容进行分析总结.本文总共四章，其布局筹划如下:第一章绪论，主要讲述有关曲线积分和曲面积分的研究背景、研究意义和研究的方法.第二章，简单介绍曲线曲面积分的背景来源定义以及性质.第三章则着重介绍：使用对称性原理计算曲线积分和曲面积分，先分别讲述与对称性有关定理、性质，继而例举实例加以考证.第四章，剖析对称性在处理积分计算问题上的优势，同时总结使用对称性解题时要注意哪些方面的问题.第二章 曲线积分与曲面积分的概念2.1 对弧长的曲线积分设有一弧形型构件占面上的一段曲线，设构件的质量分布函数为，xOy L ),(y x ρ设定义在上且在上连续，求构件的质量：.),(y x ρL L ∑=→=ni i i i S M 1),(lim ∆ηξρλ定义2.1 设为平面上的一条光滑的简单曲线弧，在上有界，在L xOy ),(y x f L 上任意插入一点列，，…，把分成个小弧段的长度为L 1M 2M 1-n M L n i i i M M L 1-=∆，又是上的任一点，作乘积，，并求和i S ∆),(i i ηξi L ∆i i i S f ∆ηξ),(),,2,1(n i =，记，如果存在，且极限值与的分∑=ni ii iSf 1),(∆ηξ}max{i S ∆λ=∑=→n i i i i S f 1),(lim ∆ηξλL 法及在的取法无关，那么称极限值为在上对弧长的曲线积分，记),(i i ηξi L ∆),(y x f L 为：，即.⎰Ls y x f d ),(⎰Ls y x f d ),(∑=→=ni i i i S f 1),(lim ∆ηξλ其中叫做被积函数，叫做积分曲线.),(y x f L 对弧长曲线积分的存在性：设在光滑曲线上连续，那么一),(y x f L ⎰Ls y x f d ),(定存在.对弧长曲线积分的性质：1、,⎰⎰⎰±=±L LLs y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([2、,⎰⎰=LLs y x f k s k y x kf d ),(d ),(3、设，则.21L L L +=⎰⎰⎰+=21d ),(d ),(d ),(L L Ls y x f s y x f s y x f 这里规定：如果是封闭曲线，那么曲线积分记为.L ⎰Ls y x f d ),(有了上述对弧长的曲线积分的定义，则上面的问题就能够用对弧长的曲线积分表示为：.⎰=Ls y x f M d ),(2.2 对面积的曲面积分设有一构件占空间曲面为，其质量分布密度函数为，求构件的质量.∑),,(z y x ρ处理问题的思想类似于分布在平面区域的质量问题：.∑=→=n i i i i i S M 1),,(lim ∆ζηξρλ定义2.2 设为光滑曲面，函数在上有界，把任意地分成个小∑),,(z y x f ∑∑n 曲面，在每个小曲面上任取一点作乘积，i S ∆),,2,1(n i =i S ∆),,(i i i ζηξi i i i S f ∆ζηξ),,(并求和，记的直径，如果存在，∑=ni i i i i S f 1),,(∆ζηξi ni S ∆λ{max 1≤≤=}∑=→ni i i i i S f 1),,(lim ∆ζηξλ并且其极限值与的任意分法及在上的取法无关，那么称极限值为∑),,(i i i ζηξi S ∆在上对面积的曲面积分，记为：，),,(z y x f ∑⎰⎰∑S z y x f d ),,(即.⎰⎰∑S z y x f d ),,(∑=→=ni i i i i S f 1),,(lim ∆ζηξλ这里称为被积函数，称为积分曲面，称为面积元素.对面积的曲),,(z y x f ∑S d 面积分的存在性：如果为光滑曲面，在上连续，那么一∑),,(z y x f ∑⎰⎰∑S z y x f d ),,(定存在.有了这个定义，分布在上的质量为：.当∑M ⎰⎰=∑S z y x f M d ),,(时，的面积.当为平面上的区域时，即1),,(=z y x f ∑∑=⎰⎰S d ∑xOy D ⎰⎰∑S z y x f d ),,(是上的二重积分，.D ⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=Dy x y x f d d )0,,(性质 对面积的曲面积分是对二重积分的直接推广，因此二重积分的性质均可推广到对面积的曲面积分上去.特别是，则.21∑∑∑+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21d ),,(d ),,(d ),,(∑∑∑S z y x f S z y x f S z y x f 2.3 对坐标的曲线积分变力沿曲线作功问题.设一质点在平面内受到变力作用从A 点沿光滑曲线xOy j y x Q i y x P F ),(),(+=移动到B 点，求变力所作的功.，L ∑=⋅≈n i i i i S F W 1),(∆ηξ.]),(),([lim 1∑=→+=ni i i i i i i y Q x P W ∆ηξ∆ηξλ定义2.3 设是平面上的一条光滑有向曲线弧，、在AB L =xOy ),(y x P ),(y x Q 上有界，用上的点，，…，把分成个小有向L L ),(000y x M ),(111y x M ),(n n n y x M L n 弧段，设，，又是上的任一点，作i i i M M L 1-=∆1--=i i i x x x ∆1--=i i i y y y ∆),(i i ηξi L ∆乘积，，并求和，记，如果i i i x P ∆ηξ),(),,2,1(n i =∑=ni i i i x P 1),(∆ηξ|}{|max 1i ni L ∆λ≤≤=存在，且极限值与的分法及在的取法无关，那么称极∑=→ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλL ),(i i ηξi L ∆限值为在上对坐标的曲线积分，记为：，),(y x P L x ⎰Lx y x P d ),(即.⎰Lx y x P d ),(∑=→=ni i i i x P 1),(lim ∆ηξλ同理定义为在上对坐标的曲线积分.⎰Ly y x Q d ),(∑=→=ni i i i y Q 1),(lim ∆ηξλ),(y x Q L y 、称为被积函数，叫做积分曲线.),(y x P ),(y x Q L 上述定义可推广到空间曲线的情形：，，⎰Γx z y x P d ),,(∑=→=ni iiiix P 1),,(lim ∆ζηξλ⎰Γy z y x Q d ),,(∑=→=ni ii i i y Q 1),,(lim ∆ζηξλ.⎰Γz z y x R d ),,(∑=→=ni iiiiz R 1),,(lim ∆ζηξλ应用中常遇到，这时简记为.⎰⎰+LLy y x Q x y x P d ),(d ),(⎰+Ly y x Q x y x P d ),(d ),(对坐标曲线积分的存在性：设有向曲线光滑，、在上连续，则L ),(y x P ),(y x Q L、一定存在.⎰Lx y x P d ),(⎰Ly y x Q d ),(对坐标曲线积分的性质：,⎰⎰⎰+++=++2121d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(d ),(L L L L y y x Q x y x P y y x Q x y x P y y x Q x y x P ,⎰⎰-=-LL x y x P x y x P d ),(d ),(.⎰⎰-=-LL y y x Q y y x Q d ),(d ),(2.4 对坐标的曲面积分2.4.1 双侧曲面与有向曲面能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面，通常碰到的曲面都是双侧曲面，譬如由方程表示的曲面有上下侧之分，由方程表示的曲面有前后侧),(y x z z =),(z y x x =之分，由方程表示的曲面有左右侧之分，封闭曲面有内外侧之分.),(x z y y =一般地：在上任取一点，当该点在上连续运动而不经过边界而回到原来位∑∑置，其法向量也回到原来位置，这个曲面就叫双侧曲面.对坐标的曲面积分需要对曲面规定方向，也叫做指定曲面的侧，而指定曲面的侧一般是规定曲面上法向量的指向.如所表示的曲面，如果取它的法向量),(y x z z =指向向上，即与轴正向夹角，这时候就认定曲面取上侧，如果的指n z 20πθ≤≤n向朝下，就认定曲面取下侧.这种规定了曲面上法向量指向，即选定曲面的侧的曲面叫做有向曲面.2.4.2 有向曲面的投影设为有向曲面，在上取一小块有向曲面，把投影到平面得到一∑∑S ∆S ∆xOy 平面区域，其面积为，假设上各点处的法向量与轴正向夹角的余xy σ∆xy )(σ∆S ∆z γ弦保持确定的符号，即都为正或都为负，规定在平面上的投影γcos γcos S ∆xOy 为：.xy S )(∆⎪⎩⎪⎨⎧=<->=0cos 0cos )(0cos )()(γγσ∆γσ∆∆xyxy xy S 在面上的投影实质上就是在面上的投影区域的面积再附上一S ∆xOy S ∆xOy xy )(σ∆定的符号.类似可定义在、面上的投影.S ∆yOz zOx 2.4.3 流量与积分设稳定流动不可压缩流体的速度场由:表示，为场中的一块有向曲面，函j z y x Q i z y x P z y x V),,(),,(),,(+=k z y x R ),,(+∑数都是是的连续函数，求单位时间内流向指定一侧的流量.R Q P 、、∑∑Φ因区域不是平面区域而是曲面，流速不是常量，所以不能用初等方法，但是，上面引出各类积分概念一再使用过的方法可用来解决目前的问题:分割：任取上的一小块有向曲面，∑i S ∆近似代替：，S n V ii i ∆ζηξ ⋅),,(求和：，∑=⋅ni i i i S n V 1),,(∆ζηξ ，∑=++=ni i i i i i i i i i S R Q P 1]cos ),,(cos ),,(cos ),,([∆γζηξβζηξαζηξ取极限:.∑=→⋅ni i i i S n V 1),,(lim ∆ζηξλ 对坐标曲面积分的定义:设为光滑的有向曲面，函数在上有界，∑),,(z y x R ∑把任意地分成个小曲面，在平面的投影为，在∑n i S ∆),,2,1(n i =i S ∆xOy xy i S )(∆每个小曲面上任取一点作乘积，并求和i S ∆),,(i i i ζηξxy i i i i S R ))(,,(∆ζηξ，记的直径，如果存在，∑=ni xyi iiiS R 1))(,,(∆ζηξi ni S ∆λ{max 1≤≤=}∑=→n i xy i i i i S R 1))(,,(lim ∆ζηξλ并且其极限值与的任意分法及在上的取法无关，那么称极限值为∑),,(i i i ζηξi S ∆在上对坐标的曲面积分，记为，),,(z y x R ∑y x ,⎰⎰∑y x z y x R d d ),,(即.⎰⎰∑y x z y x R d d ),,(∑=→=ni xy i i i i S R 1))(,,(lim ∆ζηξλ其中称为被积函数，称为积分曲面.),,(z y x R ∑同理可定义,⎰⎰∑z y z y x P d d ),,(∑=→=n i yz i i i i S P 1))(,,(lim ∆ζηξλ.⎰⎰∑z x z y x Q d d ),,(∑=→=n i xzi iiiS Q 10))(,,(lim ∆ζηξλ应用上出现较多的是：的情⎰⎰∑z y z y x P d d ),,(⎰⎰+∑z x z y x Q d d ),,(⎰⎰+∑y x z y x R d d ),,(形，一般上式简记为：.⎰⎰++∑y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(如果是封闭曲面，那么在上对坐标的曲面积分记为：∑∑⎰⎰++∑y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(对坐标的曲面积分的存在性：如果光滑，函数、、L ),,(z y x P ),,(z y x Q 在上连续，那么、、在上对坐标的曲面积),,(z y x R ∑),,(z y x P ),,(z y x Q ),,(z y x R ∑分都存在.性质 与对坐标的曲线积分类似.1)若,则21∑∑∑+=⎰⎰++∑yx z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,(.⎰⎰⎰⎰+++++=21d d d d d d d d d d d d ∑∑y x R z x Q z y P y x R z x Q z y P 2)设的反侧曲面记为，则：.∑-∑⎰⎰⎰⎰-=-∑∑z y z y x P z y z y x P d d ),,(d d ),,(上面的性质表明：对坐标的曲面积分不单与被积函数有关，与积分曲面有关，还与曲面的方向有关.第三章 曲线积分与曲面积分的对称性3.1 曲线积分3.1.1 第一类曲线积分的对称问题定义3.1 设函数定义在二维光滑曲线上，),(y x f （1）如果满足关系式=或=，那么称),(y x f ),(y x f -),(y x f ),(y x f -),(y x f 为关于的偶函数或关于的偶函数；),(y x f x y （2）如果满足关系式=-或=-，那么称),(y x f ),(y x f -),(y x f ),(y x f -),(y x f 为关于的奇函数或关于的奇函数.),(y x f x y 定义3.2 设函数定义在三维光滑曲线上，),,(z y x f （1）如果满足关系式=或=或),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f =，那么称为关于的或的或的偶函数；),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f x y z （2）如果满足关系式=-或=-或),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f -),,(z y x f =-，那么称为关于的或的或的奇函数.),,(z y x f -),,(z y x f ),,(z y x f x y z 定理3.1 设函数定义在二维光滑（或分段光滑）曲线上，且曲线关),(y x f L L 于（或）对称，则ox oy （1）当偶函数时，=2（其中是位于对称轴一侧的部⎰Lds y x f ),(⎰1),(L ds y x f 1L L 分）；（2）当是（或）的奇函数时，=0.),(y x f y x ⎰Lds y x f ),(证 设光滑曲线（其中、分别是曲线位于轴上、下两侧的21L L L +=1L 2L L ox 部分）关于轴对称；则=用曲线上关于轴对称ox ⎰Lds y x f ),(ds y x f L L ),()(21⎰⎰+L ox 的点系分割，在上的小弧段中任取一点（，），在上关于对称于L 1L i ξi η2L i S ∆轴的小弧段中任取一点（，-），构造和式：+ox i ξi η∑i i i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f ),(ηξ，令：这些小弧段中最长一段为，由于在上可积且=,于是i S ∆λ),(y x f L i S ∆i S '∆（1）当是关于的偶函数，即=时，),(y x f y ),(i i f ηξ-),(i i f ηξ=[+]⎰Lds y x f ),(0lim→x ∑ii i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f ),(ηξi S '∆ =20lim→x ∑ii i f ),(ηξiS ∆ =2⎰1),(L dsy x f （2）当是关于的奇函数，即=-时，),(y x f y ),(i i f ηξ-),(i i f ηξ =[+]⎰Lds y x f ),(0lim→x ∑iii f ),(ηξiS ∆∑-i ii f ),(ηξiS'∆ ={+}0lim→x ∑ii i f ),(ηξi S ∆∑-ii i f )],([ηξi S '∆ ==0 （证毕）.lim→x ∑i0iS ∆定理3.2设函数在三维光滑或（分段光滑）曲线上可积，且曲线),,(z y x f Γ对称于坐标面，则Γ)(zox yoz xoy 或或（1）当为关于的偶函数时，则有),,(z y x f )(y x z 或或=2（其中是位于对称坐标面一侧的部分）；⎰Γds z y x f ),,(⎰Γ1),,(ds z y x f 1ΓΓ（2）当为关于奇函数时，则有.),,(z y x f )(y x z 或或⎰Γds z y x f ),,(0=推论 设函数定义在二维光滑（或分段光滑）曲线上，对称于和),(y x f L L ox 轴，则oy （1）当是关于和的偶函数时，有=4（这里是),(y x f x y ⎰Lds y x f ),(⎰1),(L ds y x f 1L 在第Ⅰ象限中的部分）；L （2）当是关于和中至少某一变量的奇函数时，有=0.),(y x f x y ⎰Lds y x f ),(例3.1 计算ds yx x y x ⎰=++1解 因为积分曲线既对称于轴又对称于轴，且被积函数=是ox oy ),(y x f yx x+的奇函数，故原式===0. x ds yx xy x ⎰=++1⎰=+11y x ds x注 此处除运用对称性之外，还涉及到用积分曲线方程化简被积函数的技巧.例3.2 计算，其中为球面被平面所截得的圆周.ds x L⎰2L 2222a z y x =++0=++z y x 解 注意到关于的对称性，则有L z y x ,,==.ds x L⎰2ds y L⎰2ds z L⎰2因此 =ds x L⎰2dsz y x L)(222++⎰==.⎰Lds a 32332a π对称性和几何意义是化简积分计算的常用技巧，读者应多多留意并且灵活运用.3.1.2 第二类曲线积分的对称问题定理3.3 若为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一L xoy x 双值函数，设为，（）.记,分别为位于轴的上半部分与下)(x y y ±=b x a ≤≤1L 2L L x 半部分，,在轴上的投影的方向相反，函数在上连续，那么1L 2L x ),(y x P L （1）当关于为偶函数时，则),(y x P y =0；⎰Ldx y x P ),(（2）当关于为奇函数时，则),(y x P y =2.⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P 证明 依定理条件不妨设：，自点变到点；：，自点变到点.而后由对坐1L )(x y y =x a b 2L )(x y y -=x b a 标的曲线积分的计算方法以及性质有=+⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P ⎰12),(L dxy x P =+=.故（1）当关于⎰badx x y x P )](,[⎰-badx x y x P )](,[⎰--badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{),(y x P 为偶函数时，有===0；（2）当y ⎰Ldx y x P ),(⎰-badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{⎰badx 0关于为奇函数时，有==2),(y x P y ⎰Ldx y x P ),(⎰+badx x y x P x y x P )]}(,[)](,[{⎰badxx y x P )](,[=2.⎰1),(L dx y x P 注 对于有类似定理1的结论.⎰Ldy y x Q ),(例3.3 ，这里为抛物线自点A （1，-1）到点B （1，1）的一⎰=Lxydx I 计算L x y =2段弧.解 经分析可知，此处的曲线积分合乎定理3.3，因而有==2=I ⎰1L xydx 2⎰10dx x x 54这里，：，自点0变到点1.1L x y =x 关于曲线积分还有另一个对称性的结论是:⎰Ldx y x P ),(定理3.4设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，奇方程为L xoy y ，（），记，分别为处于轴的右半部分与左半部分，)(x y y =a x a ≤≤-1L 2L L y ，在轴上的投影方向相同，函数在上连续，那么1L 2L x ),(y x P L （1）当关于为奇函数时，则=0),(y x P x ⎰Ldx y x P ),(（2）当关于为偶函数时，则=2.),(y x P x ⎰Ldx y x P ),(⎰1),(L dx y x P 证明 依定理条件不妨设：，自点0变到点；1L )(x y y =x a ：，自点-变到点02L )(x y y -=x a 而后由对坐标曲线积分的计算方法以及性质有对右端第2个积分，令⎰Ldx y x P ),(=⎰1),(L dx y x P +⎰12),(L dx y x P +=⎰--0)](,[adx x y x P ，有=,因此有t x -=⎰--0)](,[adx x y x P ⎰-adt t y t P 0)](,[=+=⎰Ldx y x P ),(⎰adx x y x P 0)](,[⎰-adx x y x P 0)](,[⎰-+adxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{故（1）当在上关于为奇函数时，有=),(y x P L x ⎰Ldx y x P ),(⎰-adxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{==0.⎰adx 00（2）当在上关于为偶函数时，有=),(y x P L x ⎰Ldx y x P ),(⎰+a dxx y x P x y x P 0)]}(,[)](,[{=2=2.⎰adx x y x P 0)](,[⎰1),(L dx y x P 注 对于有类似定理3.4的结论.⎰Ldy y x Q ),(例3.4 计算I =，其中为（＞0）按逆⎰+-+Ldy y y x dx y x )sin ()(222L 222a y x =+a 时针方向自点A （，0）到点B （-，0）的上半圆周.a a 解 将原等式拆分为3个曲线积分的和的形式，即I =-2-⎰+Ldx y x )(22⎰Lxydx ⎰+Ldyy y x )sin (22据题目条件分析可知，等式右端三个曲线积分合乎定理3.4，故有I ==2=2=-2.⎰+Ldx y x )(22⎰+1)(22L dx y x ⎰-+0222)(adx x a x 3a 3.2 曲面积分3.2.1 第一类曲面积分的对称问题定理3.5设函数在光滑（或分片光滑）曲面上有定义，且对称于),,(z y x f ∑（或或）坐标面，则xoy yoz zox （1）当是关于的偶函数时，（这里),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(8=⎰⎰∑1),,(ds z y x f 是位于对称坐标面一侧的部分）.1∑∑（2）当是关于的奇函数时，0 .),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(=推论设函数定义在光滑（或分片光滑）曲面上，且关于),,(z y x f ∑∑坐标面均对称，则zox yoz xoy ,,（1）当是关于的偶函数时，=8（这里),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(⎰⎰∑1),,(ds z y x f是在第Ⅰ卦限的部分）.1∑∑（2）当是关于中至少某一变量的奇函数时，=0.),,(z y x f z y x 和,⎰⎰∑ds z y x f ),,(例3.5 计算积分，这里：表示平面，与之间的圆柱⎰⎰∑++ds zy x y222∑0=z H z =面.222R y x =+解 由于积分曲面关于坐标面对称，且被积函数是关zox ),,(z y x f =222zy x y++于的奇函数，所以0 .y ⎰⎰∑++ds zy x y222=例3.6 计算，其中：.⎰⎰∑--ds y x a x2226∑2222a z y x =++解令：，，，，则：1∑2222a z y x =++a x ≤≤0a y ≤≤0a z ≤≤01D ≤,,,=.因为22y x +2a a x ≤≤0a y ≤≤0ds dxdy z z y x 221++=dxdy yx a a222--对称于三个坐标面，况被积函数是关于,,的偶函数，∑),,(z y x f =222z y x y++x y z 由对称性88a 8a⎰⎰∑--ds y x a x2226=⎰⎰∑--12226ds y x a x=⎰⎰16D dxdy x =⎰⎰167cos D drd r θ 8a .=⎰⎰adr r 0726cos πθ=9325a π3.2.2 第二类曲面积分的对称问题定理3.6 设是关于平面对称的有向光滑曲面，其方程为一双直函数，设∑xoy 为，∈（这里是在平面的投影区域），记，分),(y x z z ±=),(y x xy D xy D ∑xoy 1∑2∑别位于平面的上半部分与下半部分，与的侧关于平面相反，函数xoy 1∑2∑xoy 在上连续，那么),,(z y x R ∑（1）如果关于为偶函数时，那么=0；),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(（2）如果关于为奇函数时，那么=2.),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(证明 依定理条件不妨设：，∈，取上侧；1∑),(y x z z =),(y x xy D 1∑：，∈，取下侧.因此由对坐标的曲面积分的性质及计算2∑),(y x z z -=),(y x xy D 2∑方法有+dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(dxdyz y x R ⎰⎰∑2),,( -=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[dxdyy x z y x R xyD ⎰⎰-)],(,,[ .故=dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰--（1）当关于为偶函数时，有),,(z y x R z ===0；dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰-dxdy xyD ⎰⎰0（2）当关于为奇函数时，有),,(z y x R z dxdy z y x R ⎰⎰∑),,(=dxdyy x z y x R dxdy y x z y x R xyD })],(,,[)],(,,[{⎰⎰+ .2=dxdy y x z y x R xyD ⎰⎰)],(,,[2=dxdy z y x R ⎰⎰∑1),,(注 对于，有类似定理3.6的结论.dydz z y x P ⎰⎰∑),,(dzdx z y x Q ⎰⎰∑),,(例3.7 计算，式中为球面的外侧位于≥0，≥0=I ⎰⎰∑xyzdxdy ∑1222=++z y xx y 的部分.解 据题目条件分析知，此曲面积分合乎定理3.6，因此有2=2===I ⎰⎰∑1xyzdxdy ⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221⎰⎰-212312sin πθθdr r r d 152此处：z =，∈={∣≤1，≥0，≥0}.1∑221y x --),(y x xy D ),(y x 22y x +x y 例3.8 .这里为锥面z=1-被=I ⎰⎰∑+-+-zdxdy dzdx zx y dydz yz x2)()(22∑22y x +平面所截得的取上侧的部分.0=z 解 可将原式改写为三个曲面积分之和，即++2=I ⎰⎰∑-dydz yz x )(2⎰⎰∑-dzdx zx y )(2⎰⎰∑zdxdy据题目条件可知右端的第一、第二类曲面积分均合乎定理3.3的结论，所以有2=2=2=.=I ⎰⎰∑zdxdy ⎰⎰+-XY D dxdy y x )1(22⎰⎰-120)1(rdr r d πθπ32其中：={︱≤1}.xy D ),(y x 22y x +第四章 对称性解题总结4.1 对称性解题的优势经过上述分析可以知道:只有当积分域具有某种对称性时,才考虑可否利用对称性原理来化简计算曲线积分与曲面积分；与此同时在应更进一步地确定被积函数在对称域上是否具有奇偶性,当满足以上条件时才可以使用上文定理对各种曲线积分、曲面积分进行简化计算.特别地，针对第二类曲线积分、曲面积分来说,使用此方法就能避免积分路线的方向和积分曲面侧的干扰,此方法的优越性是显而易见的.因此有关对称性原理在曲线积分以及曲面积分中的化简求积的过程是很有用的计算方法之一.4.2 对称性解题应注意的事项有关对称性在曲线积分、曲面积分运用,我们要特别小心，杜绝滥用、套用对称性对称性，在解题时我们需要注意：需要同时考虑积分区域和被积函数两个方面，只有在此两方面内容都具有某种对称性时才可以使用.倘若只是积分区域具有某种对称性，那么应当根据具体情况作具体分析，试图通过把被积函数经过恒等变形使之具有满足某种对称性的条件，进而运用对称性原理很快地解决问题.而对于第二类曲线积分、曲面积分，在使用对称性有关原理时，应格外注意积分路经的方向和曲面侧的情况.结束语通过以上介绍不难看出利用对称性计算曲线积分与曲面积分不仅是可行的，而且有时还可以起到简化计算的作用，在学习中可以充分利用对称性计算曲线积分与曲面积分，提高运算速度和效果，给学习带来很多方便.使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误.致谢大学四年的时间转瞬即逝,而在北方民族大学的美好时光也将成为历史.在这四年里,我认识了很多负责任的老师,结交了很多真心的朋友,得到了很多人的帮助和支持.现谨以此文向所有关心和支持过我的人致以最诚挚的敬意！首先,我要感谢我的论文指导老师、杨老师.杨老师花费了大量的心血对我指导,她思维的方式、思想的深度以及对问题敏锐的洞察使我受益匪浅,她对数学研究的严谨态度深深的影响了我.是她让我知道了毕业论文的写作对于一个合格的大学生来说具有重要的意义,可以为我们以后的工作学习带来很大的帮助.其次,我还要感谢所有的老师们,这四年来在学习上和生活上给予的悉心指导和热心帮助,在许多问题上给我及时的指导和启迪,指引我克服了很多生活和学习中遇到的困难.四年来,老师们渊博的专业知识,严谨的治学态度,谦逊的为人和孜孜不倦的探索精神给我留下了深深的印象,并深深的影响了我,这些必将惠及我将来的学习、工作和生活.最后,要感谢四年里同学们给予我的支持与帮助！参考文献[1]邓东皋,尹小玲.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社,1999年[2]同济大学应用数学系.高等数学(上,下册)[M].第六版.北京：高等教育出版社, 1978年[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京：高等教育出版社，2009[4]华东师范大学数学系.数学分析（第三版北京：高等教育出版社，2001[5]刘洁，戴长城，对称性在积分计算中的应用[J].邵阳学院学报：自然科学版，2008.23-27[6]刘福贵，鲁凯生.利用对称性计算第二类曲线积分和曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报，2006.1069-1072[7] 钱吉林，肖新平.高等数学词典.武汉：华中师范大学出版社，1999。
积分的轮换对称性
(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如： 如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0， 那 么 在 这 个 曲 面 上 的 积 分 ∫ ∫ f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz, ∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。 (3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足 的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的 x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫∫f(x,y)ds=∫∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成 y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。 第二类和（2）总结相同。 (4) 二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分 域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区 间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
例 计算
L
x
2
ds，
其中L是球面x2+y2+z2=R2与平
面x+y+z=0的交线。 解 由对称性可知
L
2
x ds
2
L
2
y ds
2
L
z ds
2
L
x ds
2
1 3
L
(x
y
2
z
) ds
1 3
L
R ds
2
1 3
R
2
2
对称性在积分中的应用
第20卷第4期2000年10月 数学理论与应用MA THEMA TICAL THEOR Y AND APPL ICA TIONSVol.20No.4Oct.2000对称性在积分中的应用Ξ陈云新(中南工学院基础部,衡阳市421001)摘 要 本文讨论了在各类积分中利用对称性解题的技巧和使用方法.关键词 积分,对称在积分中的计算中,经常遇到积分区域具备对称性的题型.如果能利用其对称性的性质,则可以简化其计算过程,特别是有些题不用计算可以直接判断出其结果.本文讨论了利用积分区域的对称性配合被积函数的奇,偶性简化定积分,重积分,第一类曲线,曲面积分计算过程的使用方法.(以下都在积分存在的前提下予以讨论)一、定积分的对称性若积分区间为[-a,a],则(1)当f(-X)=f(X)时∫a-a f(x)dx=2∫a0f(x)dx(2)当f(-X)=-f(X)时,∫a-a f(x)dx=0二、二重积分的对称性在二重积分κDf(x,y)dσ的计算过程中;11若积分区域D关于X轴对称,记位于X轴上半部分区域为D1,则(1)当f(x,-y)=f(x,y)时,κD f(x,y)dσ=2κD1f(x,y)dσ(2)当f(x,-y)=-f(x,y)时,κDf(x,y)dσ=021若积分区域D关于Y轴对称,记位于Y轴右半部分区域为D1,则;(1)当f(-x,y)=f(x,y)时κD f(x,y)dσ=2κD1f(x,y)dσ(2)当f(-x,y)=-f(x,y)时,κDf(x,y)dσ=0三、三重积分的对称性在三重积分µΩf(x,y,z)dv的计算过程中;Ξ收稿日期:2000年4月11若积分区域Ω关于XO Y面对称,记Ω位于XO Y面上半部分为Ω1,则:(1)当f(x,y,-z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,y,-z)=-f(x,y,z)时µΩf(x,y,z)dv=021若积分区域#W关于YOZ面对称,记Ω位于YOZ面前冲击2部分为Ω1,则(1)当f(-x,y,z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,-y,z)=-f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=031若积分区域Ω关于ZO Y面对称,记Ω位于ZOX面右半部分为Ω1,则:(1)当f(x,-y,z)=f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=2µΩ1f(x,y,z)dv(2)当f(x,-y,z)=-f(x,y,z)时,µΩf(x,y,z)dv=0四、第一类曲线积分的对称性A1平面曲线积分∫L f(x,y)ds的计算过程11若曲线L关于X轴对称,记L位于X轴上半部分为L1:则:(1):当f(x,-y)=f(x,y)时∫L f(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds(2):当f(x,-y)=-f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=021若曲线L关于Y轴对称,记L位于Y轴右半部分为L1:则:(1):当f(-x,y)=f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds(2):当f(-x,y)=-f(x,y)时,∫L f(x,y)ds=0B:空间曲线积分∫ΓF(x,y,z)ds的计算过程11若积分曲线Γ关于XO Y面对称,记Γ位于XO Y面上半部分为Γ1,则:(1)当F(x,y,-z)=f(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2):当F(x,y,-z)=-F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=021若积分曲线Γ关于YOZ面对称,记Γ位于YOZ面前半部分为Γ1,则:(1)当F(-x,y,z)=F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)ds=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2)当F(-x,y,z)=-F(x,y,)时,∫ΓF(x,y,z)ds=031若积分曲线Γ关于ZOX面对称,记Γ位于ZOX面右半部分为Γ1,则:(1)当F(x,-y,z)=F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)=2∫Γ1F(x,y,z)ds (2):当F(x,-y,z)=-F(x,y,z)时,∫ΓF(x,y,z)=014第4期陈云新:对称性在积分中的应用五、第一类曲面积分的对称性在第一类曲面积分κ∑F(x,y,z)ds的计算过程中.11若积分曲面∑关于XO Y面对称,记∑位于XO Y面上半部分为∑1;则:(1):当F(x,y,-z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(x,y,-z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=021若积分曲面∑关于YOZ面对称,记∑位于YOZ面前半部分为∑1;则:(1)当F(-x,y,z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(-x,y,z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=031若积分曲面∑关于ZOX面对称,记∑位于ZOX面右半部分为∑1;则:(1)当F(x,-y,z)=F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=2κ∑1F(x,y,z)ds(2)当F(x,-y,z)=-F(x,y,z)时,κ∑F(x,y,z)ds=0六、应用举例例1:求µΩzln(x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1dv,其中Ω:x2+y2+z2Φ1.解:∵积分区域Ω关于XO Y面对称而被积函数f(x,y,z)=zln (x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1满足:f(x,y,-z)=-f(x,y,z)∴µΩzln(x2+y2+z2+1)x2+y2+z2+1dv=0例2:求∮L x2+y2ds,其中L为圆周x2+y2=ax.解:因为曲线L关于X轴对称,记位于X轴上方部分为L1而被积函数f(x,y)=x2+y2满足:f(x,-y)=f(x,y)所以∮L x2+y2ds=2∮L1x2+y2ds=2a2例3:计算λ∑xyzds,其中∑是球面x2+y2+z2=1.解:此题中积分区域∑具有多重对称性,任选其中一种都可以得出本题的结果.所以24数学理论与应用第20卷λ∑xyzds =0参考文献[1] 同济大学编《高等数学》第四版下期,高等教育出版社,1996,12(上接39页)而求得所求积分值为π24.从以上的分析讨论可以看到,分解变形这一技巧在积分运算中是一种用途广泛的方法,应用得恰当,不但可以将复杂问题简单化,而且有时还可以起到提示解题思路的作用.附:主要参考资料[1]同济大学数学教研室编.高等数学1高教出版社[2]西安交通大学高等数学教研室编.复变函数论1高等教育出版社出版34第4期陈云新:对称性在积分中的应用。
多元函数积分学的对称性问题
（1） x 2 y 2 2 x 2 y 2 ；
2
（2） x 2 y 2 2 xy.
2
解 （1） 由 x 2 y 2
2 x y 2 2 2
而被积函数 xy 围成的积分区域 D (图 6—2)对称于 x 轴．
D
关于 y 是奇函数，即 x y xy ．故由第 2 种情况知 xy d x d y 0 . （2） 由 x 2 y 2 2 xy 所围的域 D (图 6—3)对称于原点． 而被积函数 x y xy ，
借助于几何意义,此结论不难理解． 证将区域 D D1
D2 关于 y 轴进行对称性划分, i D1 ,与之对称的有 i D2 ,令
为小区域的最大直径,取点 (i ,i ) i ,与点 (i,i) i 对称．
f ( , ) f ( , ) f ( x, y ) d x d y lim
解 积分域是圆 x 2 y 2 a 2 ，故关于 x 、 y 轴、原点及变元 x 、
y 均对称．将被积函数分项积分
x2 y 2 a2
2 x 3 y d 0
2
O
2
x
而
2
x y a
2
x2 d
2 2
x y a
2
y2 d
2
1 a4 2 2 x y d ，又 2 x2 4 y 2 a2
解 依积分区域 D 及被积函数 arcsin x y 的特点， 首先将 D 分解为 D （ i 1,2,3 ）如图所示． 因为 D2 与 D3 关于直线 x y 0 对称，而被积函数 arcsin x y 在 D2 奇函数，所以
对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用
对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用胡纪华;王静先【摘要】Gives the symmetry of the curve integral,surface integral operations in the relevant conclusions,and apply the conclusions to solve the problem,reflecting the symmetry in the two types of simplified integral operator in the role.%给出了对称性在曲线积分、曲面积分运算中的有关结论,并应用结论求解积分,体现了对称性在两类积分运算中的简化作用。
【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】4页(P1-4)【关键词】对称性;曲线积分;曲面积分【作者】胡纪华;王静先【作者单位】安康学院数学系,陕西安康725000;安康学院数学系,陕西安康725000【正文语种】中文【中图分类】O172.2函数的奇、偶对称性在定积分、重积分的计算中有重要作用。
在进行曲线积分、曲面积分时，若积分区域具有某种对称性，这两类积分的结果又将如何?对此问题进行探究，会得到一些有用的结论。
1.1 第一类曲线积分命题1：设曲线L关于y(x)轴对称，则命题2：设f(x，y)在分段光滑曲线L上连续。
若L关于原点对称，则证明：令L=L1+L2，L1、L2分别是L关于原点对称的两部分。
记 L1的参数方程为：x=x(t)，y=y(t)。
t从a变到b，则L2的参数方程为：x=-x(t)，y=-y(t)，t从 a 变到 b。
1.2 第二类曲线积分命题3：设L是平面上分段光滑的定向曲线，P(x，y)、Q(x，y) 连续且 L关于 y(x) 轴对称，则其中L1是L在右(上)半平面的部分。
证明：当L关于y轴对称，令L=L1+L2，L1、L2分别是L在右半平面与左半平面的部分。
曲线积分曲面积分的对称性
一、曲线积分的对称性① 关于弧长的曲线积分。
有奇偶对称性和轮换对称性。
奇偎对称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则rhf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1Lb, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.若L 关于R 轴对称，则有类似结论•轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则了)d$ = J/(>,兀〉山.② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏J J L h,其中轴右侧的部分.若L 夬于文轴对称，则f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2L b,其中乙2为L 在文轴上侧的部分・关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则2 z ）dx, Jr i0,其中巧为I*在垃y 面上方的部分.若厂关于.：Qz 面对称，则2|z ）dLr ・ 符别有^/( X )ds 二 5 )ds.当PG Q 〉关于工为偶函数当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数当PQ,""）关于工为偶西数当FQ”, z ）关于，为奇函数Jr20,其中&为尸在妙面前方的部分•若厂关于25面射称，则fM P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3r b 当P(^.y^)关于•为偶函数其中C 为F 在以直面右方的部分.关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论•二、曲面积分的对称性®关于面积的曲面积分奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则|‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE ,y,z)dS = y 莒S 0»当V, X)为Z 的奇函数.②关于坐标的曲面积分奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论• 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d«dac = T P ( «)dxdj.2 15 0,x f y,z)dydz =当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS于 对,z, x)d^djr.。
对称性在积分计算中的应用精编
对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。
二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。
对称性在积分计算中的应用
对称摘 要 对称性是解决数学问题的重要方法之一.在积分学中充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,使得数学积分的计算过程得到简化.本文通过总结定理和性质并借助实例说明对称性在定积分、重积分、曲线积分、曲面积分计算中的应用.关键词 对称性 定积分 重积分 曲线积分 曲面积分1. 前言在许多人眼里,数学是抽象和复杂的,但在此背后,也有着它和谐的旋律.如果我们能够更多的理解和掌握数学中的很多规律,就会对数学有更深的认识和感受.目前人们普遍认识到的数学美的基本内容有：统一美、对称美、简洁美、奇异美.它们各有内涵,各有吸引人之处,而对称美是指数学内容中的部分与部分、部分与整体之间和谐一致,以及各种数学概念和理论之间所存在的“对等美”.关于对称性在积分计算中的应用,首先明确以下问题：(1)关于对称性的了解,以简单点为例：点),(y x 关于x 轴的对称点为),(y x -；点),(y x 关于y 轴的对称点为),(y x -；点),(y x 关于原点对称的对称点为),(y x --；点),(y x 关于x y =对称的对称点为),(x y .(2)函数的奇偶性判断,以及两个函数和差积运算后的奇偶性.(3)本文所涉及内容都是R —可积函数.（],[b a 上的连续函数在],[b a 上必可积；只有有限个第一类不连续点的函数是可积的,即分段函数是可积的；单调有界函数必定可积.）(4)清楚的区分各种积分的表达式.(5)用极坐标将二、三重积分化为累次积分时应该注意的地方.(6)数学分析就是用极限的思想来研究函数的一门学科,需对研究内容的产生和如何解决的方式有一定的了解.(7)基本积分公式、倍角公式的熟悉应用.2. 对称性在定积分计算中的应用定理1[4] 设函数)(x f 在],[a a -上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaax f x f x x f x f x f x x f 0)()(,d )(2)()(,0d )( 2.1 计算.d 11lnI 442⎰-+-=ππx xxx分析：定积分在研究区间]4,4[ππ-是关于原点对称的, 又因为2x 为偶函数,xx+-11ln是奇函数,故由定理1可知,0=I . 2.2 计算.d cos21)arctan 1(I 22⎰-++=ππx x x分析：定积分在研究区间是关于原点对称的,又因为⎰-++=22d cos21)arctan 1(I ππx x x⎰-+++=22d )2cos 1arctan 2cos 1(ππx x x x因为x 2cos 1+为偶函数,x x2cos 1arctan +为奇函数,故由定理1知 ,0d 2cos 1220++=⎰πx x⎰=202d cos 22πx x⎰=20d cos 22πx x22 =2.3［8］ 计算.d 4cos I 224⎰-=ππx x 分析：定积分研究区间]4,4[ππ-是关于原点对称的, 因为x 4cos 4为偶函数,故由定理1知,23d cos 8d cos 42I 204204πππ===⎰⎰x x x x （进行积分计算时,有x x x x n nn d cos d sin 2020⎰⎰==I ππ,且有递推公式21-I -=I n n nn 成立.） 2.4 计算.d 1)(arcsin I 232322x xx ⎰--=分析：先用凑分法,再做代换,最后利用对称性,则有 x xx d 1)(arcsin I 232322⎰--=x x darcsin )(arcsin 23232⎰-=⎰=33-2d ππt t27d 330-2ππ==⎰t t2.5 计算.d )1ln(I 22⎰-+=x e x x分析：显然积分区间关于原点对称,但)1ln(x e +既不是奇函数也不是偶函数,我们可以利用2)()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+=,其中2)()(x f x f -+为偶函数, 2)()(x f x f --为奇函数,把它分解成为一个奇函数和一个偶函数的和. 令)1ln()(xe xf +=,则)2ln(212)()(x x e e x f x f -++=-+,22)()(x x f x f =--所以有, ⎰-+=22d )1ln(I xe x x⎰--+++=22d )]2ln([21xe e x x x x 然而)2ln(xxe e x -++是关于x 的奇函数,2x 是关于x 的偶函数,由定理1知,⎰⎰-==202222d d 21x x x x 38= 2.6 计算.d 1I 112⎰-=x x分析：定积分在研究区间]1,1[-是关于原点对称的,又因为21x 是偶函数,由定理1知, ⎰-=112d 1I x x⎰=102d 12x x2-=然而这个答案是不正确的,事实上,由于被积函数012>x ,所以当积分存在时,其值必大于零,原因在于在区间]1,1[-上有第二类间断点0=x ,因而不能用对称性或者莱布尼茨公式计算. 小结 在定积分对称性的应用中,我们看到,这里所指的对称性是区间是否关于原点对称,而与被积函数的图像是否关于对称轴或者原点对称无关,但是与被积函数的奇偶性密切相关；另外经过奇偶函数的和差积得到的新函数的奇偶性,倍角公式,特殊公式的熟练掌握和应用也是非常重要的；最重要的是无论用公式还是用对称性来解题都要首先确定被积函数是R —可积函数.3. 对称性在二重积分计算中的应用定理2 [5][7][9] 设函数),(y x f 在D 上连续,且⎰⎰=I Dy x y x f d d ),(存在,记}0,),(|),{(1≥∈=x D y x y x D }0,),(|),{(2≥∈=y D y x y x D}0,0,),(|),{(3≥≥∈=y x D y x y x D }0,),(|),{(4≥∈=y D y x y x D（1）设D 关于轴x 对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰2),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（2）设D 关于y 轴对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰1),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（3）设D 关于原点对称,D y x ∈∀),(,()⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=⎰⎰⎰⎰3),(),(,d d ,2),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x y x f y x f y x f y x y x f（4）设D 关于直线x y =对称,D y x ∈∀),(,⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎰⎰⎰⎰4),(),(,d d ),(2),(),(,0d d ),(D Dy x f x y f y x y x f y x f x y f y x y x f（5）设D 关于x 轴和y 轴均对称,D y x ∈∀),(⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=-=⎰⎰⎰⎰3),(),(),(),(,d d ),(4),(),(),(),(,0d d ),(D Dy x f y x f y x f y x f y x y x f y x f y x f y x f y x f y x y x f 或者或者(6)(变量可轮换性)若积分区域关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++===DDDDy x x z f z y f y x f yx x z f y x z y f y x y x f d d ),(),(),(31d d ),(d d ),(d d ),(3.1 计算⎰⎰=I Dy x y x d d sin 其中D 由双纽线)()(222222y x a y x -=+围成. 分析：已知D 关于y 轴对称,且是关于x 的奇函数,所以0=I . 3.2[8] 计算⎰⎰++-=I Dy x zy x x y d d 22222,其中}1|),{(≤+=y x y x D分析：由于D 关于直线y x =对称,且被积函数具有性质),(),(y x f z y f -=,所以0=I . 3.3[5] 计算()⎰⎰+=I Dy x y x d d 22,其中D :122≤+y x 分析：()⎰⎰+=I Dy x y x d d 22⎰⎰++=Dy x xy y x d d 4422积分区域D 关于x 轴对称,且被积函数xy 4为y 的奇函数,所以,0d d 4=⎰⎰Dy x xy又因为在积分区域D 中y x ,的地位相同,则有⎰⎰⎰⎰=DDy x y y x x d d d d 22,所以, ⎰⎰=I Dy x y d d 52⎰⎰+=Dy x y x d )d (2522 ⎰⎰=10320d d 25r r πθ45π=3.4 计算⎰⎰+=I Dy x y x d )d (,其中D :1y x22≤+.分析：积分区域D :1y x 22≤+关于x 轴,y 轴均对称,而且被积函数关于y 和x 是偶函数, 固有 ⎰⎰+=I 3d )d (4D y x y x⎰⎰+=120d )d sin cos (4r r r r πθθθ⎰⎰+=12220)d sin cos (d 4r r r θθθπ38=3.5[5] 设D 是()()()1-1-1,1-1,1，、、为顶点的三角形区域,1D 为D 在第一象限的部分,则) (d d )sin (22=+⎰⎰--Dy x y x ye xy分析：如图4321D D D D D =,由对称性可知0d d 21=⎰⎰D D y x xy ,0d d 43=⎰⎰D D y x xy 所以0d d =⎰⎰Dy x xy .在43D D 上,22--sinye y x 是关于y 的奇函数,故有,0d d esin 4322-=⎰⎰D D -y xy x y在21D D 上 是关于x 的偶函数,所以,⎰⎰⎰⎰=+12222d d sinye 2d )d sinye (--D -y xD-y xy x y x xy3.6 计算⎰⎰++=I Dy x y x yf x d d ])(1[22,其中D 由1,1,3-===x y x y 围成. 分析：如图所示，做辅助线3x y -=的左半部分,则积分区域被分为21D D 和,其中21D 表示1D 位于x 轴上方的部分，1D 关于x 对称，2D 关于y 轴对称，由于被积函数是关于x 的奇函数,故有,0d d ])(1[222=++=I ⎰⎰D y x y x yf x 又由于)(22y x xyf +是关于y 的奇函数,故有,⎰⎰++=I 1d d ])(1[22D y x y xyf x0d d 21+=⎰⎰D y x x⎰⎰-=2001d d 2x y x x⎰--=014d 2x x52-= 小结 )(x,y f 关于x,y 的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起来考虑,即若区域关于x 轴对称,就要考虑)(x,y f 关于y 的奇偶性，若区域关于y 轴对称,就要考虑)(x,y f 关于x 的奇偶性,且容易看出对称性应用过程中被积函数一般比较复杂和抽象.4.对称性在三重积计算分中的应用定理3 设函数)(x,y,z f 在空间区域Ω上连续,且⎰⎰⎰Ω=I z y x x,y,z f d d d )(存在,记}0,)(|){(1≥Ω∈=Ωz x,y,z x,y,z }0,)(|){(2≥Ω∈=Ωx x,y,z x,y,z{}0)(|)(3≥Ω∈=Ωy x,y,z x,y,z ，（1）设Ω关于xoy 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ1)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f（2）设Ω关于yoz 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ2)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f （3）设Ω关于xoz 面对称,Ω∈∀)(x,y,z ，⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ3)(),,(,d d d )(2)(),,(,0d d d )(x,y,z f z y x f z y x x,y,z f x,y,z f z y x f z y x x,y,z f （4）（变量可轮换性）若积分区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++===z y x z,x,y f y,z,x f x,y,z f zy x z,x,y f z y x y,z,x f z y x x,y,z f d d d )()()(31d d d )(d d d )(d d d )(4.1 计算z y x z y x z y x z d d d 1)1ln(222222⎰⎰⎰Ω++++++=I ,其中Ω是球体1222≤++z y x . 分析：被积函数是z 的奇函数,而积分区域Ω关于平面xoy 对称,故有,0d d d 1)1ln(222222=++++++=I ⎰⎰⎰Ωz y x z y x z y x z 4.2 计算z y x e xd d d ⎰⎰⎰Ω=I ,其中Ω是球体1222≤++z y x . 分析：被积函数是x 的偶函数,而积分区域Ω关于平面yoz 对称, 故z y x e z y x e xxd d d 2d d d 1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==I ,其中1Ω是半球体：0,1222≥≤++x z y x . 从而 , z y x e z y x e xx d d d 2d d d 1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==I⎰⎰⎰=xD 1d de d 2z y x x⎰=102d )z -1(e2x xππ2=4.3 计算z y x z y x d d d )(⎰⎰⎰Ω++=I ,其中Ω是球体)0,0,0(2222≥≥≥≤++z y x R z y x . 分析：由变量的轮换性可知,z y x z z y x y z y x x d d d d d d d d d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==,设)0,0(:2222≥≥-≤+y x z R y x D Z .则有,z y x z d d d 3⎰⎰⎰Ω=I⎰⎰⎰=RD Zy x z z 0d d d 3 ( 4.3.1 )z z R Rd )(3022⎰-=π443R π= 此题容易在(4.3.1)式中将z 判断为奇函数,则积分为零,但是在条件0,0,0≥≥≥z y x 下,区域不是关于平面0=z 对称的,故有以上做法,这也充分说明了,区域的对称性和被积函数的奇偶性必须同时满足才能进行积分计算.4.4 计算z y x z y x d d d )532(222⎰⎰⎰Ω++=I ,其中Ω是球体)0(2222≥≤++R R z y x . 分析：由变量的轮换性可得,z y x z z y x y z y x x d d d d d d d d d 222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==,设)0,0(:2222≥≥-≤+y x z R y x D Z .则有,z y x z z y x y z y x x d d d 5d d d 3d d d 2222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ++=Iz y x z d d d 102⎰⎰⎰Ω= ⎰⎰⎰=RD Zy x z z 02d d d 20⎰-=Rz z z 0222d )R (20π385R π=4.5 计算z y x z x d d d )(2⎰⎰⎰Ω+=I ,其中Ω是球体)0(,1222≥≤++z z y x . 分析：z y x xz z x d d d )2(22⎰⎰⎰Ω++=I （xz 2关于yoz 平面对称,又是关于x 的奇函数） z y x z x d d d )(22⎰⎰⎰Ω+=(根据Ω具有轮换性,z y x z z y x x d d d d d d 22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=) z y x z d d d 22⎰⎰⎰Ω=（由于条件0≥z ,2z 关于xoy 面不对称,所以不能用其偶函数的性质） =⎰⎰⎰102d d d 2ZD y x zz⎰-=1022)d (12z z zπ154π=小结 4.3和4.5充分说明当且仅当积分区域的对称性与被积函数),,(z y x f 奇偶性同时具备才能使用定理3.5.对称性在第一类曲线积分计算中的应用第一型曲线积分的奇偶性与二重积分类似. 定理4 函数),(y x f 在曲线L 上连续,s y x f Ld ),(⎰=I 存在,记}{0,),(|),(1≥∈=y L y x y x L }{0,),(|),(2≥∈=x L y x y x L}{0,0,),(|),(3≥≥∈=y x L y x y x L }{y x L y x y x L ≥∈=,),(|),(4(1)设积分曲线L 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(2)设积分曲线L 关于y 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(2y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(3)设积分曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(3y x f y x f s y x f y x f y x f s y x f L L(4)设积分曲线L 关于x y =对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(4y x f x y f s y x f y x f x y f s y x f L L(5)设积分曲线L 关于x 轴, y 轴均对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=--=-=⎰⎰),(),(),().(,d ),(4),(),(),(),(,0d ),(3y x f y x f y x f y x f s y x f y x f y x f y x f y x f s y x f L L或者或者5.1[4] 计算s x Ld ⎰=I ,其中L 是双纽线:)()(22222y x y x -=+.分析： 被积函数x 为偶函数,双纽线关于x 轴、y 轴均对称, 故s x s x L Ld 4d 1⎰⎰==I ,其中1L 是L 在第一象限的部分,将双纽线化为极坐标表示：θ2cos 2=r ,则1L ：40,2cos πθθ≤≤=r ,θθθd 2cos 1d 'd 22=+=r r s则 22d 2cos 1cos 2cos 4d 4401===I ⎰⎰πθθθθs x L5.2 计算⎰++=I s y x xy )d 23(22,设L 为椭圆13222=+y x ,其周长为a . 分析：由于L 关于x 轴(或y 轴)对称, 且xy 是关于y (或x )的奇函数, 故有, 0xyd =⎰s ,那么 , ⎰+=I s y x )d 23(22a s 66d ==⎰5.3 计算s z y x Ld )573(⎰++=I ,已知积分曲线L ：⎩⎨⎧=+=++1122y x z y x ,其周长为a . 分析：已知积分曲线L 中y x ,的位置对称,可得⎰⎰=LLs s x yd d ,所以, s z y x Ld )573(⎰++=Is z y x Ld )(5⎰++=a s L5d 5==⎰5.4 计算s x Ld 2⎰=I ,其中L 为圆周2222a z y x =++,0=++z y x .分析：由对称性知,s z s y s x LLLd d d 222⎰⎰⎰==.于是,s z y x s x LLd )(31d 2222⎰⎰++= ⎰=Ls a d 32 332a π= 5.5 计算s xy Ld ⎰=I ,其中L ：2y x =上从)1,1(A -到)1,1(B 的一段弧.分析：由于L 关于x 轴对称,被积函数xy 是关于y 的奇函数,所以, 0d ==I ⎰s xy L6.[10]对称性在第二类曲线积分计算中的应用定理15[10] 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为)(),(b x a x y y ≤≤±=.记21,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分和下半部分,21,L L 分别在x 轴上的投影方向相反,函数()y x f ,在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f x y x f y x f y x f x y x f L L同理:设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于y 轴的左半部分和右半部分,21,L L 分别在y 轴上的投影方向相反,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f y y x f y x f y x f y y x f L L应用口诀：“反对偶零,反对奇倍”,其中“反”指21,L L 在x （或y ）轴上的投影方向相反；“对”指L 关于x （或y ）轴对称；“偶”指被积函数在L 上关于y （或x ）为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零.反对奇倍的含义类似解释.定理25[10] 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于x 轴的上半部分和下半部分,21,L L 分别在y 轴上的投影方向相同,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f x y x f y x f y x f x y x f L L同理:设L 为xoy 平面上关于y 轴对称的一条光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设21,L L 为分别为L 位于y 轴的右半部分和左半部分,21,L L 分别在x 轴上的投影方向相同,函数),(y x f 在L 上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰),(),(,d ),(2),(),(,0d ),(1y x f y x f y y x f y x f y x f y y x f L L应用口诀：“同对奇零 ,同对偶倍”,其中“同”指21,L L 在x 轴上的投影方向相同；“对”指L 关于y 轴对称；“奇”指被积函数在L 上关于x 为奇函数；“零”指曲线积分的结果等于零.同对偶倍的含义类似解释.6.1 计算x xy Ld ⎰=I ,其中L ：2y x =上从A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.分析：满足“反对奇倍”,故有 , x xy Ld ⎰=Idx 21⎰=L xy⎰=1d 2x x x54=其中,x 从点0变化到点1.小结 6.1和 5.5很相似,它们唯一的区别在于积分式子x xy Ld ⎰=I ,s xy Ld ⎰=I 的不同,其根本原因是第二类曲线积分具有方向性.6.2 计算x y x Ld ⎰=I 其中L ：2y x =上从A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.分析：满足“反对偶零”.故有0d ==I ⎰x xy L6.3 计算y y y x x y x Ld )sin (d )(222+-+=I ⎰,其中L ：)0(222>=+a a y x 按逆时针方向从)0,A(a ,)0,(B a -的上半圆周.分析：y y y x x xy x y x LL Ld )sin (d 2d )(222⎰⎰⎰+-++=I（三个积分分别适合“同对偶倍”、“同对奇零”、“反对偶零”） ⎰+=I 1d )(22L x y x⎰+=02d )(2a x y x32a -= 其中, x 从点a 变化到点0.6.4[4] 计算⎰++=I ABCDAy x yx d d ,其中ABCDA 是以A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)、D(0,-1)为顶点的正方形正向边界线.分析：⎰++=I ABCDA y x y x d d ⎰⎰+++=ABCDAABCDA y x yy x x d d 对于第一个积分,因为曲线关于x 轴对称,且在x 轴上的投影方向相反,被积函数yx +1是y 的偶函数,所以积分为零.对于第二个积分,因为曲线关于y 轴对称,且方y 轴上的投影方向相反,被积函数yx +1是x 的偶函数,所以积分为零.7.对称性在第一类曲面积分计算中的应用第一类曲面积分的奇偶性与三重积分相似. 定理6 设函数),,(z y x f 在曲面S 中连续,⎰⎰=I Ss z y x f d ),,(存在,记{}0,),,(|),,(1≥∈=z S z y x z y x S{}0,),,(|),,(2≥∈=x S z y x z y x S{}0,),,(|),,(3≥∈=y S z y x z y x S(1)设积分曲面关于xoy 面对称,S z y x ∈∀),,(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(1z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(2)设积分曲面关于yoz 面对称,S z y x ∈∀),,(,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(2z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(3)设积分曲面关于xoz 面对称, S z y x ∈∀),,( ,⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰),,(),,(,d ),,(2),,(),,(,0d ),,(3z y x f z y x f s z y x f z y x f z y x f s z y x f S S(4)(变量可轮换性)若积分曲面关于z y x ,,具有轮换对称性,则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-===-SSSSs y x z f x z y f z y fx sy x fz s x z y f s z y fx d ),,(),,(,,31d ,,d ),,(d ,,7.1 计算⎰⎰=I Ss z d 2,其中S :2222R z y x=++.分析：由S 的轮换对称性知,⎰⎰⎰⎰⎰⎰==SSSs z s y s x d d d 222,故有,⎰⎰=I Ss z d 2⎰⎰++=Ss z y x )d (31222 ⎰⎰=Ss R d 312 434R π=7.2 计算⎰⎰++=I Ss z y x )d (,其中S 为球面2222a z y x =++上满足)0(a h h z <<≥的部分.分析：由S 的对称性知,0d d ==⎰⎰⎰⎰SSs y s x ,那么,⎰⎰++=I Ss z y x )d (⎰⎰=Ss z d⎰⎰++--=xyD y x s z z y x a d ''1222⎰⎰=xyD s a d)(22h a a -=π7.3 计算⎰⎰+=I Ss z y x )d 2(224,其中S 是闭曲面：2222=++z y x . 分析：由S 的轮换对称性知, ⎰⎰+=I Ss z y x )d 2(224 ⎰⎰+++++=Ss y x z z x y z y x]d )2()2()2([224224224⎰⎰++=Ss z y x d )(312222 ⎰⎰=Ss 4d 31ο332=7.4 计算⎰⎰=I Ss x d 2,其中S 为圆柱面：222a y x =+,介于平面0=z 和h z =之间的部分.分析：由于在S 中,x 与y 的地位是等价的,所以, ⎰⎰⎰⎰==I SSs y s x d d 22,于是, ⎰⎰⎰⎰+==I SSs y x s x )d (21d 222 ⎰⎰=Ss a d 212h a a ⋅⋅=π2212h a 3π=8. 对称性在第二类曲面积分计算中的应用定理7[10] 设∑为关于xoy 面对称的有向光滑曲面,其方程是一双值函数,设为xy D y x y x z z ∈±=),(),,(（其中xy D 为∑在xoy 平面上的投影）,记21,∑∑分别为位于xoy 平面的上半部分和下半部分,21,∑∑的侧关于xoy 平面相反,函数),,(z y x f 在∑上连续,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f y x z y x f z y x f z y x f ds z y x f同理有：(1)设积分曲面关于xoz 面对称,∑∈∀),,(z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f z x z y x f z y x f z y x f ds z y x f(2)设积分曲面关于yoz 面对称,∑∈∀),,(z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⎰⎰⎰⎰∑∑),,(),,(,d d ),,(2),,(),,(,0),,(1z y x f z y x f z y z y x f z y x f z y x f ds z y x f8.1 计算()⎰⎰∑++++=I 23222d d d d d d z y xyx z z x y z y x ,其中∑是球面：2222a z y x =++的外侧.分析：由∑的轮换对称性知,⎰⎰∑++=I y x z z x y z y x a d d d d d d 13⎰⎰∑=z y x a d d 33]d )d y -x -a (d d y -x -a [32222223⎰⎰⎰⎰--=xy xyD D y x y x a ⎰⎰=xyD y x a d d y -x -a 6222333326a a π⋅=π4=8.2 计算⎰⎰∑=I y x xyz d d ,其中∑是球面:1222=++z y x的外侧,位于0,0≥≥y x 的部分.分析：∑关于xoy 面对称,而xyz 是关于z 的奇函数,满足“反对奇倍”, 故有, ⎰⎰∑=I 1d d 2y x xyz⎰⎰=xyD y x xy d d y -x -1222 ⎰⎰=13320d r -1d sin r r πθθ152=其中1∑: 22y -x -1=z , }0,0,1|),{(),(22≥≥=+=∈y x y x y x D y x xy8.3[10] 计算y x z z x z y yz x d d 2d d )xz -y (d )d (22++-=I ⎰⎰∑,其中∑是锥面：221y x z +-=被平面0=z 所截得的部分,取上侧.分析：y x z z x z y yz xd d 2d d )xz -y (d )d (22++-=I ⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++-=y x z z x z y yz x d d 2d xz)d -(y d )d (22 ⎰⎰∑++=y x z d d 200⎰⎰+-=xyD y x y x d d )1(222 ⎰⎰-=120d )1(d 2r r r πθπ32=其中}1|),{(22≤+=y x y x D xy8.4[10] 计算⎰⎰∑++=I y x r z z x r y z y r x d d d d d d 333,其中222z y x r ++=, ∑是球面：)0(2222>=++a a z y x 的外侧.分析：根据∑的轮换对称性,可知, ⎰⎰∑=I z y zd d r33⎰⎰∑=1d d r63z y z(反对奇倍) ⎰⎰--=xyD y x a y x a d d 63222π4=8.5 设∑是球面：2222R z y x =++,在下面四组积分中,同一组的两个积分均为0的是：（C ）A . ⎰⎰∑=I s x d 2, ⎰⎰∑=I z y x d d 2B . ⎰⎰∑=I s x d , ⎰⎰∑=I z y x d dC . ⎰⎰∑=I s x d , ⎰⎰∑=I z y x d d 2D . ⎰⎰∑=I s xy d , ⎰⎰∑=I z y y d d分析：由于曲面∑关于yoz 平面对称,被积函数 xy x ,关于x 为奇函数,被积函数2x 关于x 为偶函数.故有, 第一型曲面积分 0d ==I ⎰⎰∑s x , 0d ==I ⎰⎰∑s xy ,⎰⎰⎰⎰∑∑++==I s z y x s x )d (31d 22224234d 31R s R π==⎰⎰∑第二型曲面积分 0d d 2==I ⎰⎰∑z y x0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R z y z y z y R z y x0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R x y z x z x R z y y8.6 [6] 设∑是球面：1222=++z y x 的上半部分,则下列错误的是：（B ）A . 0d d 2==I ⎰⎰∑z y x B . 0d d ==I ⎰⎰∑z y xC . 0d d 2==I ⎰⎰∑z y y D . 0d d ==I ⎰⎰∑z y y分析：由于曲面∑关于yoz 面对称,被积函数x 关于x 为奇函数,被积函数22,,y y x 关于x 为偶函数.0d d 2==I ⎰⎰∑z y x ,0d d ==I ⎰⎰∑z y y ,0d d 2==I ⎰⎰∑z y y0d d 2d d 222222>--==I ⎰⎰⎰⎰≤+∑R z y z y z y R z y x9.总结（1）对称的对象：积分区间对称,积分区域对称.（2）关于对称性,除关于原点和x y =对称外,都遵循关于谁对称谁不变的原则. （3）变量的轮换性是指对称的对象∑由0),,(≤z y x f 表示,若将z y x ,,的位置变换后,0),,(≤z y x f 仍然表示∑.在其他书籍和相关资料中提及的y x ,具有相同的地位,y x ,具有循环性都是这里所指的轮换性.（4）当且仅当积分区域对称性与被积函数),(y x f 奇偶性同时具备才能使用本文中提及的定理.（5）),(y x f 关于y x ,的奇偶性,只能分别对一个变量来考虑,而不能将两个变量混在一起来考虑.若关于x 轴对称,就要考虑关于y 的奇偶性,若关于y 轴对称,就要考虑关于x 的奇偶性. 若关于xoy 面对称,就要考虑被积函数关于z 的奇偶性依次类推.（6）第二类曲线积分和第二类曲面积分如果关于对称对象方向相反,那么它们的积分结论刚好与第一类曲线积分和第一类曲面积分结论相反.根据以上总结,对称性的问题便能很好的被应用,使数学积分的计算过程得到简化.参考文献：[1] 明清河著.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社,2004.7（2006.9重印） [2] 殷锡鸣等编著.高等数学（下册）[M].上海：华东理工大学出版社,2005.2(2007.6重印)[3] 吴良森等编著.数学分析学习指导书（下册）[M].北京：高等教育出版社,2004.8[4] 费定辉,周学圣编演.吉米多维奇数学分析习题集题解（第三版）[M].济南：山东科学技术出版社,2005.1（2005.3重印）[5] 顾庆凤.关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用[J].中国教育研究论丛,2006[6] 苏海军.对称性在定积分中的应用[J].四川文理学院学报（自然科学）,2007.9,17(5)[7] 赵云梅,李薇. 对称性在积分中的妙用[J].红河学院学报,2005.6,3(3)[8] 常浩.对称性在积分学中的应用[J].高等数学研究,2011.3,14(2)[9] 于宁丽,王静.利用对称性计算两类区面积分时的差异问题[J].专题研究,2009.7[10] 刘福贵,鲁凯生.利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报,2006,30（6）：1069-1072[11] 西北工业大学高等数学教研室编.高等数学学习辅导：问题、解法、常见错误剖析[M].北京：科学出版社,2007[12] 魏平等编著.高等数学复习指导[M].西安：西安交通大学出版社,1999.11[13] 华罗庚著.高等数学引论[M].沈阳：科学出版社.2003[14] 朱学炎等编著.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2007.4[15] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,2006.4[16]邹本腾等编著.高等数学辅导[M].北京：科学技术文献出版社，1999.6数学系数学与应用数学2009级本科毕业论文Application of symmetry in the integral calculation Abstract The s ymmetry is one of the important methods to solve mathematical problems. In integral calculus, it can make the integral calculation process simplified to make full use of symmetry of integral region and the parity of integrand. This paper illustrates the application of symmetry in definite integral, multiple integrals, curve integrals, and surface integrals in the calculation through summary theorem and its nature and with the aid of examples.Key words definite integral multiple integrals curve integrals surface integrals第21页共22页。
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函