11 问题详解 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案

1. (2015 省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋

转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0

的两个根，且OC ＞BC ．

（1）求直线BD 的解析式；

（2）求△OFH 的面积；

（3）点M 在坐标轴上，平面是否存在点N ，使以点

D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，

请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，

利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；

（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；

（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．

解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2

﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，

把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；

（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，

把E 点坐标代入可求得m=，

∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，

解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，

又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；

（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，

∴△DFM 为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ，

∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），

设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，

则有△FOD ∽△DOM ，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M （0，﹣6），且F （0，），

∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=，

∴G （0，﹣），

设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，

解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）；

③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3，

∵四边形MFND 为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；

综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 市綦江县) 如图，抛物线2

23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴

交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

x

y

x

y

x

y

26题备用图2

26题备用图1

26题图1

C

B

A

O

C

A

O

H

G

E

D

C

B

A

O

F

M M

答案解：⑴AD：1

y x

=+

⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM

故

FGH FGM

C C

=

△△

设2

(,23)

F m m m

-++

则FM=22

23(1)2

m m m m m

-++-+=-++

则C=2

1992

2(12)(12)()

24

2

FM

FM FM m

+

+⨯=+=-+-+

故最大周长为

9+92

4

⑶①若AP为对角线

如图，由△PMS∽△MAR可得

9

(0,)

2

P由点的平移可知

1

(2)

2

Q-，故Q点关于直线AM的对称点T为

1

(0,)

2

-

②若AQ为对角线

如图，同理可知P

1

(0,)

2

-由点的平移可知Q

7

(2,)

2

故Q点关于直线AM的对称点T为

9

(0,)

2

3. (2016 省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，

△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；

（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为

（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，

当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．