狄拉克方程1
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克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。 克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
2. 克莱因-戈尔登方程的获得
如果把(3.9)式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范 围内求解，它是没有实数或复数解的，因为平方为1与相 加为0的方程彼此是矛盾的。因此，要得到满足(3.9)式的 解，只能寻找实数和复数以外的数学工具，狄拉克找到的 是泡利矩阵。 这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
（3.9）
从(3.9)式可以看出，这四个系数 a1,a2 ,a3 , 的位置关系 是完全对称的，类似这样的四个系数关系称为彼此“反 对易”，它们每一个的平方都是1。可以这么理解对易 a1a2 a2a1 称为彼 a1a2 a2a1称为彼此可对易， 和反对易： 此反对易。狄拉克在量子力学中取得的第一个进展，是 借用了泊松括号 [A,B ] AB BA 来表示两个量的对易 关系， [A,B ] 0 表示两个量可对易。
H 1cPx 2cPy 3cP z mc
2
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz m c2 ) 2 c 2 ( Px2 Py2 Pz2 ) m 2c 4
E 2 c 2 p 2 m2 c 4
i (c P mc 2 ) t
（3.11）
(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1 ；当 i j 时， 有 aiaj aj ai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。 必须说明的一点是，因为(3.11)式与(3.9)式等价，因此这 里采用克朗内克 δ 函数得到(3.11)式，主要是形式上的意 义。其实，(3.11)式比(3.9)式更加抽象和难以理解，去掉 (3.11)式和克朗内克δ函数丝毫不影响我们对狄拉克方程 的学习。但是，狄拉克是从克朗内克δ函数得到重要的启 发后，才提出狄拉克δ函数的。而且，克朗内克δ函数本 身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最后想到用矩阵表示 (3.9)式，很可能也有启发作用。由此可以想见，狄拉克 为何要在这里“多此一举”引入克朗内克δ函数。
第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、 3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）
泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一 些性质： （3.13）
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
（3.7）
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 之间可以对易，但矩阵a1,a2 ,a3 ,之间不可对易。也就 是px py py px，但是 a1a2 a2a1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a1,a2 ,a3 , 满足如下关系
（3.5）
其中 a (a1,a2 ,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
薛定谔方程
薛定谔方程的引入
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3)
(3)
薛定谔方程
3.薛定谔方程(三维)
拉普拉斯算符
4.算符
二、克莱因-戈尔登方程
1. 简介
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.1）
对自由粒子，有
（3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
、 2 、 3 1
（3.16）
最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、 2、 3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）
这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。
狄拉克方程
1.
狄拉克方程的解(负能量)：
i (c P mc 2 ) t
如果动量为零（假设）：
i mc 2 t
1 0
0 1
1 0
0 1
2 i mc t
为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、 2、 3 表示。
、 2 、 3 1
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 3 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
（3.14）
这与(3.9)式非常相似，说明用类似泡利矩阵这样的数学工 具来构造狄拉克方程是非常合理和自然的。这就是狄拉克 会想到系数可能是矩阵的原因，也是狄拉克在数学和物理 上的巨大突破。
第五步：狄拉克矩阵
狄拉克认为，如果把这四个系数看成矩阵，那么它们应该 具有与泡利矩阵类似的性质。但是，基于两个理由，它们 应该是4×4的矩阵，而不是2×2的矩阵：第一、 2×2的 矩阵无法描述超过三个以上的反对易量，而现在有四个反 对易量。第二、原来假设的电子自旋只要求波函数有两个 分量，但是现在因为出现了负能量的状态，波动方程解的 数目必定是以前的两倍，即波函数必须要有四个分量。
2 1 i mc t 0
0 1
2 1 i mc t 0
A B
0 1
根据上述方程： 波函数也必须为矩阵形式
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
E
德布罗意波
Ae
i ( r P Et )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
E c p m c
2 2 2
2 2
2 4
E c p m c
“+” 相对论
2 4
（2）
“-” 量子力学、负能量
保罗·狄拉克： 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
（1）
自由粒子薛定谔方程
KG方程
3. 自由粒子解
mc 2 2 c 2 2 t
2 2 4
Ae
i ( k r t )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
Ae
i ( k r t )
P k
第六步：自由粒子狄拉克方程
得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数 a(a1,a2 ,a3 )
和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H t
Fra Baidu bibliotek 第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄 拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出 建立狄拉克方程的两个假设条件： 第一、方程具有量子力学标准波动方程 形式， ˆ 不一样。 Pˆ 仅哈密顿算符 H 第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以 应该是(2)式，而不是(1)式。 这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量 ˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 动量关系的哈密顿算符 H ˆ 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 H 中就应该包含动量算符 Pˆ 。
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。 1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。 1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (p x ,p y ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
2. 克莱因-戈尔登方程的获得
如果把(3.9)式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范 围内求解，它是没有实数或复数解的，因为平方为1与相 加为0的方程彼此是矛盾的。因此，要得到满足(3.9)式的 解，只能寻找实数和复数以外的数学工具，狄拉克找到的 是泡利矩阵。 这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
（3.9）
从(3.9)式可以看出，这四个系数 a1,a2 ,a3 , 的位置关系 是完全对称的，类似这样的四个系数关系称为彼此“反 对易”，它们每一个的平方都是1。可以这么理解对易 a1a2 a2a1 称为彼 a1a2 a2a1称为彼此可对易， 和反对易： 此反对易。狄拉克在量子力学中取得的第一个进展，是 借用了泊松括号 [A,B ] AB BA 来表示两个量的对易 关系， [A,B ] 0 表示两个量可对易。
H 1cPx 2cPy 3cP z mc
2
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz m c2 ) 2 c 2 ( Px2 Py2 Pz2 ) m 2c 4
E 2 c 2 p 2 m2 c 4
i (c P mc 2 ) t
（3.11）
(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1 ；当 i j 时， 有 aiaj aj ai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。 必须说明的一点是，因为(3.11)式与(3.9)式等价，因此这 里采用克朗内克 δ 函数得到(3.11)式，主要是形式上的意 义。其实，(3.11)式比(3.9)式更加抽象和难以理解，去掉 (3.11)式和克朗内克δ函数丝毫不影响我们对狄拉克方程 的学习。但是，狄拉克是从克朗内克δ函数得到重要的启 发后，才提出狄拉克δ函数的。而且，克朗内克δ函数本 身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最后想到用矩阵表示 (3.9)式，很可能也有启发作用。由此可以想见，狄拉克 为何要在这里“多此一举”引入克朗内克δ函数。
第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、 3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）
泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一 些性质： （3.13）
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
（3.7）
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 之间可以对易，但矩阵a1,a2 ,a3 ,之间不可对易。也就 是px py py px，但是 a1a2 a2a1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a1,a2 ,a3 , 满足如下关系
（3.5）
其中 a (a1,a2 ,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
薛定谔方程
薛定谔方程的引入
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3)
(3)
薛定谔方程
3.薛定谔方程(三维)
拉普拉斯算符
4.算符
二、克莱因-戈尔登方程
1. 简介
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.1）
对自由粒子，有
（3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
、 2 、 3 1
（3.16）
最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、 2、 3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）
这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。
狄拉克方程
1.
狄拉克方程的解(负能量)：
i (c P mc 2 ) t
如果动量为零（假设）：
i mc 2 t
1 0
0 1
1 0
0 1
2 i mc t
为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、 2、 3 表示。
、 2 、 3 1
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 3 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
（3.14）
这与(3.9)式非常相似，说明用类似泡利矩阵这样的数学工 具来构造狄拉克方程是非常合理和自然的。这就是狄拉克 会想到系数可能是矩阵的原因，也是狄拉克在数学和物理 上的巨大突破。
第五步：狄拉克矩阵
狄拉克认为，如果把这四个系数看成矩阵，那么它们应该 具有与泡利矩阵类似的性质。但是，基于两个理由，它们 应该是4×4的矩阵，而不是2×2的矩阵：第一、 2×2的 矩阵无法描述超过三个以上的反对易量，而现在有四个反 对易量。第二、原来假设的电子自旋只要求波函数有两个 分量，但是现在因为出现了负能量的状态，波动方程解的 数目必定是以前的两倍，即波函数必须要有四个分量。
2 1 i mc t 0
0 1
2 1 i mc t 0
A B
0 1
根据上述方程： 波函数也必须为矩阵形式
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
E
德布罗意波
Ae
i ( r P Et )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
E c p m c
2 2 2
2 2
2 4
E c p m c
“+” 相对论
2 4
（2）
“-” 量子力学、负能量
保罗·狄拉克： 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
（1）
自由粒子薛定谔方程
KG方程
3. 自由粒子解
mc 2 2 c 2 2 t
2 2 4
Ae
i ( k r t )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
Ae
i ( k r t )
P k
第六步：自由粒子狄拉克方程
得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数 a(a1,a2 ,a3 )
和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H t
Fra Baidu bibliotek 第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄 拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出 建立狄拉克方程的两个假设条件： 第一、方程具有量子力学标准波动方程 形式， ˆ 不一样。 Pˆ 仅哈密顿算符 H 第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以 应该是(2)式，而不是(1)式。 这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量 ˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 动量关系的哈密顿算符 H ˆ 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 H 中就应该包含动量算符 Pˆ 。
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。 1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。 1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (p x ,p y ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程