狄拉克方程1
狄拉克方程
狄拉克方程1928年英国物理学家狄拉克（Paul Adrien MauriceDirac）提出了一个电子运动的相对论性量子力学方程，即狄拉克方程。
利用这个方程研究氢原子能级分布时，考虑有自旋角动量的电子作高速运动时的相对论性效应，给出了氢原子能级的精细结构，与实验符合得很好。
从这个方程还可自动导出电子的自旋量子数应为1/2，以及电子自旋磁矩与自旋角动量之比的朗德g因子为轨道角动量情形时朗德g因子的2倍。
电子的这些性质都是过去从分析实验结果中总结出来的，并没有理论的来源和解释。
狄拉克方程却自动地导出这些重要基本性质，是理论上的重大进展。
1概念自然单位制下的狄拉克方程为了避免克莱因－高顿方程中概率不守恒的问题，狄拉克在假设方程关于时间与空间的微分呈一次关系后得出了有名的狄拉克方程。
但该方程仍无法避免得出负能量解的问题。
2应用既然实验已充分验证了狄拉克方程的正确，人们自然期望利用狄拉克方程预言新的物理现象。
按照狄拉克方程给出的结果，电子除了有能量取正值的状态外，还有能量取负值的状态，并且所有正能状态和负能状态的分布对能量为零的点是完全对称的。
自由电子最低的正能态是一个静止电子的状态，其能量值是一个电子的静止能量，其他的正能态的能量比一个电子的静止能量要高，并且可以连续地增加到无穷。
与此同时，自由电子最高的负能态的能量值是一个电子静止能量的负值，其他的负能态的能量比这个能量要低，并且可以连续地降低到负无穷。
这个结果表明：如果有一个电子处于某个正能状态，则任意小的外来扰动都有可能促使它跳到某个负能状态而释放出能量。
同时由于负能状态的分布包含延伸到负无穷的连续谱，这个释放能量的跃迁过程可以一直持续不断地继续下去，这样任何一个电子都可以不断地释放能量，成为永动机，这在物理上显然是完全不合理的。
3空穴理论针对这个矛盾，1930年狄拉克提出一个理论，被称为空穴理论。
最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。
狄拉克与狄拉克方程
狄拉克与狄拉克方程英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。
他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。
并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。
5、1 狄拉克算符1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（PeterLeonidovichKapitza，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。
每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。
这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。
临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。
不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard，1899～1944）。
9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。
例如，两个力学量相乘pq≠qp，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。
并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。
泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S．Poisson）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。
如果图10-12为狄拉克（左）和海能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方式有可能移植到量子力学中来。
例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。
狄拉克方程
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 , a a 之间可以对易，但矩阵a 之间不可对易。也就 1 2, 3, a a 是p ，但是 a xp y p yp x 1 2 a 2 1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a , a a 满足如下关系 1 2, 3,
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
粒子在t时刻r点出现的几率
注意
(1)
概率振幅 归一化条件 态叠加、干涉
(2) (3)
干涉项
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (px ,py ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程
相对论的
3.狄拉克方程
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
2. 玻恩统计解释
电子源
感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
狄拉克方程与二分量中微子理论
狄拉克方程与二分量中微子理论
狄拉克方程是一种通用的微子物理学方程，它可以用来描述微子在强相互作用中的行为。
狄拉克方程是由意大利理论物理学家利奥波尔多·狄拉克（1906年-1984年）提出的，他在其著作《关于原子核的调和和消失的理论》中首次提出了狄拉克方程。
狄拉克方程可以用来描述微子在强相互作用中的行为，这是一种有力的理论框架，用来描述原子核参数。
它可以用来描述微子的二分量特性，模拟微子的行为，并可以用来计算反应的概率。
狄拉克方程是一种详尽的微子物理学方程，它描述了微子的二分量特性，可以用来模拟微子的行为，并可以用来计算反应的概率。
狄拉克方程的二分量特性在微子理论中显得尤为重要。
二分量是指微子的特性受到两种质量的影响，即质量和质量活动系数。
这两个量是狄拉克方程中受到考虑的最重要的量，它们决定了微子的行为。
当质量和质量活动系数发生变化时，微子的行为也将发生变化。
狄拉克方程还可以用来解释微子反应的概率。
微子反应的概率可以用狄拉克方程来定量表示，可以使用狄拉克方程来计算反应的概率。
这是由于狄拉克方程描述了微子的二分量特性，可以用来模拟微子的行为，并可以用来计算反应的概率。
狄拉克方程在微子理论中具有重要意义，它是一种详尽的微子物理学方程，可以用来描述微子的二分量特性，模拟微子的行为，并可以用来计算反应的概率。
它是一种有力的理论框架，可以用来描述原子核参数。
它可以帮助我们理解微子的行为，并有助于更好地模拟微子的行为。
因此，狄拉克方程在微子
理论中是一个重要的概念，它可以用来更好地理解微子的行为，以及微子反应的概率。
狄拉克方程负能量解
狄拉克方程负能量解
负能量解的背景介绍
•狄拉克方程及其负能量解的基本概念
•负能量解在物理学中的重要作用
狄拉克方程的基本原理和描述
1.基本原理
–狄拉克方程的提出
–电子的自旋和四分量波函数
2.狄拉克方程的描述
–类比薛定谔方程
–包含自旋项的形式
3.狄拉克方程的数学描述
–狄拉克方程的矩阵形式
–自旋算符和泡利矩阵的表示
–正能量解与负能量解的区别
负能量解的意义和性质
1.负能量解的物理意义
–相对论性粒子的运动特性
–反粒子的存在和创造湮灭算符
2.负能量解的性质
–负能量解与虚数能量解的关系
–负能量解的无穷远行为
–负能量解的统计解释
狄拉克海
1.狄拉克海的概念
–反粒子的存在与狄拉克海
–占据态和空穴态
2.狄拉克海的数学描述
–具体狄拉克海的波函数表示
–作用在狄拉克海上的湮灭算符3.狄拉克海的性质和研究意义
–狄拉克海的粒子统计解释
–狄拉克海和真空涨落
负能量解的实验观测和验证
1.负能量解的实验观测
–汤川耐三的负能量粒子预测
–反粒子的实验发现
2.负能量解的验证实验
–粒子与反粒子的湮灭过程
–反质子在磁场中的运动
3.实验观测对负能量解的意义
–实验证据对狄拉克方程的确认
–负能量解的建模和应用
结论
•狄拉克方程负能量解的物理意义和重要性•负能量解的数学描述和性质
•狄拉克海和负能量解的关系
•实验观测对负能量解的验证和应用
•负能量解的未来研究方向和进展。
狄拉克方程PPT精品文档
.
18
其中 a(a1,a2,a3)β是待定系数。不过它们不是一般的系
数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
.
4
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
.
5
薛定谔方程
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
质点运动、电磁波(光学) 牛顿方程、麦克斯韦方程
物质波函数满足的规律 薛定谔方程
《高等量子力学》 狄拉克方程
苏小强
.
1
内容提要
1.背景知识回顾：波函数、薛定谔方程
（非相对论的）
2.克莱因-戈尔登方程 3.狄拉克方程
相对论的
.
2
一、波函数和薛定谔方程
1. 物质波
德布罗意，1929年的诺贝尔物理学奖
.
3
2. 玻恩统计解释
电子源 感 光 屏
1926年，德国物理学家玻恩提出了几率波的概 念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个 函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（波 函数模的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。 这样描写粒子的波叫几率波。
中就应该包含动量算符Pˆ 。
.
16
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是
狄拉克方程的解
狄拉克方程的解狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的运动方程，是量子力学的重要基础之一。
它由英国物理学家狄拉克于1928年提出，被认为是量子力学史上的重要里程碑。
狄拉克方程的解可以分为平面波解和非平面波解两种情况。
平面波解是指具有确定动量和能量的解，而非平面波解则是指具有连续能谱和自旋极化的解。
这两种解都对应着不同的物理现象和粒子性质。
让我们来看看狄拉克方程的平面波解。
平面波解可以用来描述自由粒子的运动，即没有外界力场作用的粒子。
根据狄拉克方程，平面波解可以写成一个旋量形式的波函数，包括了自旋上和自旋下两个分量。
这个波函数随时间和空间的变化而改变，描述了粒子在空间中的传播和自旋的演化。
平面波解的特点是具有确定的能量和动量，可以通过动量算符和能量算符来进行测量。
这些算符作用在平面波解上，可以得到粒子的动量和能量的本征值。
根据量子力学的原理，测量结果是离散的，而且符合能量-动量关系。
除了平面波解，狄拉克方程还有非平面波解。
非平面波解的特点是具有连续的能谱和自旋极化。
这种解描述了粒子在外界力场中的运动，比如电磁场或引力场。
在这种情况下，粒子的能量和动量不再是确定的，而是具有一定的不确定性。
非平面波解可以用来描述粒子在外界力场中的散射和反应。
通过狄拉克方程的非平面波解，可以计算出粒子的散射截面和反应概率，从而了解粒子在外界力场中的行为。
狄拉克方程的解不仅仅是理论上的结果，它在实际的物理实验中也得到了验证。
例如，电子的存在和性质可以通过狄拉克方程的解来解释和预测。
实验观测到的电子的自旋、动量和能量都与狄拉克方程的解相符合，这进一步验证了狄拉克方程的正确性和实用性。
狄拉克方程的解是描述自旋1/2粒子运动的重要工具，它可以用来描述自由粒子和在外界力场中的粒子的运动。
狄拉克方程的解不仅在理论上具有重要意义，而且在实际的物理实验中也得到了验证。
通过狄拉克方程的解，我们可以更深入地了解粒子的性质和行为，为量子力学的发展和应用提供了重要的基础。
量子力学狄拉克方程
量子力学狄拉克方程量子力学狄拉克方程是描述自旋1/2粒子行为的基本方程，它由英国物理学家狄拉克于1928年提出。
这个方程将相对论和量子力学相结合，成功地解释了电子的自旋，为粒子物理学的发展作出了巨大贡献。
狄拉克方程是一个四分量波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动。
它的形式非常复杂，包含了四个复数分量。
这四个分量分别代表了粒子的两种自旋状态，以及正负能量的运动。
狄拉克方程的解被称为狄拉克旋量，它描述了自旋1/2粒子的波函数随时间和空间的演化。
狄拉克方程的提出极大地推动了量子力学的发展。
它不仅成功地解释了电子的自旋，还预言了反物质的存在。
根据狄拉克方程，每个粒子都有一个反粒子与之对应，它们具有相同的质量但电荷相反。
这个预言在随后的实验证实了，为粒子物理学的研究打开了新的方向。
狄拉克方程的形式非常复杂，但它的实际应用却非常广泛。
它在量子电动力学、量子色动力学和弦理论等领域都有重要的应用。
狄拉克方程提供了描述粒子行为的基本工具，为我们理解微观世界的奥秘提供了重要线索。
狄拉克方程的提出也引发了许多深刻的思考。
它揭示了自然界的对称性，如时间反演对称性和空间反演对称性。
狄拉克方程还激发了人们对粒子自旋的研究，以及对粒子性质的更深层次的理解。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解粒子的本质和行为规律。
量子力学狄拉克方程是一个重要的物理方程，描述了自旋1/2粒子的运动行为。
它的提出推动了量子力学的发展，为粒子物理学的研究提供了重要线索。
狄拉克方程的成功解释了电子的自旋，并预言了反物质的存在。
通过对狄拉克方程的研究，我们可以更好地理解微观世界的奥秘，推动科学的进步。
狄拉克方程 狭义相对论 量子力学
狄拉克方程狭义相对论量子力学狄拉克方程和狭义相对论是量子力学和相对论的两个重要理论。
狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，它成功地统一了狭义相对论和量子力学。
狭义相对论是爱因斯坦提出的一种描述高速运动物体的物理学理论，它改变了牛顿的经典力学观念，提出了新的时空观念和相对论效应。
下面我们将详细介绍狄拉克方程和狭义相对论的相关内容。
狄拉克方程是量子力学中描述自旋1/2粒子的方程，由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出。
它是一个四分量波函数的方程，描述了自旋1/2粒子的动力学行为。
狄拉克方程的形式为：(iγμ∂_μ-m)ψ=0其中ψ是四分量波函数，γμ是四个4x4的矩阵，∂_μ是四维导数，m为粒子的质量。
狄拉克方程描述了自旋1/2粒子的薛定谔态演化，同时包含了狭义相对论的效应。
这是因为在狭义相对论中，对粒子的描述需要考虑相对论修正的哈密顿量。
狄拉克方程的解可以通过引入一种新的数学工具“旋量”来得到，从而描述了自旋1/2粒子的量子态。
相对论是描述高速运动物体的物理学理论。
爱因斯坦于1905年提出了狭义相对论，它建立在两个基本假设之上：光速不变原理和等效原理。
光速不变原理指出，在任何惯性参考系中，光速在真空中的传播速度都是恒定的。
等效原理指出，任何惯性系中的自由粒子运动都可以等效于重力场中的自由粒子运动。
狭义相对论引入了新的时空观念，即时空是一个四维时空的连续结构。
它认为时间和空间不再是独立的，而是构成了一个时空的统一整体。
狭义相对论还引出了著名的洛伦兹变换，描述了不同惯性参考系之间的变换关系。
相对论效应包括时间膨胀、长度收缩、质能关系及对速度的加成等。
狄拉克方程和狭义相对论的结合使得量子力学可以应用到高速运动粒子的描述中。
狄拉克方程可以推导出一系列重要的结果，如负能态（反粒子）的存在、自旋和角动量的关系、粒子自旋的量子测量结果等。
同时，狄拉克方程还为量子电动力学的发展奠定了基础，在粒子物理学中起到了重要的作用。
狄拉克方程 杨米尔斯方程
狄拉克方程与杨-米尔斯方程1. 引言狄拉克方程和杨-米尔斯方程是理论物理学中的重要方程，分别描述了粒子的运动和规范场的相互作用。
狄拉克方程是量子力学中描述自旋1/2粒子的方程，而杨-米尔斯方程是描述规范场的量子场论方程。
本文将介绍这两个方程的基本概念、物理意义和数学形式，并讨论它们在现代物理学中的应用。
2. 狄拉克方程2.1 基本概念狄拉克方程是由英国物理学家狄拉克于1928年提出的，用于描述自旋1/2粒子（如电子）的运动。
它是一个一阶偏微分方程，描述了粒子的波函数随时间和空间的变化。
2.2 物理意义狄拉克方程的物理意义非常重大。
首先，它预言了存在反粒子，即对于每个粒子存在一个相应的反粒子。
其次，狄拉克方程还解释了自旋的存在和性质，自旋是粒子的内禀角动量，具有量子化特性。
最后，狄拉克方程还提供了粒子的相对论性描述，即在高速运动情况下也适用。
2.3 数学形式狄拉克方程的数学形式如下：(iγμ∂μ−m)ψ=0其中，i是虚数单位，γμ是狄拉克矩阵，∂μ是四维导数算符，m是粒子的质量，ψ是粒子的波函数。
2.4 应用狄拉克方程在量子力学和粒子物理学中有广泛的应用。
它被用于解释原子结构、粒子的衰变过程和高能物理中的散射等现象。
狄拉克方程还为量子场论的发展奠定了基础，推动了量子力学和相对论的统一。
3. 杨-米尔斯方程3.1 基本概念杨-米尔斯方程是由中国物理学家杨振宁和美国物理学家罗伯特·米尔斯于1954年提出的，用于描述规范场的相互作用。
它是量子场论中的重要方程，描述了规范玻色子与物质场的相互作用。
3.2 物理意义杨-米尔斯方程的物理意义在于描述了基本粒子之间的相互作用。
它提供了强相互作用和电弱相互作用的统一理论，解释了强子和弱子之间的转化现象。
杨-米尔斯方程还为量子色动力学（QCD）和电弱理论的发展提供了理论基础。
3.3 数学形式杨-米尔斯方程的数学形式如下：DμFμν=Jν其中，Dμ是协变导数算符，Fμν是规范场的场强张量，Jν是物质场的源项。
狄拉克方程
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3) (3)
薛定谔方程
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
3.薛定谔方程(三维) 人删除。
4.算符
拉普拉斯算符
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
形式，
第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以
应该是(2)式，而不是(1)式。
这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量
动量关系的哈密顿算符Hˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 Hˆ
中就应该包含动量算符Pˆ 。
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本
玻恩，1954年获诺贝尔物理学奖
文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
注意
粒子在t时刻r点出现的几率
(1)
概率振幅
(2) 归一化条件 (3) 态叠加、干涉
干涉项
薛定谔方程 文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本 人删除。
薛定谔、奥地利物理学家，1926 年建立了以薛定谔方程为基础的 波动力学，1933年获诺贝尔物理 学奖。
二、克莱因人删-除戈。尔登方程
1. 简介
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。
克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
自旋,是狄拉克方程内在的要求
自旋,是狄拉克方程内在的要求一、自旋的概念及历史1. 自旋是指微观粒子内在的固有角动量，其大小通常用自旋量子数s 来描述，其取值可以是整数或半整数。
自旋是量子力学的重要概念之一，由量子力学的奠基人之一保罗·狄拉克于1928年引入。
2. 自旋最早的实验证据是由斯特恩和格拉赫在1922年进行的斯特恩-格拉赫实验，实验证据表明自旋量子数可以取两个值，即正负1/2。
3. 经过数十年的实验验证，自旋已被广泛接受并加入了标准模型中，成为了理解微观世界的重要工具之一。
二、狄拉克方程中的自旋1. 狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程，它是量子力学的基本方程之一，描述了自旋1/2粒子的行为和性质。
2. 狄拉克方程表明，自旋1/2粒子具有四个分量的波函数，其中两个分量对应于正自旋，另外两个对应于负自旋。
3. 狄拉克方程的提出极大地推动了量子力学的发展，为理解微观世界中粒子的自旋性质提供了重要的数学工具和框架。
三、自旋在物理学中的应用1. 自旋在原子物理学和量子化学中具有重要意义，能够解释原子、分子的性质和光谱现象。
2. 自旋在凝聚态物理学中也有重要应用，例如自旋电子学的研究，为发展新型的电子器件提供了理论基础。
3. 自旋在高能物理学和粒子物理学中也发挥着重要作用，例如自旋的观测可以帮助科学家了解宇宙中物质的性质和行为。
四、自旋的未来发展1. 随着实验技术的不断进步，科学家对自旋的探索和研究将会更加深入，可能会有新的发现和应用。
2. 自旋在量子计算和量子通信中也具有潜在应用，可能会带来新的科技革命和产业变革。
3. 随着对自旋的理论和实验研究的深入，我们对自旋的理解将会更加深刻，为探索微观世界提供更多的线索和工具。
总结自旋是狄拉克方程内在的要求，是微观世界中粒子的内在性质。
自旋的引入极大地丰富了量子力学的框架，为解释微观世界中的现象和性质提供了有力的工具。
自旋的应用也涉及到多个物理学领域，对科学研究和技术发展都有重要意义。
狄拉克方程的理论推导
狄拉克方程的理论推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子运动的基本方程之一，由英国物理学家保罗·狄拉克在1928年提出。
这个方程在量子力学和量子场论中具有重要的地位，对理解粒子物理学的基本问题起到了至关重要的作用。
1. 自旋与相对论性粒子在相对论性量子力学中，我们必须考虑自旋的概念。
自旋是粒子的内禀角动量，不同于经典观念中的自转，它并没有经典的对应物。
自旋的量子数可以是整数或半整数，对于自旋1/2的粒子，其量子数可以取正负1/2。
在量子力学中，我们用波函数来描述粒子的运动状态。
对于自由粒子，我们可以用薛定谔方程来描述其运动。
但当我们考虑到粒子的自旋时，薛定谔方程的形式就不再适用了。
为了描述自旋1/2粒子的运动，我们需要引入狄拉克方程。
2. 狄拉克方程的形式狄拉克方程可以写成如下的形式：$$ (i\\gamma^{\\mu}\\partial_{\\mu}-m)\\psi=0 $$其中，$\\gamma^{\\mu}$是4个Dirac矩阵构成的矩阵向量，$\\partial_{\\mu}$是4-梯度算符，m是粒子的质量，$\\psi$是物质场。
该方程可以看成是一个波动方程，它描述了自旋1/2粒子的运动行为。
3. 矩阵表示及Dirac矩阵的性质在狄拉克方程中，Dirac矩阵是关键的部分。
Dirac矩阵由四个4x4的矩阵组成，可以表示为：$$ \\gamma^0=\\begin{pmatrix}I & 0\\\\ 0 & -I\\end{pmatrix} \\quad\\gamma^i = \\begin{pmatrix}0 & \\sigma^i\\\\ -\\sigma^i & 0\\end{pmatrix} $$ 其中，i=1,2,3。
I是2x2的单位矩阵，$\\sigma^i$表示泡利矩阵。
Dirac矩阵具有一些重要的性质：•$\\{\\gamma^\\mu,\\gamma^\ u\\} = 2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u+\\gamma^\u\\gamma^\\mu=2g^{\\mu\ u}$•$\\gamma^\\mu\\gamma^\ u-\\gamma^\ u\\gamma^\\mu=0$ 这些性质是根据Dirac矩阵的定义和矩阵之间的乘法运算推导得出的。
狄拉克方程
R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R = - 8 \pi {G \over c^2} T_{uv} </math>其中G 为牛顿万有引力常数这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。
该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。
它以复杂而美妙著称，但并不完美，计算时只能得到近似解。
最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。
加入宇宙学常数后的场方程为：<math>R_{uv} - \frac{1}{2}g_{uv} R + \Lambda g_{uv}= - 8 \pi {G \over c^2}T_{uv} </math>式右边应该是光速的4次方，即：c^4狄拉克方程式中，相对于之于，狄拉克方程式是的一项描述粒子的，由物理学家于建立，不带矛盾地同时遵守了与两者的原理，实则为薛定谔方程的洛仑兹协变式。
这条方程预言了的存在，随后由发现了(positron)而证实。
狄拉克方程式的形式如下：，其中是粒子的，与t分别是和的。
狄拉克的最初推导所希望建立的是一个同时具有和形式的波方程，并且这个方程需要确保所导出的为正值，而不是像那样存在缺乏物理意义的负值。
考虑薛定谔方程薛定谔方程只包含线性的时间一阶从而不具有洛仑兹协变性，因此很自然地想到构造一个具有线性的空间一阶导数的。
这一理由是很合理的，因为空间一阶导数恰好是。
其中的系数αi和β不能是简单的常数，否则即使对于简单的空间旋转变换，这个方程也不是洛仑兹协变的。
因此狄拉克假设这些系数都是N×N阶以满足洛仑兹协变性。
如果系数αi是矩阵，那么波函数也不能是简单的标量场，而只能是N×1阶列矢量狄拉克把这些列矢量叫做（Spinor），这些旋量所决定的概率密度总是正值同时，这些旋量的每一个标量分量需要满足标量场的。
比较两者可以得出系数矩阵需要满足如下关系:αiαj+ αjαi= 2δij Iαiβ + βαi = 0满足上面条件的系数矩阵α和β只可以取±1，并且要求是无迹的，即矩阵的对角线元素和为零。
狄拉克方程的解释
狄拉克方程的解释狄拉克方程（DrakeEquation）是由美国天文学家弗朗西斯狄拉克（FrankDrake）提出的一个算式，用来估算太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明的数量。
从技术上讲，它是一种概率方程，用来评估众多不确定因素（木星上无论是否存在生命，太阳系外文明是否可以延长其寿命，太阳系外岩石陨石上是否有微生物，太阳系外地球大气是否宜居等）来计算出可能存在的智慧外星文明的数量。
经过数十年的发展，狄拉克方程已经成为天文学家研究外星智慧文明的重要工具。
它把众多未知因素，如太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明、太阳系外地球大气是否宜居、太阳系外岩石陨石上是否有微生物等，抽象成一元不等式：N=R*×fp×ne×fl×fi×fc×L其中，N=太阳系外有多少可以接收和发射电波的智慧外星文明；R*=每年可能出现智慧外星文明的星系数量；fp=星系中可支持生命的行星的比例；ne=每个支持生命的行星上可支持生命的地区的数量；fl=每个支持生命的地区上发展出智慧文明的比例；fi=智慧文明的寿命百分比；fc=智慧文明利用电波技术的百分比；L=智慧文明使用电波通信的平均持续时间。
解释其中每一项变量：R*：每年可能出现智慧外星文明的星系数量，这个变量其实是由诸多其它变量综合而成，包括星系的难易程度，星系中可以形成行星的难易程度，行星上可以形成生命体的难易程度等等。
fp：星系中可支持生命的行星的比例，这个变量是由诸多其它变量综合而成，包括行星的距离恒星的距离，行星的大小和密度，行星的气候，行星的地球大气是否宜居等等。
ne：每个支持生命的行星上可支持生命的地区的数量，这个变量是由行星大气中所含不同气体的比例，行星表面温度和气压等因素决定的。
fl：每个支持生命的地区上发展出智慧文明的概率。
这个变量的决定因素有很多，包括智慧种族的智能程度、社会组织形式和历史发展阶段等等。
狄拉克 量子力学原理
狄拉克量子力学原理狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的量子力学方程。
在量子力学中，自旋是描述微观粒子固有角动量的物理量，它是粒子的内禀性质，与粒子的运动无关。
自旋1/2粒子包括电子、质子、中子等，它们的自旋量子数为1/2。
狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，是描述自旋1/2粒子的重要方程之一。
狄拉克方程的提出，标志着量子力学的发展迈入了一个新阶段。
狄拉克方程综合了爱因斯坦的相对论和薛定谔的波动力学，描述了自旋1/2粒子的运动规律。
相对论性量子力学的建立，为物理学家们解决了一系列难题，使他们能够更好地理解微观世界的奥秘。
狄拉克方程的形式非常优美，它是一个四分量的波函数方程，描述了自旋1/2粒子的运动状态。
狄拉克方程的推导过程非常复杂，需要运用相对论性量子力学、场论等高深的数学和物理知识。
狄拉克方程的解包括正能量解和负能量解，正能量解对应着粒子，负能量解对应着反粒子，这是狄拉克方程的一个重要特征。
狄拉克方程的提出，不仅为自旋1/2粒子的描述提供了一个统一的框架，而且还预言了反粒子的存在。
事实上，正是由于狄拉克方程的成功预言，反电子（即正电子）在不久之后被发现，这一发现极大地推动了粒子物理学的发展。
狄拉克方程的成功预言，使得狄拉克成为了20世纪物理学领域的巨匠之一。
狄拉克方程的重要性不仅在于它对自旋1/2粒子的描述，还在于它对量子场论的奠基作用。
狄拉克方程是量子场论的基础，它描述了自旋1/2粒子的场，为后来量子电动力学等理论的建立奠定了基础。
狄拉克方程的成功提出，开启了相对论性量子力学的新篇章，推动了物理学的发展。
总之，狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的重要方程，它的提出标志着量子力学的发展迈入了新的阶段。
狄拉克方程的形式优美，预言了反粒子的存在，为量子场论的建立奠定了基础，对物理学的发展产生了深远的影响。
狄拉克方程的成功提出，彰显了狄拉克在物理学领域的卓越贡献，使他成为了物理学史上的名人之一。
狄拉克方程深度解析
狄拉克方程深度解析
狄拉克方程是量子力学中描述自旋1/2粒子行为的方程，由英国物理学家狄拉克于1927年提出。
它是一种相对论性的波动方程，可以描述电子和其他费米子的运动和性质。
狄拉克方程的形式如下：
(iγ^μ_μ - m)ψ = 0
其中，i是虚数单位，γ^μ是一组4x4的矩阵（称为狄拉克矩阵），_μ是四维导数算符，m是粒子的质量，ψ是波函数。
狄拉克方程的解释和深度解析需要涉及相对论、量子场论和代数学等多个领域的知识。
简单来说，狄拉克方程描述了自旋1/2粒子的运动和性质，通过解这个方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子在空间和时间上的分布和演化规律。
狄拉克方程的重要性在于它提供了描述电子行为的框架，并且成功地预测了反物质存在的可能性。
此外，狄拉克方程还为量子场论的发展奠定了基础，成为现代粒子物理学的重要理论工具。
然而，要真正理解和掌握狄拉克方程需要深入研究相对论、量子力学和量子场论等相关领域的数学和物理知识。
它是高级物理学和理论物理学的内容，需要通过系统学习和实践来逐步理解和应用。
狭义相对论量子力学1——自由粒子的狄拉克方程
α12 = α22 = α32 = β2 = 1,
(αiαj + αjαi) = 0, i, j = 1, 2, 3
(αiβ + βαi) = 0, i = 1, 2, 3 可以验证：满足上面要求的系数α和β至 少 是 4 × 4 的 矩 阵 ，这里采用
利用结果α†
=
α,
β†
=
β；
∂ ∂t
Ψ†Ψ
3;
Ψ
∂Ψ† ∂t
∇ · Ψ†αΨ = Ψ† α· ∇Ψ + ∇Ψ† · αΨ 则有：
i
∂ ∂t
Ψ†Ψ
= −ic ∇ ·
Ψ†αΨ
.
现在定义概率密度ρ = Ψ†Ψ和概率流密度J = cΨ†αΨ则：
∂ρ ∂t
+
∇
·
J
=
0。
注意: 按照上面定义的概率密度总是非负的，因为 Ψ=[a, b, c, d]T , Ψ†=[a∗, b∗, c∗, d∗] 则 ρ=Ψ†Ψ=a∗a+b∗b+c∗c+d∗d≥0，因此狄拉克方程是可接受的。
一、自由粒子的狄拉克方程
April 10, 2020
1 自由粒子的狄拉克方程
假设：自旋为 /2的高速运动的自由粒子满足狄拉克方程：
其 中αi =
0 σi
数Ψ为4 × 1矩阵。
i
∂Ψ =
−ic
α· ∇ + βmc2
Ψ.
∂t
σi 0
i = 1, 2, 3, β =
狄拉克方程概率流方程推导
狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程概率流方程推导狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论量子力学方程。
它有不同于薛定谔方程的解析解，并且在理论物理研究中有广泛的应用。
其中概率流方程是狄拉克方程中最为重要的内容之一。
下面，本文将介绍狄拉克方程概率流方程的推导。
首先，为了方便，我们用自然单位制，即$ c = \hbar = 1 $。
狄拉克方程可以写成：$$ i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = 0 $$其中， $ i $ 是虚数单位， $ \gamma^\mu $ 是 $ 4\times 4 $ 的 Dirac 矩阵， $ \psi $ 是一个 $ 4 $ 分量的复波函数， $ m $ 为粒子的质量。
矩阵项 $ \gamma^\mu $ 有很多不同的表示形式，本文采用自然单位制下的Weyl 表示：$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix}0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix},\quad\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0\end{pmatrix},\quad i=1,2,3 $$其中 $ I $ 是 $ 2\times 2 $ 的单位矩阵， $ \sigma^i $ 是 $ 2\times 2 $ 的Pauli 矩阵。
接下来，我们根据概率守恒定律来推导概率流方程。
概率守恒定律可以表示为：$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0 $$其中 $\rho $ 是粒子密度， $ \vec{j} $ 是概率流密度。
对于自由粒子，其粒子密度和概率流密度可以表示为：$$ \rho = \psi^\dagger\psi, \quad \vec{j} = \psi^\dagger \vec{\alpha}\psi $$其中 $ \vec{\alpha} = (\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3) $。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为量子力学标准波动方程要求的是能量的一次项，但 是 (2)式包含有根号，如果直接作算符代换，动量算符将出 现在根号内：
（3.1）
对自由粒子，有
ห้องสมุดไป่ตู้（3.2）
对力场中的粒子，有（注意，因为有势能项V，光速c不能 放到等号左边）
（3.3）
与薛定谔方程相比，(3.2)式和(3.3)式的潜在问题是动量 算符在根号内，这不是量子力学标准波动方程形式。
（1）
自由粒子薛定谔方程
KG方程
3. 自由粒子解
mc 2 2 c 2 2 t
2 2 4
Ae
i ( k r t )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
Ae
i ( k r t )
P k
三、狄拉克方程
薛定谔方程因为不是相对论性的，它必然要向 相对论扩展。克莱因-戈登方程就是第一个相对论性 的波动方程，然而却不能计算氢原子，且一直为负 能态和负概率所困扰，所以长期不被物理学家所接 受。狄拉克方程正是在这种困境中应运而生的。它 融合了狭义相对论、海森伯矩阵力学、薛定谔波动 力学三方理论，能够计算氢原子光谱的精细结构， 并且自动产生电子的自旋量子数。更巧妙的是，狄 拉克认为负能态对应着一种电子的反粒子，由此预 言了正电子的存在，并避免了负概率的困难。下面 详细介绍狄拉克方程的建立过程。
克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon equation） 是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程， 它是薛定谔方程的相对论形式，可用来描述自 旋为零的粒子。 克莱因-戈尔登方程是由瑞典理论物理学家 奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于 二是世纪二三十年代分别独立推导得出的。
2. 克莱因-戈尔登方程的获得
E
德布罗意波
Ae
i ( r P Et )
2 4 mc 2 2 c (k k ) 2
E c p m c
2 2 2
2 2
2 4
E c p m c
“+” 相对论
2 4
（2）
“-” 量子力学、负能量
保罗·狄拉克： 英国理论物理学家，量子力学奠基者之一。
2 1 i mc t 0
0 1
2 1 i mc t 0
A B
0 1
根据上述方程： 波函数也必须为矩阵形式
第三步：克朗内克δ函数
为了简洁和统一描述(3.9)式，狄拉克采用了克朗内克δ函 数（Kronecker），其定义为：
（3.10）
克朗内克δ函数常用来描述矩阵。通俗地理解就是：如果 i和j表示矩阵的行列序号，那么克朗内克δ函数描述的就 是一个对角元素全部为1、其余元素全部为0的单位矩阵。 如果令 a4 ，则全部(3.9)式都可以用下式统一描述：
第四步：泡利矩阵
为了最终确定这四个系数，狄拉克从泡利矩阵入手进行分析。 最初，电子的自旋是作为假设提出来的，泡利就是为了描述 电子的自旋角动量而创建的三个2阶矩阵 1、 2、 3。有时 为了表示方便，还可以加入两个辅助矩阵：单位矩阵I和0矩 阵O，
（3.12）
泡利矩阵满足如下关系（可以直接验证），或者说有如下一 些性质： （3.13）
如果把(3.9)式看成一个方程组，然后在整个实数和复数范 围内求解，它是没有实数或复数解的，因为平方为1与相 加为0的方程彼此是矛盾的。因此，要得到满足(3.9)式的 解，只能寻找实数和复数以外的数学工具，狄拉克找到的 是泡利矩阵。 这提醒我们，任何没有实数或复数解的方程，很可能都是 我们没有找到合适的数学工具。这种思路将是创造新数学 工具的重要源泉，也正是因为这个原因，狄拉克通常也被 看作是一个重要的数学家。
（3.5）
其中 a (a1,a2 ,a3 ) β是待定系数。不过它们不是一般的系 数，因为一般的系数很难满足(3.4)式。狄拉克后来从 泡利矩阵得到启发：它们如果是4×4的矩阵，那么就 有可能满足(3.4)式。 比较(3.4)式和(3.5)式，可以得到如下对应关系
（3.6）
(3.6)式两边平方，（右边写成乘式，是考虑到矩阵的 不可对易性）
为了得到一组矩阵系数，狄拉克介绍了一种方法。他先把 2×2的泡利矩阵扩展为如下4×4的矩阵，用 1、 2、 3 表示。
、 2 、 3 1
（3.15）
然后，狄拉克参照这三个4×4的泡利矩阵，又拼凑出了三 、 3 个类似的4×4矩阵 1、2、3 ，（ 1、2、3 不是从 1、 2 变过来的，是狄拉克凭经验拼凑出来的，两者没有关系），
（3.7）
展开(3.7)式右边乘式，（注意：展开时，动量各分量 之间可以对易，但矩阵a1,a2 ,a3 ,之间不可对易。也就 是px py py px，但是 a1a2 a2a1 。矩阵乘法一般不满 足交换律）
（3.8）
要保证(3.8)式成立，可以让系数 a1,a2 ,a3 , 满足如下关系
H 1cPx 2cPy 3cP z mc
2
H 2 (1cPx 2cPy 3cPz m c2 ) 2 c 2 ( Px2 Py2 Pz2 ) m 2c 4
E 2 c 2 p 2 m2 c 4
i (c P mc 2 ) t
第一步：建立相对论方程的条件
与建立薛定谔方程类似，我们也是先建立自由粒子的狄 拉克方程，然后建立力场中的狄拉克方程。这里先列出 建立狄拉克方程的两个假设条件： 第一、方程具有量子力学标准波动方程 形式， ˆ 不一样。 Pˆ 仅哈密顿算符 H 第二、方程必须满足相对论的一次能量动量关系，所以 应该是(2)式，而不是(1)式。 这两个条件归结为要确定一个合适的、满足相对论能量 ˆ ，这是建立狄拉克方程的关键。 动量关系的哈密顿算符 H ˆ 因为波动方程左边是能量算符，所以右边的哈密顿算符 H 中就应该包含动量算符 Pˆ 。
第二步：待定系数能量动量关系
为了去掉根号，狄拉克采用了一种很巧妙的思路，实际上 就是一种待定系数法。 对自由粒子，可以把相对论能量动量关系写成如下形式：
（3.4）
狄拉克假定自由粒子的能量E与动量分量 (p x ,p y ,pz ) 质量m 0 之间存在最简单的一次线性关系。这样，对应于(3.4)式， 可以拼凑出一个去掉根号的待定系数方程
、 2 、 3 1
（3.16）
最后，所求的四个矩阵系数 a1、a2、a3、a4 就由 1、 2、 3 和 1、2、3 组合出来，组合的公式和结果为
1、2、3
（3.17）
这就是狄拉克构造出来的满足(3.9)式或(3.11)式的一组矩 阵系数，所有满足这种关系的四个矩阵都称为狄拉克矩阵。 不过，(3.17)式并不是唯一的狄拉克矩阵，它们一般被称 为“泡利组”，因为它们是2泡利矩阵的最简扩展形式。 费米也介绍过另外一种从泡利矩阵扩展出不同狄拉克矩阵 的方法，费米称之为“标准组”，现在也称为矩阵，它在 量子场论中有着广泛的应用。
第六步：自由粒子狄拉克方程
得到狄拉克矩阵后，实际上(3.5)式的待定系数 a(a1,a2 ,a3 )
和 a4 就求出来了，这样，去掉根号的自由粒子相 对论能量动量关系也就得到了，其一般形式就是
利用能量和动量算符
进行代换，并作用于波函数，就得到了自由粒子的狄拉克 方程
i H t
（3.9）
从(3.9)式可以看出，这四个系数 a1,a2 ,a3 , 的位置关系 是完全对称的，类似这样的四个系数关系称为彼此“反 对易”，它们每一个的平方都是1。可以这么理解对易 a1a2 a2a1 称为彼 a1a2 a2a1称为彼此可对易， 和反对易： 此反对易。狄拉克在量子力学中取得的第一个进展，是 借用了泊松括号 [A,B ] AB BA 来表示两个量的对易 关系， [A,B ] 0 表示两个量可对易。
薛定谔方程
薛定谔方程的引入
1. 单色平面波（德布罗意波）
(取实部) 2. 薛定谔方程(一维)
寻求波函数随时间空间变化的规律 从自由粒子平面单色波出发
随空间的变化：
(1)
(2)
随时间的变化：
(2), (3)
(3)
薛定谔方程
3.薛定谔方程(三维)
拉普拉斯算符
4.算符
二、克莱因-戈尔登方程
1. 简介
虽然已经有了克莱因-戈尔登方程，但狄拉克认 为问题并未被解决。这个方程可能给出负值的概 率，量子力学对概率的诠释无法解释。 1928年狄拉克提出了描述电子的相对论性方程： 狄拉克方程。并独立于泡利的工作发现了描述自 旋的2x2矩阵。然而狄拉克方程与克莱因-戈登方 程有相同的问题，存在无法解释的负能量解。 这促使狄拉克预测电子的反粒子（正电子）的存 在。正电子于1932年由安德森在宇宙射线中观察 到而证实。狄拉克方程同时能够解释自旋是 作为一种相对论性的现象。 1933年、狄拉克和薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。
（3.11）
(3.11)式表明，当 i j 时，有 ai2 aj2 1 ；当 i j 时， 有 aiaj aj ai 0 。也就是说，(3.11)式与(3.9)式完全等 价，待求的这四个系数 a1、a2、a3、a4 必须满足(3.11)式 或(3.9)式。 必须说明的一点是，因为(3.11)式与(3.9)式等价，因此这 里采用克朗内克 δ 函数得到(3.11)式，主要是形式上的意 义。其实，(3.11)式比(3.9)式更加抽象和难以理解，去掉 (3.11)式和克朗内克δ函数丝毫不影响我们对狄拉克方程 的学习。但是，狄拉克是从克朗内克δ函数得到重要的启 发后，才提出狄拉克δ函数的。而且，克朗内克δ函数本 身就很适合描述矩阵，这对于狄拉克最后想到用矩阵表示 (3.9)式，很可能也有启发作用。由此可以想见，狄拉克 为何要在这里“多此一举”引入克朗内克δ函数。