第四章_图形变换的矩阵方法(已排).

参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。
4.1.2
对称变换
y y (x,y) x (x,-y) y=x
(-x,y) (-x,-y)
O
(x,y)
O
x (x',y')
y
(x,y)
O (x',y')
x y=-x
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1.关于x轴的对称变换
x'
x'
y' x
y' x y
计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。
图形变换 --- 就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标), 同时保持图形的原拓扑关系不变.
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线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列
的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。 用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。
1 0 y x 0 1
1 0 1 x 0 1
y
y
2.关于y轴的对称变换
3.关于45度平分线的对称变换
x'
y' x
y' x
0 1 y y 1 0
y 0
x

4.关于-45度平分线的对称变换 x'
第4章 图形变换的矩阵方法
要求： 1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。 一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象 所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数 情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维 的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从 不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平 移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内 容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上 述功能的算法。 计算机产生图形的过程大致可分为三步： 图形输入 图形处理 图形输出
如：二维点[x y] 用 [X Y H]表示 如：空间点[x y z] 用 [X Y Z H]表示 H可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。 如二维平面上的一点[3,4], 用齐次坐标表示为[3,4,1] 通常将H=1的齐次坐标称为
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几何变换
投影变换
4.1 二维图形变换
1.二维平面上点的表示法 2. 图形变换的矩阵表示 改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。 设: 点P(x,y) 矩阵表达方法 变换矩阵 点P ’(x’, y’) 其数学表达方法 一对坐标(x,y) 一个向量[x y]
x ' ax cy
1 y x 1 0
5.关于坐标原点的对称变换
x'
y' x
1 0 y x y 0 1
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4.1.3
错切变换
(x,y)
（1）沿X轴方向错切 （2）沿Y轴方向错切
(x',y') (x,y)
(x',y')
沿x轴方向的错切变换 1.沿X轴方向的错切变换
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2. 沿Y轴方向的错切变换
x'
y' x
1 b y x cy 0 1
y
(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;
(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴; (3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段 (4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平 移了一段距离。
沿y轴方向的错切变换
x'
y' x
(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
1 0 y x cy c 1
y
(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;
(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段 (4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。
我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图
的变换。 图形变换 几何变换 又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位 置、形状 投影变换 变位变换 ：旋转、 镜像、 周分布、 阵列、 基本变换 变形变换 ：比例、 错切 组合变换 ：上述变换的连续实施 由于显示器和绘 正投影变换 ：三面正投影图、 轴测图 图机只能用二维空间 来表示图形，要显示 中心变换 ：透视图 三维图形就要用投影 斜投影变换 ：斜轴测图 方式来降低其维数。
y ' bx dy;
变换后的位置矢量矩阵
x'
y' x
a b y ax cy bx dy c d
3
位置矢量矩阵
4.1.1
比例变换
y
(x,y)
就是将图形放大或缩小的变换方法。 x’=Sx* x 变换式为： y’=Sy* y
(x',y')
O
x
讨论： 1. Sx ＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换
8
4.1.4
绕坐标原点的旋转变换
x' OP cos( )
OP(cos cos sin sin ) x cos y sin
y' OP sin( )
OP(sin cos cos sin )
x sin y cos
2. Sx ＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。 3. Sx ＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。
4. Sx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀 比例变换。
x '
y '
x
y
Sx 0 0 Sy
Sx ＝1, Sy>1
4
图形变化：原有图形放大或缩小的变换
其矩阵表示法：
x'
cos sin y' [ x y] sin cos x cos y sin x sin y cos

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4.1.5
平移变换
m x 1
y (x',y') O (x,y) x
1 x’=x＋l 变换过程为： 变换矩阵为 y’=y+m l y
1 0 如变换矩阵改为： 0 1 则点的坐标（x,y) l m
P’=P*T= x
（x,y,1)
y
1 0 1 0 1 = x l l m
ym
1
10
4.1.6
齐次坐标与变换通式
它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法